讲义(杨氏模量和线胀系数)

杨氏模量的测定概述杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。

1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。

根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。

杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。

杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。

杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。

测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。

【实验目的】1、学会测量杨氏模量的一种方法；2、掌握用光杠杆法测量微小长度变化的原理；3、学习用逐差法处理实验数据。

【实验仪器及装置】杨氏模量测定仪、光杠杆、尺读望远镜、螺旋测微计（25mm 、0.01mm ）、直尺、钢卷尺杨氏模量测定仪底座砝码水平调节螺钉 平台上夹具尺读望远镜望远镜 支架标尺望远镜钢卷尺直尺前足后足 镜面M光杆杆【实验原理】1、静态法测杨氏模量一根均匀的金属丝或棒，设其长度为L ，截面积为S,在受到沿长度方向的外力F 的作用下伸长L ∆。

根据胡克定律可知，在材料弹性范围内，其相对伸长量L L /∆(应变)与外力造成的单位面积上受力/F S (应力)成正比，两者的比值LL SF Y //∆=(1)称为该金属的弹性模量，也称杨氏模量，它的单位为2/N m (牛顿/平方米)。

实验证明，杨氏模量与外力F 、物体的长度L 和截面积S 的大小无关，只取决于被测物的材料特性，它是表征固体性质的一个物理量。

设金属丝的直径为d ，则241d S π=，杨氏模量可表示为：24FLY d Lπ=∆ (2) （2）式表明：在长度L 、直径d 和外力F 相同的情况下，杨氏模量大的金属丝的伸长量较小，而一般金属材料的杨氏模量均达到211/10m N 的数量级，所以当2/FL d 的比值不太大时，绝对伸长量L ∆就很小，用通常的测量仪（游标卡尺、螺旋测微器等）就难以测量。

实验中可采用光学放大法将微小长度转换成其它量测量，用一种专门设计的测量装置——光杠杆来进行测量。

0R1R L ∆砝码图1 光杠杆的测量原理光2、用光杠杆测微小长度L ∆微小长度L ∆测量，需要光杠杆与望远镜标尺配合使用.如上图所示，从望远镜标尺R 发出的物光经过远处光杠杆的镜面反射后到达望远镜，被观察者在望远镜中看到。

开始时，光杠杆的镜面处于垂直状态，从望远镜中看到的标尺R 上的刻度读数为0R 。

实验中如果光杠杆的前足固定，而后足的支撑点（金属丝夹）有与外力砝码作用向下改变了L ∆微小长度，则光杠杆就会改变一个角度α,使镜面偏转α角度，而镜面上的反射光会相应地改变2α的角度，此时观察到的标尺R 的刻度变化到了1R 的位置。

根据上图中的几何关系可知tan Lbα∆=10tan 2R R D α-=式中b 为光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离，D 为光杠杆镜面与直尺之间的距离。

由于角α很小，tan αα≈，tan 22αα≈，所以Lbα∆=,102R R R D D α-∆==,消去α,得R DbL ∆=∆2 (3) 将（3）式代入（2）式得Rb d mgLDR b d FLD L d FL Y ∆=∆=∆=222884πππ (4) F mg =，m 为砝码质量，9.8/g N Kg =。

3、杨氏模量测定仪的调整(1)调节杨氏模量底座水平调节螺钉，使平台上圆孔与金属丝圆柱形活动夹脱离接触，使之处于自由悬挂状态。

（2）按图1放置好光杠杆，仔细调整光杠杆的长度b ，使光杠杆的两前足放在平台上的直线形凹槽中，后足尖搭在金属丝活动夹上，镜面调竖直，再将望远镜置于光杠杆前1～1.5m 处。

（3）上下调节望远镜使之与光杠杆镜面等高，并对着镜面。

（4）将望远镜瞄准镜面M ，从望远镜外侧沿镜筒轴线方向看到平面镜中有标尺的像。

如未看到，应左右移动望远镜并适当改变平面镜的仰俯角度，直至沿望远镜外侧可以直接看到标尺像为止。

（5）通过望远镜的目镜观察标尺的像，如看不清楚，可以调整望远镜的物镜焦距旋钮。

同时进一步调整望远镜的位置，使望远镜中的标尺像接近视场中心，并且清晰。

（6）调节望远镜目镜使观察到的十字叉丝最清晰，再次调整物镜同时要使标尺像十分清晰。

（7）观察者眼睛上下晃动时，从望远镜中观察到的标尺刻度线像和叉丝间相对位置无偏移，即为无视差。

（8）在金属丝活动夹下砝码挂钩上试加砝码，从望远镜中观察标尺像的变化情况。

【实验内容及要求】一、调节仪器装置1、将测定仪支架调成竖直；2、调整望远镜标尺及位置，调光杠杆及位置；3、从望远镜边“外视”，在平面镜寻找标尺的像；4、对准望远镜“内视”调出清晰的标尺像。

二、测量数据1、仪器调好后，从望远镜中记下此时十字叉丝横线对准的标尺刻度0R 。

2、按顺序逐个增加金属丝下端砝码（七个），并逐次记下相应的十字叉丝对准的标尺刻度7654321R R R R R R R '''''''、、、、、、，再按相反顺序减少砝码，记录相应的标尺刻度01234567R R R R R R R R ''''''''''''''''、、、、、、、，用逐差法计算R ∆值。

方法见数据记录表内。

3、用钢卷尺一次性测量D 和L （读到0.1cm ）；4、用游标卡尺一次性测量光杠杆臂长b ；测量结束后将光杠杆拿下在一张纸上按下三足点测量后足点到两前足点垂直距离。

5、用螺旋测微计测量钢丝直径6次，求d 。

【数据记录及处理】表一 望远镜标尺读数记录与处理（单个砝码质量m = kg ）表二 各单次测量数据记录与仪器误差表三 钢丝直径数据记录与处理（千分尺零点读数：________mm ） 222Y d L d b R d b Rπππ===∆∆∆=_____（2/N m ）（根据()u Y 来确定有效数字的位数） ()________u Y ==（2/N m ）【注意事项】1、调好实验装置记下初读数0R 后，在实验过程中不可再移动实验装置，否则整个测量系统就被破坏，所测数据无效，实验应从头做起。

2、增加砝码时，砝码的缺口槽要交错放置。

3、加减法码时要轻拿轻放，并待稳定后再读数；读数时不能下压放置望远镜的桌面。

【思考题】1、如果金属丝圆柱形活动夹和平台圆孔间有摩擦力存在，对实验结果将有何影响？实验中如何减小这种影响？2、光杠杆测量微小长度变化量的原理是什么？有何优点？3、本实验中，那个量的测量误差对测量结果的不确定度影响较大？金属线胀系数的测定绝大多数物质具有“热胀冷缩”的特性,这是由于物体内部分子热运动加剧或减弱造成的.这个性质在工程结构的设计中,在机械和仪表的制造中,在材料的加工(如焊接)中都应考虑到.否则,将影响结构的稳定性和仪表的精度.考虑失当,甚至会造成工程结构的毁损,仪表的失灵以及加工焊接中的缺陷和失败等等.固体材料的线膨胀是材料受热膨胀时,在一维方向上的伸长.线胀系数是选用材料的一项重要指标.在研制新材料中,测量其线胀系数更是必不可少的. 实验目的：1、了解固体膨胀遵循的规律；2、掌握光杠杆测量微小长度的原理。

实验仪器：线胀系数测定装置，光杠杆、尺度望远镜、温度计、钢卷尺、直尺、蒸汽发生器、带测金属棒（铜棒长500mm ）。

实验原理：1、固体膨胀遵循的规律L L t α∆=⋅⋅∆α—为线胀系数 单位：01C -L ∆—杆的伸长量 单位：mmt ∆—温度的变化量 单位：0C L —杆的长度 单位：mm由于L L ∆ ，因而上式近似为：0010()L L L t t α-=⋅⋅- （1）0L 为0t 温度下杆的长度t2、光杠杆测量微小长度原理0tan 222()tan 22LN L D D b N L L L ND b b b Dθθθθ∆⎫=≈⎪∆∆⎪⇒=⇒∆=∆=-⎬∆⎪=≈⎪⎭（2） 其中2Db称为光杠杆的放大倍数。

（若1500,50D mm b mm ==，则260Db=，由此可见光杠杆的放大倍数是十分可观的） 联立（1）、（2）两式得：00100102()2N N D b N N N L t t b DL t t αα-∆=-=⋅⋅-⇒=- 实验内容及操作步骤：1、连接实验装置摆放好光杠杆，并将实验仪器调节成实验要求的状态；调节尺度望远镜轴线与光杠杆平面镜中心等高，调节望远镜倾斜角度水平，然后移动望远镜的位置，要从望远镜的位置通过光杠杆平面镜的反射看到尺读望远镜的直尺，再粗略的将望远镜对准平面镜中的直尺，且要让直尺在平面镜的中心。

然后调节调焦旋钮即可找到直尺。

这时视野中的直尺可能会部分布清晰，若上下不清晰要调节望远镜的倾斜角度，若左右不清晰要稍稍的旋转尺读望远镜底座的角度。

然后再看一下起初是否看到的是直尺上高度和望远镜镜筒轴线处于同样高度的位置，若不是说明光杠杆的平面镜不够竖直，要调节光杠杆的平面镜； 2、记录初始温度和望远镜叉丝位置上的读数（00,t N ）；3、打开蒸汽电源，让蒸汽通入金属筒（或玻璃筒）内，观察温度变化和尺度望远镜读数变化，待尺度望远镜读数不变时，记下温度和尺度望远镜读数（1,t N ）；4、先用钢卷尺测量光杠杆平面镜到尺度望远镜尺面间的水平距离D ，再用游标卡尺测量光杠杆的臂长b （测量b 时将光杠杆拿下来，在预习报告上按下三个足点的印记，然后用直线联结前两点，再量出后面点距直线的距离）； 5、整理好实验仪器。

数据记录与处理：0500.0L mm =，b mm =，D mm =。

100102N N b C DL t t α--==-(保留三位有效数字)分析误差：（说明实验产生误差的可能因素及影响大小） 思考题：请证明对于各向同性的物体其体胀系数是其线胀系数的三倍。

（提示：体胀系数的定义是V V t β∆=∆，式中β为体胀系数）注意：1、在测量过程中不要碰桌面以保持读数的稳定。

2、金属棒的下端一定要和底座接触好，上端要和光杠杆的后面支点末端接触好。

证明题答案：证明：设温度为0t 时圆柱体截面半径为0r ，长度为0L ，体积为0V ；温度为t 时圆柱体截面半径为r ，长度为L ，体积为V 。