博弈树例题
博弈树的启发式搜索
博弈树的启发式搜索问题A方、B方必须是完备博弈，它有三个条件：1、A，B双方轮流博弈。
博弈的结果只有三种情况：A胜，B败；A败，B胜；A，B平手。
2、任一方都了解当前的棋局和历史的棋局。
3、任一方都分析当前的棋局，并能作出有利于自己，而不利于对方的策略。
我们描述博弈过程采用与/或树1、博弈的初始棋局作为初始节点2、‘或’节点与‘与’节点逐层交替出现。
自己一方扩展节点之间是‘或’，对方扩展节点之间是‘与’。
双方轮流扩展。
3、所有能使自己获胜的终局都是本原问题，相应的节点是可解节点。
本问题其实是一个构造博弈树的问题。
对给定的棋局，该棋局中A，B方的棋子数相等，并且轮到A方下。
这样构成一个初始棋局，称一个状态。
当A或B下一个棋子后，又形成一个新的状态。
任何一方都希望自己取得胜利，因此当某一方有多个方案可供选择时，他总是跳最有利于自己而最不利对方的方案。
此时我们站在A的立场上看，可供A选择的方案之间是‘或’的关系，可供B的方案之间是‘与’的关系。
因为主动权在A上，A必须考虑任何一个可能被B选中的方案。
极大极小分析方法的特点：1、它是为其中一方寻找一个最优的行动方案的方法2、为了当前最优的方案，需要对各个方案能产生的后果进行比较，具体地说就是考虑每个方案实施后，对方可能采取的行动，并计算可能的得分4、为了计算得分，需要根据问题的特性定义一个估价函数，用来计算当前博弈树端节点的得分，该得分也称静态估值5、当端节点估值后，再推算父节点的得分，推算方法是对于‘或’节点，选择子节点中最大的得分作为自己的得分，对于‘与’节点，选择子节点中最小的得分作为自己的得分，父节点得得分也称倒退值6、若某一个行动方案能获得最大得倒退值，则它就是当前最好得方案在本问题中，假设棋盘为4*4的矩阵，A方的棋子为1，B方的棋子为－1，空格为0。
我们定义估价函数为：在某一棋局状态，A方棋子可能占满的整行，整列，整斜线总和与B 方棋子可能占满的整行，整列，整斜线总和的差。
北邮信息经济学作业答案5
信息经济学作业5、解：个，D类型的节点有两个，T类型的节点有6个。
2）博弈树如下：在这个博弈中，I类型的节点只有1个，D类型的节点有两3个，T类型的节点有9个。
3）博弈树如下：I如图，在这个博弈中，I类型的节点只有1个，D类型的节点有4个，T类型的节点有8个。
6、解：博弈树如图所示：如图，在这个博弈中，I类型的节点只有1个，D类型的节点有8个，T类型的节点有24个。
7、解：在此博弈中，I类型的节点只有1个，D类型的节点有32个，T类型的节点有48个。
8、解：按首次行动顺序原则，这个博弈的支付向量的分量排列为：（甲的支付，乙的支付，丁的支付，丙的支付）。
12、解：博弈树如下图所示：根据倒推法,第一步先分析波音公司的行动选择，如果空中客车公司选择研发的话，那么波音公司选择容忍的得益为3，选择价格战的得益为-1，所以波音公司是理性的话，它一定会选择容忍；如果空中客车公司选择不研发，那么波音公司的得益为10。
因此，这个两阶段博弈可以简化为：在这个等价博弈中，空中客车公司选择研发的得益是3，选择不研发的得益是0，因此它肯定会选择研发。
博弈的最终结果为，空中客车公司选择研发，波音公司选择容忍，最终得益为（3,3）.13、解：比如两位家电零售商进了同一种家电，在同一市场上进行销售。
同一种家电的质量正常情况下应该都是差不多的，即对消费者来说，只有价格的区别。
那么，后定价的商人可以根据前一商人的定价，定略低一点的价格，从而获得更高的销量，最终获得更大的总利润，在这场竞争中获胜。
14、解：先动优势例子：（1）在某一门课上，班级中每个小组都要选一个题目做presentation，题目中有难有易，那么提前报名的人就可以抢到比较容易的题目，也能选择本组成员比较感兴趣的题目，那样会给后面的presentation带来很多便利，获得了先动优势，而后选的小组选项越来越少，需求就得不到充分满足了；（2）两个情侣周末准备一起去外面游玩，景点很多，他们还没决定去哪玩，一般先提建议的一方说出自己想去哪玩，只要要求合理一般都会被采纳，，对于先提建议的人来说，他（她）的需求被满足了，获得更大的收益，具有先动优势。
游戏策略(1)
SG函数性质
l 对于一个图游戏，如果图的当前状态等于0，那么先 手必败，否则必胜。
l 证明： l 如果当前点SG=0，先手无论怎么走，都会到达一个
SG<>0的点；接着后手就能设法到达一个SG=0的点。 也就是说后手总是能移动，而先手总是处在SG=0的 点。游戏不能无限的进行下去，一旦先手到达一个出 度等于0的点，游戏结束，先手败。 l 如果当前点SG≠0，先手可以走到一个SG=0的点，这 样后手面对一个必败状态，所以先手必胜。
证明： 请回忆SG函数的性质：如果当前某图的状态值>0，那么游戏者可以 通过一步走棋把图的当前状态值任意的减小。因此一个状态值为x的 图等价于Nim Game中规模为x的一堆石子！
l 如果a1 ⊕ a2 ⊕ … ⊕ ak = 0，先手无论怎么走都会令a1’ ⊕ a2’ ⊕ … ⊕ ak’ ≠ 0。（ai’是ai变化后的值）
游戏策略(1)
SG函数简介
l 如果我们把游戏中的某一个局面看作一个顶点，把局面之 间的转换用边来表示，那么很多游戏都可以转化成图游戏 模型。
l 图游戏模型 给定有向无环图G=(V,E)和一个起始点，双方 轮流行动。每个人每次可以从当前点出发沿着一条有向边 走到另外一个点。谁无法走了谁就输。
l 一些图游戏可以通过Sprague-Grundy函数来判定先手的 胜负情况（简称SG函数）。
（每堆至少一颗） 这四种操作，实际上就依次对应于原来游戏中的以下四种击倒法： l 击倒一段连续的木瓶中最靠边的一个 l 击倒一段连续的木瓶中最靠边的连续两个 l 击倒一段连续的木瓶中不靠边的一个 l 击倒一段连续的木瓶中不靠边的连续两个
游戏策略(1)
求解
l 把局面看作顶点,游戏规则看作边,这是一个典型的图游戏。
博弈论经典题目
博弈论经典题目
1. 背包问题：
背包问题是贪婪算法求解的一个经典例子，也是动态规划常出现的一个经典最优化算法问题。
背包问题描述是这样的：有一个背包，背包容量限制为V，现有n种物品，每种物品的体积分别是w1, w2, w3, ... wn，而价值分别是v1, v2, v3, ... vn，问如何挑选物品装入背包以使物品价值总和最大。
2. 钓鱼游戏：
钓鱼游戏是由John Von Neumann及Oskar Morgenstern于1944年出版的游戏理论研究的经典题目，它用简单的游戏表示了一个有价值的决策问题：一对捕鱼人去钓鱼，他们的成功机会各不相同，而他们的收入有几乎相同的可能性。
游戏设定两个捕鱼者就一道鱼池进行渔获，鱼库只能容纳两种鱼，一种种鱼可以产生相同价值，不过每个捕鱼者只能抓一种鱼。
他们可以在淘到鱼前决定他们抓取的鱼种以及机率。
3. 亚当斯密矩阵博弈：
亚当斯密矩阵博弈也称为亚当斯博弈，是一种两边博弈，也就是说每一方都可以改变策略，古腾堡武器竞赛中使用的最佳策略最终也确定了该博弈结果。
它是一种形式上可以实时解决的游戏，每一种游戏具有一组有限的可能性。
游戏中，双方都拥有一种完全不同的收益，这些收益对两者来说都是实际易变涉及各自的利益、代价及限制，最终
目的是达到一个最佳方案，也就是哪一方收益最大。
4. 棋盘问题：
棋盘问题是建模和强化学习算法的经典问题，是一种几何回溯问题，主要指一个棋盘下怎样移动国王，使其最终能够到达标记点，而不经过被标记的地方，并且时间费用最少。
棋盘中任何一个标记点在边框联想能表示出一种折线状的运动方式，这样的运动方式通常分为八个半径块，而国王的最终目的地则被标记在其中的任何一个格子上。
完全信息动态博弈习题
完全信息动态博弈习题1、空中客车与波音两家公司在研发新型商业客机方面展开激烈竞争。
波音公司在研发过程中已经处于领先地位，而空中客车正考虑是否参与这场竞争。
加入空中客车不参与竞争，那么它的收益为0，而波音公司将会获得垄断地位，获得10亿美元的收益。
加入空中客车决定参与竞争，则波音公司就不得不决定与空中客车进行和平竞争，还是打价格战。
如果和平竞争，双方各自获得3亿美元的收益；如果打价格战，则客机价格下滑，双方都无法收回研发成本，各损失1亿美元。
请画出博弈树，找出子博弈精炼纳什均衡。
2、考虑可乐行业，可口可乐与百事可乐是两家主要公司，市场规模为80亿美元。
每家公司可以选择是否做广告，广告成本为10亿美元；如果一家企业做广告而另一家不做，则前者强的所有市场；如果两家企业都做广告，则各占一半市场，并付出广告成本；如果两家公司都不做广告，也各占一般市场，但不支付广告成本。
（a）画出博弈支付表，并找出当两家公司同时行动时的纳什均衡（b）假定博弈序贯进行，画出可口可乐公司率先行动时该博弈的博弈树。
（c）在（a）、（b）均衡中，从可口可乐与百事可乐的共同观点来看，哪一个是最佳的，这两家公司要怎样才会有更好的结果？3、假设巨人、太阳神、弗里达三大百货公司正考虑在波士顿两个新的大型购物中心中的一个开设分店。
其中，城市购物中心靠近人口密集的富人区，规模不大，最多只能以两家大百货商场为龙头。
而郊区购物中心地处较远的郊外，相对较穷，能以三家百货商场为龙头。
三家百货公司都不想在两个地方同时开店，因为顾客有相当部分重复，两处都开店无疑是同自己竞争。
每家百货公司都不愿意在一个地方独家经营，拥有多家商场的购物中心能够吸引更多的顾客，顾客总量的增加自然会使商场利润增加。
此外，它们都偏向争夺富人群体的城市购物中心，所以它们必须在城市购物中心（如果这个尝试失败了，它们将会尝试在郊区建立商场）和郊区购物中心（不争取城市市场而直接进入郊区市场）之间作出选择。
博弈问题总结（基础篇）
博弈问题总结（基础篇）博弈问题总结（基础篇）前⾔最近做的博弈问题的题⽐较多，所以我就汇总了⼀下博弈问题的⼏种题型，⽅便之后的做题博弈论定义博弈论就是指有若⼲个⼈进⾏⼀些对弈，并且默认每个⼈都是最聪明的，不会失误，都可以找到当前的最优解，然后来寻找有没有哪个⼈有必胜/必败的的策略。
A、尼姆博弈为什么叫尼姆博弈呢？因为这是尼姆（英⽂名：Nimm Game）发明的数学游戏。
博弈模型有n堆各若⼲个物品，两个⼈轮流从某⼀堆取任意多的物品，规定每次⾄少取⼀个，多者不限，最后取光者得胜。
分析我们先考虑简单的情况1、n=1这时先⼿必胜，因为他只需要把唯⼀的这⼀堆⽯⼦取⾛就可以了2、n=2若a[1]=a[2]，先⼿必败，因为⽆论先⼿在哪⼀堆⽯⼦中取⾛⼏个，后⼿总能在另⼀堆⽯⼦中取⾛相同的个数若a[1]!=a[2]，我们假设a[1]>a[2]，此时先⼿必胜，因为先⼿可以在第⼀堆⽯⼦中取⾛a[1]-a[2]个，这时两堆⽯⼦的个数相同，下⼀次⽆论后⼿取⾛多少个，先⼿都可以在另⼀堆取⾛同样多个，因此先⼿必胜若a[1]<a[2]，同上，先⼿必胜3、要是n=3或者更⼤呢？我们显然不能像上⾯⼀样去枚举每种情况，所以我们要得出⼀个更为⼀般的结论我们设总共有n堆⽯⼦，每⼀堆⽯⼦的个数分别为a[1]、a[2]、a[3]……a[n]若a[1] ^ a[2] ^ a[3] ^ …… ^ a[n] =0先⼿必败，反之先⼿必胜下⾯是证明如果异或和的最⾼位为i，那么必定有⼀堆⽯⼦的第 i 位为1我们设这⼀堆⽯⼦的个数为k，其它所有⽯⼦的异或和为m，总异或和为x则必定有k ^ m=x，我们把这⼀堆⽯⼦变成k^x（k ^ x） ^ m=0这时，所有⽯⼦的异或和都变成了0举个例⼦:11001 ^ 11100=00101，则有（11001 ^ 00101）^ 11100=0如果当前所有数字的异或和为0，那么下⼀次⽆论你怎么取⽯⼦，异或和⼀定不会为0这样我们可以得出结论：如果先⼿异或和不为0，可以⼀步让后⼿的情况为异或和为0；如果先⼿异或和为0，那么后⼿异或和就不为0这样，我们不断进⾏游戏，最终⼀定会达到所有的数都为0的情况，⽽最后⾯对这种情况的⼀定会输所以我们可以得出结论：若a[1] ^ a[2] ^ a[3] ^ …… ^ a[n] =0先⼿必败，反之先⼿必胜例题洛⾕P2197模板题（好裸的板⼦）题意甲，⼄两个⼈玩 Nim 取⽯⼦游戏。
贝叶斯博弈例题及答案
贝叶斯博弈例题及答案贝叶斯博弈是概率论和数理统计中研究决策理论的一个重要方面。
它是游戏理论的一种集合，可以将概率论和统计学与决策理论结合，从而使决策者能够在不确定的环境中作出正确的决策。
贝叶斯博弈的主要术语有：贝叶斯博弈矩阵、贝叶斯博弈策略和贝叶斯博弈操作。
贝叶斯博弈矩阵是一个3行3列的二维数组，分别是玩家A的策略，玩家B的策略和数值。
玩家A与玩家B之间的博弈情况就是通过贝叶斯博弈矩阵来描述的，每一行代表一个玩家，每一列代表另一个玩家，并且每一个单元格都是一个数值，表示该玩家在该情况下所获得的效益程度。
贝叶斯博弈策略是指玩家在贝叶斯博弈中可以采取的不同策略，如:攻击策略，防御策略，逃跑策略等。
贝叶斯博弈操作是指玩家在不同情况下根据自身可获得的信息，以及结合玩家之间的战略，运用贝叶斯博弈策略和贝叶斯博弈矩阵的数据，作出不同的博弈决策，以追求自身最大利益。
下面是一个贝叶斯博弈例题：有两个玩家，A和B，A有两种选择，攻击和逃跑，B有三种选择，攻击，防御和逃跑。
A选择攻击，B选择防御，结果是A得到2点，B得到1点；A选择攻击，B选择逃跑，结果是A得到3点，B得到0点；A选择逃跑，B选择攻击，结果是A得到0点，B得到2点；A选择逃跑，B选择防御，结果是A得到1点，B得到1点。
以上例题的贝叶斯博弈矩阵如下：A 击跑B 击 2 0防御 1 1逃跑 3 0利用贝叶斯博弈矩阵，当双方玩家都想获取最大利益时，A玩家最好选择攻击策略，而B玩家最好选择防御策略。
这样，两个玩家的效益都能达到最大值，A获得2点，B获得1点。
贝叶斯博弈是一种数学模型，它可以让玩家在贝叶斯博弈矩阵的基础上，根据不同的信息量和策略结合，使玩家在不确定的情况下作出最优选择，最终获得最大收益。
贝叶斯博弈可以在生活中得到广泛运用，从商业谈判中到家庭冲突，都可以使用贝叶斯博弈分析，以便更好地分析环境，并做出最优决策。
此外，贝叶斯博弈也可用来分析投资和经济行为，以及社会政治等。
博弈论复习题及答案
博弈论2、可口可乐与百事可乐（参与者）的价格决策：双方都可以保持价格不变或者提高价格（策略）；博弈的目标和得失情况体现为利润的多少（收益）；利润的大小取决于双方的策略组合（收益函数）；博弈有四种策略组合，其结局是：（1）如果双方都不涨价，各得利润10单位；（2）如果可口可乐不涨价，百事可乐涨价，可口可乐利润100，百事可乐利润-30；（3）如果可口可乐涨价，百事可乐不涨价，可口可乐利润-20，百事可乐利润30；（4）如果双方都涨价，可口可乐利润140，百事可乐利润35；求纳什均衡。
博弈的稳定状态有两个：都不涨价或者都涨价（均衡），均衡称为博弈的解。
3、猪圈里有一头大猪和一头小猪，猪圈的一头有一个饲料槽，另一头装有控制饲料供应的按钮。
按一下按钮就会有10个单位饲料进槽，但谁按谁就要付出2个单位的成本。
谁去按按纽则谁后到；都去按则同时到。
若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到一个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃六个单位，小猪吃4个单位。
各种情况组合扣除成本后的支付矩阵可如下表示（每格第一个数字是大猪的得益，第二个数字是小猪的得益）：小猪按等待大猪按 5，1 4，4等待 9，-1 0，0求纳什均衡。
在这个例子中，我们可以发现，大猪选择按，小猪最好选择等待，大猪选择不按，小猪还是最好选择等待。
即不管大猪选择按还是不按，小猪的最佳策略都是等待。
也就是说，无论如何，小猪都只会选择等待。
这样的情况下，大猪最好选择是按，因为不按的话都饿肚子，按的话还可以有4个单位的收益。
所以纳什均衡是（大猪按，小猪等待）。
4、根据两人博弈的支付矩阵回答问题：a bAB(1)写出两人各自的全部策略，并用等价的博弈树来重新表示这个博弈（6分）(2)找出该博弈的全部纯策略纳什均衡，并判断均衡的结果是否是Pareto有效。
(3)求出该博弈的混合策略纳什均衡。
（7分）(1)策略甲：ＡＢ乙：ａｂ博弈树（草图如下：(2)Pure NE (A, a); (B, b)都是Pareto 有效，仅(B, b)是Ｋ－Ｈ有效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
博弈树例题
【原创实用版】
目录
1.博弈树的概念和基本结构
2.博弈树的分类和形式
3.博弈树的解法和应用
正文
博弈树是博弈论中的一种重要工具，它是一种将博弈过程形式化为树的形式，以便于分析和求解的方法。
博弈树由节点、枝、叶子和根组成，每个节点表示一个决策点，枝表示决策的选择，叶子表示决策的结果，根表示初始状态。
博弈树可以分为两类，一类是纯策略博弈树，另一类是混合策略博弈树。
纯策略博弈树是指每个节点只有纯策略，没有混合策略。
混合策略博弈树则包含了混合策略，它可以更准确地描述决策者的行为。
博弈树的解法主要有两种，一种是递归法，另一种是剪枝法。
递归法是通过对博弈树进行递归，求解每个节点的期望收益，然后通过比较期望收益来选择最优策略。
剪枝法则是通过剪去一些不可能导致最优策略的节点，来缩小搜索范围，提高求解效率。
博弈树在博弈论中有广泛的应用，它可以用于解决各种实际问题，如经济、社会、政治等领域的决策问题。
第1页共1页。