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关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是椭圆形几何图形较为重要的一个参数，它代表着椭圆的扁平程度。
在高中数学中，离心率一般作为重要内容涉及到椭圆、双曲线和抛物线的相关题型。
下面，我们将介绍一些高效的解决离心率题型的有效技巧。
一、离心率的定义和特点椭圆的离心率是一个非常重要的物理量，它代表着椭圆的扁平程度。
在椭圆的定义中，其离心率的定义是：离心率等于椭圆长轴和短轴的差值与它们的和的比值。
它的数值在0~1之间。
双曲线的离心率是大于1的，它代表着双曲线的扁平程度。
它的数值大于1。
抛物线没有离心率的概念，因为抛物线是一个具有对称性的几何图形。
二、椭圆题型的解法在椭圆的题型中，很多问题都涉及到了离心率，因此我们需要通过不同的方法求解。
(1)已知椭圆的方程，求椭圆长轴和短轴长度以及离心率。
一般来说，已知椭圆的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，其中a和b分别表示长轴和短轴长度，离心率为$e=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}$。
根据椭圆的定义式，可以知道：$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$其中a,b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
可以通过已知的a和b来确定椭圆的方程。
(3)已知椭圆上两点的坐标，求离心率。
根据椭圆的性质，椭圆上任意两点到椭圆中心的距离之和是定值。
因此，可以利用椭圆焦点的性质求解该问题：设点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$在椭圆上，焦点为点$F_1$和$F_2$，椭圆中心为点$O$，则有：$AF_1+BF_1=AF_2+BF_2=2a$ $(a>$离心率为$e=\dfrac{c}{a}$，其中c表示椭圆两个焦点之间的距离。
其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$为双曲线的焦点之间的距离。
(1)了解椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和方程式，能够熟练计算离心率。
高中解析几何-离心率求解
P使得
|
PF1
|
|
PF2
|
3b,|
PF1
|
|
PF2
|
9 4
ab,
求该双曲线的离心率。
第一步：由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a ，因为 PF1 PF2 3b ,可得
PF1
PF2
9 b2 4
- a2 ，又因为
PF1
PF2
9 4
ab
，解得
b 1 (舍去)或 b 4
a3
a3
;
第二步： 根据离心率公式可得：e c
2
A
o
Po
x
B
PART 2
定义法
解题步骤： 第一步 根据圆锥曲线定义以及题目条件求出a，c的值、 范围或者表达式； 第二步 代入离心率公式，从而求出离心率e。
例三：已知两定点A(-2,0)和B(2,0)，动点P在直线y=x+3上移动，椭圆C以A、B为焦 点且经过点P，求椭圆的离心率的最大值。
第一步：由题意可得c=2，根据椭圆的定义|PA|+|PB|=2a,
a
1。
PART 3
方程法
解题步骤： 第一步 设出相关未知量； 第二步 根据题目条件列出相关方程，联立解出未知量； 第三步 化简求解得出离心率e。
例为五其：右焦如点图，，直在线平面A直1B角2 与坐直标线系B中1F，相A1交, A2,于B1,点B2 T为，椭线圆段OaxT22 与 by椭22 圆1(a的 交b 点0)的M四恰个为顶线点段，OTF
y
作A关于直线对称点 A' (-3,1) ,再求出|PA|+|PB|最小值为
P
A'
|A'B|= 26 ，所以 a 26 ；
离心率问题的解题策略及方法
离心率问题的解题策略及方法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN离心率问题的解决策略及方法河北省正定县第一中学-----赵志军离心率是圆锥曲线的一个重要知识点，同时也是也是圆锥曲线的重要几何性质，是刻画椭圆扁平程度，双曲线形状扁狭还是开阔的一种量度，纵观近几年高考，求离心率的值或范围的问题在高考中屡见不鲜,其表现是：题型多样，解法灵活. 本文介绍一些常用的方法，供同行参考。
一．定义法利用圆锥曲线的统一定义，知离心率e 是动点到焦点的距离与到其准线的距离之比。
故可以把一二定义结合灵活解决一些问题。
例1. 设21,F F 是离心率为e 的双曲线12222=-by a x 的左右焦点，若在双曲线的左支上存在点P ，使1PF 是2PF 与点P 到左准线的距离d 的 等比中项，求双曲线的离心率e 的取值范围解析：1PF 是2PF 与d 的等比中项等价于e dPF PF PF ==112,ed PF =∴1(1),d e PF 22=(2),又因为1PF-2PF =2a,∴a ed d e 22=-,∴e e a d -=22⇒e e a -22≥ca a 2-(左支上的点到准线的最小距离为ca a 2-）0122≤--∴e e （e >1),解得1<e 12+≤此题也可这样来解：由双曲线的第二定义，知e PF PF PF ==121d，即12PF e PF = (1)又由双曲线的第一定义，得a 212=-PF PF (2) ,由（1）（2）解得，1a21-=e PF 122-=e ae PF . 在21F PF ∆中，,2121F F PF PF >+当21,,F P F三点共线时，2121F F PF PF =+.∴c e ae e a 21212≥-+- （3）)3(,∴=ac e 式可化为0122≤--∴e e 解得2121+≤≤-e ，1>e ，∴，211+≤<e 即双曲线的离心率e 的取值范围是.211+≤<e点评 ：本题的两种解法巧妙的将双曲线的第一与第二定义结合起来，通过构造离心率e 的不等式，从而顺利实现求解目的.二．公式法圆锥曲线离心率的公式为ac e =例2. 若双曲线的渐近线方程为y=x 3±,则它的离心率可能是 A.3 B. 2 C.332或2 D. 3或332 解析：由题意可知双曲线的焦点不确定，所以应有3=a b （1），或31=a b （2），由（1）得12+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a b a c =2，由（2）的12+⎪⎭⎫⎝⎛=a b a c =332，故选C例3，已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若∆2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率是 A.32 B.33 C.22 D.23解析由椭圆的定义可知,a AF AF 221=+, 2ABF ∆是正三角形，∴122AF AF =,∴a AF 342=,从而cos 030=342a c ,∴33=e ,选B 点评：以上两例将求离心率问题转化为求关系的问题，其中例2运用了整体思想将a b 看做一个整体,利用离心率e 与ab的关系.三．函数法例4. 若直线l 过双曲线12222=-by a x （a>0,b>0)的右焦点，斜率k=2且它与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率的取值范围是 A. 2>e B.31<<e C.51<<e D. 5>e 解：双曲线的一条渐近线x a b y =要满足题意须2>ab，由51222222>+=+=ab a b a e所以5>e ，选D例5.（2004年全国I .21）设双曲线C:12222=-by a x （a>0)与直线l: x+y=1相交于两个不同的点A,B,求双曲线C 的离心率e 的取值范围。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
解几离心率求解的基本方法
解几求解离心率的基本方法设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a ba 2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sincoscosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。
掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。
以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。
在解题过程中，可以利用该定义进行计算。
2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。
4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。
5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。
比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。
1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。
常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。
2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。
4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。
五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。
3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。
4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10B. 5C.310 D. 25分析：这里的21,1a cb ==+2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10a ce ==，从而选A 。
二、变用公式221)c b e a a ==+双曲线，221-()c b e a a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34 C. 45D.23分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则2451()33c e a ==+=，从而选A 。
1.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x=+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A.3B.2C.5D.6 解：由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =，代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b，即224b a =221145b e a∴=+=+=2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =uur uu u r ，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10 答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a abB C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭u u u r u u u r ，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r因此 ，即224b a =，221145b e a ∴=+=+=3.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o，则椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．12D ．13【解析】因为2(,)b Pc a-±，再由1260F PF∠=o有232,b a a=即2223ba =从而可得22231133b e a ∴=-=-=，故选B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
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离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解2012年5月6日星期日决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ，故选D变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ，因此选C 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ，故选A二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去），故选D变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.332 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==a b a b a a c e ，∴42=e ，∴2=e ，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：12121222222221-=+=+=+===cc cPF PF c a c a c e四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过1F 且垂直于x 轴的弦的长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是.解：如图所示，AB 是过1F 且垂直于x 轴的弦，∵1l AD ⊥于D ，∴AD 为1F 到准线1l 的距离，根据椭圆的第二定义，21211===AD AB AD AF e 变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A2 B22 C 21 D 42解：221222===ADAF e 五、构建关于e 的不等式，求e 的取值围 例5：设⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值围为（ ） A. 21 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2,22 D. ()+∞,2 另：由1tan cot 22=-θθy x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，得θtan 2=a ，θcot 2=b , ∴θθcot tan 222+=+=b a c ,∴θθθθ2222cot 1tan cot tan +=+==ac e∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，∴1cot 2>θ,∴22>e ，∴2>e ，故选D例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值围。
解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记()0,c A -，⎪⎭⎫⎝⎛h c C ,2，()00,y x E ，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得()()λλλλ+-=+⋅+-=122120c cc x ，λλ+=10h y ，设双曲线的方程为12222=-b y a x ，则离心率ace =，由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得142222=-b h a c ① 将点E 的坐标代入双曲线方程得11124222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h a c ② 再将ace =①、②得14222=-b h e ，∴14222-=e b h ③ 1112422222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλb h e ④ 将③式代入④式，整理得()λλ214442+=-e ，∴2312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得： 43231322≤+-≤e ，解得107≤≤e ，所以双曲线的离心率的取值围为[]10,7配套练习1. 设双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A.1241222=-y x B.1964822=-y x C. 132322=-y x D. 16322=-y x2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．31B ．33 C ．21 D ．23 3．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（ ）A35 B 34 C 45D 23 4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A2 B22 C 21D 42 5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（ ） A22B 2C 2D 226．如图，1F 和2F 分别是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AB F 2∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B5 C25D13+7. 设1F 、2F 分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为c 3（c 为半焦距）的点，且P F F F 221=，则椭圆的离心率是（ ）A213- B 21C 215-D 228．设1F 、2F 分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使02190=∠AF F ，且213AF AF =，则双曲线离心率为（ ）A25B210 C215 D59．已知双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是（ ）A []2,1B ()2,1C [)+∞,2D ()+∞,210．椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的焦点为1F 、2F ，两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率的取值围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22答案：1.由c a21a c =可得 3.a b c ==故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ 2a b =，椭圆的离心率c e a ==D 。
3.双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得45,33b c e a a ====可得,故选A4.不妨设椭圆方程为22221x y a b+=（a >b >0），则有2221b a c a c =-=，据此求出e ＝225.不妨设双曲线方程为22221x y a b -=（a >0，b >0），则有22212b a c a c =-=，据此解得e ＝2，选C 6.解析：如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222φφb a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，连接AF 1，∠AF 2F 1=30°，|AF 1|=c ，|AF 2|=3c ，∴ 21)a c =，双曲线的离心率为31+，选D 。