两类正态分布模式的贝叶斯判别
【模式识别与机器学习】——2.1贝叶斯判别法
【模式识别与机器学习】——2.1贝叶斯判别法⼀.作为统计判别问题的模式分类 模式识别的⽬的就是要确定某⼀个给定的模式样本属于哪⼀类。
可以通过对被识别对象的多次观察和测量，构成特征向量，并将其作为某⼀个判决规则的输⼊，按此规则来对样本进⾏分类。
在获取模式的观测值时，有些事物具有确定的因果关系，即在⼀定的条件下，它必然会发⽣或必然不发⽣。
但在现实世界中，由许多客观现象的发⽣，就每⼀次观察和测量来说，即使在基本条件保持不变的情况下也具有不确定性。
只有在⼤量重复的观察下，其结果才能呈现出某种规律性，即对它们观察到的特征具有统计特性。
特征值不再是⼀个确定的向量，⽽是⼀个随机向量。
此时，只能利⽤模式集的统计特性来分类，以使分类器发⽣错误的概率最⼩。
⼆.贝叶斯判别原则2.1 两类模式集的分类⽬的：要确定x是属于ω1类还是ω2类，要看x是来⾃于ω1类的概率⼤还是来⾃ω2类的概率⼤。
2.2 贝叶斯判别规则对于⾃然属性是属于ωi类的模式x来说，它来⾃ωi类的概率应为P(ωi |x)根据概率判别规则，有：由贝叶斯定理，后验概率P(ωi | x)可由类别ωi的先验概率P(ωi)和x的条件概率密度p(x | ωi)来计算，即：这⾥p(x | ωi)也称为似然函数。
将该式代⼊上述判别式，有：或其中，l12称为似然⽐，P(ω2)/P(ω1)=θ21称为似然⽐的判决阈值，此判别称为贝叶斯判别。
2.3 贝叶斯判别⽰例问题描述： 对某⼀地震⾼发区进⾏统计，地震以ω1类表⽰，正常以ω2类表⽰统计的时间区间内，每周发⽣地震的概率为20%，即P(ω1)=0.2，当然P(ω2)=1-0.2=0.8 在任意⼀周，要判断该地区是否会有地震发⽣。
显然，因为P(ω2)> P(ω1)，只能说是正常的可能性⼤。
如要进⾏判断，只能其它观察现象来实现。
通常地震与⽣物异常反应之间有⼀定的联系。
若⽤⽣物是否有异常反应这⼀观察现象来对地震进⾏预测，⽣物是否异常这⼀结果以模式x代表，这⾥x为⼀维特征，且只有x=“异常”和x=“正常”两种结果。
ch2_2.3.2正态分布下的Bayes判据的判别函数和决策面(线性、二次分类器)解读
T
2
1
x 2 ln
1 2
1 0 x1 x2 0 4 x x1 x2 2 2
2019/2/25
四川大学、电气信息学院、余勤
2
• 二次或线性分类器的引出：
在一定的分布和条件下（如正态、等协方差 矩阵），贝叶斯决策可以导致二次或线性分 类器。
虽然贝叶斯决策（似然比检验）在错误率或 风险上是最优的，但必须知道类条件密度。 (在大多数应用场合，类条件密度函数是从有限的样本中估
• 上式是二次分类器。计算x到各类均值 i 的
1 Mahalanobis距离，然后和阈值 T ln 2 ln 2 (x ) (x )
T i 1 i i
相比较，决定 x 属于第一类或第二类。
2019/2/25
四川大学、电气信息学院、余勤
T 1 1 T
1
1
P (1 )
2
c 1 1 2 2
2019/2/25
1 2 ln 2
四川大学、电气信息学院、余勤
8
• 决策边界 h( x ) T 是二次曲面（超曲面）： 超椭球面、超双曲面、超抛物面、超平面等， 或它们组合的形式。
• （为了确定二次曲面的形状，首先要消掉x的各分
2.3.2 正态分布下的Bayes判据的 判别函数和决策面
(二次和线性分类器)
2019/2/25
四川大学、电气信息学院、余勤
1
• 前面讲的提供了设计各种特定形式分类器的 基础。 • 这一小节讲述二次和线性分类器。所以叫作 二次或线性分类器是因为分类（决策）面方 程的数学形式是二次或线性的。 • 这样的分类器又叫参数分类器，因为它们由 一些参数所规定（如分布的均值和方差）。
贝叶斯判别界面方程式
贝叶斯判别界面方程式
贝叶斯判别界面方程式是：y = argmax P(Ck|X) = argmax
P(X|Ck)P(Ck)。
其中，y表示判别界面输出的类别，Ck表示第k个类别，X表示样本，P(Ck|X)表示样本属于第k个类别的后验概率，P(X|Ck)表示样本属于第k个类别的条件概率，P(Ck)表示第k个类别的先验概率。
对于两类问题且模式都是正态分布的特殊情况，当C1≠C2时，两类模式的正态分布为：p(x|ω1)表示为N(m1, C1)，p(x|ω2)表示为N(m2, C2)，ω1和ω2两类的判别函数对应为：m1和m2是两种模式的均值向量mi = Ei{x}Ci是协方差矩阵。
当x是二维模式时，判别界面为二次曲线，如椭圆，圆，抛物线或双曲线等。
当C1=C2=C时的情况判别界面为x的线性函数，为一超平面。
当x是二维时，判别界面为一直线。
请注意，这里的贝叶斯判别界面方程式可能根据具体问题的不同而有所不同。
如果您需要更具体的指导，建议您咨询专业人士获取更详细的信息。
对数正态分布贝叶斯更新方法比较研究
对数正态分布贝叶斯更新方法比较研究近年来，对数正态分布在很多领域中被广泛地应用和研究，例如金融学、能源经济学、健康与医疗学等等。
由于对数正态分布有很好的数学性质和适用性，所以它被广泛地应用于各类实际问题中。
贝叶斯统计是一种常用的概率方法，它通过使用先验分布的信息来更新后验分布的信息，从而得出基于新观测数据的最终结果。
本文中，我们主要探讨对数正态分布贝叶斯更新方法的研究现状和比较。
研究现状对数正态分布是指随机变量的对数服从正态分布。
它的概率密度函数为：$$f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{(ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2})$$其中，$\mu$和$\sigma$分别是对数正态分布的均值和标准差。
1.基于共轭先验分布的贝叶斯更新方法先验分布是一个在贝叶斯统计中非常重要的概念，因为它可以提供关于参数的信息，从而可以更准确地推断从数据中获得参数的概率。
对数正态分布的常用先验分布是正态分布。
由于正态分布是对数正态分布的共轭先验分布，所以可以用其来计算对数正态分布的后验分布。
具体地，假设我们已经观测到$n$个独立且同分布的随机变量$x_1, x_2, ..., x_n$，它们均满足对数正态分布。
假设我们已经得到了关于对数正态分布均值参数$\mu$和方差参数$\sigma^2$的先验分布$p(\mu, \sigma^2)$，那么它们的后验分布$p(\mu, \sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n)$可以表示为：其中，$f(x_i; \mu, \sigma^2)$是对数正态分布的概率密度函数。
由于$p(\mu,\sigma^2|x_1, x_2, ..., x_n)$也是正态分布，所以可以用正态分布的参数来表示：其中，$N(\mu_n, \tau_n^2)$表示均值为$\mu_n$，方差为$\tau_n^2$的正态分布后验分布，$IG(a_n, b_n)$表示参数为$a_n$和$b_n$的逆伽马分布后验分布。
正态分布中的Bayes决策
贝叶斯决策的优势
01
贝叶斯决策方法能够考虑不确定性和主观性，使得决策更加科 学和合理。
先验概率
在Bayes决策中，先验概率是指在做出决策之前，对各个可能结果发生概率的 估计。在正态分布中，先验概率可以通过已知的数据和概率密度函数计算得出。
计算方法
根据正态分布的性质，先验概率可以通过以下公式计算：P(μ) = 1 / (σ√(2π))， 其中μ是正态分布的均值，σ是标准差，π是圆周率。
理论依据坚实
Bayes决策理论基于贝叶斯定理和最大期望效用原则，通 过计算后验概率和期望效用来做出最优决策。在正态分布 中，这一理论能够为决策者提供坚实的理论依据，帮助其 做出更加科学和准确的决策。
灵活性强
Bayes决策理论可以根据不同的先验信息和数据分布，灵 活地调整模型参数和决策规则，从而更好地适应各种复杂 情况。在正态分布中，这一优点能够使得Bayes决策更加 灵活和实用。
利用正态分布计算最优决策
最优决策
在Bayes决策中，最优决策是指根据先验概率和后验概率做出的最优选择。在正态分布中，最优决策可以通过最 大化后验概率或最小化损失函数得出。
计算方法
根据最大后验概率准则，最优决策可以通过以下步骤得出：首先计算各个可能结果的损失函数值，然后选择损失 函数值最小的那个结果作为最优决策。如果需要更严谨的决策准则，可以考虑最小化期望损失函数或最大化期望 效用函数。
在贝叶斯决策中，决策者通常会根据 历史数据和经验对事件发生的概率进 行先验估计，并在获得新的信息后， 利用贝叶斯定理更新这些估计。
第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总
第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法课前思考1、机器自动识别分类，能不能避免错分类，如汉字识别能不能做到百分之百正确？怎样才能减少错误？2、错分类往往难以避免，因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失，譬如对病理切片进行分析，有可能将正确切片误判为癌症切片，反过来也可能将癌症病人误判为正常人，这两种错误造成的损失一样吗？看来后一种错误更可怕，那么有没有可能对后一种错误严格控制？3、概率论中讲的先验概率，后验概率与概率密度函数等概念还记得吗？什么是贝叶斯公式？4、什么叫正态分布？什么叫期望值？什么叫方差？为什么说正态分布是最重要的分布之一？学习目标这一章是模式识别的重要理论基础，它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源，并说明与哪些量有关系。
在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。
有时不同的错误分类造成的损失会不相同，因此如果错分类不可避免，那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。
对于这两方面的概念要求理解透彻。
这一章会将分类与计算某种函数联系起来，并在此基础上定义了一些术语，如判别函数、决策面(分界面)，决策域等，要正确掌握其含义。
这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数，并使所设计的分类器达到准则函数的极值，即最优解，要理解这一最基本的做法。
这一章会开始涉及一些具体的计算，公式推导、证明等，应通过学习提高这方面的理解能力，并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。
本章要点1、机器自动识别出现错分类的条件，错分类的可能性如何计算，如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论2、如何减小危害大的错分类情况——基于最小错误风险的Bayes决策理论3、模式识别的基本计算框架——制定准则函数，实现准则函数极值化的分类器设计方法4、正态分布条件下的分类器设计5、判别函数、决策面、决策方程等术语的概念6、Bayes决策理论的理论意义与在实践中所遇到的困难知识点§2.1 引言在前一章中已提到，模式识别是一种分类问题，即根据识别对象所呈现的观察值，将其分到某个类别中去。
正态分布中的Bayes决策
下面以最小错误判决规则为例来研究Bayes分 类方法在正态分布中的应用。
由最小错误率判决规则抽象出来的判决函数如下：
g i ( x ) ( x |w i ) P ( w i )i 1 , 2 , , c
如果类概率密度是正态分布的，
由 于 gi(x)w iTxwi0为线性函数，
其决策面由线性方程 gi(x)gj(x)0构 成
决策面是一个超平面。
在 i 2 I 的 特 殊 情 况 下 ， 决 策 面 方 程 可 改 写 成
wT(xx0)0
wi j x01 2(ij)i 2 j 2lnP P ((w wij))(ij)
满足 wT(xx0)0 的x的轨迹是wi 与x )d x x i (x i)dix
其中xi为边缘分布，
(x i) (x ) d x 1 d x 2 d x i 1 d x i 1 d x d
i2jE[x(ii)x(jj)]
(x ii)(x jj) (x i,x j)d x id x j
协方差矩阵：
2 11
2 12
2 12
2 22
2 1d
2 2d
是一个对称矩阵，只 1考2d 虑S22为d
2 dd
正定矩阵的情况，也就是:
|S|所有的子式都大于0
同单变量正态分布一样，多元 正态分布x可以由和S完全确定， 常记为N(,S)。
(2) 多元正态分布的性质
参数μ和Σ完全决定分布 等概率密度轨迹为超椭球面 不相关性等价于独立性 边缘分布和条件分布的正态性 线性变换的正态性 线性组合的正态性
⑤.线性变换的正态性 对于多元随机向量的线性变换，仍为多元正态
对数正态分布贝叶斯更新方法比较研究
对数正态分布贝叶斯更新方法比较研究引言贝叶斯更新方法是一种统计推断方法，通过不断地更新先验概率和观测数据，得到后验概率分布。
在实际应用中，经常会遇到对数正态分布的贝叶斯更新问题，即给定对数正态分布的先验概率分布和观测数据，需要更新后验概率分布。
对数正态分布在生物学、金融学、环境科学等领域有着广泛的应用，因此对其贝叶斯更新方法的比较研究具有重要的理论和实际意义。
本文将从对数正态分布的基本特点和贝叶斯更新方法的原理入手，对不同的对数正态分布贝叶斯更新方法进行比较研究，旨在为相关领域的研究者和应用者提供参考和借鉴。
一、对数正态分布的基本特点对数正态分布是一种连续概率分布，其密度函数为：f(x|μ,σ)=1/xσ2πe−(lnx−μ)22σ2,x>0μ为对数正态分布的均值参数，σ为对数正态分布的标准差参数。
对数正态分布具有以下几个基本特点：1. 数据取值范围广泛：对数正态分布的取值范围为(0,∞)，适用于描述不同领域中的非负数据，如生物学中的生长率数据、金融学中的股票收益率数据等。
2. 非对称性：对数正态分布是一个非对称分布，其密度函数在均值μ处取得最大值，随着σ的增大或减小，分布形状会发生相应的改变。
3. 随机变量的对数服从正态分布：若随机变量X服从对数正态分布，即ln(X)∼N(μ,σ2)，则X服从对数正态分布。
对数正态分布的这些特点使得其在实际问题中有着广泛的应用价值。
下面将介绍对数正态分布的贝叶斯更新方法。
对数正态分布的贝叶斯更新方法是通过贝叶斯定理来更新先验概率分布，得到后验概率分布。
假设先验概率分布为对数正态分布f(θ|μ0,σ02)，观测数据为x，后验概率分布为f(θ|x,μ0,σ02)。
θ表示对数正态分布的参数，μ0和σ02分别为先验概率分布的均值和方差。
根据贝叶斯定理，后验概率分布可以表示为：f(θ|x,μ0,σ02)∝f(x|θ)f(θ|μ0,σ02)f(x|θ)为观测数据的似然函数，f(θ|μ0,σ02)为先验概率分布。
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两类正态分布模式的贝叶斯判别硕633 3106036072 赵杜娟一.实验目的1．理解贝叶斯判别原则，编写两类正态分布模式的贝叶斯分类程序； 2．了解正态分布模式的贝叶斯分类判别函数； 3．通过实验，统计贝叶斯判别的正确率。
二.实验原理（1）贝叶斯判别原则对于两类模式集的分类，就是要确定x 是属于1ω类还是2ω类，这要看x 来自1ω类的概率大还是来自2ω类的概率大，根据概率的判别规则，可以得到： 如果)|()|(21x P x P ωω> 则 1ω∈x如果)|()|(21x P x P ωω< 则 2ω∈x （1.1） 利用贝叶斯定理，可得 )()()|()|(x p P x p x P i i i ωωω=式中，)|(i x p ω亦称似然函数。
把该式代入（1.1）式，判别规则可表示为： )()|()()|(2211ωωωωP x p P x p > 则 1ω∈x )()|()()|(2211ωωωωP x p P x p < 则 2ω∈x 或写成： )()()|()|()(122112ωωωωP P x p x p x l >=则 1ω∈x )()()|()|()(122112ωωωωP P x p x p x l <=则 2ω∈x （1.2） 这里，12l 称为似然比，2112)()(θωω=P P 称为似然比的判决阈值。
该式称为贝叶斯判别。
（2）正态分布模式的贝叶斯分类器判别原理具有M 种模式类别的多变量正态分布的概率密度函数为：)]()(21exp[)2(1)|(1212i i T i in i m x C m x C x P ---=-πω 2,1=i （1.3）式中，x 是n 维列向量； i m 是n 维均值向量； i C 是n n ⨯协方差矩阵；i C 为矩阵i C 的行列式。
且有 {}i i m E x =； ()(){}Ti i i i m x m x E C --=；{}iE x 表示对类别属于i ω的模式作数学期望运算。
可见，均值向量i m 由n 个分量组成，协方差矩阵i C 由于其对称性故其独立元素只有2)1(+n n 个，所以多元正态密度函数完全由2)1(++n n n 个独立元素所确定。
取自一个正态总体的样本模式的分布是聚集于一个集群之内，其中心决定于均值向量，而其分布形状决定于其协方差矩阵，分布的等密度点的轨迹为超椭圆，椭圆的主轴与协方差矩阵的本征向量的方向一致，主轴的长度与相应的协方差矩阵的本征值成正比。
类别的判别函数可表示为：)()|()(i i i P x P x d ωω= 对于正态密度函数，可对判别函数取自然对数，即：)(ln )]|(ln[)(i i i P x P x d ωω+=将（1.3）代入上式，简化后可以得到：{})()(21ln 21)(ln )(1i i T i i i i m x C m x C P x d ----=-ω这是正态分布模式的贝叶斯判别函数。
显然，上式表明)(x d i 是超二次曲面，所以对于两类正态分布模式的贝叶斯分类器，两个模式类别之间用一个二次判别界面分开，就可以求得最优的分类效果。
对于两类问题，判别界面方程为：()()120d x d x -= 即：)()|(11ωωP x P 0)()|(22=-ωωP x P判别条件为： 如果0)()(21>-x d x d ， 则1ω∈x如果0)()(21≤-x d x d ， 则2ω∈x应指出，贝叶斯分类规则是基于统计的概念，因此要有大量的模式样本，才能获得最优的结果。
三实验内容及结果分析1.根据实验要求，在本实验中将三组分别服从不同参数的正态分布数据两两进行分类，利用贝叶斯原理首先设定其先验概率，并从每组数据中随机抽取一定的训练样本数来进行参数估计，从而得到三组数据各自的条件概率。
2.根据条件概率，利用贝叶斯判别原则进行分类实验，得到结果。
3.实验结果分析分别对x1，x2和x3两两进行实验，每次选取不同的先验概率和不同的训练样本数，进行训练，且训练样本是随机选取的，即在每次相同的训练样本个数的情况下所抽取的样本是不一样的。
然后按照训练后的结果得到的每组的条件概率，对全部数据进行分类。
各自在选取相同训练样本个数的条件下进行50次分类，然后求出50次分类的平均正确率，可得下表：分析表格，可以得到：x1和x2之间的分类，无论先验概率是多少，在选取的样本数m=5时，分类的正确率都比较低，m＝15时，正确率接近100％，样本数再大，正确率就会达到100％。
这说明x1和x2之间的分类，在训练样本数较小时，分类效果较差；在样本数选取较大时，分类效果比较理想。
x2和x3之间的分类，在训练样本数较小时，分类正确率很低，仅有70％左右，随着训练样本数的增多，正确率增大，直到选取45个训练样本时正确率大于95％，但达不到100％。
这说明x2和x3这两组数据很接近，无论先验概率选取多少，训练样本数是多少，分类效果都不太理想。
x1和x3之间的分类，无论先验概率选取多少，在训练样本数m＝5时，分类正确率较小，当训练样本数达到15时，分类正确率已经达到了100％。
这说明x1和x3之间的分类相对来说比较容易达到，只要选取的训练样本数较大，分类效果都比较理想。
4.实验中的问题（1）.为了得到随机抽取的训练样本，采用randsperm函数，先产生1～50内随机排序的数字，然后取其前m行（m为训练样本数），就可以得到随机的训练样本。
（2）.在随机选取训练样本时，当所选训练样本数很少时（比如m＝5），所选样本的协方差矩阵的行列式很可能为0，这样的话就得不到条件概率密度函数，也就无法进行分类判断了。
解决的方法是：给协方差矩阵加上一个对角线上元素值很小（0.000001）的对角阵，然后再对所得结果矩阵求行列式，然后再求概率密度函数进行分类判断。
四．实验程序部分clear all;close all;clc;load('data.mat'); %%读入实验数据P1=input('please input P1:'); %输入先验概率P2=1-P1;s1=input('s1='); %选择实验模式类s2=input('s2=');m=input('训练样本数m='); %输入训练样本数T1=zeros(m,4);T2=zeros(m,4);T3=zeros(m,4);r=zeros(1,50);p=1;while p<=50 %进行50次分类，以便进行统计分类的正确性%随机抽取m个训练样本index=randperm(50);for i=1:1:m %得到随机的训练样本T1(i,:)=k1(index(i),:);T2(i,:)=k2(index(i),:);T3(i,:)=k3(index(i),:);end%由训练样本计算均值和协方差me1=mean(T1);me2=mean(T2);me3=mean(T3);co1=cov(T1);co2=cov(T2);co3=cov(T3);%判断是对哪两类模式要进行分类if (isequal(k1,s1)==1&&isequal(k2,s2)==1)m1=me1;c1=co1;m2=me2;c2=co2;elseif (isequal(k2,s1)==1&&isequal(k1,s2)==1)m1=me2;c1=co2;m2=me1;c2=co1;elseif (isequal(k2,s1)==1&&isequal(k3,s2)==1)m1=me2;m2=me3;c1=co2;c2=co3;elseif (isequal(k3,s1)==1&&isequal(k2,s2)==1)m1=me3;m2=me2;c1=co3;c2=co2;elseif (isequal(k3,s1)==1&&isequal(k1,s2)==1)m1=me3;m2=me1;c1=co3;c2=co1;elseif (isequal(k1,s1)==1&&isequal(k3,s2)==1)m1=me1;m2=me3;c1=co1;c2=co3;end%两类的正态分布模式的贝叶斯判别if det(c1)==0||det(c2)==0 %当协方差矩阵行列式为0时给它加一个极小值，再进行分类l=size(c1);I=eye(l(1),l(1));I=I*0.000001;c1=I+c1;c2=I+c2;endn=1;t1=0;while n<=100if rem(n,2)==1 %奇数次输入s1x=s1((n+1)/2,:);d1=log(P1)-0.5*log(det(c1))-0.5*(x-m1)*(inv(c1))*(x-m1)';d2=log(P2)-0.5*log(det(c2))-0.5*(x-m2)*(inv(c2))*(x-m2)';% Pw1=1/(2*pi)^2/(det(c1))*exp(-0.5*(x-m1)*(inv(c1))*(x-m1)')*P1;% Pw2=1/(2*pi)^2/(det(c2))*exp(-0.5*(x-m2)*(inv(c2))*(x-m2)')*P2;n=n+1;% if Pw1>Pw2if d1>d2 %判断条件 d1>d2判为w1类t1=t1+1; %t1是判断正确次数，若判断正确，则加1endendif rem(n,2)==0 %偶数次输入s2x=s2(n/2,:);d1=log(P1)-0.5*log(det(c1))-0.5*(x-m1)*(inv(c1))*(x-m1)';d2=log(P2)-0.5*log(det(c2))-0.5*(x-m2)*(inv(c2))*(x-m2)';% Pw1=1/(2*pi)^2/(det(c1))*exp(-0.5*(x-m1)*(inv(c1))*(x-m1)')*P1; % Pw2=1/(2*pi)^2/(det(c2))*exp(-0.5*(x-m2)*(inv(c2))*(x-m2)')*P2; n=n+1;% if Pw1<Pw2if d1<d2 %判断条件 d1<d2判为w2类t1=t1+1;endendendr(p)=t1; %r存放每进行一个循环的判断中判断正确的次数p=p+1;endra=sum(r)/50/100 %计算50次分类后的正确率。