最少拍及无波纹最少拍系统设计原则+实例
13最少拍无差系统设计
1
2
Tz ( 2 z z ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
2
Tz 1 ( 2 z 1 z 2 ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
C ( z ) 2Tz 3Tz 4Tz
Φ (z)
R(z) r(t) + e*(t) u*(t) G(z) C(z) c(t)
D(z)
E(z) U(z)
H(s)
GC(s)
D( z )G( z ) C(z) ( z ) 系统的误差传递函数Фe(z) R( z ) 1 D( z )G( z )
为：
E ( z ) R( z ) C ( z ) C(z) e (z) 1 1 ( z ) R( z ) R( z ) R( z )
1 z 1
0
e( ) lim 1 z
z 1
1
1 ( z )R( z ) 0
典型输入Z变换的一般形式为：
A( z ) R( z ) (1 z 1 )q
A( z ) 1 ( z ) 0 e( ) lim1 z 1 q z 1 (1 z )
制时，很难满足要求。 此时，往往从被控对象的特性出发，
直接根据采样系统理论设计控制器，
这种方法称为直接设计法。
直接设计法
假定对象本身是离散化模型或者用 离散化模型表示的连续对象，以采 样理论为基础，以Z变换为工具，在 Z域中直接设计出数字调节器D(z)。
数学工具：差分方程、Z变换
由于D(z)是依照稳定性、准确性和快
E( z) e (z) 1 ( z ) R( z )
最少拍无纹波控制器设计
最少拍无纹波控制器设计下面看看最少拍无纹波控制器的设计方法。
(1) 最少拍无纹波控制器实现的必要条件最少拍无纹波控制能够实现的必要条件是被控对象Gp(s)中含有与输入信号相对应的积分环节数。
从例中还可以看出，系统进入稳态后，若数字控制器输出u(t)仍然有波动，则系统输出就会有纹波。
因此要求u(t)在稳态时，或者为0，或者为常值。
无纹波系统的闭环脉冲传递函数Φ(z)必须选择为：(1)此式与一般系统的有纹波最少拍系统的Φ(z)选择式形式上相同，只是在无纹波系统中，Φ(z)包含G(z)的所有w个零点。
式中m为广义对象G(z)的瞬变滞后；q为典型输入函数R(z)分母的(1-z-1)因子的阶次；b1,b2,…,bw为G(z)所有的w个零点；v 为G(z)在z平面单位圆外的极点数(z=1的极点不计在内)。
待定系数c0,c1,…,cq+v-1，由下列方程确定(2)(2) 设计举例〖例1〗试针对等速输入函数设计快速无纹波系统，画出数字控制器和系统的输出序列波形图。
解：被控对象的传递函数Gp(s)=K/［s(1+Tms)］，其中有一个积分环节，说明它有能力平滑地产生等速输出响应，满足无纹波的必要条件。
将G(s)展开得代入K=10s-1，T=Tm=0.025s,得零阶保持器和被控对象组成的广义对象的脉冲传递函数为可以看出, G(z)的零点为-0.718(单位圆内)、极点为1(单位圆上)、0.368(单位圆内)，故u=1,v=0(z=1的极点除外),m=1,q=2。
与又纹波系统相同，统计v时，z=1的极点不包括在内.根据快速无纹波系统对闭环脉冲传递函数Φ(z)的要求[式(6.17)]，得到闭环脉冲传递函数为根据式(1)，求得上式中两个待定系数分别为。
于是，快速无纹波系统的闭环脉冲传递函数为最后，求得数字控制器的脉冲传递函数为闭环系统的输出序列为数字控制器的输出序列为无纹波系统数字控制器和系统的输出波形如图1所示。
图1 输出序列波形图有纹波系统调整时间为2T，无纹波系统调整时间为3T，无纹波系统调整时间增加了1T；有纹波系统输出经2T后在采样点间有纹波，因经2T后控制器输出u(t)仍有脉动，而无纹波系统经3T后，u(t)为恒值，系统输出在采样点间不存在纹波。
实验二 最少拍计算机控制系统的设计
实验二 最少拍计算机控制系统的设计预习报告一、实验目的：1．学习并掌握有纹波最少拍控制器的设计和Simulink 实现方法；2．研究最少拍控制系统对三种典型输入的适应性及输出采样点间的纹波；3．学习并掌握最少拍无纹波控制器的设计和Simulink 实现方法；4．研究输出采样点间的纹波消除方法以及最少拍无纹波控制系统对三种典型输入的适应性。
二、实验工具：MATLAB 软件（6.1 以上版本）。
三、实验内容：1．实验原理最少拍设计，是指系统在典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少拍（有限拍）使系统输出的系统稳态误差为零。
因此，最少拍控制系统也称最少拍无差系统或最少拍随动系统，它实质上是时间最优控制系统，系统的性能指标就是系统调节时间最短或尽可能短，即对闭环Z 传递函数要求快速性和准确性。
下面以一个具体实例介绍最少拍系统的设计和仿真。
考虑图1所示的采样数字控制系统，被控对象的脉冲传递函数为010G ()s(1)s s =+图1 最少拍采样数字控制系统设采样周期T=1s ，首先求取广义被控对象的脉冲传递函数：广义被控对象1112111111110()[]s(1)11(1)10[](1)110.36793.679(10.718)(1)(10.3679)Ts e G z Z s s z z z z z z z z z -----------=+=-⨯-+---+=-- 我们知道，最少拍系统是按照指定的输入形式设计的，输入形式不同，数字控制器也不同。
因此，对三种不同的输入信号分别进行考虑：① 单位阶跃信号：计算可得到最少拍数字控制器为1111()()1()0.2712(10.3679))()()(1())10.718e z z z z z z D z G z z z ----Φ=Φ=-Φ-==-Φ+检验误差序列：()(1())()1E z z R z =-Φ=由误差的变换函数得知，所设计的系统当k>1后，e （k ）=0就是说，一拍以后，系统输出等于输入，设计正确。
最少拍及无波纹最少拍系统设计原则+实例
一、在最少拍设计时,()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则:1)()e z Φ的分子中必须包含1(1)m z --因式(保证系统稳态误差为零)。
注意:1()(()1)m e Φz z F z -=-,式中:()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1z -的有限项多项式。
一般取12()1...F z az bz --=+++为有限项多项式。
2)以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少(保证瞬态过程在有限拍内结束,保证随动系统为最少拍系统)。
3)()c G z 应就是物理可实现的有理多项式,其零点数不能大于极点数(即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差)。
一般已知的()G z 这条都满足。
4)()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点(保证闭环系统稳定)。
5)()z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的零点(保证控制器稳定)。
6)()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节(保证控制器就是物理可实现的)。
注意:前3条一定需要,后三条不一定需要。
二.最少拍系统设计实例情况1:假定()G z 无延迟,且不含不稳定零点与不稳定极点(即不含单位圆上与单位圆外的零极点(1,1i i p z ==除外)),且()G z 的分母多项式最多比分子多项式高一次。
在上述条件下构造()Φz 与时,只需考虑设计原则中的前三条即可,故取1()(1)()m e Φz z F z -=-,()1F z =。
下面就再这样的假设条件下,讨论最少拍系统在不同典型输入作用下,数字控制器脉冲传递函数()c G z 的确定方法。
比如:单位阶跃输入:————————————最少拍设计开始--------——————————— 当()1()r t t =时,有[]11()1()1R z Z t z-==-,则取()1F z = 111()(1)()1()1()m e e z z F z z z z z---Φ=-=-Φ=-Φ= 所以,数字控制器脉冲传递函数为:11()()()()(1)()c e z z G z G z z z G z --Φ==Φ- ————————————最少拍设计到此结束————————— 注意:几拍？瞧误差脉冲序列与输出脉冲序列的Z 变换。
最少拍数字控制器的设计 (2)
摘要本次设计针对一阶惯性积分系统在单位速度信号输入作用下进行最少拍数字控制器的设计，验证了最少拍控制器的优点，并对最少拍算法进行理论分析，分别设计出最少拍有纹波和无纹波数字控制器，利用 MATLAB 仿真平台对设计的最少拍数字控制器进行系统仿真研究，并对有纹波和无纹波系统进行对比研究。
关键词最少拍控制；无纹波控制器；有纹波控制器；Matlab仿真目录摘要 (1)第一章最少拍有纹波控制器设计 (3)1.1设计原理 (3)1.2设计举例 (5)第二章最少拍无纹波控制器设计 (5)2.1 设计原理 (5)2.2 设计举例 (6)第三章基于Matlab的最少拍控制的实现 (7)3.1 输入单位阶跃信号 (7)3.2 输入单位速度信号 (8)3.3 输入单位加速度信号 (9)参考文献 (10)致谢 (11)离散控制系统最少拍控制最少拍系统控制设计是指系统在典型输入信号（如单位阶跃输入信号、单位速度输入信号、单位加速度输入信号等）作用下，经过最少拍（有限拍），使系统输出的稳态误差为零。
最少拍控制系统也称为最少拍无差系统、最少拍随动系统，实际上是时间最优控制系统，系统的性能指标就是系统的调节时间最短或者尽可能的短。
可以看出，这种系统对闭环脉冲传递函数的要求是快递性和准确性。
最少拍控制系统的设计与被控对象的零极点位置有很密切的关系。
第一章 最少拍有纹波控制器设计1.1设计原理由系统闭环脉冲传递函数可以看出，在Φ（z ）中，D(z)和G （z ）总是成对出现的。
只有当广义对象稳定[即G （z ）在z 平面单位圆上和单位圆外没有极点]且不包含纯滞后环节时，上述方法才是可行的，否则，不允许D （z ）与G （z ）发生零极点对消。
这是因为，简单地利用D （z ）的零点去对消G （z ）不稳定极点，虽从理论上来说可以得到一个稳定的闭环系统，但这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。
当系统参数产生飘逸，或者对象辨识有误差时，这种零极点对消就不可能准确实现，从而引起闭环系统不稳定。
最小拍控制系统
实验六 最小拍控制系统一、实验目的1．掌握最少拍有纹波系统和最少拍无纹波系统的计算机控制脉冲传函数D （Z ）的设计方法。
2．了解最少拍设计的饱和非线性条件及改进设计。
二、实验仪器与设备1．TDN —ACS 实验教学系统一台 2．PC 微机一台 3．电阻电容若干三、实验原理（一）最小拍有纹波系统1．原理见图6—1。
R 为输入，C 为输出，计算机对误差E 定时采样按D （Z ）计算输出控 制量U 。
图中K=5。
图6—1针对阶跃输入进行计算机控制算法D （Z ）设计。
2．D（Z）算法采样周期T=1S ，（Z ）为计算机输入，U （Z ）为输出，有：32133221101)()()(−−−++++++==Z P ZP Z P Z K Z K Z K K Z E Z U Z D式中K i 与P i 取值范围：–0.9999~+0.9999，计算机分别用相邻三个字节存储其BCD 码。
最低字节存符号，00H 为正，01H 为负。
中间字节存前2位小数，最高字节存末2位小数。
例有系数0.1234，则内存为：地址 内容2F00H 00H 2F01H 12H 2F02H 34H程序运行时转换为二进制模2定点小数。
注意，D （Z ）中缺项相当于系数为零， 应在相应内存三字节全存入00H 。
系数存储安排如表6—1表6—12F00H 2F0CH 2F01H 2F0DH 2F02H 2F0EH K 0P 12F03H 2F0FH 2F04H 2F10H 2F05H 2F11H K 1P 22F06H 2F12H 2F07H 2F13H 2F08H 2F14HK 2P 3 2F09H2F0AH 2F0BHK 3将D （Z ）式写成差分方程，则有：3322113322110−−−−−−−−−+++=K K K K K E K K U P U P U P E K E K E K E K U式中E K ~ E K-3，误差输入；U K ~ U K-3 ，计算机输出。
计算机控制课程设计(最小拍无波纹)
《计算机控制》课程设计报告题目: 最小拍控制设计姓名:学号:2014年7月4日《计算机控制》课程设计任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字：2014年 6 月 27 日一、题目分析根据题目要求，设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器的传递函数分别为)1(10)(+=s s s G p ，s e s G Ts h --=1)(，采样周期T=0.1s ，设计数字控制器)(z D ，要求系统在单位斜坡输入时实现最小拍无波纹控制。
二、设计最小拍控制器 1、控制系统总体介绍最小拍闭环控制系统包括给定值，输出值，D/A 转换环节，数字控制器，被控对象，零阶保持器等环节。
在数字随动控制系统中，要求系统的输出值尽快地跟踪给定值的变化，最少拍控制就是为满足这一要求的一种离散化设计方法。
所谓最少拍控制，就是要求闭环系统对于某种特定的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态，且闭环脉冲传递函数具有以下形式：N N z z z z ---+++=Φφφφ............)(2211式中N 是在可能情况下的最小正整数。
这一形式表明闭环系统的脉冲响应在N 个采样周期后变为0，从而意味着系统在N 拍之内达到稳态。
2、控制系统框图及闭环工作原理图1 控制系统框图最小拍双通道采样的闭环系统框图如图1所示，在该系统中对给定值r(t)进行D/A 转换采样，得到离散化的r(z),并且对输出值c(t)也进行D/A 转换，得到c(z)，然后计算有e(k ）=c(k)-r(z)。
D(z)为计算机控制系统的脉冲传递函数，U(z)为输出的控制量，然后经过A/D 转换后得到模拟控制量U(t)对包含零阶保持器的被控量进行控值进而达到要求的最小拍控制的目的。
3、最少拍无纹波系统控制算法设计（1）（1）带零阶保持器的广义被控对象为()p G s 通过matlab ，z 变换程序为np=[0 0 10]; dp=[1 1 0]; hs=tf ( np, dp); hz=c2d(hs,0.1) 结果为Transfer function: 0.04837 z + 0.04679 ---------------------------------- z^2 – 1.905 z + 0.9048Sampling time:0.1 seconds 即20.04837z 0.04679G(z)=1.9050.9048z z +-+ （2）（2）无波纹最小拍控制器D （z ）根据G(z)，对象有一个纯迟后因子v=1,一个零点10.967b =-，两个极点，输入函数为单位斜坡信号r()t t =，1120.1z ()(1)R z z --=- ，m=2，则闭环脉冲传递函数为11212()(10.967)()z z f z f z ---Φ=++由12(1)(10.967)()f f Φ=-+10()(1)p G s s s =+12'(1) 2.967 4.901f f Φ=+得系数1 1.266f =，20.758f =-，则系统脉冲传函为123() 1.2660.4660.733z z z z ---Φ=++ (3) 误差脉冲传函为121123()(1)(10.733)1 1.267z 0.4660.733e z z z z z -----Φ=-+=--+ (4)由*z e D G φφ=得设计的控制器为2226.183(z-0.6986)(z-0.9048)26.18341.98216.552D(z)=(z-1)(z+0.733)0.2670.733z z z z -+=-- (5)4、无波纹最小拍控制系统simulink 仿真图2 控制系统整体框图仿真结果为：（１）系统输入及系统输出曲线c(t)图形如图3所示：图3 系统输入及系统输出曲线c(t) （2）系统误差e（t）曲线如图4所示：图4 系统误差e（t）曲线（3）控制器输出u（k）曲线如图5所示：图5 控制器输出u （k ）曲线通过仿真曲线看出： 控制器D （z ）满足设计要求，系统在第三拍之后系统达到无差，输出响应从第三个采样周期开始完全跟踪输入，且没有波纹。
最少拍无纹波
以例6.5所示系统为例，分别设计单位阶跃输入 和单位速度输入时的无纹波控制器。采样周期 T=0.1秒。 解：广义对象的Z传递函数为
0.368z 1 (1 0.717z 1 ) G( z ) (1 z 1 )(1 0.368z 1 )
例6.7
(1)
输入为单位阶跃信号时
转化DSP形式脉冲 传递函数命令为： sys=filt(num,den ,Ts)。
数字信号处理 (Digital Signal Processing)
例6.7仿真曲线
ts=0.2s=2T
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4.7仿真曲线
Step Response 2 System: untitled1 Time (sec): 0.0483 Amplitude: 1.58
1 1
例6.7仿真曲线
t=0.1;f0=1/1.717;f1=0.717*f0;
numgs=10;dengs=[0.1 10]; gs=tf(numgs,dengs)
gz=c2d(gs,t);
numhd=[0 f0 0.717*f0]; denhd=1;hz=filt(numhd,denhd,t) ; numhed=conv([1 -1],[1 f1]); denhed=1;hez=filt(numhed,denhed, t) dz=hz/gz/hez; figure(1);[y,x]=step(hz,0.8);stem(x, y); hold on;plot(x,y)
由式
所以 再由
H ( z) z1 1
f0
可得
H ( z) z1 1.717 f0 1
第6章例3-最小拍与最小拍无纹波设计-20150617
题目要求：已知被控对象的传递函数()().G s s s =+10011采样周期T=0.1s ，采用（物理上的）零阶保持器，单位反馈系统。
要求：（1）针对单位阶跃输入信号设计最少拍系统的D (z )，并计算输出相应y (kT )、控制信号u (kT )和误差e (kT )序列，画出它们随时间变化的波形。
（2）针对单位阶跃输入信号设计最少拍无纹波系统的D (z )，并计算输出相应y (kT )、控制信号u (kT )和误差e (kT )序列，画出它们随时间变化的波形。
解：求被控对象G (z )，()()()()()()()()()()().........Ts Te G z Z s s s z Z s s z Z s s s z Tz z zz z z e z z z z z z z z z z z --------⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤-=-+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦-=-+--+=--+=--12122101111110011101011101111011011111103680368026410368036810717110368设单位圆外极点个数为i ，圆内外所有零点个数为j ，延时因子个数1z -为r ，输入函数阶次为p 。
（1）最少拍有纹波系统① 广义被控对象零极点的分布单位圆外极点，无，i =0单位圆外和单位圆上零点，无，j =0 延时因子，1z -，r =1输入阶跃函数R (z )的阶次，p =1 ② 确定期望的闭环结构闭环传递函数()c G z ：()()1r c l G z z T z --=，其中单位圆上和单位圆外没有零点， 误差传递函数()e G z ：()()()111e q G z z B z --=- 因为()c G z 和()e G z 的阶数要相同 所以l+r=1+q按最小拍设计，又因延时因子r =1，应使的l 和q 尽量小， 所以l=q=0所以：()()110c G z z T z --= ()()()1101e G z z B z --=- 于是令 ：()()100100T z a B zb--==代入上式，得：()10c G z z a -=()()101e G z z b -=-根据()()1c e G z G z +=，得：01a =，01b = 所以可得： ()1c G z z -= ()11e G z z -=- ③ 确定控制器结构()()()()()().(.)()()(.)....(.).c e G z z D z z z G z G z z z z z z z z --------==+-----==++11111111036810717111036827170368103680368107170717 ④ 检验控制序列的收敛性()()()()()()()()()------------==-==-++--=-+-+111111111234110.36810.3680.2640.36810.717110.3682.717 2.948 2.114 1.516 1.087c G z U z D z E z R z G z z z z z z z z z z z z z ()()()()()() 2.717 2.9481 2.1142 1.1563 1.0874u kT k k k k k δδδδδ=--+---+-即控制量从零时刻起的值为2.717，-2.948, 2.114，-1.516, 1.087，．．．．，是收敛的。
最少拍无纹波系统的设计
H 0(s)
1 e s
Ts
,
Gc (s)
kv s (1 T m s )
v(nT)
nT
问题归结为：设计一个系统在典型输入作用下，u(nT)经过有限个周期以后，达到 相对稳定。
● 设计原理 系统的闭环脉冲传递函数为：
(z)
要使u(nT)稳定，就要使
C (z) R(z)
2z
1
1 1 1 2 1 1 1
Tz
(1 z
z ( 1 0 . 718 z
2
1
1
)( 1 . 407 0 . 826 z 0 . 10 z
4
1
)
(1 z
)( 1 0 . 368 z
) )
)
3 . 68 z ( 1 0 . 718 z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
0 . 38 z
(1 e K (1 e
T / T1 T / T
N 1
1 e 1 e
1
T / T1
T / T1
z
1
D(z)
)1 e
)( 1 e z
1
T / T1
z
) )z
N 1
T / T
(1 e
T / T
►
被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节
3 . 68 z (1 z ( 1 0 . 718 z
1 1
G (z)
) )
1
)( 1 0 . 368 z
T=1秒，在单位速度输入下，设计最少拍无纹波控制器D(z)。
解：
(z) 1 e(z) z
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一、在最少拍设计时，()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则：1）()e z Φ的分子中必须包含1(1)m z --因式（保证系统稳态误差为零）。
注意：1()(()1)m e Φz z F z -=-，式中：()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1z -的有限项多项式。
一般取12()1...F z az bz --=+++为有限项多项式。
2）以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少（保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统）。
3）()c G z 应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数（即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差）。
一般已知的()G z 这条都满足。
4）()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）。
5）()z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的零点（保证控制器稳定）。
6）()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节（保证控制器是物理可实现的）。
注意：前3条一定需要，后三条不一定需要。
二．最少拍系统设计实例情况1：假定()G z 无延迟，且不含不稳定零点和不稳定极点（即不含单位圆上和单位圆外的零极点（1,1i i p z ==除外）），且()G z 的分母多项式最多比分子多项式高一次。
在上述条件下构造()Φz 和时，只需考虑设计原则中的前三条即可，故取1()(1)()m e Φz z F z -=-，()1F z =。
下面就再这样的假设条件下，讨论最少拍系统在不同典型输入作用下，数字控制器脉冲传递函数()c G z 的确定方法。
比如：单位阶跃输入：————————————最少拍设计开始--------——————————— 当()1()r t t =时，有[]11()1()1R z Z t z-==-，则取()1F z = 111()(1)()1()1()m e e z z F z z z z z---Φ=-=-Φ=-Φ= 所以，数字控制器脉冲传递函数为：11()()()()(1)()c e z z G z G z z z G z --Φ==Φ- ————————————最少拍设计到此结束————————— 注意：几拍？看误差脉冲序列和输出脉冲序列的Z 变换。
即：()()()1e E z z R z =Φ=123()()()C z z R z z z z ---=Φ=+++根据Z 变换的定义式00()(),()()n n n n E z e nT z C z c nT z ∞∞--====∑∑知：(0)1,()(2)0e e T e T ==== (0)0,()(2)1c c T c T ====最少拍系统的单位阶跃响应曲线如图P524图9.42所示。
可见，最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入()1()r t t =，这样的离散系统称为一拍系统，其调节时间s t T =。
P524图9.42 最少拍系统的单位阶跃响应序列注：若输入为单位斜坡或单位加速度输入时方法一样，只是输入和()e z Φ不同。
情况2：若G (z )有延迟或含单位圆上和单位圆外的零极点。
例:设单位反馈线性定常离散系统的连续部分和零阶保持器传递函数分别为10r (t )c (t )-e*(t )e (t )(1)s s +1e sTs --()c G z其中采样周期1T s =。
若要求系统在单位斜坡输入时实现最少拍控制，试求数字控制器脉冲传递函数()c G z 。
解：1）系统开环脉冲传递函数为：1112112110(1) 3.68(10.717)()(1)10(1)(1)(1)(1)()((10.368)1)T T Tz e z z G z z Z z s s z z z z e z z --------⎡⎤⎡⎤-+=-⋅=--=⎢⎥⎢⎥+---⎣--⎣⎦⎦注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。
2）【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消因为()r t t =，112()[](1)Tz R z Z t z --==-，则 试探取()1F z =（如果()1F z =不满足后面的所有要求，则取12()1...F z az bz --=+++有限项多项式）。
则12()(1)e z z Φ-=-（1）注：()e z Φ既满足稳态误差为0，且其零点正好补偿()G z 在单位圆上的极点则1211()1()2(2)e z z z z z z ΦΦ----=-=-=-（2）注：()z Φ已包含()G z 的纯滞后环节1z -。
1111()0.543(10.368)(10.5)()()()(1)(10.717)c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==-+ 例 9.23 ※已知系统结构图如图。
其中开环脉冲传递函数为：1111110.5(10.05)()()()(10.112)(10.02511).z G z z z z z z ---------++=试设计Gc (z )在单位阶跃输入时实现最少拍控制。
解：注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。
【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消()G z 中在单位圆外有不稳定零点1(1 1.2)z -+？---用()z Φ的零点来对消()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消R (z ) C (z )因为()1()r t t =，[]11()1()1R z Z t z -==- ，则 试探取1()1F z az -=+（注意，()1F z =不满足后面的所有要求）。
则11()(1)(1)e z z az --Φ=-+（1）注：()e z Φ含1(1)z --既满足稳态误差为0，且其零点正好补偿()G z 在单位圆上的极点。
注意：之所以1()1F z az -=+，是因为，11()(1 1.2)z z z --Φ+中必须有，因为()1()e z z Φ=-Φ，故11()(1)(1)e z z az --Φ=-+。
则11()(1 1.2)z bz z --Φ=+（2）注：()z Φ中11(1 1.2)z z --+已包含()G z 的纯滞后环节1z -以及()G z 中在单位圆外有不稳定零点1(1 1.2)z -+。
注意：之所以11()(1 1.2)z bz z --Φ=+增加这个系数b ，是为了满足()1()e z z Φ=-Φ。
根据有：()1()e z z Φ=-Φ（3）将（1）（2）代入（3）式，则12121.2(1)b z b z a z az ----+=-+（注意：等式两侧1z -和2z -系数分别相等）10.5451.20.455b a a b a b =-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩于是： 11()(1)(10.545)e z z z --Φ=-+11()0.455(1 1.2)z z z --Φ=+1111()0.91(10.2)(10.015)()()()(10.05)(10.545)c e z z z G z G z z z z ΦΦ------==++ ——————————————最少拍设计结束————————————— 问题：几拍？1()()()10.545e E z z R z z -=Φ=+分析：该最少拍系统响应阶跃输入的调整时间为两拍。
显然由于()G z 在单位圆外存在一个零点，使调整时间比典型最少拍系统多一拍，这增加的一拍，是保证控制器()Gc z 稳定所必须的。
应当指出，当开环脉冲传递函数()G z 中包含有单位圆上和单位圆外的零极点以及纯延迟时， 应用1()(1)()m e z z F z -Φ=-选择()e z Φ时，一般不能再取()1F z =，而必须使()F z 的零点能补偿()G z 的单位圆上或单位圆外的极点。
显然，在这种情况下，线性离散系统响应典型控制输入的调整时间长于相应典型最少拍系统（如P 525表9.4所示）的调整时间，从而变成次最少拍或准最少拍系统。
三．无波纹最少拍系统设计原则最少拍系统对输入信号适应性差，在有限拍数后，只能作到采样时刻上无误差。
由于最少拍系统的输出在非采样时刻存在纹波，这是工程上所不容许的，应设法消除。
无纹波最少拍系统的设计要求是：在某一种典型输入作用下设计的系统，其输出响应经过尽可能少的采样周期后，不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，而且在非采样时刻不存在纹波。
在无波纹最少拍设计时，()z Φ及()e z Φ的选取应遵循下述原则：1）()e z Φ的分子中必须包含1(1)mz --因式（保证系统稳态误差为零）。
注意：1()(()1)m e Φz z F z -=-，式中：()F z 为不含1(1)z --因子的待定的1z -的有限项多项式。
一般取12()1...F z azbz --=+++为有限项多项式。
2）以1z -为变量的()z Φ展开式的项数应尽量少（保证瞬态过程在有限拍内结束，保证随动系统为最少拍系统）。
3）()c G z 应是物理可实现的有理多项式，其零点数不能大于极点数（即()z Φ的分母与分子阶次之差应大于、等于()G z 的分母与分子的阶次之差）。
一般已知的()G z 这条都满足。
（4）()z Φ中必须包含()G z 中的纯延迟环节（保证控制器是物理可实现的）。
（5）()e z Φ的零点必须包含()G z 中位于单位圆上及单位圆外的极点（保证闭环系统稳定）。
（6）()z Φ的零点必须包含()G z 的全部零点（保证控制器稳定，无纹波）。
注意：只有（6）区别于最少拍系统设计，其余同最少拍系统的设计方法四．无波纹最少拍系统设计实例例9.25 已知开环脉冲传递函数为111110.7173.68()()()(106)1.38G z z z z z ------+= T =1秒，试设计Gc (z )。
要求：1. 在单位斜坡输入时实现无波纹最少拍控制。
2. 在单位阶跃输入时实现无波纹最少拍控制。
解：注意：()G z 中分子和分母的阶次同，因此设计原则中的第三条满足。
【分析】： ()G z 中的纯滞后环节？---用()z Φ包含纯滞后环节来对消()G z 中在单位圆内的零点110.71(7)z -+？---用()z Φ的零点来对消()G z 中在单位圆上的极点？---用()e z Φ的零点对消1. 单位斜坡输入：1）设计Gc (z )：()r t t =，则112()(1)T z R z z --=-。