利用数轴确定一元一次不等式组的解集
9.3一元一次不等式组
知识要点：
1、掌握一元一次不等式组的不同形式，理解不等式组的解集的涵义。
2、会利用数轴准确的确定一元一次不等式组的解集。
体会数形结合的思想。
本节测试
（基础题）解下列不等式组：
（1）⎩⎨
⎧②＜－①＞－x x x 8270153
（2）⎩⎨
⎧≤②
－＞＋－①－－243213x x x x （3）⎩⎨
⎧≤≤②
＋＋①＋－x x x x 36275245
（4）⎩⎨
⎧②
＞－①－＞－3
43421x x x
答案 解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴找它们的解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．
（1）解不等式①，得x ＞5 解不等式②，得x ＞－2
在同一个数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-12所示：
∴ 这个不等式组的解集是x ＞5
（2）解不等式①，得x ≤－21，解不等式②，得x ＜23
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-13所示：
∴ 这个不等式组的解集是x ≤－21
（3）解不等式①，得x ≤3 解不等式②，得x ≥1
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-14所示：
∴这个不等式组的解集是1≤x≤3
（4）解不等式①，得x＜－3
7
解不等式②，得x＞3
在数轴上表示出不等式①、②的解集如图9-15所示：
∴这个不等式组无解．
说明：（1）用数轴表示不等式组的解集，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画；有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．
（2）对于由两个一元一次不等式组成的不等式组，熟练以后，可直接根据它的四种基本情况确定不等式的解集．。
巧用口诀法求不等式组中待定字母的值的范围
巧用“口诀”法求不等式组中待定字母的值的范围一元一次不等式组是初中数学的一个重要内容，不过一元一次不等式组的解集的确定教材里只讲了用数轴来确定，这种方法对于不等式组中未出现待定字母时容易求解。
一旦不等式组中出现了待定字母，学生是感到束无手策的，本文举例说明如何用口诀法来求一元一次不等式组中待定字母的值。
一元一次不等式组解集是指不等式组中几个一元一次不等式解集的公共部分。
利用数轴来确定虽然直观，但也有不足之处，不过利用它我们能够得出下面“口诀”。
不等式组(a ＞b) 解集在数轴上的情况 不等式组的解集口诀 ① bx a x ＞＞ x ＞a 同大取大 ② bx a x ＜＜ x ＜b 同小取小 ③ b x a x ＞＜ b ＜x ＜a 大小交叉中间找 ④ b x a x ＜＞ 无解（空集） 大小分离无处找例1：如果一元一次不等式组 ax x ＞＞2的解集为2＞x ，那么a 的取值范是（ ）。
A. 2＞a B.2≥a C.2≤a D.2＜a分析：此题中因为a 待定，所以利用数轴较为困难，但利用口诀法中的“同大取大”结合不等式的解集2＞x ，易知b a b a b ab a2≤a ，故选C 。
例2：若不等式组 632≤++m x m x ＞有解，则m 的取值范围是 。
解：解不等式m x ＞2+得2-+m x ＞解不等式63≤+m x 得32m x -≤ 如果此时利用数轴则难以下手，但因为不等式组有解，结合口诀法中的“大小交叉中间找”，表明322m m --＜,434＜m ，3＜m ，所以m 的取值范围是3＜m 。
例3：如果不等式组 212++m x m x ＞＞的解集为1-＞x ，那么m 的值是多少？分析：若212+≥+m m ，则1≥m ，又1-＞x ，所以结合口诀法中的“同大取大”，可得112-=+m ，解得m=-1，而m ≥1故舍去。
若2m+1＜m+2，则m ＜1，又1-＞x ，所以利用口诀法中的“同大取大”得m+2=-1，解得m=-3，因m ＜1，所以符合条件。
在数轴上表示一元一次不等式的解集(共4张PPT)
不等式的性质：
不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数(式)，不等号的方向不变； 不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不等号的方要改变。
解不等式的步骤：
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.
去移分项母 ：，4x去－括9x号≤9，－移24项＋，10合并同类项，系数化为1.
在移不数项等轴 ： 式上4解解x表集－：示的9x一表≤去9元示－分一方24母次法＋不：1：0等2式(2的x解－集5)≤3(3x+2)－24
移不在项等数： 式 轴4的上去x性表－括质示9x一21≤号：9元－不：一2等4次4＋式不x1两－0等边1式5同的≤时9解x乘加集＋以上9或－除减2以去4一同个一正个数，(式不)，等不号等的号方的向方不向变不；变；
12
去不分等母 式，的解去性括质集号2表：，不移示等项式如，两合下边并同：同时类乘项以，或系除数以化一为个1正. 数，不等号的方向不变；
34
求 x 7 1＜ 3x 2 的负整数解；
2
2
解：解不等式得 x﹥ 3 ， 2
-3
-2
-
3
-1
0
2
12
∴负整数解为x＝－1
34
不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数(式)，不等号的方向不变；-3 -2 -1 0
在不解数等：轴 式 去上的分系表性母数示质：一122化(：2元x不为－一等5次1)式≤不：3两(等3x边x式≥+同12的)时－解加乘2集4上以或减除去以同一一个个正数，(式不)，等不号等的号方的向方不向变不；变；
在数轴上表示一元一次不等式的解集
在移数项轴 ：上4移x表－项示9x一≤：9元－4一2x4－次＋不91x0等≤式9－的解24集＋10
一元一次不等式组的解法经典例题透析
经典例题透析类型一：解一元一次不等式组1、解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：解不等式①，得x≥－；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－≤x＜1在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：用数轴表示不等式组的解集时，要切记：大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：【变式1】解不等式组：解析：解不等式①，得：解不等式②，得：在数轴上表示这两个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：【变式2】解不等式组：思路点拨：在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：（1）不等式组里不等式的个数并未规定；（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别解法一：解不等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在数轴上表示这三个不等式的解集为：∴原不等式组的解集为：解法二：解不等式②，得：解不等式③，得：由与得：再与求公共解集得：.【变式3】解不等式组：解析：解不等式①得：x＞－2解不等式②得：x＜－7∴不等式组的解集为无解【变式4】解不等式：－1＜≤5思路点拨：(1)把连写不等式转化为不等式组求解；(2)根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：原不等式可化为下面的不等式组解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8解法2：－1＜≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8总结升华：对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.【变式5】求不等式组的整数解。
思路点拨：按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
人教版七年级数学下册第9章。一元一次不等式组 知识点专题复习讲义
人教版七年级数学下册第9章。
一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。
常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。
2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。
解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。
其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。
5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。
对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。
解一元一次不等式和解一元一次方程类似。
不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
这是解不等式时最容易出错的地方。
例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。
解不等式组“四句诀”
方法点击解不等式组四口诀◎于化平对于一元一次不等式组解集的确定，利用数轴简单易行.为了便于记忆，根据不等式组解集的四种特点，并结合数轴归纳其口诀如下：第一诀：同大取大所谓“同大”是指不等式组化简后其形式是⎩⎨⎧>>，，b x a x 两不等式的符号都是大于号，为“同大”.如果b a <，那么这个不等式组的解集就是大于较大的数，即b x >，为“取大”.例1 （2015年苏州）解不等式组：⎩⎨⎧+>-≥+②.5)1(3① 21x x x ， 解：解不等式①，得x≥1；解不等式②，得x ＞4.所以由“同大取大”得不等式组的解集为x ＞4． 第二诀：同小取小所谓“同小”是指不等式组化简后其形式是⎩⎨⎧<<，，b x a x 两不等式的符号都是小于号，为“同小”.如果b a <，那么这个不等式组的解集就是小于较小的数，即a x <，为“取小”.例2 解不等式组：2(2)331 2. 2x x x +>⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，①② 解：解不等式①，得x ＜4；解不等式②，得x≤﹣1．所以由“同小取小”得不等式组的解集为x≤﹣1．第三诀：大小小大中间找形如不等式组⎩⎨⎧<>，，b x a x 已知b a <，则x 大于较小的数a 为“大小”，x 小于较大的数b 为“小大”，那么这个不等式组的解集是a<x<b ，即“大小小大中间找”.例3（2015年宁夏）解不等式组：3(2)6411. 3x x x x --≥⎧⎪⎨-+⎪⎩，①＞② 解：解不等式①，得x ≥2；解不等式②，得x ＜4.所以由“大小小大中间找”得不等式组的解集为2≤x ＜4.第四诀：大大小小找不到形如不等式组⎩⎨⎧><，，b x a x 已知b a <，则x 大于较大的数b 为“大大”，x 小于较小的数a 为“小小”，那么这个不等式组无解，即“大大小小找不到”.例4（2015年百色）解不等式组：⎩⎨⎧-<++≤+②.5312①)3(224x x x x ，解：解不等式①，得2 x ；解不等式②，得x ＞6.所以由“大大小小找不到”知不等式组无解.。
怎样求一元一次不等式组的解集
数学篇一元一次不等式组是初中阶段的基础内容.同学们在求解一元一次不等式组问题时普遍存在一个问题就是：虽然能分别求出不等式的解，但最后往往不能正确给出不等式组的公共解集.那么怎样准确求出一元一次不等式组的解集呢？下面介绍三种常用方法.一、数轴法数轴法，即利用数轴直观确定一元一次不等式组的解集.其基本解答思路是：首先，求出不等式组中每个不等式的解集；然后，在数轴上画出每个不等式的范围；接着，找出所有不等式的公共部分；最后根据公共部分，确定出该不等式组的解集.例1不等式组{8x -10>3x ，7x +6<2(3x +2)，的解集为.解：由8x -10>3x ，可得x >2;由7x +6<2(3x +2)，可得x <-2.把x >2和x <-2在数轴上表示出来，如图1所示，它们没有公共部分，所以该不等式组无解，即解集为空集.图1例2不等式组{x -3(x -2)≥4，1+2x >2(2x -1)，的解集为.A.x ≤1B.x <3C.1≤x <3D.空集解：由x -3(x -2)≥4，可得x ≤1;由1+2x >2(2x -1)，可得x <3.把x ≤1和x <3在数轴上表示出来，如图2所示，图2它们的公共部分为x ≤1，所以该不等式组的解集为x ≤1，故本题正确答案为A 项.评注：数轴法是确定不等式组解集的一种有效方法.在数轴上表示不等式的解集时，同学们要注意起点是实心点还是空心点.一般地，若不等式符号是“>”或“<”，则用空心点表示；若不等式符号是“≥”或“≤”，则用实心点表示.二、观解法观解法立足于数轴法却优于数轴法，它结合数轴箭头向右的特性，以及不等式组公共解集在数轴上呈现出两端向中间靠拢的特解题指南19数学篇征，将不等号开口方向统一向右.解题时，首先求出不等式组中每一个不等式的解集；然后，将所得解集中的不等式符号开口方向统一向右；接着，按照“左大右小”的原则，综合确定该不等式组的解集；最后，检查所求出的不等式组的解集，若不等式右边的数小于左边，则该不等式组无解.例3一元一次不等式组{6x -5≥x ，4x +3>2x -1，的解集是.解：由原不等式组可得{x ≥1,x <-2.将不等式符号的开口统一向右，可得{1≤x ,x <-2.根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为1≤x <-2.然而1≤x <-2并不成立，所以该不等式组无解.例4一元一次不等式组{48>7x -1≥6，8>-3x +2≥-15，的解集是.解：由原不等式组可得ìíîïï7>x ≥1，-2<x ≤173，不等式开口统一向右，可得ìíîïï1≤x <7，-2<x ≤173，根据“左大右小”原则，可知不等式组的解集为1≤x ≤173.评注：运用观解法解答不等式组问题，省去了“作图→看图→表达”这一过程，可以快速准确地确定出解集.解题时要注意把每个不等式符号开口方向统一向右，并严格依照“左大右小”的原则来确定解集，否则会影响解答结果.解集.它可以归纳为“同大取大，同小取小，小大大小中间寻，大大小小无解找”.其中，“同大取大”是指“不等式号同是大于号，不等式组的解集取较大的数”；“同小取小”是指“不等式号同是小于号，不等式组的解集取较小的数”；“小大大小中间寻”是指“小于大的数，大于小的数，不等式组的解集取这两个数之间”；“大大小小无解找”是指“大于大的数，小于小的数，不等式组无解，其解集为空集”.例5解不等式组：{5x -2>8，3x +1>10.解：由5x -2>8，可得x >2.由3x +1>10，可得x >3.联想“同大取大”口诀，该不等式组的解集为x >3.例6一元一次不等式组ìíîx -4≤3(x -2),1+3x >4()x -1,的解集是.A.x <5B.x ≥1C.1≤x <5D.空集解：由x -4≤3(x -2），可得x ≥1；由1+3x >4()x -1，可得x <5.联想“大大小小中间找”这一口诀，此一元一次不等式组的解集为1≤x <5，故本题应选C 项.评注：用口诀法确定一元一次不等式组的解集时，应当注意:如果不等式组中有一个不等式的解集是空集，那么这个不等式组的解集也是空集.综上所述，在求一元一次不等式组的解集时，数轴法一目了然，运用过程中要注意找准不等式组的公共部分；观解法快捷准确，运用时要注意统一不等式符号的方向；口诀法简单易行，运用时应在充分理解的基础上记解题指南。
解一元一次不等式口诀
求一元一次不等式组解集的口诀
解一元一次不等式组分两步：第一、“分开解”，即分别求各个不等式的解集.第二、“集中判”，将各个解集在数轴上表示出来，判定不等式组的解集. 对于一元一次不等式组的解集是利用数轴来求的,为了便于记忆，,我们不妨根据等式组解集的四种特点并结合数轴归纳其口诀,奉献给读者.
一、同大取大：即在一个不等式组的最后解集中，如果两个不等号都是大于号，则取较大数作为解集.
例：)(b a b x a x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：
x ＞a ，在数轴上表示为：如图1；
二、同小取小：即在一个不等式组最后的解集中，如果两个不等号
都是小于号，则取较小数作为解集.
例：)(b a b
x a x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：x ＜a ，在数轴上表示为：
如图2；
三、大小小大中间夹：即在一个不等式组最后的解集中，如果大
于号对的是小数而小于号对的是大数，则取两数中间的部分作为
集为.
例：)(b a a
x b x ⎩⎨⎧则不等式组的解集为：b ＜x ＜a ，在数轴上表示为：如图3；
四、大大小小无解答：即在一个不等式组最后的解集中，如果大于号对的是大数而小于号对的是小数，则这个不等式组无解. 例：)(b a b x a x ⎩
⎨⎧则不等式组无解，在数轴上表示为：如图4； 因此得到求一元一次不等式组解集的口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间夹，大大小小无解答.
图
3 图4。
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利用数轴确定一元一次不等式组的解集
利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，就是利用数形结合的思想，将抽象转化为直观。
在确定一元一次不等式组的解集教学中用数轴来帮助找解集，便于学生接受理解，并能直观完美、准确无误的找到解集，对于一元一次不等式组中参数字母的时候，利用数轴解决问题更直观、更准确。
利用数轴来确定一元一次不等式组的解集分三步曲——求解、画图、定解集。
第一步分别求出不等式组中每个不等式的解集，即求解； 第二步画数轴分别表示出每一个不等式的解集，即画图； 最后在数轴上找出各个不等式解集的公共部分，即定解集。
下面我们就通过几道例题，体验借助数轴的好处：
例1、请确定下列一元一次不等式组的解集：
解：由①得： x ＞3
由②得： x ≥－1
画数轴表示不等式组的解集：
学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分：x ＞3，所以确定这个不等式组的解集：x ＞3。
（简记“同大取大”）
x ＋1≥0 ②
x －3＞0 ① ○ ●
例2、请确定下列一元一次不等式组的解集：
解：由①得： x ≤－1
由②得： x ＜1
画数轴表示不等式组的解集：
学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分：x ≤－1，所以确定这个不等式组的解集：x ≤－1。
（简记“同小取小”）
例3、请确定下列一元一次不等式组的解集：
解：由①得： x ＞－2
由②得： x ≤2
画数轴表示不等式组的解集：
学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集的公共部分：－2＜x ≤2，所以确定这个不等式组的解集：－2＜x ≤2。
（简记2x ＋3＜5 ②
2x ＋5≤9 ②
○ ● ○ ● x ＋1≤0 ①
3x ＋6＞0 ①
“大小、小大中间找”）
例4、请确定下列一元一次不等式组的解集：
解：由①得： x ＜2
由②得： x ≥3
画数轴表示不等式组的解集：
学生很容易从数轴上观察出这一元一次不等式组解集没有公共部分，所以这个不等式组无集。
（简记“大大、小小无处找（无解）”）
从例1到例4我们可以发现：利用数轴，借助口诀：“同大取大”，“同小取小”，“大小、小大中间找”和“大大、小小无处找（无解）”能准确无误的确定一元一次不等式组的解集。
例5、已知关于x 不等式组 求：1、当a 在什么取值范围内时有解； 2、当a 在什么取值范围内时无解；
2、当a 在什么取值范围内时解有4个整数解；
解：由①得： x ≥a
由②得： x ＜2
画数轴表示不等式组的解集：
3x ＋2＜8 ①
2x －1≥5 ②
○ ● x －a ≥0 ①
5－2x ＞1 ②
1、如图，要有解，就是要有公共部分，可以将a 看出动点，向左移动有公共部分，所以a ＜2；
2、如图，要无解，就是要无公共部分，可以将a 看出动点，移动时无公共部分，所以a ≥2；
3、如图，要有解，就是要有公共部分，并且要有4个整数解，可以将a 看出动点，向左移动，需通过1、0、－1、－2，但不能到达－3，所以－3＜a ≤2。
练一练：
1、不等式组10235x x +⎧⎨+<⎩≤，的解集在数轴上表示为（ ）
2、不等式组31025x x +>⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
3、不等式组3010x x -<⎧⎨+⎩≥的解集是_________________．
4、不等式组2x x a >⎧⎨>⎩的解集为x ＞2，则a 的取值范围是_____________.
5、若不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，则a 的取值范围是_______________.
答案：1、C 2、C 3、－1≤x ＜3 4、a ≤2 5、a ≤1
A B C D ○ ● a。