线性代数12_全排列及其逆序数
线性代数第一节排列及其逆序数
第一章行列式第一节 排列及其逆序数�引言�排列与逆序数一、引言我们在中学曾经学习过求解二元一次线性方程组⎩⎨⎧=+=+2221212111c x b x a c x b x a （1） 当两个方程的未知数系数不成比例，即 2121b b a a ≠时，我们有.b a b ac a c a x ,b a b ac b c b x 122112212122121121−−=−−=（2）为方便记忆，我们引入二阶行列式bc ad db ca −=（3）则（2）可以表示为.b a b ac a c a x ,b a b a b c b c x 221122112221122111==（4）即当（1）的系数行列式0b a b a 2211≠时， （1）的解可以用二阶行列式表示为（4）。
用高斯消元法，对三元一次线性方程组,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （5）我们也可以得到类似的结果。
即如果引入三阶行列式,c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 322311332112312213322113312312332211333231232221131211−−−++=（6）则当（5）的系数行列式0a a a a a a a a a D 333231232221131211≠=（7）时，方程组（5）的解可以用三阶行列式表示为.a a a a a a a a a b a a b a a b a a x ,a a a a a a a a a a b a a b a a b a x ,a a a a a a a a a a a b a a b a a b x 333231232221131211332312222111211333323123222113121133331232211311123332312322211312113332323222131211===（8）对于n 元一次方程组，是否也有类似于上述（4）、（8）的结果呢？这就是本章要回答的问题。
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
全排列是指对给定的一组不同的元素，按照一定的顺序进行排列，形成所有可能的排列方式。
例如，对于3个元素a、b、c
来说，它们的全排列为6种：abc、acb、bac、bca、cab、cba。
在全排列中，逆序数是指排列中相邻两个元素逆序出现的次数。
例如，对于排列abc，其中包含两个逆序对，即bc和ac。
逆
序数越多，说明排列越混乱或越逆序。
逆序数在数学上有广泛的应用，例如在计算逆序对问题、计算排列的偏序关系等方面都有用到。
在计算逆序数时，常采用归并排序的思想，即将排列拆分成子序列，分别计算子序列的逆序数，再合并子序列的结果。
1-2全排列及逆序数
n 个不同的元素的所有排列的种数,通常 个不同的元素的所有排列的种数,
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 2 1 = 6. 同理
Pn = n ( n 1) ( n 2) L 3 2 1 = n!.
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第一章 行列式
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数,规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中,若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
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第一章 行列式
(3) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3 )L(k + 1)k
解
(2k ) 1 (2k 1) 2 (2k 2) 3 (2k 3)L(k + 1) k
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
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第一章 行列式
计算下列排列的逆序数, 例2 计算下列排列的逆序数,并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
线性代数全排列及其逆序
逆序
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数.
例如: 排列32514 中, 0 0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为: 3+1+0+1+0 = 0+1+0+3+1 = 5. 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 计算排列逆序数的方法 方法1: 分别计算出排在1,2, ·, n 前面比它大的数 · · 码的个数并求和, 即先分别算出 1,2, ·, n 这 n 个元素 · · 的逆序数, 则所有元素的逆序数的总和即为所求排列 的逆序数.
§1.2 全排列及其逆序数 一、全排列
引例: 用1, 2, 3三个数字, 可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 这是一个大家熟知的问题, 答案是: 3! = 6. 将此问题推广: 把n个不同的元素按先后次序排成 一列, 共有多少种不同的排法. 定义: 把 n 个不同的元素排成一列, 叫做这 n 个 元素的全排列(或排列). n 个不同的元素的所有排列的种数, 通常用 Pn 表 示, 称为排列数. Pn = n (n–1) (n–2) · 2 1 = n! · ·
三、小结
1. n个不同的元素的所有排பைடு நூலகம்种数为n!个; 2. 排列具有奇偶性; 3. 计算排列逆序数常用的方法有两种.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
线性代数-全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6 种放法.
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的 排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
t(32514) 0 1 0 3 1 5
练习： 求排列 453162 的逆序数.
解： t 9
并规定由小到大为标准次序.
先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ;
……
最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn;
则此排列的逆序数为 t t1 t2 tn
例1： 解：
求排列 32514 的逆序数.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中， 逆序
32514 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
显然 Pn n (n 1) (n 2) 3 2 1 n!
即n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
Hale Waihona Puke 3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
线性代数1-2
al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
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排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为 奇排列; 逆序数为偶数的排列称为 偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法 1
分别计算出排在 1,2,? ,n ? 1,n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2,? ,n ? 1,n 这 n个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数 .
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数 .
? 解 ?2k ?1 ?2k ? 1?2 ?2k ? 2?3 ?2k ? 3?? ?k ? 1?k
?? ?
?
?
?
01 1 2 2
k
t ? 0 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ?k ? 1源自? ?k ? 1?? k?
?2?1 ?
k
?
1??k
?
1??
?
k
?
k2,
2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
元素的全排列（或排列） .
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 ? 3 ?2 ?1 ? 6. 同理 Pn ? n ?(n ? 1) ?(n ? 2) ?? ?3 ?2 ?1 ? n!.
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序 , n 个 不同的自然数，规定由小到大为 标准次序 .
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 ? 2 ? 1 ? 6 种放法.
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
3排在首位 ,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0; 1的前面比 1大的数有3个,故逆序数为 3; 4的前面比 4大的数有1个,故逆序数为 1;
32514 01 031 于是排列 32514的逆序数为 t ? 0 ? 1 ? 0 ? 3 ? 1? 5.
当 k 为奇数时，排列为奇排列 .
三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性 . 3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种.
思考题
分别用两种方法求排列 16352487的逆序数 .
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性 .
?1? 217986354
解
217986354
0 10 0 1 3 4 4 5
t ? 5 ? 4 ? 4? 3? 1? 0? 0? 1? 0
? 18
此排列为 偶排列.
?2? n?n ? 1??n ? 2?? 321
解 ?????n???1????
定义 在一个排列 ?i1i2 ? it ? is ? in ?中，若数
it ? is 则称这两个数组成一个逆序 .
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数 . 例如 排列32514 中，
0 01
32514
1 逆序数为3
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
n??n???1????n ?? 2?????321
?n ? 2?
t ? ?n ? 1? ? ?n ? 2? ? ? ? 2 ? 1 ? n?n ? 1?,
2 当 n ? 4k ,4k ? 1 时为偶排列；
当 n ? 4k ? 2,4k ? 3 时为奇排列 .
?3? ?2k ?1?2k ? 1?2?2k ? 2?3?2k ? 3?? ?k ? 1?k