全排列及其逆系数
合集下载
行列式2
此排列当 n=4k, 4k+1 时为偶排列; 当 n=4k+2, 4k+3 时为奇排列. (3) (2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3) · (k–1)(k +1)k. · · · · 解: (2k) 1 (2k–1) 2 (2k–2) 3 (2k–3) · (k–1) (k+1) k (k–1) (k–1) k 3 0 1 1 2 2 3 于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2) · (k–1)(k +1)k的逆序数为: · · t = 0+1+1+2+2+ · +(k–1)+(k–1)+k · · k k 1 2 k k2. 2 此排列当 k 为偶数时为偶排列, 当 k为奇数时为 奇排列.
例2: 计算下列排列的逆序数, 并讨论其奇偶性. (1) 217986354. 解: 2 1 7 9 8 6 3 5 4 0 1 001 34 4 5 于是排列217986354的逆序数为: t = 0+1+0+0+1+3+4+4+5 = 18. 此排列为偶排列. (2) n(n–1)(n–2) · 21 · · · · 解: n (n–1) (n–2) · 2 1 2 (n–2) (n–1) 0 1 于是排列n(n–1)(n–2) · 21的逆序数为: · · nn 1 , t = 0+1+2+ · +(n–2)+(n–1) · · 2
方法2: 依次计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数并求和, 即算出排列中每个元素的逆序数, 则 所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1: 求排列32514的逆序数.
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
所以，a23a31a42a56a14a65 前边应带正号.
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
(2) a32a43a14a51a66a25 行标排列341562的逆序数为
t1 0 0 2 0 0 4 6 ,
列标排列234165的逆序数为
t2 0 0 0 3 0 1 4 , t1 t2 10 ,
所以，a32a43a14a51a66a25 前边应带正号.
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
定理2 n阶行列式也可定义为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn
其中 t 为行标排列 p1 p2 pn 的逆序数.
证明 按行列式定义有
D
1 ta1 p1a2 p2 anpn
记
D1
1 ta p11a p2 2 a pnn
对于 D 中任意一项 1 t a1 p1a2 p2 anpn , 总有且仅有 D1 中的某一项 1 s aq1 a1 q2 2 aqnn ,
三阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明
（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积．
例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中,
全排列与逆序数
逆序 例 312 逆序 此排列的逆序数为1+1=2.
定义:逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
§2
全排列及其逆序数
计算排列逆序数的方法
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,这
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
§2
全排列及其逆序数
定义:对于n个不同的元素,规定各元素之间有一个标准次 序(通常规定由小到大为标准次序).
例 123 是元素1,2,3的标准次序
定义: 在这n个元素的任一排列中,当某两个元素的先后次 序与标准次序不同时就说有1个逆序. 逆序 逆序 例 132 213
§2
全排列及其逆序数
定义: 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
§2
全排列及其逆序数
主要内容：
一、全排列
二、排列的逆序数
考察的对象称为元素.例如:数字1,2,3.
定义:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全 排列(简称排列). n个元素的所有排列的种数用Pn表示.
例 123,321,132,312,213,231都是元素1,2,3的排列, P3＝3×2 ×1 ＝ 6. 由上例可推知Pn＝ n！
例 求排列3241的逆序数 解: 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数有一个数3,故逆序为1; 4是最大数,逆序为0; 1的前面比1大的数有3个数3、2、4,故逆序数为3.
于是,这个排列的逆序数为t=0+1+0+3=4,
排列3241为偶排列.
§2
总结
全排列及其逆序数
1.n个不同的元素的所有排列种数为n!. 2.排列具有奇偶性. 3.计算排列逆序数常用的方法有1种.
§1-2 全排列及其逆序数
1,2,3 ；1,3,2 ； 2,1,3 ； 2,3,1 ；3,1,2 ； 3,2,1
（2）逆序：在一个排列里，如果某一个较大的数排在某一 个 较小的数前面，则称这两个数码构成一个逆序； 例3 ：5 阶排列 4,3,5,2,1 中 4,3 、4,2 、4,1 及 3,2 、 3,1
5,2 、5,1 、2,1 等均构成反序，且共8 个反序；
（3）逆序数：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，出现的逆序 总个数称为这个排列的逆序数；并记作 i1 , i2 , , in 例4 ：例 3 中 5 阶排列 4,3,5,2,1 中，逆序数为 8 即： 4,3,5,2,1 8
逆序数的计算：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，先看有多少
特别，称 1,2, , n 为这
例1 ：1,2,3,4,5 ； 5,4,3,2,1 ； 3,2,1,5,4 ； 3,4,5,1,2 等等，均为 1,2,3,4,5 这5 个数码的不同排列； 结论： n 个数码 1,2, , n 的所有排列共 n! 个。
例2： 3个数码的不同排列共 3! 6 个，分别为
4,7,5,1,3,6,2 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3 5 3 0 11 0 13
（4）奇偶排列：若 i1 , i2 , , in 是奇数，则称 排列 i1 , i2 , , in 为奇排列； 排列 i1 , i2 , , in 为偶排列； 例6： 3 阶排列中 若 i1 , i2 , , in 是偶数，则称
个数排在 1 的前面，设有 m1 个，即有 m1 个数与1 构成反序； 将 1 划去；再看有多少个数排在 2 的前面，设有 m2 个，将 2 划去；‥ ‥ ‥ ，如此下去，设有 mn1 个数排在 n 1 的 前面，将 n 1 划去，最后只剩下数 n ，即 mn 0 则 i1 , i2 , , in m1 m2 mn1 mn 例5 ：7 阶排列 4,7,5,1,3,6,2 中，
1.2全排列及其逆序数
定义
例如
在一个排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若数 i t i s 则称这两个数组成一个逆序. 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 4 1 2 0 0 1 0
8
用方法2
由前向后求每个数的逆序数.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
● ● ● n 种 放 法 共有 n-1 种 放 法 n-2 种 放 法
● ● ●
3 2 1 种 种 种 放 放 放 法 法 法
n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!
3.排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
2 1 2 0 0
逆序数为
t ( 32514) 21 2 0 0 5.
0 1 0 3 1
逆序数为
t ( 32514) 1 3 01 0 5.
此排列为奇排列.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1
解
217986354
2 1 7 9 8 6 3 5 4
问题
把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
1.定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）. 例 2431 45321 123 …n n (n –1) … 1 4级排列； 5级排列； n级排列，称为自然排列；
n级排列。
2.不同n级排列的总数 用1,2, …, n这n个数字，可以组成多少个 不同的n级排列？
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
线性代数(同济大学应用数学系第四版)1-2 全排列与逆序数
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ L ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 L i t L i s L i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序. 逆序 3 2 5 1 4 逆序
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
例1 计算排列
n(n-1)(n-2)…321 …321
的逆序数。 的逆序数。
解: 考虑1 8 n(n − 1)(n − 2 )L 321 1 42 43 44 4 4 (n − 2)
t=0+1+＋2＋…+(n-2)+(n-1) =0+1+＋ …+(n-2)+(nn (n − 1 ) = 2
三、小结
理解全排列的概念 掌握全排列逆序数的求法
第一章 第二节
全排列与逆序数
一、概念的引入
引例 三个数字， 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有 、 、 三个数字 重复数字的三位数？ 重复数字的三位数？
解
百位 十位 个位
1 1 2 1 2 3
2 1 3
3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
共有 3 × 2 × 1 = 6
种放法. 种放法
二、全排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列 ，共有几种不 同的排法？ 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 个不同的元素排成一列， 元素的全排列（或排列） 元素的全排列（或排列）.
线性代数 1.1 全排列及其逆序数
三、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 定义 把排列中两个元素位置进行对调， 称为对排列作一次对换。 定理：对换改变排列的奇偶性. 证明：先证明是相邻对换的情况，再证非 相邻对换的情况。 推论 将奇（偶）排列变成标准排列需用奇（偶）数 次对换。
第一章
行列式
§1.1 全排列及其对换
一、全排列的定义 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
个元素的全排列，简称排列。 例 123456 是 6 个数的全排列， 53421 是 5 个数的全排列。
二排列的逆序数
对于n 个不同的元素，规定各元素之间由小 到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 时，就说有一个逆序，一个排列中所有逆序的总 数叫做这个排列的逆序数。 求逆序数的方法： t ( p1 p2 pn ) t1 t2 tn 其中 ti 是排列中与元素 pi 相关的逆序数，即位于 pi前且比 pi 大的的元素个数。
例 (1) 求排列3412中逆序数 .
2 nn 1n 2 321
(1) t (3412) 0 0 2 2 4; 解：
(2) t (n n 1 n 2 321) 0 1 2 (n 1) 1 n(n 1) 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换
a1 al ab b1 bm c1 cn
m 1 次相邻对换 a a b b b a 1 l 1 m a c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn ,
2m 1次相邻对换 a a bb b ac c , 1 l 1 m 1 n
0 10 0 1 3 4 4 5
t 5 4 4 31 0 01 0
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321
解
n 1 n n 1 n 2 321 n 2
a1 al a b b b1 bm a1 al b ba a b1 bm
a1 ala b1 bm b c1 cn a1 al b b1 bm a a c1 cn
对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为
对换 a 与 b
a1 al ab b1 bm
a1 al ba ba b1 bm
除 a , b 外，其它元素的逆序数不改变.
当 a b时，
经对换后 a 的逆序数增加1 ,
当 a b时，
b 的逆序数不变;
b 的逆序数减少1. 经对换后 a 的逆序数不变 ，
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 a1 al ab1 bm bc1 cn 现来对换 a 与 b .
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6.
同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序.
方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 例1 解 求排列32514的逆序数. 在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;
排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1 ,2 , , n 1 , n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1 ,2 , , n 1 , n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 对换改变排列的奇偶性.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
t 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
定义
在一个排列 i1 i2 it i s in 中，若数 it i s 则称这两个数组成一个逆序.
例如 排列32514 中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
二、全排列及其逆序数
，共有几种不 问题 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？ 定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
t 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
t n 1 n 2 2 1
n n 1 , 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
3 2k 12k 122k 232k 3k 2 3 2k 3k 1 k
所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.
推论1 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的
变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 推论2 全体n元排列的集合中，奇排列和偶排列 各半.
三、小结