课题 二阶与三阶行列式,全排列及其逆序数,n阶行列式的定义,对换

课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数；

n 阶行列式的定义；对换.

1、二阶行列式

把二元线性方程组11112212112222

a x a x

b a x a x b +=⎧⎨+=⎩ （1）

的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表

111221

22

a a a a （2）

其运算表达式11221221a a a a -称为数表（2）的二阶行列式，

记为

11121122122121

22

a a D a a a a a a =

=- （3）

理解：（1）数(1,2;1,2)ij a i

j ==称为行列式（3）的元素

或元，即行列式（3）的元素可表为(1,2;1,2)ij a i j ==，

其中i 为行标，j 为列标。元素ij a 位于该行列式（3）的第i 行

第j 列或称为行列式（3）的第(,

)i j 元.

（2）把11a 到22a 的联线称为主对角线，12a 到21a 的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积.

（3）行列式表示按某种法则运算的结果.

利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程

可写为

111221

22

0a a D a a =

≠，11212

22

b a D b a =

，

111222

2

a b D a b =

.

所以 11D x D =，2

2D x D

=.

自学P 2例1. 2、三阶行列式

定义：设有9个数排成3行3列的数表

11

1213

21222331

3233a a a a a a a a a （4） 记为

11

1213

21

222311223312233131

32

33

a a a D a a a a a a a a a a a a ==+ 132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a +---. （5）

（5）式称为数表（4）所确定的行列式.

例1 计算三阶行列式

2

2

21

11a b c a

b

c

. 解 原式=2

22222bc

ca ab ba cb ac ++---

=()()()a b b c c a ---. □ 自学P 3例2。

例2 求解方程

2

11123

049x x =.

解 方程左端的三阶行列式可化为 2223418921256x x x x x x ++---=-+，

由

2

560x x -+=，解得 2x =或3x =. □

3、全排列及其逆序数

逆序数：对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一

个标准次序（通常规定由小到大为标准次序），然后由这n 个元素所组成的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，得到一个逆序，所有这些逆序的总数称为这个排列的逆序数，用字母t 表示.

逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.

例3 求排列32514的逆序数.

解 规定标准次序为123450.于是在排列32514中，首位元素3的逆序数是0，第2位元素2的逆序数是1，第3位元素5的逆序数是0，第4位元素1的逆序数是3，末位元素4的逆序数是1. 所以它的逆序数为

t =0+1+0+3+1=5. □

例4 按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数. 13

(21)24(2)n n -

解 在这个排列中有2n 个元素，其中前n 个元素组成的排列13

(21)n -的逆序数是0.第1n +位元素2与它前面

除元素1外的其它1n -个元素都构成逆序对，故它的逆序数是1n -.同理，第2n +位元素4的逆序数是1n +，…， 末位元素2n 的逆序数是0. 所以它的逆序数为

t =1

(1)(2)0(1)2

n n n n -+-+

+=-. □

根据逆序数，三阶行列还可以改写为

123111213

21222312331

32

33

(1)t p p p a a a a a a a a a a a a =-∑ （6） 其中，1p 、2p 、3p 在1～3中任取三个不同的数，t 为排列123p p p 的逆序数，∑表示对123123(1)t

p p p a a a -取代数

和.

4、n 阶行列式的定义

我们把（6）式推广到一般情形，得到n 阶行列式的定义

定义：设有2

n 个数，排成n 行n 列的数表

11121212221

2

n n n n nn

a a a a a a a a a

记

12

1112121222121

2

(1)n n n t p p np n n nn

a a a a a a D a a a a a a =

=-∑.

称为n 阶行列式，简记为det()ij a ，其中数ij a 为行列式D 的

(,)i j 元.

例 5 证明n 阶主对角行列式

1

2

12n n

λλλλλλ=.

证明

(1,2,,)i i n λ=为行列式的(,)i i 元，于是记为

i ii a λ=，所以

1

11

2

22

n

n n

a a a λλλ=