1-2 全排列及其逆序数

第一章 行列式
第二节 全排列及其逆序数
㈠ 全排列 ㈡ 全排列的逆序数 小结 思考题 作业
㈠ 全排列
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定义 1 n 个不同的元素排成的一列，称为 n 个元素 的全排列(简称 n 元排列). 例如，32514 是一个五元排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示. Pn n ( n 1) 3 2 1 n!
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㈡ 全排列的逆序数
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对 n 个不同元素，规定各元素间有一个标准次序. 对 n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 2 在由自然数构成的排列(a1a2 ai a j an )中, 若数 ai a j , 则称这两个数组成一个逆序.
逆序 例如， 3 2 5 1 4 逆序 逆序
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.
左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
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右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
方法 2 求出每个元素右边比它小的数的个数，并相 加 t 0 41 2 0 01 0 8
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0

1

2


3

k 1


(2)
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
1 2
3
k
t (1 2 k ) (0 1 2 k 1)
k k 1 k k 1 2 2
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作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
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思考题
分别用两种方法求排列 16352487 的逆序数.
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思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
定义 3 一个排列中所有逆序的总数，称为此排列的 逆序数. 说明 标准排列中没有逆序，其逆序数等于 0.
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在一个排列(a1a2 ai a j an )中，若 ai 与右边的 a j 构成逆序，则 a j 与其左边的 ai 也构成逆序. 【讨论】四元排列 3241 的逆序数 元素 逆序
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例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为奇数时，排列为奇排列.
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小结 思考题 作业
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小结
1. n 个不同的元素构成 n 元排列，排列种数为 n! . 2. 概念：逆序、元素的逆序数，排列的逆序数. 3. 排列具有奇偶性. 4. 如何计算排列的逆序数(两种方法). (方法1)计算出每个元素的逆序数，然后求和. (方法2)求出每个元素右边比它小的数的个数，然 后求和.
0 1 0 3 1 (元素的逆序数) 于是排列 32514 的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
此排列为奇排列.
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例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性 .
(1) nn 1n 22 1
( 2) 2k 12k 122k 232k 3k 1k