1-2 全排列及其逆序数
合集下载
全排列及其逆序数
全排列及其逆序数
全排列是指对给定的一组不同的元素，按照一定的顺序进行排列，形成所有可能的排列方式。
例如，对于3个元素a、b、c
来说，它们的全排列为6种：abc、acb、bac、bca、cab、cba。
在全排列中，逆序数是指排列中相邻两个元素逆序出现的次数。
例如，对于排列abc，其中包含两个逆序对，即bc和ac。
逆
序数越多，说明排列越混乱或越逆序。
逆序数在数学上有广泛的应用，例如在计算逆序对问题、计算排列的偏序关系等方面都有用到。
在计算逆序数时，常采用归并排序的思想，即将排列拆分成子序列，分别计算子序列的逆序数，再合并子序列的结果。
线性代数ppt课件
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
5
第一章 行列式
我们用符号
aa1211表aa示1222代数和a11a22a12a21
解： 1 3 … （2n-1） 2 4 … 2k… （2n)
D3x24x189x2x212x25x6
即x25x60
x2或x3
值得注意的是：四阶及四阶以上行列式没有像二、三阶 行列式那样的对角线法则
13
第一章 行列式 §1-2 全排列及其逆序数
[引例]用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的 三位数？
[解依] 次选定百位数、十位数、个位数。 百位数有3种选法 十位数有2种选法 个位数有1种选法 所以可以组成6个没有重复数字的三位数 这6个三位数是 123 132 213 231 312 321
十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。 十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。
3
第一章 行列式
莱布尼茨：历史上少见的通才，被誉为 十七世纪的亚里士多德。在数学上，他 和牛顿先后独立发明了微积分。在哲学 上，莱布尼茨的“乐观主义”最为著名 。 他对物理学的发展也做出了重大贡献 。
并称它为三阶行列式。
10
第一章 行列式
2、行列式中的相关术语
行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线 3、三阶行列式的计算 （对角线法则或沙路法则 ）
§1-2 全排列及其逆序数
1,2,3 ；1,3,2 ； 2,1,3 ； 2,3,1 ；3,1,2 ； 3,2,1
（2）逆序：在一个排列里，如果某一个较大的数排在某一 个 较小的数前面，则称这两个数码构成一个逆序； 例3 ：5 阶排列 4,3,5,2,1 中 4,3 、4,2 、4,1 及 3,2 、 3,1
5,2 、5,1 、2,1 等均构成反序，且共8 个反序；
（3）逆序数：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，出现的逆序 总个数称为这个排列的逆序数；并记作 i1 , i2 , , in 例4 ：例 3 中 5 阶排列 4,3,5,2,1 中，逆序数为 8 即： 4,3,5,2,1 8
逆序数的计算：在一个排列 i1 , i2 , , in 里，先看有多少
特别，称 1,2, , n 为这
例1 ：1,2,3,4,5 ； 5,4,3,2,1 ； 3,2,1,5,4 ； 3,4,5,1,2 等等，均为 1,2,3,4,5 这5 个数码的不同排列； 结论： n 个数码 1,2, , n 的所有排列共 n! 个。
例2： 3个数码的不同排列共 3! 6 个，分别为
4,7,5,1,3,6,2 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
3 5 3 0 11 0 13
（4）奇偶排列：若 i1 , i2 , , in 是奇数，则称 排列 i1 , i2 , , in 为奇排列； 排列 i1 , i2 , , in 为偶排列； 例6： 3 阶排列中 若 i1 , i2 , , in 是偶数，则称
个数排在 1 的前面，设有 m1 个，即有 m1 个数与1 构成反序； 将 1 划去；再看有多少个数排在 2 的前面，设有 m2 个，将 2 划去；‥ ‥ ‥ ，如此下去，设有 mn1 个数排在 n 1 的 前面，将 n 1 划去，最后只剩下数 n ，即 mn 0 则 i1 , i2 , , in m1 m2 mn1 mn 例5 ：7 阶排列 4,7,5,1,3,6,2 中，
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
1-2排列及其逆序数
定义⒈⒈ ｎ个不同元素所排成的一列，称为（全）排列。 标准(自然排列):ｎ个不同自然数从小到大的排列。 例： 6 3 2, 2 5 1 3 4 2 3 6, 1 2 3 4 5
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
p1 p2 p3.......... pn , p N , i 1, 2, , n . 定义⒈⒉ 若在排列 p1 p2 ...... pn 中,某两数不是自然顺序
（４）标准排列是偶排列。
定义⒈⒋ 例： 定理⒈⒈
对换：将排列中某两数位置对调，其余数不动。
6372451 对 换 一 次 1372456 偶排列 奇排列
排列经一次对换，奇偶性改变。
推论 （１）：奇（偶）排列调为奇（偶）排列， 须作偶数次对换，奇偶性相同。 （２）：奇（偶）排列调为偶（奇）排列， 须作奇数次对换，奇偶性不同。 （３）：奇（偶）排列调为标准排列， 须作奇（偶）数次对换，标准排列是偶排列。
例1.2，求排列数的逆序数
(1)６３７２４５１ (2)１３７２４５６
(3) 1 2 3 …(n-1)n(2n)(2n-1)…(n+1) 解：(1) 排列 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 6 3 7 2 4 5 1 τi 0 1 0 3 2 2 6
(6372451) i 14
i
排列的一般记法：
(即前数>后数),则称这两数构成一个逆序。 排列 p1 p2 ..... pn 的逆序总数称为逆序数。 记作：
( p1 p2 p3..... pn)
记 逆序数求法：
i 是pi 前比pi 大的数的个数，则 ( p1 p2 ... pn ) 2 3 ... n (1 0)
1 i 0 0 1 2 (n 1) (n 1)n 2 i 1
第二节 全排列及其逆序数
，共有几种不 问题: 把 n 个不同的元素排成一列 同的排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
0 0 1
3 2 5 1 4
1
∴ 逆序 t =3+1+0+1+0=5.
逆序数为3
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例如
排列32514 的逆序数为5，所以它是奇排列. 排列12345 的逆序数为0，所以它是偶排列．
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解:
百位 十位
1
2
3 3
3种放法
2种放法
1
1 2
2
1 3
种放法.
个位
1 2 3
1种放法
共有 3 2 1 6
这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.
二、全排列及其逆序数
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序，n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1i2 is it in 中，若数
is it（即排在前面的数大于后面的数），则称这
两个数组成一个逆序； 一个排列中所有逆序的总 数称为此排列的逆序数，常记作 t i1i2 is it in .
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个 元素的全排列（或排列）.
n 个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 Pn表示. 由引例 P3 3 2 1 6. 同理
Pn n ( n 1) ( n 2) 3 2 1 n!.
0 0 1
3 2 5 1 4
1
∴ 逆序 t =3+1+0+1+0=5.
逆序数为3
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列.
例如
排列32514 的逆序数为5，所以它是奇排列. 排列12345 的逆序数为0，所以它是偶排列．
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.
第二节 全排列及其逆序数
一、概念的引入
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？ 解:
百位 十位
1
2
3 3
3种放法
2种放法
1
1 2
2
1 3
种放法.
个位
1 2 3
1种放法
共有 3 2 1 6
这六个不同的三位数是：123，132，213，231，312，321.
二、全排列及其逆序数
排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序，n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 i1i2 is it in 中，若数
is it（即排在前面的数大于后面的数），则称这
两个数组成一个逆序； 一个排列中所有逆序的总 数称为此排列的逆序数，常记作 t i1i2 is it in .
1-2全排列及逆序数
即 n 个不同的元素一共有n! 种不同的排法.
（这里暂时Байду номын сангаас把元素想象成是写有编号的小球）
3个不同的元素一共有3! = 6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是乱序的，或者说其中有“逆序”.
练习1：求排列 453162 的逆序数. （奇排列）
解： （t 453162） 0+2+3+0+4 9
练习2： 求排列 463152 的逆序数. （偶排列）
t（463152） 0+0+2+3+1+4 10
猜想：对换一次改变排列的奇偶性？书P5
二、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
三、对换与排列奇偶性的关系
定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明 先考虑相邻对换的情形．
t ta1
tal ta tb tb1
§2 全排列和对换
为了研究 n 阶行列式的定义，我们首 先来学习全排列和逆序数的概念
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的
排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
（这里暂时Байду номын сангаас把元素想象成是写有编号的小球）
3个不同的元素一共有3! = 6种不同的排法
123，132，213，231，312，321
所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是乱序的，或者说其中有“逆序”.
练习1：求排列 453162 的逆序数. （奇排列）
解： （t 453162） 0+2+3+0+4 9
练习2： 求排列 463152 的逆序数. （偶排列）
t（463152） 0+0+2+3+1+4 10
猜想：对换一次改变排列的奇偶性？书P5
二、对换的定义
定义
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素 不动，这种作出新排列的手续叫做对换．
将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
例如
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
三、对换与排列奇偶性的关系
定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明 先考虑相邻对换的情形．
t ta1
tal ta tb tb1
§2 全排列和对换
为了研究 n 阶行列式的定义，我们首 先来学习全排列和逆序数的概念
一、排列及其逆序数
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的
排法？
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素 的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示.
全排列及其逆序数解读
定义 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。
n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表 示。
例如, 引例的结果是 P3=3×2×1=6。
上页 下页 返回
计算 Pn 的公式：
首先从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上， 有 n 种取法；
又从剩下的 n－1 个元素中任取一个放在第二 个位置上，有 n－1 种取法；
§2 全排列及其逆序数
★全排列的概念 ★逆序的概念 ★计算排列逆序数的方法
由于对角线法则只适用于二、三
阶行列式，为研究四阶及更高阶的行
列式，必须用到逆序数的概念。本节
主要介绍全排列的概念以、3三个数字，可以组成多少个没有重 复数字的三位数？ 解 总共有3×2×1= 6种放法。
这6个不同的三位数是： 123， 132， 213， 231， 312， 321。
上页 下页 返回
全排列的概念
在数学中，把考察的对象叫做元素。 于是引例可抽象成：把 3 个不同的元素排成一列， 共有几种不同的排法？ 一般地，我们可以讨论“把 n 个元素排成一列，共 有几种不同的排法”的问题。
上页 下页 返回
排列分类
奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列
上页 下页 返回
计算排列的逆序数的方法
不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数，并
规定由小到大为标准次序。
设
p1 p2 pn
为这 n 个自然数的一个排列。
方法一 在排列 p1 p2 pn 中，直接找出次序颠 倒了的元素对的个数，这也就是该排列的逆序数。
t 0 0 0 0 0 0 2 4 6 8 20
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
左
3 2 32 8/2=4 4 1 31 21 41 因此，计算排列的逆序数时，对每个元素只需考虑它 与左边(或右边)的元素所构成的逆序.
目录 上页 下页
右 32 31 21 41
排列的逆序数
对于排列中的一个元素，左边比它大的数的个数， 叫做该元素的逆序数 . 排列的逆序数 = 排列中各个元素的逆序数之和. 定义 4 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 说明 一个排列不是奇排列就是偶排列.
目录
上页
下页
作业
计算以下排列的逆序数，并判断奇偶性
①1 3 4 2 6 5 ;
②2 4 … (2n) (2n-1) (2n-3) … 1
目录
上页
下页
思考题
分别用两种方法求排列 163பைடு நூலகம்2487 的逆序数.
目录
上页
下页
思考题解答
方法 1 求出每个元素的逆序数, 并相加
t 0 011 3 2 01 8
目录
上页
下页
例 1 求排列 32514 的逆序数，并说明它的奇偶性.
分析 3： 排在首位, 逆序数为 0; 2： 前面比 2 大的数只有一个 3, 故逆序数为 1; 5： 前面没有比 5 大的数, 其逆序数为 0; 1： 前面比 1 大的数有 3 个, 故逆序数为 3; 4： 前面比 4 大的数有 1 个, 故逆序数为 1. 解 3 2 5 1 4
解
n 1 (1) nn 1n 2 3 2 1 n2 nn 1 t n 1 n 2 2 1 0 2 当 n 4k , 4k 1 (kN) 时，为偶排列, 当 n 4k 2, 4k 3 (kN) 时，为奇排列.
定义 3 一个排列中所有逆序的总数，称为此排列的 逆序数. 说明 标准排列中没有逆序，其逆序数等于 0.
目录 上页 下页
在一个排列(a1a2 ai a j an )中，若 ai 与右边的 a j 构成逆序，则 a j 与其左边的 ai 也构成逆序. 【讨论】四元排列 3241 的逆序数 元素 逆序
0 1 0 3 1 (元素的逆序数) 于是排列 32514 的逆序数为 t 0 1 0 3 1 5.
此排列为奇排列.
目录 上页 下页
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性 .
(1) nn 1n 22 1
( 2) 2k 12k 122k 232k 3k 1k
目录
上页
下页
㈡ 全排列的逆序数
目录
上页
下页
对 n 个不同元素，规定各元素间有一个标准次序. 对 n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 2 在由自然数构成的排列(a1a2 ai a j an )中, 若数 ai a j , 则称这两个数组成一个逆序.
逆序 例如， 3 2 5 1 4 逆序 逆序
目录 上页 下页
0
1
2
3
k 1
(2)
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3 k 1 k
1 2
3
k
t (1 2 k ) (0 1 2 k 1)
k k 1 k k 1 2 2
方法 2 求出每个元素右边比它小的数的个数，并相 加 t 0 41 2 0 01 0 8
目录
上页
下页
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列， 当 k 为奇数时，排列为奇排列.
目录 上页 下页
小结 思考题 作业
目录
上页
下页
小结
1. n 个不同的元素构成 n 元排列，排列种数为 n! . 2. 概念：逆序、元素的逆序数，排列的逆序数. 3. 排列具有奇偶性. 4. 如何计算排列的逆序数(两种方法). (方法1)计算出每个元素的逆序数，然后求和. (方法2)求出每个元素右边比它小的数的个数，然 后求和.
第一章 行列式
第二节 全排列及其逆序数
㈠ 全排列 ㈡ 全排列的逆序数 小结 思考题 作业
㈠ 全排列
目录
上页
下页
定义 1 n 个不同的元素排成的一列，称为 n 个元素 的全排列(简称 n 元排列). 例如，32514 是一个五元排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn 表示. Pn n ( n 1) 3 2 1 n!