常微方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
常微分方程知识点整理
常微分方程知识点整理常微分方程是数学中的一个重要分支，研究描述自然界中各种变化规律的微分方程。
在物理、工程、经济学等领域具有广泛的应用。
本文将对常微分方程的基本概念、分类、求解方法等知识点进行整理。
一、常微分方程的基本概念常微分方程是指未知函数的导数及其自变量的关系式。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，x是自变量，f是已知的函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
1. 一阶常微分方程：一阶常微分方程是指方程中只涉及到一阶导数的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)。
其中f(x, y)是已知的函数，也可以是常数。
2. 高阶常微分方程：高阶常微分方程是指方程中涉及到二阶及以上导数的微分方程。
常见形式为d^n y/dx^n = f(x, y, dy/dx, ..., d^(n-1)y/dx^(n-1))，其中n为方程的阶数，f是已知的函数。
二、常微分方程的分类根据方程的形式和性质，常微分方程可以分为线性常微分方程、非线性常微分方程、齐次线性常微分方程等多种类型。
1. 线性常微分方程：线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是线性的微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = f(x)，其中a_n(x)、a_(n-1)(x)、...、a_1(x)、a_0(x)是已知的函数。
2. 非线性常微分方程：非线性常微分方程是指方程中未知函数及其导数之间的关系是非线性的微分方程。
常见形式为dy/dx = f(x, y)，其中f(x, y)是已知的非线性函数。
3. 齐次线性常微分方程：齐次线性常微分方程是指方程中没有常数项的线性常微分方程。
常见形式为a_n(x) d^n y/dx^n + a_(n-1)(x) d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_1(x) dy/dx + a_0(x) y = 0。
常微分方程-简介
用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，解 决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基 本的微分方程问题。 学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习后续课 程打下基础。
通过这门课的学习和训练，学习数学建模的一些基本方法。 初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题， 为将来从事相关领域的科学研究工作打下坚实的基础。
常微分方程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象的运动、演化和变化规律最为基本的数学理论和方法。
物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融
领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程， 如牛顿运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发 展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、利率的浮动、市场 均衡价格的变化等。
对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分
方程模型的研究。
常微分方程最早出现在数学家们彼此的通信和 一些刊物中 荷兰数学家、物理学家、天文学家 惠更斯(Christiaan Huygens,1629.4—1695.7) 在1693年的《教师学报》中明确提出了微分方程
雅各布〃伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705) 是利用微积分求常微分方程问题解析解的 先驱者之一。在1695年提出了伯努利方程
约翰.伯努利（雅科布之弟，巴塞尔大学医学博士) 在1694年的《教师学报》中对齐次方程的解法 作了更加完整的说明，并首先提出了全微分方程 的概念
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年，德国数学家）在1694年 利用变量替换法给出了一阶线性方程的解。 1696年给出证明：利用变量替换,可以把 贝努利方程化为线性方程。
常微分方程的基本概念
esin x esin xesin xdx C
esin x x C .
例2. 解方程 (x 1) dy y ex (x 1)1, (为常数)
dx
解：dy y ex (x 1)
dx x 1 利用求解公式
y
e
(
)dx x1
[
ex (x
1)
e
(
)dx x1
dx
C]
e [ ln(x1) e x (x 1) e ln(x1)dx C]
代入上式后化简,
k
得特解
v
m
g
(1
e
k m
t
)
v
mg k
k
5.2.2 可化为可分离变量的方程
形如y' f ( y )的微分方程称为齐次微分方程. x
解齐次方程时,通常用变量替换法,即 设u y ,
x
将齐次方程化为可变量分离的方程.
由y ux, dy u x du , 代入原方程 ,得u x du f (u)
[解] 令 u y , y ux , y' u xu'
x
则 u xu' 1 u 1u
即 xu' 1 2u u2 1u
两端积分
1u 1 2u
u2
du
1 x
dx
凑微分
1 2
d(u2 1 2u
2u 1) u2
1 x
dx
得
1 2
ln(u2
2u
1)
ln
x
ln
C1
u2
2u 1
C x2
B.质点自由下落
一质点在重力作用下自由下落（不计空气阻力），试求 质点下落距离S与时间t的函数关系。
常微分方程pdf
常微分方程常微分方程是指只涉及一元函数和它的导数的方程，通常用来描述自然界中的各种现象。
例如，物理学中的牛顿第二定律、生物学中的人口增长模型等等。
常微分方程在各个学科都有着广泛的应用，因此掌握常微分方程的解法和相关理论非常重要。
一阶常微分方程我们先来看一阶常微分方程，形式一般如下：$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$其中$y=y(x)$，$f(x,y)$是已知的函数，我们需要求出$y=y(x)$的解。
这种形式的常微分方程也称为首次积分方程，因为我们需要对$f(x,y)$进行积分才能得到$y(x)$。
通常我们使用分离变量法。
具体步骤如下：1.把方程两边关于$x$和$y$分离，得到$\frac{dy}{f(x,y)}=dx$。
2.对两边同时积分，得到$\int\frac{dy}{f(x,y)}=\intdx+C$，其中$C$是常数。
3.解方程得到$y=y(x)$。
二阶常微分方程二阶常微分方程的一般形式为：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中$y=x(t)$，$p(x),q(x),f(x)$的表达式已知，我们需要求解$y=x(t)$的解析表达式。
二阶常微分方程比一阶常微分方程更广泛，它可以用来描述许多自然现象，例如弹簧振动、震荡现象等等。
我们可以采用以下几种方法求解二阶常微分方程：1.常系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+ay'+by=0$的方程，我们可以假设$y=e^{mx}$作为解，代入方程得到特征方程$m^2+am+b=0$，然后求出$m$的值，进一步得到方程的通解。
2.变系数线性齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的方程，通常采用欧拉-柯西方程的方法来求解，这个方法可以将一个二阶常微分方程转化为一个一阶常微分方程。
3.非齐次方程的解法，对于形如$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$的方程，我们可以采用常数变易法或者伯努利方程的方法来求解，从而得到方程的通解。
常微分方程基本公式
常微分方程基本公式一、一阶常微分方程。
1. 可分离变量方程。
- 形式：(dy)/(dx)=f(x)g(y)- 解法：将方程变形为(dy)/(g(y)) = f(x)dx，然后两边分别积分∫(dy)/(g(y))=∫f(x)dx + C，其中C为任意常数。
2. 齐次方程。
- 形式：(dy)/(dx)=F((y)/(x))- 解法：令u = (y)/(x)，即y = ux，则(dy)/(dx)=u + x(du)/(dx)。
原方程化为u + x(du)/(dx)=F(u)，这是一个可分离变量方程，可按照可分离变量方程的方法求解。
3. 一阶线性微分方程。
- 形式：(dy)/(dx)+P(x)y = Q(x)- 通解公式：y = e^-∫ P(x)dx(∫ Q(x)e^∫ P(x)dxdx + C)二、二阶常系数线性微分方程。
1. 齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = 0（其中p,q为常数）- 特征方程：r^2+pr + q=0- 当特征方程有两个不同实根r_1,r_2时，通解为y = C_1e^r_1x+C_2e^r_2x；- 当特征方程有重根r时，通解为y=(C_1+C_2x)e^rx；- 当特征方程有一对共轭复根r_1,2=α±β i时，通解为y = e^α x(C_1cosβ x + C_2sinβ x)。
2. 非齐次方程。
- 方程形式：y''+py'+qy = f(x)- 通解结构：y = y_h+y_p，其中y_h是对应的齐次方程的通解，y_p是一个特解。
- 当f(x)=P_m(x)e^λ x（P_m(x)是m次多项式）时，特解y_p的形式：- 若λ不是特征方程的根，则y_p=Q_m(x)e^λ x（Q_m(x)是m次待定多项式）；- 若λ是特征方程的单根，则y_p=xQ_m(x)e^λ x；- 若λ是特征方程的重根，则y_p=x^2Q_m(x)e^λ x。
常微分方程基本概念
)
0
如果把 z, z, z, , z(n1)都理解为未知函数，并作变换
y
取(0,1)，(0,0)，(0,-1)，画出三条等斜 线,再在每条等斜线上适当选取若干个 点画出对应的向量，即可得方向场 （如图示），并可以进一步大体描绘 出其积分曲线。
o
x
考察方程
dy y dx x
的方向场和它的积分曲线。
除坐标原点（０，０）外，原方程在整个（x,y）平面上定
义了一个方向场，在任意一点P(x,y)处方向场的方向由比式
F(x,
y, dy dx
,,
dn dx
y
n
)
0
的左端为y及 dy , dx
,
dn dx
y
n
的一次有理整式,
则称其为n阶线性方程.
如 (1) dy 2x (2) xdy ydx 0
dx
(4) d 4 x 5 d 2 x 3x sin t dt 4 dt 2
是线性微分方程.
不是线性方程的方程称为非线性方程
x
2
3x sin t
;
(5) z z z ; x y
2u 2u (6) x y uz 0 .
x2 y 2
1.常微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个， 则这样的微分方程称为常微分方程.
如 (1) dy 2x; (2) xdy ydx 0 ; dx
(3)
d2x dt 2
注：
1. 满足初始条件 y0 (x0 ) 的特解就是通过点(x0 , y0 ) 的一条积分曲线。
2.
方程的积分曲线的每一点
(x,
y)
上的切线斜率
dy dx
微分方程中的常微分方程与偏微分方程
微分方程是数学中一个重要的研究对象，它是描述自然现象和工程问题的数学模型。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程描述的是只涉及一个自变量的函数的导数关系，而偏微分方程描述的是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系。
常微分方程即只包含一个自变量的导数的方程。
它可以描述一维变量的变化情况，比如物体在时间轴上的运动。
以牛顿第二定律为例，当只考虑一个物体在直线上的运动时，可以得到一个常微分方程： $m\frac{d^2x}{dt^2} = F$，其中 $m$ 是物体的质量，$\frac{d^2x}{dt^2}$ 表示物体在时间 t 上的加速度，$F$ 是物体所受的力。
常微分方程的解是一个函数，描述了物体在时间轴上的位置随时间的变化。
偏微分方程是涉及两个及以上自变量的函数的导数关系方程。
与常微分方程不同，偏微分方程描述的是多维变量的变化情况，比如物体在空间中的传热过程。
以热传导方程为例，假设物体的温度分布是一个函数 $u(x, y, z, t)$，可以得到三维空间中的偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \nabla^2 u$，其中 $\frac{\partial u}{\partial t}$ 表示温度随时间的变化率，$k$ 是热传导系数，$\nabla^2 u$ 表示温度的二阶空间导数。
偏微分方程的解也是一个函数，描述了物体在空间中的温度分布随时间的变化。
常微分方程和偏微分方程在理论和应用上都有重要的意义。
在理论上，它们为数学分析提供了丰富的对象和工具，丰富了数学的研究领域。
在应用上，常微分方程和偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域的建模和求解问题。
无论是描述天体运动、传热过程、生物动力学，还是分析控制系统、优化问题，微分方程都起到了重要的作用。
常微分方程和偏微分方程的研究方法各不相同。
对于常微分方程，传统的求解方法主要包括分离变量法、变量代换法、级数法等。
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分类3: 线性与非线性微分方程.
2
y P ( x ) y Q ( x ), x( y) 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
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不含有任意常数的解，称为特解.
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例 y y, 通解 y ce ; y y 0, 通解 y c1 sin x c2 cos x;
x
解的图象:微分方程的积分曲线.
通解的图象:积分曲线族. 初始条件:用来确定任意常数的条件.
微分方程的特解
如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的 个数与方程的阶数相同，则称这样的解为通解. 不含有任意常数的解，称为特解.
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例如
y xy,
y 2 y 3 y e ,
x
( t x )dt xdx 0,
2
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
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线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各 阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.
(2)
1 d( x ) 1 2 arcsin x C 2 2 1 x4 1 ( x2 )2
xdx
2
ln x 1 2 (3) dx ln xd( ln x) ln x C x 2
1 1 2 3 (4) (2 x 3) dx (2 x 3) d(2 x 3) (2 x 3) C 2 6
dy 2 3x y dx
的通解.
ln y x C1
即
y
x C1 e
x3
3
e e
C1
C1 x 3
令C e
ln y x 3 ln C
y Ce
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( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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为二阶微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解，并求该方程满 足初始条件 y (0) 0, y (0) 1的特解．
x 2x y C e C e , y ( 0 ) 0 由初始条件 代入 1 2
得 C1 C2 0 x 2x y C e 2 C e , y ( 0 ) 1 由初始条件 代入 1 2 得 C1 2C2 1.
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例1
验证函数 y C1e x C2 e 2 x ( C1 , C2 为任意常数)
为二阶微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解，并求该方程满 足初始条件 y (0) 0, y (0) 1的特解．
x 2x x 2x x 2x y C e C e , y C e 2 C e , y C e 4 C e , 解： 1 2 1 2 1 2
(6) (7 )
cos xdx sin x C sin xdx cos x C
(8)
e dx
x
ex C
ax C ln a
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(9)
a d x
x
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例(1)
x 1 1 1 2 2 1 x2 dx 2 1 x2 d(1 x ) 2 ln 1 x C
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例4 求 y ' xy 0 的通解． dy xy 解 方程变形为 dx dy xdx y 0 分离变量得
y dy xdx 两边积分得 y
求积分得 所以
方程通解为 y Ce
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y | | e c 1 x
2
1 2 ln | y | x ln c 2 1
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微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程 称为微分方程．
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数
的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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微分方程的解有两种形式：
常微分方程的通解
（3）计算上述不定积分，得通解.
G ( y ) F ( x) C
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例2. 求微分方程
解: 分离变量得 d y 3 x 2 d x 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 dy 2 变形, 因此可能增、 3 x dx 两边积分 y 减解. 3 或 得
(C为任意常数)
o
x
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x 2 1 .
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第六章
第一单元
常微分方程
常微分方程的基本概念与 分离变量法
第二单元 一阶线性微分方程
第三单元 二阶常系数线性微分方程
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即
y x 1 C
y
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2
( C 为任意常数 )
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
x
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2
1 1
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内容小结
1. 微分方程的概念
微分方程; 阶; 初始条件; 解; 通解; 特解
说明: 通解不一定是方程的全部解 . 例如, 方程 ( x y ) y 0 有解 y=–x 及 y=C 后者是通解 , 但不包含前一个解 . 2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据初始条件定常数 .
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可分离变量方程的解法：
（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量 y ，
f ( x)dx （2）两边积分： g ( y )
dy f ( x )dx 其中g ( y) 0 g ( y ) dy
而另一边只含变量 x 的形式，即
例3 求方程 2x yy y +1 通解 .
2 ' 2
解
分离变量
y 1 dy dx, 2 2 y 1 2x
两端积分 解得
y dy 2 y 1
1 dx, 2 2x
y 1 ce
2
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1 1 2 ln y 1 ln c 2 1 2x
x
为所求通解.
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（ 6）
arccos x dx .
x arccos x xd arccos x
=
x arccos x
,
x 1 x
2
dx
1 2
x arccos x x arccos x
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1 (1 x 2 ) d(1 x 2 ) 2
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第一单元 常微分方程的基本概念与分离变量法
一、微分方程的基本概念 微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程
称为微分方程．
特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数
时的微分方程就称为常微分方程.
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数
的最高阶数定义为该微分方程的阶数．
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微分方程的分类
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程. 分类2: 一阶微分方程
F ( x , y , y ) 0, F ( x, y, y, , y ) 0,
( n)
高阶(n)微分方程
y f ( x , y ); y( n ) f ( x, y, y, , y( n1 ) ).
1 x C
2
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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 1 2
2
y
① ②
(1, 2)
由 ① 得 y 2x d x x C
将 y , y , y 代入方程 y 3 y 2 y 0 左端，得
C1e x 4C2e2 x 3(C1e x 2C2e2 x ) 2(C1e x C2e2 x ) (C1 3C1 2C1 )e x (4C2 6C2 2C2 )e2 x 0
k1 y1 k2 y2 0
成立
则称函数 y1 ( x), y2 ( x) 在(a, b) 内线性相关， 否则称为线性无关． y1 y1 , y2 线性相关的充分必要条件是 在区间(a, b)内恒为常数 y
y1 若 y 不恒为常数，则 y1 , y2线性无关． 2