第五章 相关系数讲解
第五章 相关系数
=9.48
将以上数值代入公式（4.1）
r N x Y
xy =
285 .1 =0.56 10 5.34 9.48
所以，语文测验成绩与英语测验成绩之间的相关系数 r=0.56。
2、用原始观测值求r 利用基本公式求r，麻烦且结果不够精确。 可用原始观测值直接求r，公式为： X Y XY N (5.3) r X Y X N Y N 或者
2 2 2 2
r
N X 2 ( X ) 2 N Y 2 ( Y ) 2
N XY X Y
(5.4)
式中 ， 、Y分别为两变量的观测值， X
N为观测值的对数
实际上，这两个公式是由公式（5.1）推导出来的。 X ， Y Y ， x X X ， 把 X N N (Y Y ) 2 (X X ) 和 ，以及 代入公 y Y Y
不完全相关：由两列变量成对的观测值的坐标
点不在一条直线上，呈椭圆形。 零相关：指两变量间没有相关关系，即当一 变量变化时，另一变量不显示出变化倾向， 或即使有变化，也无一定规律。
不完全正相关
不完全负相关
零相关
从散布图的形状，我们可以大 约地看出变量间相关程度的强弱、 方向或性质，但并不能得知其相关 的确切程度。 为精确了解变量间的相关程度， 还需进行进一步的统计分析，求出 描述变量间相关程度的量数，即相 关系数。
r N X 2 ( X 2 ) N Y 2 ( Y ) 2 （5.5） N X Y X Y
式中， X 是 X 变量各数值与其估计平均数
之差； Y 是
Y 变量各数值与其估计平均数之差。
练习:以上述资料为例，假定X变量的估计平均数 为70，Y变量的估计平均数为72,计算相关系数.
相关系数 解读
相关系数解读
相关系数是一种统计方法，用于衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
它的取值范围在-1到1之间。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量增加，另一个变量也随之增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增加，另一个变量会减少。
相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的绝对值越接近1，代表相关关系越强。
当相关系数等于1或-1时，表示存在完全的线性关系，可以通过一条直线完全描述变量之间的关系。
当相关系数接近0时，表示两个变量之间几乎没有线性关系。
需要注意的是，相关系数只能衡量线性关系，无法反映其他类型的关系，如曲线关系或非线性关系。
此外，相关系数并不代表因果关系，仅仅表示两个变量之间的相关程度。
在解读相关系数时，我们通常使用以下标准：
- 0.8至1.0（包括）：表示强正相关
- 0.6至0.8（包括）：表示中等正相关
- 0.4至0.6（包括）：表示弱正相关
- 0.2至0.4（包括）：表示弱相关或无线性关系
- 0至0.2（包括）：表示无线性关系
需要注意的是，这些解释只是一般情况下的参考，具体解读还需结合具体研究领域和数据特点进行分析。
相关系数及应用条件
相关系数及应用条件相关系数是衡量两个变量之间相关程度的统计量，用于描述两个变量之间的线性相关性。
它可以用来研究变量之间的关系，判断它们是否同步变化，以及对其中一个变量进行预测。
相关系数的范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
相关系数为负数表示两个变量呈现负相关关系，即一个变量增加，另一个变量减少；相关系数为正数表示两个变量呈现正相关关系，即一个变量增加，另一个变量也增加；相关系数接近0则表示两个变量没有线性相关性，即它们变化的方向和强度无法用线性关系描述。
相关系数的计算公式为：r = (Σ((x_i - x_mean)(y_i - y_mean))) / (n * s_x * s_y)其中，r为相关系数，x_i和y_i为对应的数据点，x_mean和y_mean为两个变量的平均值，s_x和s_y为两个变量的标准差。
相关系数的计算依赖于变量之间的协方差，通过标准化协方差来进行比较，使得相关系数不受变量尺度的影响。
相关系数的应用条件如下：1. 变量之间的关系是线性的：相关系数适用于描述线性相关性，即变量之间的关系是呈现直线的趋势，而不适用于曲线或其他非线性关系的数据。
2. 变量之间的关系是稳定的：相关系数假设变量之间的关系在整个数据集中是稳定的，即相关性在不同的数据子集中没有显著的变化。
对于非稳定的关系，可能需要使用其他的方法来描述变量之间的关系。
3. 变量之间的关系是双向的：相关系数适用于研究两个变量之间的双向关系，即两个变量之间的变化互相影响。
4. 数据是成对的：相关系数需要成对的数据来计算，即每个数据点都有两个变量的值。
如果只有一个变量或者变量之间的对应关系不明确，相关系数无法计算。
相关系数在实际中有多种应用，包括以下几个方面：1. 预测和模型建立：相关系数可以用于预测一个变量，基于另一个变量的数值。
通过建立回归模型，可以利用相关系数来预测未来的数值。
2. 变量选择和特征提取：相关系数可以用于选择具有最大相关性的变量作为主要特征。
相关系数-高中数学知识点讲解
相关系数
1．相关系数
【知识点的知识】
1、概念：
相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．
2、相关系数用r 表示，计算公式为
其中：当r＞0 时，表明两个变量正相关；当r＜0 时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小．
3、残差：
相关指数R2 用来刻画回归的效果，其计算公式是
在含有一个解释变量的线性模型中，R2 恰好等于相关系数r 的平方．显然，R2 取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好．
【解题方法点拨】
建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；
（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；
^（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程：푦=^
푏x +
^
푎）；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；
1/ 2
（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当．当回归方程不是形
^如：푦=^
푏x +
^
푎时，我们称之为非线性回归方程．
2/ 2。
相关系数计算公式解释
相关系数计算公式解释在统计学中，相关系数（Correlation Coefficient）是一种定量测量变量之间关系的重要工具。
它揭示了两个变量之间的相互影响程度，即当一个变量增加或减少时，另一个变量相应增加或减少的程度。
相关系数可以用来预测变量之间的关系，以及变量的变化趋势。
相关系数可以用来衡量两个变量之间的关系。
它可以测量变量之间的关系强度、方向以及程度。
它的取值范围是从-1到1，当取值在-1到0之间时，表示变量之间的相关性是负的，当取值在0到1之间时，表示变量之间的相关性是正的。
计算相关系数有几种方法，其中最常用的方法是Pearson积矩相关系数。
它是从数据的观测值中计算的，根据以下公式进行计算：Pearson积矩相关系数公式：r=∑(x-x-)(y-y-)/√[∑(x-x-)2∑(y-y-)2]其中，x和y分别表示两个变量；x-y-分别表示两个变量的均值；∑表示所有观测值的和；√表示根号。
在计算Pearson积矩相关系数时，首先要对所有变量计算出均值，然后计算每个变量与其均值差异的平方和，最后将它们相除，得出Pearson积矩相关系数。
由于Pearson积矩相关系数只能用于分析线性的变量关系，因此在处理非线性关系时，要使用Spearman或Kendall等非线性相关系数。
Spearman等级相关系数（Spearman Rank CorrelationCoefficient）与Pearson积矩相关系数类似，但是只针对等级变量。
它用来评估两个等级变量之间的关系，而不考虑其具体数值。
它的计算公式为：Spearman等级相关系数公式：r=∑d2/n(n2-1)/6其中，d表示两个变量间的排序差(Rank Differnece)；n表示样本总数。
Kendallτ检验主要用于判断两组有序数据之间的相关性。
它的计算公式为：Kendallτ检验公式：τ=2C/n(n-1)其中，C表示两组数据之间的共赢（Concordant）对数；n表示样本总数。
概率论 相关系数
概率论相关系数相关系数是研究两个变量之间关联程度的统计方法之一。
它用于衡量两个变量之间线性相关的强度和方向。
相关系数的取值范围在-1和+1之间，其中-1表示完全的负相关，+1表示完全的正相关，0表示无相关。
相关系数在概率论中起着重要的作用，它可以帮助我们确定两个变量之间是否有显著的关联，并且可以用于预测和建模。
相关系数被广泛应用于各种领域，包括经济学、金融学、社会科学、医学等。
计算相关系数需要首先计算两个变量的协方差。
协方差是衡量两个变量之间的总体变异程度的统计量。
然后，通过将协方差除以两个变量的标准差的乘积，可以得到相关系数。
相关系数的计算公式如下：r = cov(X, Y) / (std(X) * std(Y))其中，r表示相关系数，cov表示协方差，std表示标准差。
协方差和标准差的计算方法可以参考相关教材或文献。
除了计算相关系数，还需要对相关系数的结果进行解释和分析。
以下是一些相关参考内容，可以帮助读者理解和应用相关系数：1. 相关系数的解释：- 相关系数介绍：相关系数是用来衡量两个变量之间关联程度的统计方法。
它的取值范围在-1和+1之间，越接近于-1或+1表示关联程度越强，越接近于0表示关联程度越弱或无关。
- 相关系数的意义：相关系数可以帮助分析变量之间的线性关联程度，从而确定它们之间的统计关系。
- 相关系数的解释：解释相关系数的取值范围和意义，包括完全相关、完全负相关和无相关。
2. 相关系数的应用：- 相关系数的应用领域：介绍相关系数在不同学科和领域中的应用，如经济学、金融学、社会科学、医学等。
- 相关系数的作用：说明相关系数在建模和预测中的重要作用，包括解释变量之间的关联关系、预测未知值等。
3. 相关系数的解释和分析：- 相关系数的解释：如何解释相关系数的取值以及它们表示的关联程度。
- 相关系数的分析：如何分析相关系数的结果，判断两个变量之间的关联关系以及其强度和方向。
除了以上内容，还可以附加一些实际案例或研究结果，以帮助读者更好地理解相关系数的应用和分析方法。
05心理统计学-第五章 相关关系
③两数据类型均为连续数据（即等距/比率数据）。
④两变量呈直线相关（先用散点图预测） 。
第二节 积差相关
▪ 二、基本计算公式 P113
➢ 1、运用标准差与离均差
xy
r NsX sY
，其中
x X X ，y Y Y
xy
可改写为 r
x2 y2
第二节 积差相关
▪ 二、基本计算公式
➢ 2、运用标准分数（Z分数）
▪ 一、概念与适用资料 (X X )(Y Y )
又称“积矩”相关。
N
[补充]：r2（决定系数/测定系数）具有消减预测误
差比例的含义。 P372
➢ 适用资料 [诸多条件缺一不可！]
①（大样本的）成对数据（表现为两组数据存在一一对
应关系） ，每对数据相互独立。
②正态双变量（即两总体服从正态分布或渐近正态的单 峰分布） [样本咋样就不管了]。
直接做因果判断。（通常难以区分出共变关系/虚假相关）
第一节 相关、相关系数与散点图
▪ 一、什么是相关
➢ 专题讨论：相关分析完全不能得出因果关系吗？
P107、148
回答：从理论和大多数实际操作来讲的确如此。
➢1）单凭相关无法判断何为因、何为果。 ➢2）很有可能存在其他变量共同作用于这两个变量。 ➢但排除了这两种情况的显著高相关可间接得出因果关
系。
第一节 相关、相关系数与散点图
▪ 一、什么是相关
➢ 2、相关的类别：
首先分为直线相关和曲线相关（根据散点图估计）
➢针对直线相关，从变化情况可划分为：正相关（及完 全正相关）、负相关（及完全负相关）、零相关（即两变量 之间无相关）。 （各种相关均可先根据散点图做初步估计）
[结合P110的图5-2、图5-3]
相关系数理解与计算
相关系数理解与计算相关系数是统计学中用来衡量两个变量之间关联程度的指标。
在实际应用中，相关系数可以帮助我们了解变量之间的关系，从而进行更准确的分析和预测。
本文将介绍相关系数的概念、计算方法以及如何解读相关系数的大小和正负值。
相关系数是衡量两个变量之间线性关系密切程度的统计量，通常用符号r表示。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关性。
相关系数的计算方法有多种，常用的包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数是最常用的相关系数之一，适用于连续变量且呈线性关系的情况。
计算公式为：\[ r = \frac{n(\sum{XY}) -(\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} -(\sum{X})^2][n\sum{Y^2} - (\sum{Y})^2]}} \]其中，n为样本量，X和Y分别为两个变量的取值，$\sum{XY}$表示X和Y的乘积之和，$\sum{X}$和$\sum{Y}$分别表示X和Y的和，$\sum{X^2}$和$\sum{Y^2}$分别表示X和Y的平方和。
斯皮尔曼相关系数适用于变量之间的单调关系，不要求变量呈线性关系。
计算斯皮尔曼相关系数的步骤是：首先将原始数据转换为等级数据，然后计算等级数据的皮尔逊相关系数。
斯皮尔曼相关系数的取值范围也在-1到1之间。
在解读相关系数时，一般认为绝对值大于0.7的相关系数表示变量之间有较强的相关性，绝对值在0.3到0.7之间表示中等相关性，而绝对值小于0.3则表示相关性较弱。
正负号则表示相关性的方向，正相关表示两个变量同向变化，负相关表示两个变量反向变化。
需要注意的是，相关系数只能反映变量之间的线性关系，不能说明因果关系。
在实际应用中，除了计算相关系数外，还需要结合具体背景和领域知识来综合分析变量之间的关系。
综上所述，相关系数是一种重要的统计指标，可以帮助我们理解和分析变量之间的关系。
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rs
3 N
1
4 N
(
Rx Ry N 1)
(N
1)
N等级对数
Rx , Ry为两列变量各自排列的等级序数
零相关：A变化时,B或增大或减少，好无规律。
二、相关系数
概念：相关系数是变量之间相关程度的指标。计算相 关系数一般需大样本。
符号：样本相关系数—r，总体相关系数 —ρ 取值：-1～1。 性质：顺序数据。
三、散点图
Y
Y
Y
0
X
完全正相关
0
X
高正相关
0
X
零相关
Y
Y
Y
0
X
完全负相关
方法。 数据来源：一是等级评定的资料，二是等距或比率资
料转化而成的等级评定资料。 优点：使用范围较积差相关更广 缺点：没有积差相关精确
二、斯皮尔曼等级相关
（一）斯皮尔曼等级相关 Spearman’s rank correlation。符号：rR ,rS. 斯皮尔曼等级相关是根据两列变量的成对等级差数计
第五章 相关系数
李金德
第一节 相关系数与散点图 第二节 积差相关 第三节 等级相关 第四节 质与量相关 第五节 品质相关 第六节 相关系数的选用与解释
第一节 相关系数与散点图
一、什么是相关？
（一）事物可能存在的关系
A
1.因果关系
A是引起B的原因，B是A导致的结果。
如：扁桃体发炎导致喉咙十分难受。
又如:努力学习让学习成绩得到了提高。
B
2.共变关系 表面看似有关系的两个事物，实际上是因为两者都与
第三个事物有关的缘故。 如：医疗设备越好居民患病率越高。 又如：研究发现携带火柴的数量与肺癌患病率正相关。
C
A
B
3相关关系 A与B在发展变化的方向与大小方面存在一定关系。 相关关系不同于因果关系，不能确定两者谁是因果；
2.从形状上看 直线相关 曲线相关
3.从相关程度上看 完全相关：A和B变化完全对应。表现为坐标上的一
条直线。
强相关：A变化时,B增大（或减少）的可能性非常大。 表现为散点图较为集中在某条直线的周围。
弱相关：A变化时,B增大（或减少）的可能性较少。 表现为散点图较为分散的集中在某条直线的周围。
Z x为X变量的标准分
Z y为Y变量的标准分
二、计算公式
3.运用原始数据计算积差相关
r
XY
X Y
Y
2
Y
N
2
或者
r
N XY XY
N X 2 X 2 NY 2 Y 2
例题5-1 试问身高与体重有无关系
第1栏
三、相关系数的合并
合并的步骤：
1.rZ，即先将各样本的相关系数r转化为Fisher Z分
数（查附表8）；
2.求平均的Z分数：Z 的容量；
ni 3Zi ni 3
，其中n为每个样本
3.Zr，即用附表8再将平均的Z分数转化为平均的相 关系数。
第二节 等级相关
一、等级相关的意义 等级相关是根据等级资料来研究变量之间相互关系的
第2栏 实测记分
编号 身高 体重
第3栏 离差记分
dX
dY
第4栏 积差
d X dY
第5栏 标准记分
ZX
ZY
第6栏 标准积差
ZX ZY
X
Y
X X
Y Y
X X Y Y
dX SX
dY SY
d X×dY S X SY
1
170 72
0
3
2
165 69
-5
0
3
150 66
-20
-3
4
180 70
0
X
高负相关
0
X
零相关
第二节 积差相关
一、概念及适用范围
积差相关，是计算两个变量线性相关的一种方法，由 英国统计学家皮尔逊提出，因此也称为皮尔逊 (Pearson)相关。
适用范围：①数据成对
②两变量总体正态分布或接近正态分布
③两变量是连续变量
④两变量为线性关系
二、计算公式
1.运用标准差与离均差的计算公式
也有理由认为这两者不同时受第三个因素的影响，即 不存在共变关系。
但是，相关关系比较复杂，研究中研究者常常把相关 作为因果和共变关系的研究前奏。
（二）相关的类别 1.从方向上来判断 正相关——变化方向一致，“同增共减” 负相关——变化方向相反，“此增彼减” 零相关——变化没有趋势趋势
课堂练习：用原始数据计算积差相关
编号 1 2 3 4 5 求和
身高X 170 173 160 155 173 831
体重Y 50 45 47 44 50 236
X2
Y2
28900 2500
29929 2025
25600 2209
24025 1936
29929 2500
138383 11170
XY 8500 7785 7520 6820 8650 39275
10
1
5
185 68
15
-1
0
0
1.5
0.00
0
-0.41 0
0.00
60
1.63 -1.5
2.44
10
0.82 0.5
0.41
-15
1.22 -0.5
-0.61
850 345
0
0
55
—
—
2.24
解：采用标准分数计算积差相关 （1）先求标准分数
X 850 170 5
Y 345 69 5
SX
d
2 X
750 12.25
N
5
SY
dY2 20 2
N
5
（2）求两变量的积差 X X Y Y
（3）再求两变量标准分数的成绩 Z x Z y ，对其求
和： ZxZ y 2.24
（4）带入公式：
r 1 N
2.24 Z x Z y 5 0.45
算相关系数，又叫“等级差数法”。 条件：成对；线性相关；无正态假设；无大样本限定 结论：比皮尔逊积差相关应用范围广。
（二）计算公式
1.无相同等级时 （1）利用等级差值计算
6 D2
rs 1 N (N 2 1) N等级对数 D二列成对等级变量的等 级差数
（2）直接运用等级计算
r xy
NSxS y
x, y两个变量的离均差，x X X , y Y Y
N为成对数据的数目
Sx为X的标准差 Sy为Y的标准差
根据Sx
x2
N ,Sy
y2 ,r
N
xy x2 y2
二、计算公式
2.运用标准分数计算积差相关
r 1
N
ZxZ y