证明两个直角三角形全等方法归纳
如何判定两个直角三角形全等？
锐角对 应相 等 一边 对应 相等
现略举 几例 ， 析如下 ， 同学们参考 ． 解 供
一
、
用 ＂Ａ Ｓ Ｓ判定 两直角三角形全等
例 １如图 １ ，在 ＡＡＢ Ｃ中 ，＿ Ｂ ＝４ 。 ＺＡ Ｃ ５ ， Ａ Ｌ Ｃ于 Ｄ，点 Ｅ在 Ａ Ｄ＿Ｂ Ｄ上 ，且 Ｃ Ｄ：肋 ． 求
证： ＡＣ＝Ｂ Ｅ．
・ ．
另 一直 角边 对应 相 等
一
条直角边 对应相等
一
．
斜边对应 相等
Ｈ Ｌ
ＡＡ Ｄ是等腰直角 三角形 ， Ａ ＝Ｂ Ｂ 即 Ｄ Ｄ，
ＤＣ： ＢＤＥ＝ ９ 。 ０．
锐 角 对 应 相 等 Ａ Ａ Ａ Ｓ Ｓ或 Ａ
叉 Ｃ Ｄ＝ Ｄ Ｅ．
・ ． ．
一
斜边对应相等
一 一
直角边对应相 等 锐角对应相等
１ １
分析 ： 根据 ＬＢ ＬＥ ０ ， ＝ ＝９ 。可知 ＡＡ Ｃ和 Ｂ ＡＤ Ｆ均为直角三角形 － Ｅ 已知斜 边 Ａ ＝Ｄ ， Ｃ Ｆ 所
’
．
．
∞ ：寺 Ｃ ＝寺Ａ ． Ｆ
二 二
以可使用 Ｈ Ｌ证 明两个 三角形全 等． 再根 据全
点 评 ： 长 Ａ 、 Ｄ交于点 Ｆ 构成 两组全 延 ＢＣ ，
分析 ： 可延长 Ａ Ｃ Ｂ、 Ｄ交 于点 Ｆ 通过 证 明 ，
Ｒ △Ａ Ｅ Ｒ △ Ｃ Ｆ。 到 Ａ ｔ Ｂ ｔ Ｂ 得 Ｅ＝ Ｃ 再 由 Ｆ．
证明 ： ＿ 形 Ａ Ｃ ’ 四边 ． Ｂ Ｄ是 正 方 形 ，
’
Ｒ ＡＡ Ｃ ｔ Ｄ ， 到 Ｃ ｔ Ｄ ￣Ｒ ＡＡ Ｆ 得 Ｄ＝Ｆ 从 而使 问 Ｄ，
等三角形的性质得 到对应边 Ａ Ｂ与 Ｄ Ｅ相等。
全等三角形证明方法总结
❸由中点想到的辅助线 在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长及其相关性质 （等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。
8
（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图 1，AD 是 ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD= SΔABC（因为 ΔABD 与 ΔACD 是等底同高的）。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
G
E
D
∵∠BDF 是△ABD 的外角 ∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD ∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
B
F
C
图2 1
即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内 角位置上，再利用不等式性质证明。
分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠
BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；
证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
A
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC
全等直角三角形的判定
全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
两个直角三角形全等的判定
D C E
N
A
B
变式：若直线MN绕点C旋转到此位置时， 你添加的条件能说明DE=BE-AD成立吗？
C E A
D N
B
在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直 线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E． （1）若BC在DE的同侧（如图①）且 AD=CE，说明：BA⊥AC． （2）若BC在DE的两侧（如图②）其他 条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是 请予证明，若不是请说明理由．
解： ∠ABC+∠DFE = 90° 在Rt△ABC与Rt△DEF中，
C
BC = EF AC = DF
B
A D
F
∴∠B = ∠E(全等三角形对应 角相等）
∴Rt△ABC ≌ Rt△DEF （HL） 又∵∠E+∠F=90°
∴∠ABC+∠DFE = 90°
已知△ABC中，AC=BC，直线MN经过 点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， 请你添加一个条件使DE=AD+BE成立， 并加以说明
B
10cm
A
8cm
C
B
10cm 10cm
B′
A
8cm
C A′
8cm
C′
B′ Rt△ABC≌ Rt△A′ C ′
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边” 或“HL”
斜边、直角边公理 (HL)
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三形全等.
B
符号语言： ∵∠C=∠C′=90°
A
B
D
C
但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ?
引入提问 “边边角”分别对应相等是不能 保证三角形全等的，那么当“角” 为直角时“边边角”就成了“斜边 直角边”，此时能否全等？
全等三角形八大模型归纳
全等三角形八大模型归纳全等三角形是初中数学中重要的概念之一，它是指两个三角形的对应边相等且对应角相等。
全等三角形具有许多性质和特点，可以归纳为八大模型，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL、LLL、LLA、LAL。
下面将分别介绍这八种模型的特点和应用。
第一种模型是SSS，即三边全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在实际生活中的应用非常广泛，比如在建筑、工程设计中，需要测量房屋的各个边长是否相等，以确保建筑物的稳定性和均衡性。
第二种模型是SAS，即两边夹角边全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型常常用于证明两个三角形全等的情况，可以通过辅助线的引入来简化证明过程。
第三种模型是ASA，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种模型在解题过程中也经常用到，特别是在证明题中，可以根据已知条件找到相等的角和边，从而得出结论。
第四种模型是AAS，即两角边角全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，这两个三角形也是全等的。
这种情况在证明过程中比较常见，可以通过找到两个角和一边相等来得出结论。
第五种模型是HL，即斜边和直角边全等。
当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这种情况在解决直角三角形的问题时经常用到，可以利用勾股定理和全等三角形的性质来求解。
第六种模型是LLL，即三边全等。
这种模型和SSS模型类似，只不过LLL模型更加具体，强调了三个边全部相等的情况。
在实际问题中，可以通过测量三角形的三边长度来判断两个三角形是否全等。
第七种模型是LLA，即两边和一个角全等。
当两个三角形的两个边和一个非夹角的角相等时，这两个三角形是全等的。
这种情况在解题过程中也会经常遇到，可以通过找到两个边和一个非夹角的角相等来证明两个三角形全等。
第八种模型是LAL，即一边和两个角全等。
当两个三角形的一条边和两个角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
直角三角形证明全等方法
直角三角形证明全等方法
宝子，咱来唠唠直角三角形证明全等的方法哈。
直角三角形可是三角形里比较特殊的一种呢。
有一种方法叫“斜边、直角边”，简称为HL。
啥意思呢？就是说如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那这两个直角三角形就全等啦。
你可以想象一下，直角已经是一个特殊的条件了，就像给这两个三角形定了一个小规则。
斜边和一条直角边都一样长，那这俩三角形就像双胞胎一样，肯定能完全重合，也就是全等啦。
还有就是普通三角形全等的那些方法在直角三角形里也能用哦。
比如说“边角边”（SAS）。
在直角三角形里，如果两条直角边对应相等，再加上它们的夹角（直角）是相等的，那这两个直角三角形就全等啦。
这就好像两个人，胳膊和腿的长度一样，而且站的角度也一样，那肯定长得差不多，在三角形里就是全等啦。
“角边角”（ASA）也适用呢。
如果一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，与另一个直角三角形的一个锐角和一条直角边对应相等，而且这两个三角形的直角也是相等的，那这两个三角形就是全等的。
这就好比两个人，脸上有个相同的痣（锐角相等），身体的一部分长度一样（直角边相等），再加上都是直立的（直角相等），那肯定是全等的啦。
“角角边”（AAS）也没问题哦。
如果两个直角三角形，有两个角对应相等，还有一条边对应相等，那这两个三角形就全等啦。
就像两个人，眼睛长得一样，嘴巴长得一样，身体的一部分还一样长，那肯定是相似的，在三角形里就是全等啦。
宝子，你看直角三角形证明全等是不是还挺有趣的呀？只要记住这些方法，以后遇到这样的题就不怕啦。
。
三角形全等的判定方法(5种)例题+练习(全面)
教学内容全等三角形的判定教学目标掌握全等三角形的判定方法重点全等三角形的判定探索三角形全等的条件（5种）1 边角边（重点）两边及其夹角分别分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边角边”或“SAS”. 注：必须是两边及其夹角,不能是两边和其中一边的对角.原因：如图：在∆ABC和∆ABD中，∠A=∠A,AB=AB,BC=BD,显然这两个三角形不全等. 例1 如图，AC=AD,∠CAB=∠DAB,求证:∆ACB≌∆ADB.例2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF求证：BF=CE.例3．(1)如图①，根据“SAS”,如果BD=CE， = ，那么即可判定△BDC≌△CEB；(2) 如图②，已知BC=EC，∠BCE=ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为例4.如图，已知AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌，理由是；△ABE≌，理由是．例5．如图，在△ABC和△DEF中，如果AB=DE，BC=EF，只要找出∠ =∠或∥，就可得到△ABC≌△DEF．例6．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BF=CE，求证：△ABC≌△DEF．例7．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：∠A=∠E例8．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．2.角边角两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）例1．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，线段AD及其延长线上分别取点E，F，连接CE，BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，你添加的条件是：．(不添加辅助线)例2.如图，已知AD平分∠BAC，且∠ABD=∠ACD，则由“AAS”可直接判定△≌△．例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，那么AE= cm．例4.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为．例5．如图，已知EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．求证：BC=DC．例6．如图，在△ABC中，D是BC边上的点 (不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1) 你添加的条件是：；(2) 证明：例7．如图，A在DE上，F在AB上，且BC=DC，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于 ( ) A．DC B．BCC．AB D．AE+AC【基础训练】1．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，则有△ABC≌_______，理由是_______；且有∠ACB＝_______，AC＝_______．2．如图，已知AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌_______，理由是_______；△ABF≌_______，理由是_______．3．如图，在△ABC和△BAD中，因为AB＝BA，∠ABC＝∠BAD，_______＝_______，根据“SAS”可以得到△ABC≌△BAD．4．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若AB＝AD，AC＝AE，则还需条件( )．A．∠B＝∠D B∠C＝∠EC．∠1＝∠2 D．∠3＝∠45．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠O＝50°，∠D＝35°，则∠AEC等于( )．A．60°B．50°C．45°D．30°6．如图，如果AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，那么△ADF和ACBE全等吗？请说明理由．7．如图，已知AD与BC相交于点O，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD．求证：(1)∠C＝∠D；(2)△AOC≌△BOD．8．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．求证：∠DBC＝∠DCB．10．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．A BC DEF角角边两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，可以简写成“角角边”或“AAS ”. 例1、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，H 是高AD 和高BE 的交点，试说明BH ＝AC ．例2、如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD=2.5cm ，DE=1.7cm ． 求BE 的长．例3、如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, CE ⊥AB 于E, AF 平分∠CAB 交CE 于点F, 过F 作FD ∥BC 交AB 于点D. 求证：AC ＝AD.例4、如图, 在ABC中, ∠A＝90°, BD平分B, DE⊥BC于E, 且BE＝EC,(1)求∠ABC与∠C的度数；(2)求证：BC＝2AB.边边边三边分别相等的两个三角形全等，可以简写成“边边边”或“SSS”.例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．你能说明∠C=∠A吗? 试一试．例2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中．BE和DE是否相等? 若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．例3．如图，AB=CD ，AE=CF ，BO=DO ，EO=FO ．求证：OC=OA ．斜边、直角边斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”。
专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题
专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题全等三角形的证明：全等三角形具有对应角相等、对应边相等、对应边上的中线相等、对应边上的高相等、对应角的角平分线相等和面积相等的性质。
为了正确地表示两个三角形全等，需要找出对应的元素。
常用的寻找对应边和对应角的方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
(3)有公共边的，公共边常是对应边。
(4)有公共角的，公共角常是对应角。
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角。
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)。
全等三角形的判定方法有四种：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等。
(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的应用包括证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题。
在证明的过程中，有时需要添加辅助线。
通过判定两个三角形全等可以进而证明两条线段间的位置关系和大小关系。
证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础。
常见的辅助线作法有四种：延长中线构造全等三角形、利用翻折构造全等三角形、引平行线构造全等三角形和作连线构造等腰三角形。
遇到等腰三角形时，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
已知在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，同时AD也是BC边上的中线。
要证明ΔABC是等腰三角形。
解题思路：本题需要利用全等三角形的知识和常见辅助线的方法。
由于题目中给出了AD是BC边上的中线，我们可以连接BE，再延长AD到E，使DE=AD。
全等三角形证明判定方法分类归纳
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点︒=∠26BAC ，且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆ （2）AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④ 2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3D第3题图第4题图第5题图B第6题图5．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC 6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，8．如图，若AB=AC，BE=CD，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆D第7题图第8题图第9题题图全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EFAB D EACDFACEFD7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠E全等三角形（二）【知识要点】 定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.CADBE C【例4】如图，B，C，D在同一条直线上，△ABC，△ADE是等边三角形，求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC、△BDE均为等边三角形。