8年级数学(上)培优辅导之四(直角三角形)
人教版八年级数学上直角三角形
直角三角形知识导引1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。
2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。
4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。
典例精析例1：已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，且AD=21BC ，则△ABC 底角的度数为（ ） A 、45° B 、75° C 、45°或75° D 、60°例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结CD 。
（1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：CD ⊥BE 。
例3：如图所示，四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成，E 为斜边AC 的中点，则∠BDE= 。
例3—1：如图，已知AD ⊥BD ，AC ⊥BC ，E 为AB 的中点，试判断DE 与CE 是否相等并说明理由。
例4：已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，试说明AE=AF 。
例5：如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CE ⊥BD ，交其延长线于点E ，求证：CE=21BD例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。
浙教版初中数学八年级上 册2.6 直角三角形 直角三角形的复习 课件 优质课件PPT
5.下列各组线段能作为直角三角形三边的有 ②
① 4，5，6 ② 6，8，10 如果三角形中两边的平方和等于
③ 4，7，10
④
9，16，25
第三边的平方，那么这个三角形是 直角三角形．
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6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ A ）
（A）一条直角边和一个锐角分别相等；
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5.如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地 面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7 米．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底 端B向外移动多少距离？
（2）设P为AB的中点，请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O的距离是否变化，并简述理由．
N
A
P
O
B
M
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3.如图，在△ABC中，∠BAC= 90 0 ，AB=AC，
AE是过点A的一条直线，BD⊥AE于D， CE⊥AE于E。设AE=a,CE=b,AC=c，请你利
用四边形面积验证勾股定理：a2b2 c2
C
B
c
b
D
Aa E
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6.已知：Rt△ABC中, ∠ACB=90度,沿过B点 的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB 边上的一点D重合，要使D恰为 AB的中点， 问在图中还应添加什么条件？
直角三角形的复习
(一)基础知识抢答
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1.已知直角三角形的一个锐角为65°，则另一个锐角 的度数是___2_5_°_； 直角三角形两锐角互余
2.在Rt△ABC 中，AD是斜边BC上的中线，若BC=6，则 AD=___3___； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(家教培优专用)人教版数学八年级上册--直角三角形全等判定(提高)知识讲解
直角三角形全等判定（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.【要点梳理】【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，知识点讲解】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例2】【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习3】2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【思路点拨】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】我们分析已知能推证出什么，再看要证到这个结论，我们还需要哪些条件，这样从已知和结论向中间推进，从而证出题目.3、（2014春•东营区校级期末）如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC ．【思路点拨】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得DE=DF ，再利用HL 判定，Rt △DBE ≌Rt △DCF ，从而得到EB=FC ．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE=DF ；∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．∴在Rt △DBE 和Rt △DCF 中，∴Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ）；∴EB=FC ．【总结升华】本题考查直角三角形全等的判定方法，要证EB=FC ，只要将EB 、FC 置于两个直角三角形中，去证明它们全等即可.举一反三：【变式】（2015春•澧县校级期中）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=BD ，AC 与BD 相交于点O ．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC 是何种三角形？证明你的结论．【答案】证明：（1）因为∠A=∠D=90°，所以△ABC 和△DCB 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，,.AC BD BC BC =⎧⎨=⎩ ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL ）；（2）△OBC 是等腰三角形. 理由如下：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB=∠DCB，∴OB=OC∴△OBC 是等腰三角形.4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝12BC＝12AC，且AC＝12．∴BD＝6cm．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.。
2024～2025学年度八年级数学上册第4课时 用“HL”判定直角三角形全等教学设计
第4课时用“HL”判定直角三角形全等教学步骤师生活动教学目标课题12.2第4课时用“HL”判定直角三角形全等授课人素养目标 1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2.能够作图：已知一直角边和斜边作直角三角形，强化学生作图能力.教学重点探索并掌握“斜边、直角边”定理．教学难点“斜边、直角边”定理的探索过程，选用适当的方法判定直角三角形全等.教学活动教学步骤师生活动活动一：问题思考，新课代入设计意图设置问题，层层推进，为进入“HL”的探究做铺垫.【复习引入】思考对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？答：两个.如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△DEF(其中∠C＝∠F＝90°)是否全等？若全等，在()里填写理由；若不全等，在()里打“×”：①AC＝DF，∠A＝∠D；(ASA)②AC＝DF，∠B＝∠E；(AAS)③BC＝EF，∠B＝∠E；(ASA)④BC＝EF，∠A＝∠D；(AAS)⑤AB＝DE，∠B＝∠E；(AAS)⑥AB＝DE，∠A＝∠D；(AAS)⑦AC＝DF，BC＝EF；(SAS)⑧∠A＝∠D，∠B＝∠E.(×)上述列举的条件并不完全，还少了满足斜边和一条直角边分别相等的情况，你能写出这种情况对应的条件吗？答：AB＝DE，AC＝DF或AB＝DE，BC＝EF.在这种情况下，这两个直角三角形全等吗？这就是我们这节课要探究的内容.【教学建议】教师提问引起学生思考，在讨论直角三角形全等时，由于已经具备直角相等的特殊条件，所以判定方法会出现简化，学生不难总结出答案．再根据具体问题逐条列举条件，同时能巩固复习到之前学过的全等三角形的判定方法．归总条件后发现缺少斜边、直角边分别相等的情况，且无法确定是否能证明全等，于是顺其自然开始进入新课的探究.活动二：动手操作，引入新知设计意图使学生经历探索直角三角形全等的判定条件——“HL”的过程，学会作图：已知一直角边和斜边作直角三角形，并运用“HL”解题.探究点用“HL”判定直角三角形全等探究任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？如图给出了画Rt△A′B′C′的方法．你是这样画的吗？探究的结果反映了什么规律？【教学建议】与之前的学习类似，先进行画图实验，猜想结论，感悟“斜边、直角边”可以确定一个直角三角形的形状及大小，然后直接给出“斜边、直角边”判定定理．接着设置例题，目的是为学生利用“斜边、直角边”证明直角三角形全等做出示范设计意图问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素. 由探究可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：注意：(1)“HL”中，“H”代表斜边，“L”代表直角边，用大括号列举条件时顺序不要混淆，先写斜边再写直角边.(2)用“HL”证明两个直角三角形全等，在书写时，两个三角形符号“△”前要加上“Rt”.(3)不难发现“HL”是“SSA”的一种特殊情况，对于一般三角形，“SSA”是不能判定全等的，仅适用于直角三角形，所以“HL”是判定直角三角形全等的特有方法．除此之外，“SSS”(一般不出现)“SAS”“ASA”“AAS”也适用于判定直角三角形全等.例(教材P42例5)如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证BC＝AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BC＝AD.【对应训练】教材P43练习第1～2题.教师在教学过程中注意跟学生强调：(1)“HL”是定理，不是基本事实(能用后面的勾股定理去证，这里不用讲述原因)；(2)已知一直角边和斜边作直角三角形属于课标要求，要能够准确作图．其中作90°的角暂时用量角器作，不属于尺规作图，待后面学会角的平分线的作法就可以完成这个尺规作图了；(3)特殊三角形在这里是第一次涉及，注意体会，利于后续深入学习.活动三：综合训练，巩固提升设计意图综合考查直角三角形全等的判定方法“HL”与全等三角形的性质，增强学生对于“HL”的掌握程度．例如图，AD，AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高，AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.【对应训练】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.证明：在Rt△ADC和Rt△CBA中，⎩⎨⎧AC＝CA，DA＝BC，∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)，∴CD＝AB.∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.在Rt△ABE和Rt△CDF中，⎩⎨⎧AB＝CD，AE＝CF，∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).【教学建议】学生交流探讨，自主完成解题，教师根据情况进行讲评．注意例题与对应训练中都运用了两次证全等，例题中的两次证全等的先后顺序可以互换，而对应训练中第一次证全等的目的是利用全等三角形的性质为第二次证全等收集条件.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是“HL”？你能用“HL”判定两个直角三角形全等吗？2.你能已知一直角边和斜边作直角三角形吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P44习题12.2第7，8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计第4课时用“HL”判定直角三角形全等1.定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”).2.作图：已知一直角边和斜边作直角三角形.3.实际应用：用“HL”判定直角三角形全等．教学反思本节课探索的是直角三角形全等的条件，教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行. 三角形全等是贯穿这一章的主线，是初中阶段证明线段及角相等的主要工具，而“HL”也是重要的判定方法．学完这节课后在全等三角形的判定方面形成完整的数学知识结构，有利于培养学生的能力，是学习后续几何课程的基础.解题大招一用“HL”判定直角三角形全等的简单应用判定两个直角三角形全等的判定方法的选择思路：例1两个直角三角形中，下列条件：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．其中能使这两个直角三角形全等的是（ A ）A．①②B．②③C．③④D．①②③④例2如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（ A ）A ． AD ＝CB B ．∠A ＝∠C C ．BD ＝DB D ．AB ＝CDB ．例3 如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O.如果AB ＝AC ，那么图中全等的直角三角形的对数是（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：共有3对全等的直角三角形，分别是△ADC ≌△AEB ，△BOD ≌△COE ，△ADO ≌△AEO.故选C .例4 如图，点B ，F ，C ，E 在同一直线上，AC ，DF 相交于点G ，AB ⊥BE ，垂足为B ，DE ⊥BE ，垂足为E ，且AC ＝DF ，BF ＝CE.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)若∠A ＝65°，求∠AGF 的度数． (1)证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，∴∠B ＝∠E ＝90°. ∵BF ＝CE ，∴BF ＋CF ＝CE ＋CF ，即BC ＝EF.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎨⎧AC ＝DF ，BC ＝EF ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL )．(2)解：由(1)知∠B ＝90°，∴∠ACB ＝90°－∠A ＝90°－65°＝25°.又Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∴∠ACB ＝∠DFE ＝25°，∴∠AGF ＝∠ACB ＋∠DFE ＝25°＋25°＝50°. 解题大招二 判定两个直角三角形全等的实际应用全等三角形的性质可以转化等线段及等角，所以实际应用中往往围绕这一点进行考查，而在学过“HL ”后，在判定直角三角形全等时又增加了一种选择．解答此类问题时，找到全等的直角三角形是关键，有时也可能遇到直角条件题目中没有直接给出的情况，此时如果想利用“HL ”，就与用其他方法证三角形全等相同，需要获取包含直角相等在内的三个条件．例5 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？解：根据题意，得BC ＝EF ，∠BAC ＝∠EDF ＝90°. 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴ Rt △ABC ≌Rt △DEF(HL )．∴∠B ＝∠DEF. ∵ ∠DEF ＋∠F ＝90°，∴∠B ＋∠F ＝90°.培优点 与直角三角形全等有关的动点问题例 如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝20，BC ＝10，PQ ＝AB ，P ，Q 两点分别在线段AC 和垂直于AC 的射线AM 上运动，且点P 不与点A ，C 重合，那么当点P 运动到什么位置时，才能使△ABC 与△APQ 全等？分析：△ABC 与△APQ 全等⎩⎨⎧①△ABC ≌△QPA→AP ＝BC ＝10②△ABC ≌△PQA→AP ＝AC→不合题意解：∵∠C ＝∠QAP ＝90°，∴△ABC 和△APQ 都是直角三角形．①当点P 运动到AP ＝BC 时，在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA(HL )，此时AP ＝BC ＝10.又AC ＝20，所以AP ＝12AC ，所以点P 在AC 的中点处．②当点P 运动到AP ＝AC 时，在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，CA ＝AP ，∴Rt △ABC ≌Rt △PQA(HL )，但AP ＝AC ，此时点P 与点C 重合，不符合题意，故此种情况不存在．综上所述，当点P 运动到线段AC 的中点处时，△ABC 与△APQ 全等．。
初中数学 八年级竞赛培优训练 直角三角形 含解析
直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是() A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为()A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－13．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为______cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－35．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为____°.图1－5－57．如图1－5－6，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝______．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC ＝90°，D ，E 分别在BC ，AC 上，AD ⊥DE ，且AD ＝DE ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 延长线相交于点M . (1)求证：∠FMC ＝∠FCM ； (2)AD 与MC 垂直吗？并说明理由．图1－5－79．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝()图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画____个．图1－5－1012．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC ＝60°，则∠ACB的度数是____．图1－5－1113．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝____．图1－5－1214．如图1－5－13，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是∠CAB的平分线AL的中点，延长CM交AB于K，BK＝BC，则∠CAB＝____，∠ACK∠KCB＝____．图1－5－1315．如图1－5－14，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点．过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A，B，C三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M为AN的中点；(2)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE绕点B旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14第5讲直角三角形【思维入门】1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D) A．120°B．90°C．60°D．30°2．如图1－5－1，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C) A．20 B．12 C．14 D．13图1－5－1【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，∴AD⊥BC，CD＝BD＝12BC＝4，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝12AC＝5，∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝4＋5＋5＝14.3．如图1－5－2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，AB＝10 cm，则CD的长为__5____cm.图1－5－24．将一副三角板拼成如图1－5－3所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数．图1－5－3解：(1)证明：∵∠DCE＝90°，CF平分∠DCE，∴∠DCF ＝45°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝45°，∴∠BAC ＝∠DCF ，∴CF ∥AB ； (2)∵∠D ＝30°，∴∠DFC ＝180°－30°－45°＝105°.5．如图1－5－4，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC . (1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBD .在△ABE 和△CBD 中，∵⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，EB ＝DB ，∴△ABE ≌△CBD ；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠EAC ， ∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°. 由①知∠BDC ＝∠BEA . ∴∠BDC ＝75°.【思维拓展】6．如图1－5－5，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD ＝BC ，AE ＝AC ，则∠DCE 的大小为__45__°.图1－5－5【解析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x＋y，∠BCE＝90°－∠ACE＝90°－x－y.∵AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝x＋y，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE＋∠DCE＝90°－x－y＋x＝90°－y.在△DCE中，∵∠DCE＋∠CDE＋∠DEC＝180°，∴x＋(90°－y)＋(x＋y)＝180°，解得x＝45°，∴∠DCE＝45°.7．如图1－5－6，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC ＝__45°____．图1－5－68．如图1－5－7，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB延长线相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．图1－5－7解：(1)证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC，∴∠FDE＝∠FMC＝45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC.9．如图1－5－8，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点图1－5－8D．CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连结CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°，又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴AF＝CG；(2)如答图，延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB的中点，又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∴G为BD的中点，∠D＝∠EGC，∵E为AC的中点，∴AE＝EC，又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE，由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.第9题答图【思维升华】10．如图1－5－9，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABX＋∠ACX＝(D)图1－5－9A．25°B．30°C．45°D．50°11．如图1－5－10，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画__3__个．图1－5－10【解析】如答图．①AC为直角边时，符合的等腰直角三角形有2个，一个是以∠BAC为直角，一个是以∠ACB为直角；②AC为斜边时，符合的等腰直角三角形有1个．∴这样的三角形最多能画3个，12．如图1－5－11，点P在△ABC的BC边上，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是__75°__．图1－5－11【解析】过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.∵△PCD中，∠APC＝60°，∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，∵PC＝2PB，∴BP＝PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，∵∠ABP＝45°，∴∠ABD＝15°，∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝60°－45°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD＝15°，∴BD＝AD，∵∠DBP＝∠DCP＝30°，∴BD＝DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD＝AD，∴AD＝DC，∵∠CDA＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ACB＝∠DCP＋∠ACD＝75°.13．如图1－5－12，在△ABC中，AC＝BC，且∠ACB＝90°，点D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，且AE＝12BD，则∠ABD＝__22.5°__．第11题答图图1－5－12 第13题答图【解析】 延长AE ，BC 交于点F .∵AE ⊥BE ， ∴∠BEF ＝90°，又∵∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC ＋∠AFC ＝∠F AC ＋∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠F AC ， 在△ACF 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠DBC ，∴△ACF ≌△BCD (ASA )， ∴AF ＝BD . 又∵AE ＝12BD ，∴AE ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∴AB ＝BF ，∴BD 是∠ABC 的角平分线． ∴∠ABD ＝22.5°.14．如图1－5－13，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是∠CAB 的平分线AL 的中点，延长CM 交AB 于K ，BK ＝BC ，则∠CAB ＝__45°__，∠ACK ∠KCB＝__13__．图1－5－13【解析】 设∠CAB ＝2α.∵AM ＝ML ，且∠ACB ＝90°，∴CM ＝MA ， ∴∠ACM ＝∠MAC ＝α.∴∠CKB ＝∠CAK ＋∠ACM ＝3α， ∠KCB ＝90°－∠ACM ＝90°－α. ∵BK ＝BC ， ∴∠CKB ＝∠KCB .∴3α＝90°－α，即α＝22.5°. ∴∠CAB ＝45°，∠ACK ∠KCB ＝22.5°67.5°＝13.15．如图1－5－14，已知△BAD 和△BCE 均为等腰直角三角形，∠BAD ＝∠BCE ＝90°，点M 为DE 的中点．过点E 与AD 平行的直线交射线AM 于点N .(1)当A ，B ，C 三点在同一直线上时(如图1－5－14①)，求证：M 为AN 的中点； (2)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时(如图1－5－14②)，求证：△CAN 为等腰直角三角形；(3)将图1－5－14①中△BCE 绕点B 旋转到图③的位置时，(2)中的结论是否仍然成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．图1－5－14证明：(1)∵点M 为DE 的中点，∴DM ＝ME . ∵AD ∥EN ，∴∠ADM ＝∠NEM ，又∵∠DMA＝∠EMN，∴△DMA≌△EMN，∴AM＝MN，即M为AN的中点；(2)由(1)中△DMA≌△EMN可知DA＝EN，又∵DA＝AB，∴AB＝NE，∵∠ABC＝∠NEC＝135°，BC＝CE，∴△ABC≌△NEC，∴AC＝CN，∠ACB＝∠NCE，∵∠BCE＝∠BCN＋∠NCE＝90°，∴∠BCN＋∠ACB＝90°，∴∠ACN＝90°，∴△CAN为等腰直角三角形．(3)由(2)可知AB＝NE，BC＝CE.又∵∠ABC＝360°－45°－45°－∠DBE＝270°－∠DBE＝270°－(180°－∠BDE－∠BED)＝90°＋∠BDE＋∠BED＝90°＋∠ADM－45°＋∠BED＝45°＋∠MEN＋∠BED ＝∠CEN，∴△ABC≌△NEC，再同(2)可证△CAN为等腰直角三角形，∴(2)中的结论仍然成立.。
八年级-人教版-数学-上册-第4课时 直角三角形的性质——含30°角的直角三角形
1．等边三角形的性质．
边 三条边都相等
等边三角形的性质 角
三个内角都相等， 并且每一个角都 等于 60°
对称性
三线合一； 轴对称图形， 三条对称轴
2．等边三角形的判定． 图形 A
等边三角形
B
C
判定 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边 等于斜边的一半．
A 符号语言：
∵在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB．
B
30°
C
例1 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点， 立柱BC，DE 垂直于横梁 AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．立柱 BC， DE 要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB，DE＝
1 2
AD．
∴BC＝
1 2
×7.4＝3.7（m）．
30°
又
AD＝
1 2
AB，
∴DE＝
1 2
AD＝
12×3.7＝1.85（m）．
答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m．
30°
例2 已知等腰三角形的底角为 15°，腰长为 2a．求腰上的高．
B
A
30° E
60° C
在△ACE 中，
∵∠A＝30°，∠ACE＝30°，
∴△AEC 是等腰三角形．
∴CE＝AE．
∴BC＝BE＝CE＝AE．
∴BC＝BE＝AE＝
1 2
浙教版八年级数学上册《直角三角形》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
C
A
D
B
做一做
例2：如图，在等腰三角形ABC中， AD是斜边BC上的高，则AD=BD=CD. 请说明理由.
A
B
D
C
作业：
第35页 A、B组
制作：
设计
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
想一想
结论： 直角三角形的两个锐角互余。反 过来，有两个角互余的三角形是直角三角 形。
练一练
1、△在ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠B=？
2、直角三角形的两个锐角的平分线所构成的钝角 是多少度？
看谁做的 快！
A
1
O2
B
C
练一练
例1：如图，CD是Rt ABC斜边上 的高，请找出图中各对互余的角。
2.5直角三角形
复习提问
三角形按角是怎角形 钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫做 直角三角形（right triangle)
直角三角形可以用符号“Rt ”表示， 如下图的三角形可以表示为Rt ABC
浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题4 直角三角形》
浙教版数学八年级上册专题培优讲义专题4直角三角形【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的______，而第一个命题的结论是第二个命题的______，那么这两个命题叫做____________．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的____________．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是______，那么就叫它是原定理的______，这两个定理叫做____________．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个______互余．(2)直角三角形斜边上的______等于斜边的______．(3)直角三角形中，______角所对的直角边等于斜边的______．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么____________.4．直角三角形的判定(1)__________________是直角三角形．(2)如果三角形中________________________，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)__________________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)________________________的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离______的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝12AB，EF＝12BC，由△DEF的周长是7，可求得AB的长，然后在Rt△ABF中，用勾股定理可求得AF的长．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【思路点拨】首先写出原命题的逆命题，然后根据题意画出图形，再结合图形写出已知及求证的内容，最后利用已学知识证明结论为真，即逆命题是真命题．【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE ⊥AB于点E，连结BD，F为BD的中点，连结EF，CF，CE.(1)求证：FE＝FC.(2)试猜想∠A与∠CEF的关系，并证明．【思路点拨】(1)在Rt△DEB和Rt△DCB中，因为F为BD的中点，所以FE＝12BD，FC＝12BD，即FE＝FC；(2)根据直角三角形的性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质计算即可．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【思路点拨】连结EC，EB.由题意知，DE是BC的垂直平分线，AE是∠BAC的平分线，所以BE＝EC，EM＝EN，即可得出Rt△BME≌Rt△CNE(HL)，即可得出结论．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝1AC.2(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【思路点拨】(1)由CD＝CB，点E为BD的中点，根据等腰三角形的“三线合一”性质，可得△AEC是直角三角形，由点F为AC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得结论；(2)当∠BAC＝45°时，可得△AEC为等腰直角三角形，由线段垂直平分线的性质，可得AM＝CM，再由CD＝CB，得AM＋DM＝BC.【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【思路点拨】(1)由题意知，△ABC≌△DBE，可得DE＝AC，BC＝BE，证明△CBE为等边三角形，可得EC＝BC，再证∠DCE＝90°，可得DC2＋CE2＝DE2，即DC2＋BC2＝AC2，所以四边形ABCD是勾股四边形；(2)由DC2＋BC2＝AC2，求出AC的长，即可得出DE的长．【例7】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝3，PB ＝1，PC＝2，求∠BPC的度数．【思路点拨】直接求∠BPC的度数不太容易求出，于是把∠BPC进行适当的转化．因为△ABC是一个特殊的三角形“等腰直角三角形”，如果把△BPC绕着点C顺时针旋转90°到△AP′C，那么BC和AC会重合，△PCP′也是等腰直角三角形，这时再求∠BPC的度数会比较容易．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab＋(a－b)2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值．【思路点拨】(1)四边形ABCD的面积可用梯形面积公式来表示，也可以用三个直角三角形面积的和来表示，根据两次表示的面积相等列出关系式，化简即可得证；(2)(3)问都可以设未知数，根据勾股定理列方程求解．【答案解析】【知识梳理】1．逆命题和逆定理(1)在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．把其中一个叫做原命题，则另一个叫做它的逆命题．(2)如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理．注意：原命题的真假与逆命题的真假没有任何联系．2．直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形．3．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余．(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．(3)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．(4)如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.4．直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形．(2)如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．5．直角三角形全等的判定(1)SSS，SAS，AAS，ASA.(2)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．6．线段垂直平分线、角平分线的逆定理(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．(2)角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．【例题探究】【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE ⊥AC于点E，且点D是AB的中点，则AF等于()A．5B．7C．3D．7【解题过程】∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝12 AB.∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝3.∵BE⊥AC，∴EF＝12BC＝3，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝AB＋3＝7，∴AB＝4，∴AF＝AB2－BF2＝7.故选B.【方法归纳】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．【例2】说出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，判断这个逆命题的真假，并说明理由．【解题过程】解：逆命题：一边上的中点到另两边的距离相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．理由如下：已知：如图，在△ABC中，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别为点D，E，MD ＝ME.求证：AB＝AC.证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM.∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠MDB＝∠MEC＝90°.又∵MD＝ME，∴Rt△MDB≌Rt△MEC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.【方法归纳】本题主要考查逆命题的概念、证明的步骤、直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握这些概念和判定是解题的关键．【例3】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上(不与点A ，C 重合)，DE ⊥AB 于点E ，连结BD ，F 为BD 的中点，连结EF ，CF ，CE .(1)求证：FE ＝FC .(2)试猜想∠A 与∠CEF 的关系，并证明．【解题过程】(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°，F 为BD 的中点，∴FE ＝12BD ，FC ＝12BD ，∴FE ＝FC .(2)解：∠A ＝∠CEF ．证明如下：∵FE ＝12BD ＝FB ，FC ＝12BD ＝FB ，∴∠FEB ＝∠FBE ，∠FCB ＝∠FBC ，∴∠EFD ＝2∠EBF ，∠CFD ＝2∠FBC .∵FE ＝FC ，∴∠CEF ＝∠ECF ，∴∠CEF ＝12×(180°－2∠EBF －2∠FBC )＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )．∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＝90°－(∠EBF ＋∠FBC )，∴∠A ＝∠CEF .【方法归纳】本题考查了直角三角形的性质：①直角三角形中的两个锐角互余；②直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．熟练掌握上述性质是解题的关键．【例4】如图，BD＝DC，ED⊥BC，交∠BAC的平分线于点E，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为点M，N.求证：BM＝CN.【解题过程】解：如图，连结CE，BE.∵BD＝DC，ED⊥BC，∴DE是BC的垂直平分线，∴BE＝EC(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．∵AE是∠BAC的平分线，EM⊥AB，EN⊥AC，∴EM＝EN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△MEB和Rt△NEC中，BE＝EC，EM＝EN，∴Rt△MEB≌Rt△NEC(HL)，∴BM＝CN．【方法归纳】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的性质以及直角三角形全等的判定方法，通过画辅助线构造Rt△MEB和Rt△NEC全等是解决问题的关键．【例5】如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC 的中点，连结EF，交CD于点M，连结AM.(1)求证：EF＝12AC.(2)若∠BAC＝45°，求线段AM，DM，BC之间的数量关系．【解题过程】(1)证明：∵CD＝CB，E为BD的中点，∴CE⊥BD，∴∠AEC＝90°.又∵F为AC的中点，∴EF＝12 AC.(2)解：∵∠BAC＝45°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝45°，∴AE＝CE.又∵F为AC的中点，∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线，∴AM＝CM，∴AM＋DM＝CM＋DM＝CD.又∵CD＝CB，∴AM＋DM＝BC.【方法归纳】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形和直角三角形的性质．【例6】若把一组邻边的平方和与一条对角线的平方相等的四边形叫做勾股四边形，如长方形是勾股四边形．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，且∠BCD＝30°.(1)求证：四边形ABCD是勾股四边形．(2)若BC＝6，CD＝8，求DE的长．【解题过程】(1)证明：如图，连结CE.根据题意，得△ABC≌△DBE，∴AC＝DE，BC＝BE.∵∠CBE ＝60°，∴△BCE 是等边三角形，∴∠BCE ＝60°，BC ＝CE .∵∠DCB ＝30°，∴∠DCE ＝90°，∴DC 2＋CE 2＝DE 2，∴DC 2＋BC 2＝AC 2.∴四边形ABCD 是勾股四边形．(2)解：由(1)，得DC 2＋BC 2＝AC 2，∴AC ＝82＋62＝10.∵DE ＝AC ，∴DE ＝10.【方法归纳】本题考查勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质．把线段DC ，BC ，AC 集中到一个直角三角形中是解决问题的关键．【例7】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点P 在△ABC 内，且PA ＝3，PB ＝1，PC ＝2，求∠BPC 的度数．【解题过程】解：如图，把△BPC 绕点C 顺时针旋转90°到△AP ′C ，连结PP ′，则△AP ′C ≌△BPC .∴AP ′＝BP ＝1，P ′C ＝PC ＝2，∠AP ′C ＝∠BPC ，∠ACP ′＝∠BCP .∵∠BCP ＋∠ACP ＝∠ACB ＝90°，∴∠PCP ′＝∠ACP ＋∠ACP ′＝∠ACP ＋∠BCP ＝∠ACB ＝90°，∴△PCP ′是等腰直角三角形，∴PP ′＝22，∠PP ′C ＝45°.在△APP ′中，AP ′2＋PP ′2＝12＋(22)2＝9＝32＝PA 2，∴△APP ′是直角三角形，且∠AP ′P ＝90°，∴∠BPC ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝90°＋45°＝135°.【方法归纳】当某个点在三角形内部的问题难以处理时，不妨先通过旋转变换把点移到三角形外部，再进行求解．【例8】著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2＋b 2＝c 2.图1(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理．图2(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB ＝AC ，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H (A ，H ，B 在同一条直线上)，并新修一条路CH ，且CH ⊥AB .测得CH ＝1.2千米，HB ＝0.9千米，求新路CH 比原路CA 少多少千米．图3(3)在第(2)问中若AB ≠AC 时，CH ⊥AB ，AC ＝4，BC ＝5，AB ＝6，设AH ＝x ，求x 的值．【解题过程】解：(1)梯形ABCD 的面积为12(a ＋b )(a ＋b )＝12a 2＋ab ＋12b 2，也可以表示为12ab ＋12ab ＋12c 2，∴12a 2＋ab ＋12b 2＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.(2)设CA ＝m .∵AB ＝AC ，∴AH ＝m －0.9.∵CH ⊥AB ，CH ＝1.2千米，∴CA 2＝CH 2＋AH 2，即m 2＝1.22＋(m －0.9)2，解得m ＝1.25，即CA ＝1.25，∴CA－CH＝1.25－1.2＝0.05(千米)．答：新路CH比原路CA少0.05千米．(3)设AH＝x，则BH＝6－x.在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2.在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2.∴CA2－AH2＝CB2－BH2，即42－x2＝52－(6－x)2，解得x＝9 4 .【方法归纳】几何图形中线段长度的计算，通常可以设出未知数，然后利用勾股定理列方程求解．。
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江山二中八年级数学（上）培优辅导之四（直角三角形）班级____________姓名____________勾股定理（及逆定理）： ∠C=90o（c 为斜边）⇔a 2+b 2=c2直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系)，30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系)，这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用．勾股定理是现阶段线段计算、证明线段平方关系的主要方法，运用勾股定理的逆定理，通过计算也是证明两直线垂直位置关系的一种有效手段．等腰三角形三边之比为1:1：2；30o的直角三角形三边比为1：3：230︒例题求解【例1】如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边向内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B 、E 在CD 的同侧，若AB=2，则BE=___________．BCDAE【例2】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a+b)2的值为________________.【例3】 如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ， 已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数．CA【例4】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB=c ，CD=h ． 求证：（1）222111hba=+； (2) h c b a +<+ ； (3) 以b a +、h 、h c +为边的三角形是直角三角形．BCDA【例5】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形 是否存在若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．学历训练1．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ACD 沿AD 对折，点C 落在点C ′的位 置，则BC ′与BC 之间的数量关系是______________．B CD AC 'BCDAP（第1题） （第2题）2．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACD重合，若AP ＝3，则PD 的长等于____________．3．如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD ⊥BC 于D ，则AD=__________．4．如图，四边形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC=4cm ，CD=12㎝，DA=13cm ，且∠ABC=90°， 则四边形ABCD 的面积是__________cm 2．B CD ABCDA 108B CDA（第3题） （第4题） （第5题） （第7题）5．如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，则梯子底端的滑动距离___________米。
6．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 7．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D ＝90°，BC=2，CD=3，则AB=_________.8．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，22，5；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4．BCANM（第8题） （第9题） (第10题)9．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，MN 垂直平分AB ，求证：CM=2BM10、如图，圆柱体的棱AB=10，AE=2，CD 上F 点，CF=6，圆柱底面周长为16，（1）如一只蚂蚁从E 沿着外曲面爬到F ，求出最短路线的长。
（2）如F 点在里面，蚂蚁从E 爬到F ，求出最短路线长。
11、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB=AC ，E 、F 分别是BC 上两点，若∠EAF=45°， 试推断BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=13，边BC 上的中线AD=6，则BC 的长为________．BCAFEB CD AB CAP（第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题）13．如图，设P 是等边△ABC 内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数．14．如图，一个的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰是2015，那么这样的直角三角形共有几个说明过程。
15．如图，用3个边长为l 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为______________.16．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足条件：c b a c b a 262410338222++=+++，求三角形 的周长与面积。
江山二中八年级数学（上）培优辅导之五（特殊三角形）班级__________ 姓名____________1．已知△ABC 两边a=4，b=3，按以下条件分别求第三边c 的长度范围 。
（1）△ABC 是直角三角形 （2）△ABC 是锐角三角形 （3）△ABC 是钝角三角形2．如图，∠ACB=90°，AD 是∠CAB 的平分线，BC=4，CD=23，求AC 的长．BCDA3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，F 、F 分别是 AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求△DEF 的面积．BCD A FE4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，(1)若P 是BC 边上的中点，连结AP ，求证：BP ×CP=AB 2一AP 2；(2)若P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)若P 是BC 边延长线上一点，线段AB 、AP 、BP 、CP 之间有什么样的关系请证明你的结论BCAP（备用图）5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于 F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，求证：CF=GBBCDGFE6．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB=4，∠ACB＝30°，D在BC上；如△ADC沿着AD对折，使得C点落在E处，且CD⊥DE，求△AEC面积。
7．如图△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，且A、E、F、D在一条直线上，BF⊥AD。
（1）求证：△ABE≌△CBD （2）AD、CD、BF之间有何数量关系写出并证明你的结论。
8．△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为边长向外作正△ADC、正△EBC、正△ABF，设它们的面积分别为S1、S2、S3。
（1）直接写出S1、S2、S3的数量关系：___________________；证明上述结论。
（2）将正△ADC、正△EBC、正△ABF都改成半圆，结论成立吗为什么9．（双正方形问题）以△ABC的边AC、AB向外作正方形ACFG和正方形ABDE，过A作AN⊥BC，交GE于M，求证：M为GE中点。
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证：BD2=AB2+BC2．BDA11.△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D、E在BC边上，取∠DAE=45°。
（1）如BD=3，CE=4，求DE长；（2）当D在E左边时，写出BD、DE、CE之间的等量关系，并证明。
江山二中八年级数学（上）培优辅导自测三（特殊三角形）班级____________姓名____________1、直角三角形有两条边的长为6、8，那么第三边上的中线长是_________________；2、如等边三角形的边长为4，那么它的面积是____________；面积为163的等边三角形的边长是___________；3、如图，∠CAB=45o，P 是∠CAB 内部一点，AP=4，M 、N 分别在AB 、AC 上，那么△PMN的周长为___________；（第3题） （第4题） （第5题）4、一只蚂蚁从圆柱体的B 点绕着侧面一圈爬到棱AB 中点C 处，如AB=10, 圆柱体的底面周长为12，那么蚂蚁爬行的最短路程为___________；5、Rt △ABC 的斜边AB=10，AC=8，将BC 沿BD 对折，C 点落在AB 边的E 点，那么折痕BD=___________；S △ABD =__________;6、△ABC 的边AB=20，AC=15,BC 上高AD=12，则△ABC 的面积为___________；7、如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ，D 是斜边AC 的中点，F 、F 分别AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若CF=3，AE=4，（1）求EF 的长。
（2）求证：四边形BEDF 面积是一个定值，并求出定值。
8、如图，△ABC 是等边三角形，延长BA 到D 点，延长BC 到E 点，使AD=BE,连接CD,CE, 求证：CD=CE9、△ABC 是等腰直角三角形，C 是直角顶点，将AC 沿着AD 对折，使得C 点落在E点，再将△BDE 沿DE 对折，B 落在F 点，设DE=a ，对于下列结果：①DF 平分∠ADE ； ② BC=（2+2）a ；③ AF=FD ；④ △BDE 周长=BC （1）正确的结论有_________________（填序号） （2） 选一个结论加以证明。
10、△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，B是直角顶点，D在AC边上，如AD=3，CD=4，求四边形ADBE的面积与周长。
江山二中八年级数学（上）培优辅导之六（专题练习）班级__________ 姓名____________【专题一】几何中的多值问题（分类讨论）1、直角三角形有两条边的长为6、8，那么第三边上的中线长是___________。
2、直角三角形有两条边的长为5、12，那么斜边边上的中线长是___________。
3、用直角边为3、4的两个直角三角形拼成一个凸四边形，该四边形周长为___________。
4、等腰三角形有两边的长为4和6，那么它的周长为______;面积为___________.5、等腰三角形ABC，AB=AC，P在射线CB上，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，则PD、PE、BF间的等量关系为________________________________________。