上海市中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量
2021年上海市中考数学试卷分析-免费
2021年上海市中考数学试卷分析-免费2021年上海市中考数学试卷分析一、试卷基本结构：2021年上海市中考数学试卷分值分布：科目题号题量总分数学一、选择题：1-6（共24分）；二、填空题：7-18（共48分）；三、解答题：19-25（共78分） 25题 150分试卷结构从08年之后都没有变化，1-6题为选择题，占24分（每题4分）；7-18题为填空题，占48分（每题4分）；19-25题为解答题，占78分（其中，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分）。
二、模块分析: 模块代数与方程图形与几何题号 1 2 7 8 9 19 20 5 6 10 14 15 17 18 22 23 函数与分析 3 11 16 分值 4 4 4 4 4 10 10 4 4 4 4 4 4 4 10 12 4 4 4 50 总分命题特点 40 该模块共占40分，对比去年48分略有减少，其中代数部分3题12分，方程部分4题28分。
该模块中几个常考考点：分式的乘除法、二次根式的定义及其计算、二元一次方程根的判别及其解法。
不等式组和方程组的解法等在今年的中考卷中都有出现。
本模块所占分值高，难度简单。
该模块共占50分，对比去年46分有所提高。
图形的对称及翻折问题、相似的判定和性质、向量、圆等考点为中考中填空选择的常考题型。
从2021年以来，17题改为考“信息”类题型，今年继续沿用，主要考察学生对于新知识，题干条件的捕捉能力，难度简单。
18题从09年以来一直考查翻折旋转等问题，综合度较高，属于难题。
解直角三角形、四边形相关的证明题、相似相关考点为近几年必考题型。
在近6年的中考中，10年仅考查2题共8分外， 12年考查3题18分，其余3年均考查4题1622 分，而今年考查高达4题22分，比去年还有所上升。
121 数据整理与概率统计综合 4 12 14 24 25 10 4 4 4 12 14 由此可见这一模块的考查力度会继续加强，需要引起重视。
上海中考数学复习资料(几何篇)
第八章
考点三、相交线 （3分）
图形的初步认识Biblioteka 1、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所 构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做 对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共 顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。 临补角互补，对顶角相等。 直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条 直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别 在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一 对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间， 并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与 ∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的 两个角叫做同旁内角。
第八章
图形的初步认识
考点一、直线、射线和线段 （3分） 7、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点 有且只有一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段的性质 （1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 （2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
第八章
2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第7讲平面向量的线性运算(解析版)
第7讲平面向量的线性运算知识一、实数与向量相乘1.平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ．（1）如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2）如果k = 0或0a =，那么0ka =．4.实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则（1）()()m na mn a =； （2）()m n a ma na +=+；（3）()m a b ma mb +=+． 5.平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =．6.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．题型一、向量的相关概念与平面向量定理【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（ ）A ．a b =；B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．【答案】A【解析】A. ∵a b =，不能判断a //b ，故本选项，符合题意B. ∵a b =-，∵a //b ，故本选项，不符合题意；C.∵a //c ，b //c ，∵a //b ，故本选项，不符合题意；D.∵2a c =，4a c =，∵a //b ，故本选项，不符合题意；故选：A ．（2）（2021·上海九年级一模）已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．23a b =- C ．32a b = D ．32a b =- 题型探究【答案】B【解析】解：由题意可知：a =2e ，b =-3e∵e =13b - ∵a =2e =23b - 故选：B ．（3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量a 与b ，下列命题是假命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a b =，则a b =C ．若a b =-，则a b =-D ．若a b =，则a b =-【答案】B【解析】解：根据向量的概念，知：A 、C 、D 正确；B 、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误．故选：B ．（4）（2019·上海）下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0B ．如果e 是单位向量，那么e ＝1C ．如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣aD ．已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b【答案】D【解析】解：A 、如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0，错误，应该是k a ＝0．B 、如果e 是单位向量，那么e ＝1，错误．应该是e ＝1．C 、如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣a ，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b ，正确．故选：D ． 题型二、作图题【例2】已知非零向量a，求作75a ，3a -．【答案】图见解析. 【解析】在平面内任取一点A ,做=AB a ,在射线AB 上，取75AC AB =,则75AC a =； 在射线AB 的反向延长线上，取3BD AB =,则3.BD a =-；题型三、向量的表示与相等向量【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量．AB C DE FG H O【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；． 【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个． 题型四、向量的运算【例4】填空：AB BC += ； AB BC CA ++= ；AB BC BA ++= ； AE FC EF ++= ；AB AC BC -+= ； OA BC OC +-= ．【答案】AC ；0；BC ；AC ；0；BA ．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB -=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【例5】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）()()32523a b a b +--；（3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭； （2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭． 【例6】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=． 【答案】2372c b a =-． 【解析】解：∵42307c a b +-=，∵4237c b a =-，∵2372c b a =-． 【例7】用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9；（2）b 与e 方向相反，且长度为5；（3）c 与e 方向相反，且长度为35． 【答案】3955a eb ec e ==-=-；；． 【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；． 题型五、向量的证明【例8】已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行． 【答案】证明见解析【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+去括号：265564a b a b a b +-+=+移项合并得：79b a =系数化1：97b a = 所以，向量a 和b 平行．【例9】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a c b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据实数与向量相乘的意义，可知,,a c b c 所以，向量a 与b 平行． 举一反三1.下列说法中，正确的是（ ） A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘 C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短 D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定．2．（2021·上海九年级专题练习）已知,a b →→和c →都是非零向量，在下列选项中，不能判定/b /a →→的是（ ）A ．//,//a c b c →→→→B ．|a |||b →→=C ．3a b →→=-D ．1,22a c b c →→→→==【答案】B【解析】解：A 、∵//,//a c b c →→→→，∵/b /a →→，故本选项不合题意；B 、∵|a |||b →→=的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；C 、∵3a b →→=-，∵/b /a →→，故本选项不合题意；D 、∵1,22a c b c →→→→==，∵/b /a →→，故本选项不合题意．故选：B ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知4a b a +=，那么b →的值为（ ） A ．a → B ．2a → C ．3a D ．4a【答案】C【解析】解：∵4a b a +=，∵43b a a a →→→→=-=；故选：C ．4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）3a 与2a a +的长度与方向的关系是（ ）A ．长度相等，方向相同B ．长度相等，方向相反C ．长度不等，方向相同D ．长度不等，方向相反【答案】A【解析】23a a a +=∴3a 与2a a +相等向量长度相等，方向相同故选：A5.（2020·上海九年级专题练习）如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反， ∵3a e =-．故选：B ．6.（2021·上海九年级一模）已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ） A ．12e e = B ．a b =- C ．a b = D ．a b =-【答案】C【解析】解：∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵1e 与2e 不一定相等，选项A 错误； ∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵a 与b -不一定相等，选项B 错误； ∵133a e ==，233b e =-=，∵a b =，选项C 正确，选项D 错误； 故选：C7.如图，已知a ，求作13a -（提示：利用三角形的重心）．【答案】图见解析.【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结AB 、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 的中线，根据三角形重心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.8.如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ．【答案】411DE BC =． 【解析】∵47AD BD ==，，∵411AD AB =， 又∵//DE BC ， ∵DE AD BC AB =． ∵411DE BC =． 9.计算：()35a -⨯=； ()()743a b a b a +--+=； ()()1123a b a b +--= ．【答案】151561166a ab a b -++；；． 【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+； （3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 10.在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--．求证：四边形ABCD 为梯形．【答案】证明过程见解析.【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∵2(4)2AD a b BC =--=，∵//AD BC ．∵四边形ABCD 是梯形．1.向量的线性运算 如果a 、b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做a 、b 的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算． 2.向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．知识二、向量的线性运算平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．题型一、作图题 【例10】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶3+2,a b 2a b -.【答案】图像见解析.【解析】如图,在平面内任取一点O ，作OA a =，=OB b ;再3OC a =，=2OD b .以 OC 、OD 为邻边，作平行四边形 OCED ，则32OE a b =+.作向量DA ，则 2DA a b =-.【例11】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶()72.2a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【答案】图像见解析.【解析】()7752=23.222a b a b a b a b b a ⎛⎫+--+-+=- ⎪⎝⎭ 如图，在平面内取一点O ,作5,3;2OA a OB b ==再作AB ,则 5=32AB OB OA b a -=-. 题型探究题型二、向量的线性组合【例12】(1)（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O 为∵ABC 内一点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且11,43AD AE AB EC ==；若OB a =，OC b =，求：用向量a ，b 表示DE →．【答案】DE →1144b a →→=- 【解析】解：∵11,43AD AE AB EC == ∵14ADAE AB AC ∵DE∵BC∵14DEAD BCAB ∵BC b a →→→=-∵DE 1144b a →→=-； (2) （2020·上海九年级一模）如图，在梯形ABCD 中， //AD BC ， 2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点 O ，设AD a =， AB b =.试用a 、b 的式子表示向量 AO .【答案】1233AO b a =+ 【解析】//,2AD BC BC AD =12AO AD OC BC ∴== 13AO AC ∴=即13AO AC = AD a =， BC 与AD 同向，2BC a ∴=2AC AB BC b a =+=+1233AO b a ∴=+ 题型三、向量的分解【例13】如图，已知向量OA 、OB 和p 、q ，求作：（1）向量p 分别在OA 、OB 方向上的分向量；（2）向量q 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【答案】（1）OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.【解析】（1）作向量OP p=;再过点P分别作PE//OA，PD//OB，E为直线PE与直线OB的交点，D为直线PD与直线OA的交点.作向量OD OE、.则OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）作OQ q=;再过点Q分别作QF//OA，QG//OB，F为直线QF与直线OB 的交点，G为直线QG 与直线OA的交点.作向量OG OF、.则OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.举一反三1．（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若AB＝a，AD＝b，用a、b表示OB；（3）在图中画出12a b+．（不需要写画法，但需要结论）【答案】（1）GE ＝4；（2）3355OB a b =-；（3）AH 即为所求，作图见解析 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝BC ，AD ∵BC ，,GAE GBC ∴∽∵DE ＝2AE ，∵13GEAEGC BC ==∵CE ＝8，∵183GEGE =+∵GE ＝4．经检验：4GE =符合题意．（2）∵BD BA AD b a =+=- ，DE ∵BC ，DE ＝2AE ，,DOE BOC ∴∽∵23DEOD BC OB ==∵35OBOBBD OD OB ==+∵()333555OB b a a b =--=-；（3）如图，延长CD 到H ，使得DH ＝AG ，连接AH ．∵AE∵BC，, AGE BGC ∴∽∵13 GA AE GB BC==∵12 GA GAAB GB GA==-∵1122 DH AG BA a ===∵12a b AD DH AH+=+=∵AH即为所求．2．（2021·上海九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设BA a=，CB b=．（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b=-；（2）见解析，2233CO b a=+【解析】解（1）∵//AD BC∵12OE AE BO BC == ∵23BO BE = ∵()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）∵AE∵BC ，∵1=2AOAECO CB =，∵23CO CA =，∵()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．课后作业1.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与3a 是相等向量的是（）A ．42a a +B ．62a a -C ．2b b +D ．1(5)2a a +【答案】D【解析】解：A 选项42a a +=6a ，不符合题意；B 选项62a a -=4a ，不符合题意；C 选项2b b +=3b ；不符合题意；D 选项11(5)6322a a a a →→→→+=⋅=，符合题意．故选：D ．2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）A ．如果OA OB =，那么A 与B 重合 B ．若2OA OB =，则B 是OA 的中点C ．若2OA OB =，则 若2OA OB =D ．B 是OA 的中点则 2OA OB =【答案】C【解析】因为OA =OB 且方向相同，所以A 与B 重合，此选项正确；B 、因为2OA OB =且方向相同，所以B 是OA 的中点，此选项正确，C 、因为2OA OB =，但方向不明确，所以2OA OB =或2OA OB =-，此选项错误；D 、因为B 是OA 的中点，所以2OA OB =，此选项正确，符合题意的选项是C ，故选：C ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是（ ）A ．0AC BC +=B ．0AC BC -=C ．0AC BC +=D ．0AC BC -=【答案】C【解析】解：由题意，∵点C 是线段AB 的中点，∵AC BC =∵AC 与BC 为相反向量，∵0AC BC +=；故选：C ．4.（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =；B ．a ∵b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=．【答案】D 【解析】 A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∵||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∵a ∵b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∵a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D5.（2020·上海九年级一模）已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∵b 的是（ ） A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b =【答案】D【解析】解：A.∵a //c ，b //c ，∵a ∵b ，故本选项错误； B.∵1,22a cbc ==∵a ∵b ，故本选项错误.C.∵2a b=，∵a∵b，故本选项错误；D.∵a b=，∵a与b的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D．6．（2020·上海九年级专题练习）若a＝2e，向量b和向量a方向相反，且|b|＝2|a|，则下列结论中不正确的是（）A．|a|＝2B．|b|＝4C．b＝4e D．a＝1 2b -【答案】C【解析】A、由a＝2e推知|a|＝2，故本选项不符合题意．B、由b＝-4e推知|b|＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：b＝﹣4e，故本选项符合题意．D、依题意得：a＝-12b，故本选项不符合题意．故选C．||||CA BD∴=．CA BD∴=．∴平行四边形ABCD是矩形．故选：A．7．（2021·上海中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，,AB a AD b==，E为AB中点，求12a b+=（）A．EC B．CE C．ED D．DE 【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∵1122a b AB BC EB BC EC+=+=+=故选A．8．（2021·上海九年级二模）如图，在∵ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设AB a=，AE b=，那么向量BG用向量a、b表示为（）A．2233-+a b B．2233a b+C．1122a b-+D．1122a b+【答案】A【解析】解：∵AB a=，AE b=，∵BE BA AE a b=+=-+，∵AD，BE是∵ABC的中线，∵G是∵ABC的重心，∵BG＝23 BE，∵BE ＝2233a b -+， 故选A ．9．（2021·上海九年级一模）已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A ．AM BM =B ．12AM AB =C ．12BM AB =D ．0AM BM +=【答案】B【解析】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确； C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．10．（2021·上海）以下说法错误的是（ ）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ； D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．【答案】A【解析】A 、如果0ka =，那么0a ≠，故该项错误，B 、如果2a b =-，那么||2||a b =，故该项正确；C 、如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ，故该项正确；D 、如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =，故该项正确；故选：A ．11．（2021·上海九年级一模）已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =-【答案】B【解析】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ．12．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）∵()()3330a b a b ---=；∵若3a b =，则3a b =-；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；∵如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；∵如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】∵()()()()333330a b a b a b a b ---=---=，该选项正确； ∵若3a b =，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =，该选项正确；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =，该选项正确； ∵如果非零向量a mb =，可得a 、b 方向相同，则a 与b 所在的直线平行，该选项正确；∵如果a 与b 不平行，则0a →与0b →也不平行，该选项错误．综上，∵∵∵∵正确，共4个．故选：C ．13．（2021·上海九年级一模）计算：()432a a b --=_________________．【答案】6a b +【解析】解：()432a a b -- 4366a a ba b =-+=+故答案为：6a b +．14．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）化简：31()2()2a b a b +--＝_____． 【答案】72a b +【解析】解：31()2()2a b a b+--＝3a+32b﹣2a+2b＝（3﹣2）a+（32++2）b＝72a b+故答案是：72a b +．15．（2021·上海九年级专题练习）已知向量a与e方向相反，长度为6，则a=_______e【答案】－6【解析】∵向量a与e方向相反，长度为6，∵6a e=-，故填：6．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：（1）AB BC CD++=________．（2）AB AD DC--=_________．（3）()()AB CD AC BD---=________．【答案】AD CB0【解析】解：（1）AB BC CD AC CD AD++=+=；（2）AB AD DC DB DC CB--=-=；（3）()()AB CD AC BD---AB BD CD AC=+--CAAD DC=++=；故答案为：AD；CB；0．17．（2021·上海九年级专题练习）已知向量,,a b x满足关系式34()0a b x+-=，那么可用向量,a b表示向量x＝_____．【答案】34ab+【解析】解：34()0a b x+-=，3a+4b＝4xx＝34ab+．故答案是：34ab+．18．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知∵ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设,AB a AD b==，用,a b表示AF为__________________．【答案】2a b+【解析】解：在∵ABCD中，CD∵AC．∵E是边CD的中点，∵CE是∵ABF的中位线，∵BC＝CF．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD＝b，则=2BF BC＝2AD=2b．∵AB＝a，∵AF＝AB BF+＝a+2b．故答案是：a+2b．19．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∵AC，DF∵AB，BD：DC=2：5，设AB,a BD b==．,a b表示：,,,CD DF AC DE．【答案】52CD b=-；57DF a=-；72AC b=；27DE a b=--【解析】∵BD：DC=2：5，∵5522CD BD b=-=-，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，∵DF∵AB，∵57 DF CDAB BC==，∵55AB77DF a=-=-，∵BD：BC=2：7，∵72BC b=，∵72AC AB BC a b=+=+，∵DE//AC，∵DE BDAC BC==27，∵2272()7727DE AC a b a b =-=-+=--．20．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知a、b都是已知向量，x、y都是未知向量，且x+20a =，420x y a b -++=，求x 、y ．【答案】x =2a -；72y a b =-+【解析】解：∵x +20a =，∵x =2a -；∵420x y a b -++=，∵820a y a b --++=，∵72y a b =-+；21．（2021·上海九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =， 1.8BC =． （1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-． 【解析】（1）在ABCD 中，∵BC ∵AD∵∵BEA =∵DAE ，又∵∵BFE =∵DF A ，∵∆BFE ∵∆DF A ，∵BE BF AD DF = ，又∵AE 平分BAD ∠，∵∵BAE =∵DAE ，∵∵BAE =∵BEA ，∵AB =BE ， ∵BE AB AD AD = 又∵ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．∵1.221.83BF AB DF AD === ∵BF :DF =2：3（2）∵BF :DF =2：3∵DF =35DB ∵35DF DB ==3()5AB AD - ∵BC ∵ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，∵AD BC b ==∵333()555DF a b a b =-=-． 22．（2021·上海九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由； （2）设AB a =，BC b =，写出向量AD 关于,a b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【解析】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，AB=22a a 2a +=， AC=()2225a a a +=，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则BM=()2225a a a +=，AM=()()223213a a a +=，其中AB ＜BM ＜AM ∵22AB a BC a==，51022BM a AB a == ∵AB BC ≠BM AB∵ABM 和ABC 不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a ，AN=()22310a a a +=，其中AB ＜BN ＜AN∵22AB a BC a ==，222BN a AB a ==，1025AN a AC a==， ∵AB BC ＝BN AB =AN AC ∵NBA △∵ABC ；如下图所示，连接BP则BP=()2225a a a +=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP∵22AB a BC a ==，51022BP a AB a == ∵AB BC ≠BP AB∵ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=，AQ=()22310a a a +=，其中AB ＜BQ ＜AQ∵22AB a BC a==，2222BQ a AB a == ∵AB BC ≠BQ AB∵ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示∵22AE AB a ==，33ED BC b =-=-∵AD =AE ＋ED=2a 3b -．23．（2021·上海九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【解析】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ， AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b =ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴ ， 23b DE BC =＝，2a 3BE BD DEb ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-，∵BK 即是所求的求作的向量24．（2021·上海）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量． （注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析 【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD 中∵AO=OC=12AC∵OE=EC=12OC=14AC ∵AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC ∵AC BC BA b a =-=-∵()33334444AE AC b a b a ==-=-； 故答案为3344b a -； （2）∵EC=14AC,AE=34AC ∵13EC AE = ∵平行四边形ABCD∵AB//CD∵∵FCE∵∵BAE ∵13FC EC AB AE ==,即FC=13AB ∵AB//FC ∵13CF BA =,即13CF a = ∵13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．25．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，点D 、E 分别在ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且//DE BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点．（1）设BF a →→=，→→=AC b ，试用x a y b →→+的形式表示,AB ED →→；（x 、y 为实数） （2）作出BF →在BA →、BC →上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】（1）1AB=2a b -+，11ED=24a b +；（2）作图见解析 ．【解析】（1）∵F 为AC 的中点，AC=b ，∵1AF=FC=2b ， ∵11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 1BC=BF+FC=2a b + ∵DE∵BC∵∵EDA∵∵CBA∵AE=12AC ，ED=12BC 11111ED=BC=22224a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ （2）作图如下：作GF∵AB 交BC 于G ， ∵F 为AC 中点，∵ G 为BC 中点，FG=12AB ， ∵BF 在BA 上的分向量1GF=BA 2， BF 在BC 上的分向量1BG=BC 2。
2002-2012上海中考数学试题分类解析汇编专题7-平面几何基础
2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础和向量一、选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n ，不符合正比例的关系式，故错误；C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360n，随着n 的增大，度数将变小，故正确；D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。
故选A ，C 。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】 A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。
故选B 。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于【 】A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，=a b AC +。
故选B 。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于02180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。
【中考12年】上海市中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量
【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
故选A ，C 。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】 A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。
故选B 。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于【 】A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，=a b AC +。
故选B 。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于02180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。
故选C 。
5.（上海市2009年4分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是【 】A ．AD BC DF CE =B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=【答案】A 。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】已知AB CD EF ∥∥，根据平行线分线段成比例定理，得AD BCDF CE=。
中考数学模拟试题向量的概念与计算
中考数学模拟试题向量的概念与计算向量的概念与计算中考数学模拟试题一、引言在数学中，向量是一个非常重要且基础的概念。
了解向量的概念以及掌握向量的计算方法，对于解决许多数学问题都具有重要的作用。
本文将介绍向量的概念、向量的表示方法以及常用的向量计算方法。
二、向量的概念向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。
向量可以包含坐标和方向信息。
在平面几何中，向量通常用有序实数对(a, b)表示，其中a 表示横坐标，b表示纵坐标。
在空间几何中，向量通常用有序实数组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示在x轴、y轴和z轴上的坐标。
三、向量的表示方法1. 向量的符号表示通常使用小写字母加上一个箭头来表示向量，例如，用小写字母a 表示向量a。
2. 向量的坐标表示如前所述，向量可以通过有序数对或数组来表示。
在平面几何中，向量a = (a1, a2)；在空间几何中，向量a = (a1, a2, a3)。
这种表示方法常用于直接计算向量的各种运算。
四、向量的计算方法1. 向量的加法向量的加法操作是指将两个向量的对应分量相加。
例如，向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，则它们的和为向量c = (a1 + b1, a2 + b2)。
同样地，在空间几何中，向量的加法操作也是对应分量相加的。
2. 向量的减法向量的减法操作是指将两个向量的对应分量相减。
例如，向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，则它们的差为向量c = (a1 - b1, a2 - b2)。
在空间几何中，向量的减法操作也是对应分量相减的。
3. 向量的数量乘法向量的数量乘法操作是指将向量的每个分量与一个常数相乘。
例如，向量a = (a1, a2)与常数k相乘，结果为向量b = (ka1, ka2)。
同样地，在空间几何中，向量的数量乘法操作也是将向量的每个分量与常数相乘。
4. 向量的数量除法向量的数量除法操作是指将向量的每个分量除以一个常数。
2021年上海八年级数学期中测试专题-考点05 平面向量(考点详解)学生版
考点05 平面向量向量知识与观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，融数形一体，能与中学数学的许多主干知识形成知识交汇点。
平面向量的数量积、模、夹角是历来高考考查的重点、热点，以选择题或填空题的形式呈现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直（平行）的条件等问题.近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，难度为中等或中等偏上.但在三角函数、解析几何、数列知识交汇点命题值得关注一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，AB→零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0＝a|a|共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如AB→＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、向量的分解与向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.三、平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. ⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.4.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).平面向量的概念及线性运算一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++=（ ）. A ．0B ．3C 2D ．222．（2020·上海市行知中学高三开学考试）已知平面上点O 与线段AB ，若线段AB 上有(1)n n >个异于端点A 、B 的互异动点1P 、2P 、⋅⋅⋅、n P ，且满足k k k OP OA OB λμ=+，k λ、k R μ∈，1k n ≤≤，k Z ∈，则()()1212n n λλλμμμ的取值范围是（ ）A ．10,2n ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4n ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4n ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2019·上海市青浦高级中学高三月考）已知ABC ∆中，()0BC AB BC ⋅+=，则ABC ∆的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．（2020·上海高三专题练习）设a ，b ，c 是三个非零向量，且a 与b 不共线，若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实根1x ，2x ，则( )A ．12x x >B ．12x x =C ．12x x <D ．1x ，2x 大小不确定5．（2020·上海杨浦区·复旦附中高三期末）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．14二、填空题6．（2020·上海青浦区·高三二模）已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.7．（2020·上海高三专题练习）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）在ABC 中，1AB =，2AC =，1263CE CB CA =+，则AE BC ⋅=___________.9．（2020·上海长宁区·高三一模）在ABC 中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上.若1AB AD ⋅=，53AD AC ⋅=，则AB AC ⋅的值为___________.10．（2020·上海闵行区·高三一模）已知平面向量,,a b c ，对任意实数t ，都有b ta b a -≥-，b tc b c -≥-成立.若3a =，2c =，7a c -=，则b =___________.11．（2020·上海市进才中学高三月考）已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ→→→=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________12．（2020·上海市建平中学高三月考）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2AB =，设2PC PA PB =+，则PC ∈________.三、解答题14．（2020·上海高三专题练习） 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 的轨迹．15．（2020·上海高三专题练习）如图，在ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，||1||2BE EA =，||1||CF FA =，CE 与BF 交于点G ，CG CE λ=，BG BF μ=，求λ和μ的值．16．（2019·上海杨浦区·复旦附中高三开学考试）点P 为ABC ∆平面上一点，有如下三个结论： ①若0++=PA PB PC ，则点P 为ABC ∆的______；②若sin sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则点P 为ABC ∆的______； ③若sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则点P 为ABC ∆的______. 回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上. A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心 （2）请你证明结论②.1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别.向量的分解与向量的坐标运算一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是（ ） A ．()10,0e =，()21,2e = B ．()11,2e =-，()25,2e =- C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，()22,3e =-2．（2020·上海高三专题练习）已知函数21xy x-=+，按向量a 平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a 为( ) A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)3．（2020·上海高三专题练习）已知()11,AB x y =，()22,AC x y =，则三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件4．（2021·上海高三专题练习）在平面上，1212,1AB AB OB OB ⊥==，12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（ ）A ．50,2⎛ ⎝⎦B ．5722⎛ ⎝⎦C ．5,22⎛⎤⎥⎝ D ．7,22⎛⎤⎥⎝ 5．（2020·上海高三其他模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆上及内部的动点，设向量(),AP mAB nAD m n R =+∈，则m n +的取值范围是（ ）A ．221244⎡-+⎢⎣⎦B ．32,244⎡+⎢⎣⎦C ．39,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．29144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．（2019·上海杨浦区·高三二模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ）A ．45B ．54C ．56D ．127．（2020·上海市进才中学高三月考）已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ） A ．19312B ．1312C 2D ．18．（2019·上海市育才中学高三三模）如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与BC 的夹角为θ，那么我们称向量AB 经过一次(,)t θ变换得到向量BC . 在直角坐标平面内，设起始向量1(4,0)OA =，向量1OA 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -(,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A ．23b =B ．3130k k b b +-=()k ∈*NC ．31310k k a a +--=()k ∈*ND ．4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N9．（2019·上海市建平中学高三月考）已知向量,OA AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB ，现有向量(1,1)OA =经过一次()11,k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次()22,k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(),n n k θ变换后得到1n n A A -，设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nnk θ=，则y x -等于（ ）A ．12112sin 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．12112sin 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C ．12112cos 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．12112cos 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、填空题10．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知向量()()22,1,,2m x n x ==满足m n m n ⋅=⋅，则实数x =__________.11．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知()2,3a m =--，()1,b m =-，若a ∥b ，则m ＝_________________． 12．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知向量(2,1)a =，(,3)b m =，若向量(2)a b -∥b ，则实数m =________13．（2019·浦东新区·上海市浦东复旦附中分校高三二模）在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC==，则2BM 的最大值为________. 14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________ 15．（2020·上海高三其他模拟）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______16．（2020·上海高三一模）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，2ABC π∠=，1AB AD ==，2BC =，M 为BD 的中点．设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ⋅的最大值为_________．三、解答题17．（2019·上海高三其他模拟）已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值.18．（2020·上海市控江中学高三月考）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．(1)已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； (2)已知直线:1(1)l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；(3)已知双曲线22:13x C y -=，126λλ+=，求点D 的坐标．19．（2021·上海高三专题练习）如图，已知圆2221:(0)2r x y r r ⎛⎫Γ+-=> ⎪⎝⎭和双曲线2222:1(0)y x b bΓ-=>，记1Γ与y 轴正半轴、x 轴负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程；（2）若2r，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得 2.019PA PC -=.20．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式.平面向量的数量积及其应用一、单选题1．（2020·上海奉贤区·高三一模）设d 是直线1111:0l a x b y c ++=的一个方向向量，n 是直线2222:0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量d 与向量n 的夹角为θ，则|cos |θ为（ ）ABCD2．（2020·上海虹口区·高三一模）在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．（2020·上海长宁区·高三一模）对任意向量a ､b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．()22a ba b +=+B ．()()22a b a b a b ⋅=+-- C ．a b a b ⋅≤⋅D ．a b a b -≤-4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知非零平面向量a 、b 、c ，设b 与c 、c 与a 、a 与b 的夹角依次为α、β、γ，关于论断P ：“a 、b 、c 经平移之后能构成三角形”有两个命题：①P 等价于sin sin sin a b c αβγ==；②P 等价于2222cos c a b a b γ=+-⋅⋅，则（ ）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①是真命题，②是假命题5．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-6．（2020·上海高三其他模拟）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA PC PB PD ⋅+⋅是定值；B ．PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值； C ．PA PB PC PD +++是定值； D ．2222PA PB PC PD +++是定值．7．（2019·宝山区·上海交大附中）若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( ) A ．[0,22] B ．[0,2] C ．[222,222] D ．[222,2]二、填空题8．（2020·上海松江区·高三一模）已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____.9．（2020·上海青浦区·高三一模）已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________.10．（2020·上海杨浦区·高三一模）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E 、2E 、、7E ，自左到右依次记作1F 、2F 、、7F ，满足2i j AE AF ⋅≤（其中i 、j N *∈，1,7i j ≤≤）的有序数对(),i j 共有_______对.11．（2020·上海浦东新区·高三一模）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________．12．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）如图，已知4AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ､AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ､N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ､B ､C )，且0BM BN ⋅=，则AM CN ⋅的最大值为___________.13．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=（1,2,3n =），112||||21n n n n A A A A n +++⋅=+（1,2,3n =），则15||A A 的最小值为________14．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，M 是线段DC 上一点，且满足14DM DC =，若N 为平行四边形ABCD 内任意一点(含边界)，则AM AN ⋅的最大值为_________.15．（2019·上海市建平中学高三月考）设A ､B 分别是抛物线24y x =和圆()22:41C x y -+=上的点.若存在实数λ使得AB BC λ→→=，则λ的最小值为________.16．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .17．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________.三、解答题18．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=. （1）求ABC 的面积；（2）若a 、b 、c 成等差数列，求b 的值；19．（2020·上海奉贤区·高三一模）如图，曲线τ的方程是2||1x y y -=，其中A 、B 为曲线τ与x 轴的交点，A 点在B 点的左边，曲线τ与y 轴的交点为D .已知1F ()0c -，，2F ()0c ，，0c >，1DBF △的面积为122.（1）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，设点P 的横坐标为P x 、Q 的横坐标为Q x ，求证：P Q x x ⋅是定值；（2）过点2F 的直线n 与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n 的倾斜角范围；（3）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，当11322F P FQ ⋅=+时，求AP AQ λ=成立时λ的值.20．（2021·上海高三专题练习）已知向量()21,a x x =+-，(21,21b n =+（n 为正整数），函数()f x a b =⋅，设()f x 在()0,∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，都有()2451n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞； （3）在点列()111,A a ，()222,A a ，()333,A a ，⋅⋅⋅()1,nnA a ⋅⋅⋅一中是否存在两点iA ，jA （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(),i j ；若不存在，请你写出理由.21．（2021·上海高三专题练习）双曲线2212:14x yC b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩.（1）若6A x =b ； （2）若5b =2C 与x 轴交点记为12,F F ，P 是曲线Γ上一点且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ； （3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.22．（2020·上海高三专题练习）已知OAB ，OA a =，OB b =，2a ||=，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,A B ．由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*n R n N∈．设()()01n n n AP t b a t =-<<，如图所示.（1）求||AB 的值；（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：()11213BQ t b =--⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；（3）用1t 和n 表示n t ．1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.。
平面几何基础和向量上海中考题及答案(2001-2012年)
平面几何基础和向量上海中考题及答案（2001-2012年）2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题8：平面几何基础和向量一、选择题2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算的结果是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：。
故选B。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形中，如果，，那么等于【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，。
故选B。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【】A．正六边形B．正五边形C．正四边形C．正三边形【答案】C。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正边形的内角和可以表示成，则它的内角是等于，边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于的方程：，解这个方程得=4，即这个多边形是正四边形。
故选C。
5.（上海市2009年4分）如图，已知，那么下列结论正确的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，得。
故选A。
6.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【】A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形【答案】B。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。
二、填空题1. （上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝▲．【答案】12。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得AE的长：∵DE∥BC，∴。
∵AD=8，DB=6，CE=9，∴。
2.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有▲条对称轴。
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【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。
【考点】正多边形和圆，命题与定理。
故选A ，C 。
2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。
【考点】向量的计算。
【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。
故选B 。
3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a = ，AD b = ，那么a b +等于【 】 A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。
【考点】向量的几何意义。
【分析】根据向量的意义，=a b AC +。
故选B 。
4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。
【考点】多边形内角与外角。
【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于2180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。
故选C 。
5.（上海市2009年4分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是【 】A ．AD BC DF CE =B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=【答案】A 。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】已知AB CD EF ∥∥，根据平行线分线段成比例定理，得AD BCDF CE=。
故选A 。
6.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】 A ． 等腰梯形 B ． 平行四边形C ． 正五边形D ．等腰三角形 【答案】B 。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。
7.（2013年上海市4分）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于【】（A）5∶8 （B）3∶8 （C）3∶5 （D）2∶5【答案】A。
【考点】平行线分线段成比例的性质。
【分析】∵DE∥BC，AD∶DB = 3∶5，∴AE∶EC = AD∶DB = 3∶5。
∴AC∶EC = 8∶5，即CE∶CA= 5∶8。
又∵EF∥AB，∴CF∶CB= CE∶CA= 5∶8。
故选A。
二、填空题1. （上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝▲ ．【答案】12。
【考点】平行线分线段成比例。
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得AE的长：∵DE∥BC，∴AD AE DB CE=。
∵AD=8，DB=6，CE=9，∴AD CE72AE12DB6⋅===。
2.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有▲ 条对称轴。
【答案】6。
【考点】轴对称的性质。
【分析】根据轴对称图形的特点，知正六边形有6条对称轴，分别是3条对角线和三组对边的垂直平分线，∴正六边形是轴对称图形，它有6条对称轴。
3.（上海市2005年3分）在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD ＝2，DB＝4，AE＝3，那么EC＝▲4.（上海市2006年3分）在中国的园林建筑中，很多建筑图形具有对称性。
图是一个破损花窗的图形，请把它补画成中心对称图形。
【答案】【考点】用旋转设计图案，中心对称图形。
【分析】通过画中心对称图形来完成，找出关键点这里半径长，画弧，连接关键点即可。
正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂5.（上海市2007年3分）图是44黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．【答案】。
【考点】利用旋转设计图案，中心对称图形。
【分析】图中中间的相邻的2对黑色的正方形已是中心对称图形，需找到最上边的那个小正方形的中心对称图形，它原来在右上方，那么旋转180°后将在左下方。
6.（上海市2008年4分）如图，已知a b ∥，140∠=，那么2∠的度数等于 ▲ 0．【答案】12a +b 。
【考点】向量的计算。
【分析】∵AB a = ，BC b = ，∴根据平行四边形法则，AC AB BC a b =+=+。
又∵在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，∴1122CD BC b =-=-。
∴用向量a ，b 表示向量AD 为1122AD AC CD a+b+b a+b ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭。
8.（上海市2010年4分）如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 设向量AD a =，AB b = ，则向量AO =▲ .（结果用a 、b 表示）【答案】()1=2AO b a +。
【考点】平面向量，平行四边形的性质。
【分析】根据平行四边形的性质，可知AD BC a == ，则AC AB BC=2b a AO =++=，所以()1=2AO b a +。
9.（上海市2011年4分）如图，AM 是△ABC 的中线，设向量AB a = ，BC b =，那么向量AM =▲ （结果用a 、b表示）．【答案】12a b +。
【考点】平面向量。
【分析】∵AM 是△ABC 的中线，BC b = ，∴11BM BC 22b ==。
又∵AB a = ，∴1AM AB BM 2a b =+=+。
10.（上海市2011年4分） 如图， 点B 、C 、D 在同一条直线上，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°， 那么∠A＝ ▲ ． 【答案】54°。
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理。
【分析】由CE∥AB，，根据平行线同位角相等的性质，得∠B＝∠ECD＝36°，从而根据三角形内角和定理，得∠A＝180°－∠ACB－∠B＝180°－90°－36°＝54°。
11.（2012上海市4分）如图，已知梯形ABCD ，AD∥BC，BC=2AD ，如果AD=a AB=b ，那么AC= ▲ （用a b，表示）．【答案】2a+b。
【考点】平面向量。
【分析】∵梯形ABCD ，AD∥BC，BC=2AD ，AD=a ，∴BC=2AD=2a。
又∵AB=b ，∴AC=AB+BC b+2a=2a+b = 。
12.（2013年上海市4分）计算：()2a b 3b -+= ▲ ．13.（2013年上海市4分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为1000，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ▲ ． 【答案】300。
【考点】新定义，三角形内角和定理。
【分析】根据定义，α=1000，β=500，则根据三角形内角和等于1800，可得另一角为300，因此，这个“特征三角形”的最小内角的度数为300。
三、解答题1.（上海市2004年10分）如图所示，在△ABC 中，∠=B A C 90°，延长BA 到点D ，使AD A B =12，点E 、F 分别为BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG//BC ，交DF 于点G ，求证：AG=DG 。
【答案】证明：（1）过点F 作//FH CB 。
∵点E 、F 分别为BC 、AC 的中点，∴12HF BC BE ==，点H 是AB 的中点。
∴1122AD AB AH AB ==，。
∴AD AH =。
又∵∠=B A C 90°，∴AF 是DH 的垂直平分线。
∴DF HF BE ==。
（2）画出线段AG∵AD AH =，//AG BC ∴1122AG HF DG DF ==，。
由（1）知DF HF =，∴AG DG =。
（2）由（1）的结论，根据三角形中位线的判定和性质即可得出结论。
2.（上海市2005年8分）（1）在图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于y 轴对称的两个三角形的编号为 ；关于坐标原点O 对称的两个三角形的编号为 ；（2）在图4中，画出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1【答案】解：（1）：①，②；①，③； （2）如图，△A 1B 1C 1即为所求：【考点】作图（轴对称变换），中心对称。
【分析】（1）根据轴对称的性质，对应点到对称轴的距离相等，可知1，2两个图形是轴对称图形，根据中心对称的性质，对应点到原点的距离相等可知1，3是中心对称图形。
（2）从三角形三个顶点向x轴引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接。
3.（上海市2008年10分）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图1所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．（1）请你帮助小王在图2中把图形补画完整（3分）；i 是坡面（2）由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75CE的坡度），求r的值（7分）．【答案】解：（1）图形补画如下：（2）由已知OC DE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．∵1:0.75i =，∴43CH EH =。
在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4C H k =，3(0)EH k k =>，又∵5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =。
∴3EH =，4CH =。
∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+。
在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+，解得83r =。