专题8-平面几何基础
江苏省连云港市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
[中考12年]连云港市2001-2012年中考数学试题分类解析专题08平面几何基础一、选择题1. （2001年江苏连云港3分）在比例尺1∶n的某市地图上，规划出一块长5cm、宽2cm的矩形工业园区，则该园区的实际面积是【】（单位：平方米）（A）n1000（B）2n1000（C）10n （D）210n2. （2001年江苏连云港3分）下列四个命题中的真命题是【】（A）同位角相等，则它们的平分线互相垂直（B）内错角相等，则它们的平分线互相垂直（C）同旁内角互补，则它们的平分线互相垂直（D）同旁内角相等，则它们的平分线互相垂直3. （2002年江苏连云港3分）下面给出四个命题，其中假命题是【】A．两条直线被第三直线所截，同位角相等B ．不相等的两角不是对顶点C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D ．以已知线段AB 为弦的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线4. （2004年江苏连云港3分）下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是【 】A ．B ．C ．D ．5. （2005年江苏连云港3分）如图，直线1l ∥2l ，3l ⊥4l ．有三个命题：①︒=∠+∠9031；②︒=∠+∠9032；③42∠=∠．下列说法中，正确的是【 】（A ）只有①正确 （B ）只有②正确 （C ）①和③正确 （D ）①②③都正确6. （2006年江苏连云港3分）下列图案中，不是．．中心对称图形的是【】A、 B、 C、 D、7. （2006年江苏连云港3分）多边形的内角和不可能．．．为【】A、180°B、680°C、1080°D、1980°8. （2008年江苏连云港3分）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1∠一定不相等∠与2的是【】A． B． C．D．9. （2010年江苏连云港3分）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．①② B．②③ C．②④ D．①④10. （2011年江苏连云港3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是【】A．B．C．D．11.（2012年江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【】A． B． C． D．12.（2012年江苏连云港3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为【】A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题1. （2004年江苏连云港3分）如图，两平面镜OA与OB之间的夹角为110°，光线经平面镜OA反射到平面镜OB上，再反射出去，其中∠1=∠2，则∠1的度数为▲ 度．2. （2005年江苏连云港3分）已知一个五边形的4个内角都是100，则第5个内角的度数是▲ ．3. （2006年江苏连云港3分）如图，∠BAC=30°，AB=10。
无锡新领航教育辽宁省各市2012年中考数学分类解析 专题8：平面几何基础
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专题8：平面几何基础
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一、选择题
1. （2012辽宁鞍山3分）下列图形是中心对称图形的是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 。
【考点】中心对称图形。
【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。
因此，
根据中心对称图形的定义可知：只有C 选项旋转180°后能和原来的图形重合。
故选C 。
2. （2012辽宁朝阳3分）如图，C 、D 分别EA 、EB 为的中点，∠E=300，∠1=1100，则∠2的度数为【 】
A. 080
B. 090
C. 0100
D. 0110
【答案】A 。
【考点】三角形中位线定理，平行线的性质，三角形外角性质。
【分析】∵C、D 分别EA 、EB 为的中点，∴CD∥AB。
∴∠ECD=∠2。
∵∠1是△ECD 的外角，∴∠E＋∠ECD=∠1。
∵∠E=300，∠1=1100，∴∠ECD=1100－300=800。
故选A 。
3. （2012辽宁朝阳3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】。
专题08 平面解析几何(解析版)
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2020年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（ ） A ．230x y ±= B ．320x y ±= C ．20x y ±= D ．230x y ±=【答案】C 【解析】由题,离心率c e a ===解得12b a =, 因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C2．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】 由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB的最大值为5CD =+ 故选：C.3．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知点A 在圆224x y +=上，且712xOA π∠=，则点A 的横坐标为（ ） A．2 B．4 CD【答案】A 【解析】由题设点A 00(,)x y ，点A 在圆上，22004x y +=，712xOA π∠=，7coscos()cos cos sin sin 124343434πππππππ=+=-=7cos 122x xOA π∠==，0x =.故选：A4．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．53C ．52D【答案】C 【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r =，则圆心到直线的距离为5a d c ==，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C.5．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：()2221x y -+=相切，双曲线M 离心率的值为（ ）ABCD．3【答案】B 【解析】设渐近线方程b y x a =±，即0b x y a±=，与圆N ：()2221x y -+=相切，圆心到直线的距离1d ==，22222222()()1,3,3()b b b a c a a a a =+=-=，所以222434,,1,33c a e e e ==>=故选：B6．（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．22【答案】D 【解析】 如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+， 当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D.7．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．3y x = C ．2y x =±D ．y x =±【答案】B 【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B.8．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A ．712612+B ．910+C ．832612D ．926+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=， 据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=，将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故()()22434126MB =-+--=,故△ABM 的周长为12532692644MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭, 本题选择D 选项.9．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为( )A ．23B ．43C ．8D ．83【答案】B 【解析】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，又直线AF 的斜率为3-，所以60AFD ∠=o ，因此24AF DF ==，60AFP ∠=o ； 由抛物线的定义可得：PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形， 所以PAF △的面积为144sin 60432⨯⨯⨯=o . 故选：B.10．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C 【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ， 解得：53e = ，或1e =-（舍） 故选：C二、多选题11．（2020届山东省德州市高三上期末）已知点A 是直线:20l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()0,2 B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1-【答案】AC 【解析】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA OP ==，由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=，整理得22220t t -=，解得0t =或2，因此，点A 的坐标为()0,2或()2,0.故选：AC.12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =u u u r u u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.13．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.14．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD 【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确；当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确. 故选：ACD15．（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =u u u r u u u r时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.16．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．17．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC 【解析】2216x y +=Qa ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .18．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC 三、填空题19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与圆2240x x y -+=相交于A 、B 两点，则AB =__________.【答案】【解析】圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心到直线的距离d ==所以弦长：AB ==故答案为：20．（2019·北京八十中高二期中）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 21．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：922．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ C 的离心率为____.【解析】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，P A ＝PQ ，BF 2＝QF 2， 又PF 1＝PF 2，∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ，由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ， 故而a ＝PQ 2=，又c ＝2，∴双曲线的离心率为e 2ca==． 故答案为：2．23．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且3||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， ∴ 22bcFD b b a ==+，由3||||FD OF =得3b =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2.24．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________． 101 【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ，根据抛物线的定义可知1PM PF =-1PA PM PA PF ∴+=+-，PA PF AF +≥Q ，当,,A P F 三点共线时，等号成立，PA PM ∴+的最小值是1AF -，()()22213010AF =-+-=，PA PM ∴+的最小值是101-.10125．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6 【解析】2214y x -=Q1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A Q ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：626．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p = 13【解析】∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NFMF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-42?19NF NF ≥-13=， 当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立， 故答案为：13． 27．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r，则||QF =__________.【答案】83【解析】根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-，∵3PF QF =u u u v u u u v ，2288,4,.3333QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==28．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标准方程为________.【答案】()()227645x y +++=【解析】由题意，设点(,3),0A m m m <，因为()10,0B -，则AB 的中点为103,22m m C -⎛⎫⎪⎝⎭， 以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=； 由(10)()(3)03x x m y y m y x +-+-=⎧⎨=⎩，解得：13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)D --；又AB CD ⊥，所以0AB CD ⋅=u u u r u u u r；因为(10,3)AB m m =---u u u r ，83,322m m CD -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以()83(10)33022m m m m -⎛⎫⎛⎫--+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：2280m m +-=，解得4m =-或2m =，因为0m <，所以4m =-， 所以圆C 的方程为：(10)(4)(12)0x x y y ++++=， 整理得：()()227645x y +++=. 故答案为：()()227645x y +++=. 四、解答题29．（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC V 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =V V ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+.【解析】(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，所以1sin 2261sin 2SMG SMNSM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠V V 所以3SM SN=，所以3SM SN =-u u u r u u u r设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-u u u r()22,1SN x y =-u u u r，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SM SN==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834k x x kk x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+. 所以236,2k k ==±， 所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+. 30．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由223220e e -+=解得22e =或2e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k --⨯⨯+V =216240k ->232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k -+=+-=+， ()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=--V V g =()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴V g 为定值12． 31．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）10k >10k <- 【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-u u u r ,22(3,)QB x y =-u u u r,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <32．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 33．（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x u u u u v u u u v=--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v()()()()2220002222120122485312143x x k x k x x x k x x kx k --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 34．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C过点12A ⎫⎪⎭，F为C 的右焦点，⊙F的方程为221104x y +-+= （1）求C 的方程；（2）若直线:(l y k x =(0)k >与⊙O 相切，与⊙F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记⊙O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k -⋅取最大值时，直线l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）(2y x =-【解析】（1）解：设C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>.由题设知223114a b+=① 因为⊙F 的标准方程为221(3)4x y -+=， 所以F 的坐标为(3,0)，半径12r =. 设左焦点为1F ，则1F 的坐标为(3,0)-. 由椭圆定义，可得12||a AF AF =+222211[3(3)]0(33)022⎛⎫⎛⎫=--+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=②由①②解得2,a =1b =.所以C 的方程为2214x y +=.（2）由题设可知，M 在C 外，N 在C 内，P 在⊙F 内，Q 在⊙F 外，在直线l 上的四点满足||||||,MP MN NP =-||||||NQ PQ NP =-.由2214(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()222214831240k x k x k +-+-= 因为直线l 过椭圆C 内的右焦点F ， 所以该方程的判别式>0∆恒成立.设()11,,P x y ()22,Q x y 由韦达定理，得2122,14x x k+=+212212414k x x k -=+.||PQ =224441k k +=+ 又因为⊙F 的直径||1MN =,所以||||||||(||||)NQ MP PQ NP MN NP -=---||||PQ MN =- ||1PQ =-2341k =+.(y kx =可化为0kx y -=.因为l 与⊙O 相切，所以⊙O的半径R =，所以2()S k R π=2231k k π=+. 所以()()2229(||||)()411k NQ MP S k k k π-⋅=++ 2429451k k k π=++229145k k π=≤++π=.当且仅当2214k k =，即2k =时等号成立. 因此，直线l的方程为y x =-.35．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>为2.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.【答案】(1) 2214x y += (2) 22y x =±+，17AB =. 【解析】解：（1）由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =， 又∵短轴长为2可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为()0k k ≠，设直线l 的方程为：2y kx =+，则联立222440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩， 消元得：()224116120k x kx +++=，()()2221616484116430k k k ∆=⨯-+=->，即234k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1221641k x x k -+=+，1221241x x k ⋅=+， 由题意可知OA OB ⊥u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u ur u u u r 即：()()2121212121240x x y y k x x k x x ⋅+⋅=+⋅+++=，∴()222212132401414k k k k+-+=++，解得2344k =>，∴12x AB =-=224434651k k -=+⋅=.综上：直线l 的方程为：22y x =±+，46517AB =. 36．（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x xk++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.37．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x u u u u v u u u v =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v ()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x kx x k xk --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 38．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知椭圆E :()222210y x a b a b+=>>的一个焦点为(,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.【答案】(1) 2214y x +=(2)存在,2245x y +=.m的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎭【解析】(1)由已知得:2222c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得:2,1a b ==∴椭圆E 的方程为2214yx +=(2)假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可.设直线OP 的方程为:,y tx P =点的坐标为()00,x y ,则00y tx =,联立方程组220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得： ()()22222200024114t OP x y t x t+∴=+=+=+①Q 以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,OP OQ ∴⊥,直线OQ 的方程为:1y x t=-∴在①式中以1l -换t ,得()2222214141=1414t t OQ t t ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭② 又由OP OQ ⊥知:()()()()()222222222224141201414144tt tPQ OP OQ t tt t+++=+=+=++++设坐标原点O 到直线l 的距离为d ,则有PQ d OP OQ =()()()()()22222222222241414414,55201144t t OP OQ l l d d PQ t t t++⋅++∴====+++又当直线OP 与y 轴重合时,()()0,2,1,0P Q ±±此时d =由坐标原点O 到直线l的距离5d =为定值知,所以存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切,定圆O 的方程为:2245x y +=. 直线l 与y 轴交点为()0,m ,且点()0,m 不可能在圆O 内,又当k =0时,直线l 与定圆O切于点0,⎛ ⎝⎭,所以m的取值范围是,,55⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭39．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线32y x =与椭圆E 在第一象限内的交点是M ，且2MF x ⊥轴，1294MF MF ⋅=u u u u r u u u u r . （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且||||CD AB ⋅=l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，y x =-+或y x =-- 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ， 由题意，得3,2M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为123392,0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r解得1c =，则31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在椭圆上，所以222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+， 由（1）知，12(1,0), (1,0)F F -， 所以以线段12F F 为直径的圆为221x y +=. 由题意，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得||m <||AB ===由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y ， 整理得22784120x mx m -+-=.由题意，()()2222(8)47412336484870m m m m ∆=--⨯⨯-=-=->，解得27m <，又||m <22m <.设()()1122,,,C x y D x y ，则212128412,77m m x x x x -+==21||77CD x =-==，若||||CD AB ⋅=，=整理得42436170m m -+=， 解得212m =，或2172m =.又22m <，所以212m =，即m =.故存在符合条件的直线l ，其方程为2y x =-+，或2y x =--.。
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题08 平面几何基础一、选择题1. （2002年福建福州4分）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要【】（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元2. （2003年福建福州4分）下列命题中，真命题的是【】（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（B）两条对角线相等的四边形是矩形（C）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有两条公切线，命题错误。
故选C。
3. （2005年福建福州大纲卷3分）下列命题正确的是【】A．用正六边形能镶嵌成一个平面B．有一组对边平行的四边形是平行四边形C．正五角星是中心对称图形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4. （2005年福建福州课标卷3分）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10度．设∠AOC和∠BOC的度数分别为x，y，则下列正确的方程组为【】A、x+y=180x=y+10⎧⎨⎩B、x+y=180x=2y+10⎧⎨⎩C、x+y=180x=102y⎧⎨-⎩D、x+y=90y=2x10⎧⎨-⎩5. （2006年福建福州课标卷3分）如图，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B＝40°，那么x的值是【】A．80 B．60 C．40 D．1006. （2007年福建福州3分）下列命题中，错误的是【】A．矩形的对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．等腰梯形的两条对角线相等D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等【答案】B。
【考点】命题和定理，矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】根据矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定则逐一计算作出判断：A．矩形的对角线互相平分且相等，正确；B．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，错误；C．等腰梯形的两条对角线相等，正确；D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，正确。
【中考12年】江苏省淮安市2001-2012年中考数学试题分类 专题8 平面几何基础
【中考12年】江苏省淮安市2001-2012年中考数学试题分类专题8平面几何基础选择题2. （2003年江苏淮安3分）四边形的内角和等于【】A．180°B．270°C．360°D．450°【答案】C。
【考点】多边形的内角和定理。
【分析】根据多边形的内角和定理，得四边形的内角和等于()0042180=360-⨯。
故选C。
4. （2003年江苏淮安3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=2，DB=4，则AEEC的值为【】5. （2005年江苏淮安大纲3分）如图，直线a ∥b ，直线c 是截线，如果∠1=50°，那么∠2等于【 】6. （2005年江苏淮安大纲3分）如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 。
【考点】三角形构成条件。
【分析】∵三角形的两边长为2和9，∴第三边长x 满足：92x 92<< -，即7x 11<<。
∵x 为整数，∴x=8，9，10。
∵三角形的周长为奇数，∴x=8， 10。
∴满足条件的三角形共有2个。
故选B 。
7. （2005年江苏淮安课标3分）下图是创星中学的平面示意图，其中宿舍楼暂未标注，已知宿舍楼在教学楼的北偏东约300的方向，与教学楼实际距离约为200米，试借助刻度尺和量角器，测量图中四点位置，能比较准确地表示该宿舍楼位置的是【 】点A Ｂ．点B Ｃ．点C D．点D9. （2008年江苏淮安3分）如图,直线AB、CD相交于点O．OE平分∠AOD,若∠BOC=80°,则∠AOE的度数是【】A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】A。
【考点】对顶角的性质，角平分线定义。
【分析】∵∠BOC和∠AOD是对顶角，且∠BOC＝80°,∴∠AOD＝∠BOC＝80°。
浙江省温州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础
2001-2012年浙江温州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题8：平面几何基础一、选择题1. （2001年浙江温州3分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面A1C1平行的平面是【】A．平面AB1 B．平面AC C．平面A1D D．平面C1D【答案】B。
【考点】认识立体图形。
【分析】根据正方体的概念和特性，相对的面互相平行，因此，和平面A1C1相对的面是平面AC，那么这两个面平行。
故选B。
2. （2002年浙江温州4分）如图，立方体 ABCD—A1B1C1D1中，与棱AD垂直的平面是【】A．平面A1B，平面CD1 B．平面A1D，平面BC1C．平面AC，平面A1C1 D．平面BD，平面AD1【答案】A。
【考点】认识立体图形。
【分析】根据正方体的概念和特性，与棱AD垂直的平面是：平面A1B和平面CD1。
故选A。
3. （2003年浙江温州4分）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AC平行的平面是【】A．平面AD1 B．平面A1C1 C．平面BC l D．平面A1B【答案】B。
【考点】认识立体图形。
【分析】根据正方体的概念和特性，相对的面互相平行，因此，和平面AC相对的面是平面A1C1，那么这两个面平行。
故选B。
4. （2004年浙江温州4分）下面给出的四条线段中，最长的是【】(A) a (B) b (C) c (D) d【答案】D。
【考点】比较线段的长短。
【分析】通过观察比较：d线段长度最长。
故选D。
5. （2004年浙江温州4分）高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图, 正十七边形的中心角∠AOB的度数近似于【】(A) 11° (B) 17° (C) 21° (D) 25°【答案】C。
【考点】正多边形和圆。
【分析】正多边形一定有外接圆，且每条边所对的中心角相等，因此360°÷17≈21°。
故选C。
6. （2005年浙江温州4分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，与平面A1C1平行的平面是【】A、平面AB1B、平面ACC、平面A1DD、平面C1D【答案】B。
专题08 平面解析几何(解答题)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M e 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）31-；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，13PF c =，于是122(31)a PF PF c =+=+，故C 的离心率是31ce a==-. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故42a ≥.当4b =，42a ≥时，存在满足条件的点P ． 所以4b =，a 的取值范围为[42,)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P在x轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C在直线4x=上，可设(4, )C t.因为OC AP∥，且由（1）知( 2 , 0)A c-，故3242ctc c=+，解得2t=.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得23(4)242314c+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得=2c.所以，椭圆的方程为2211612x y+=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C：221 43x y+=.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(−1，0)，由221431xx y⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32y=-.因此3(1,)2E--.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为312+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，122113222134323424S m S m m m m m m=-=--=+++++⋅+…. 当3m =时，12S S 取得最小值312+，此时G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP u u u r ． 于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x y x =-+=-+-=-u u u r ．同理2||=22x FB -u u u r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u u r u u u r u u u r ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .【答案】（1）2213x y +=；（2）6；（3）1. 【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =，又63c e a ==，所以3a =， 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则222212121264||1||1()42m AB k x x k x x x x ⨯-=+-=+⋅+-=，易得当20m =时，max ||6AB =，故||AB 的最大值为6． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，||13AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由22||13AB a b =+=，从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得12694x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为2214xy+=，圆O的方程为223x y+=；（2）①(2,1)；②532y x=-+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)F F-，可设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>．又点1(3,)2在椭圆C上，所以2222311,43,a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C的方程为2214xy+=．因为圆O的直径为12F F，所以其方程为223x y+=．（2）①设直线l与圆O相切于0000(),,(00)P x y x y>>，则22003x y+=，所以直线l的方程为000()xy x x yy=--+，即0003xy xy y=-+．由22001,43,xyxy xy y⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y，得222200004243640()x y x x x y+-+-=．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y>，所以002,1x y==．因此点P的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB的面积为267，所以21267AB OP⋅=，从而427AB=．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =， 因此P 的坐标为102(,)22． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； ②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．PMBAOyx（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1510[62,]4． 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 21200||22(4)y y y x -=-．因此，PAB △的面积3221200132||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是1510[62,]4． 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2221x m =±+． 从而12||=2||42(1)AB x x m -=+．由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)m m +=+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． （1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消y ，得12||=2||42(1)AB x x m -=+，解出m 即可．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u ru u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ），则N （0,0x ），00(,),(0,)NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r ，由2NP NM =u u u ru u u u r 得0022x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知F （−1,0），设Q （−3，t ），P （m ，n ），则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径292m r +=，故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r -=（），即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,3,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得3c =.所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. （1）根据条件可知32,2c a a ==，以及222b a c =-，从而求得椭圆方程；（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示出直线BN 的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据1212E BDE BDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）（ⅰ）34；（ⅱ）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（1）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++． 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =， 故直线FP 的斜率为34．（ii ）由2a c =，可得3b c =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c ，进而可得2235|()()22|c c FP c c =++=， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题，重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力．求解此类问题时，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）的方程，根据根与系数的关系进行解题，但本题需求解交点坐标，在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系，从而易求其面积，进而使问题获解．（1）先根据题意得出21()22b c a c +=，然后结合222b a c =-，即可求得离心率；（2）（ⅰ）首先设直线FP 的方程为x my c =-，再写出直线AE 的方程，两方程联立得到点Q 的坐标，根据32FQ c =求得m 的值，即得直线FP 的斜率；（ⅱ）将直线FP 的方程和椭圆方程联立，可得点P 的坐标，再求,FP FQ ，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，从而可求得c 的值，进而得椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.【答案】（1）22142x y +=；（2）EDF ∠的最小值为π3. 【解析】（1）由椭圆的离心率为22，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<< 且0m ≠.故12NF ND ≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF ND θ=≥ ， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当0k =，(2,0)(0,2)m ∈-U 时，EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 解答本题时，（1）由22c a =得2a b =，由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22，得2222a a b -=，求得椭圆的方程为22142x y +=；（2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，解得22(21)4k x kmx +++ 2240m -=，确定222(,)2121km m D k k -++，4222||3221m DN k k k =+++，结合22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）(1,1)-；（2）2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++， |PQ |=222(1)(1)1()1Q k k k x x k -++-=-+，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而通过表达||PA 与||PQ 的长度，利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)77．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，。
江苏南通2018-2019年中考数学试题分类解析专项8：平面几何基础
江苏南通 2018-2019 年中考数学试题分类分析专项 8：平面几何基础专题 8：平面几何基础一、选择题1. 〔 2001 江苏南通 3 分〕 正多边形的一个外角是 360，那么那个正多边形的边数是【】A 、 4B 、 5C 、 8D 、 10 【答案】 D 。
【考点】 多边形外角性质。
【剖析】 依据多边形外角和为360°，正多边形的每一个外角都相等，得那个正多边形的边数： 360°÷ 36° =10。
应选 D 。
2. 〔江苏省南通市 2003 年 3 分〕 如图，以下条件中，不可以判断直线l ∥ l2的是【】1A 、∠ 1=∠ 3B 、∠ 2=∠ 3C 、∠ 4=∠ 5D 、∠ 2+∠ 4=180° 【答案】 B 。
【考点】 平行线的判断。
【剖析】 在复杂的图形中拥有相等关系或互补关系的两角第一要判断它们是不是同位角、 内错角或同旁内角，被判断平行的两直线能否由“三线八角”而产生的被截直线：∵∠ 1 与∠ 3 是 l 1 与 l 2 形成的内错角，且∠ 1=∠ 3，∴能判断直线 l 1∥ l 2 ；∵∠ 4 与∠ 5 是 l 1与 l 2形成的同位角，且∠ 4=∠ 5，∴能判断直线 l ∥ l ；12∵∠ 2 与∠ 4 是 l 1 与 l 2 形成的同旁内角，且∠ 2+∠ 4=180°，∴能判断直线 l 1∥ l 2；∵∠ 2 与∠ 3 不是 l 1 与 l 2 形成的角，故不可以判断直线l 1∥l 2。
应选 B 。
3. 〔江苏省南通市2004年 2 分〕 如图，在正方体ABCD － A 1B 1C 1D 1 中，以下棱中与面CC 1D 1D垂直的棱是【】A 、 A 1B 1B 、 CC 1C 、 BCD 、 CD【答案】 C 。
【考点】 垂线，认识立体图形。
【剖析】 依据正方体的特征及垂线的定义可解： 与面 CC 1D 1D 垂直的棱共有四条， 是 BC ，B 1C 1，AD ， A 1D 1。
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２016－２0１7学年度???学校2月月考卷
1.(2016北京市)如图所示,用量角器度量∠AOＢ，可以读出∠ＡＯB的度数为（ )Ａ.45° B.55° C.125° D．1３5°
２．（2016四川省凉山州）如图,AB∥CD,直线EF分别交AＢ、CD于Ｅ、F两点,∠BEF 的平分线交ＣＤ于点G，若∠ＥＦG=52°,则∠EGF等于（)
Ａ.26°Ｂ.６4°Ｃ.52° D.128°
３．(２016四川省成都市）如图,l1∥l2，∠1=56°,则∠２的度数为( ）
A．３4°Ｂ.56° C．124° D．14６°
4.（２016四川省资阳市)如图是一个正方体纸盒的外表面展开图,则这个正方体是( )
A． B.C． D.
5．(2０1６山东省临沂市)如图，直线AＢ∥ＣD,∠A＝40°，∠D=45°,则∠1的度数是( ）
A.80° B．８５° C．90° D.9５°
6．（２０16江苏省宿迁市)如图，已知直线a、b被直线c所截.若a∥b,∠1=120°，则∠2的度数为（ )
Ａ．5０° B．60°Ｃ.12０°Ｄ．130°
7.（2０16湖北省黄冈市)如图,直线ａ∥ｂ，∠１=55°,则∠2=(）
A．35°B．45° C.55°Ｄ．65°
８．（2０16湖南省邵阳市)如图所示，直线AＢ、ＣＤ被直线EF所截,若AB∥CD,∠1=１00°,则∠2的大小是（)
A.10°
B.50°Ｃ．80° D.１０0°
9.（２01６甘肃省白银市）如图，ＡB∥CD，DE⊥CE,∠1＝34°,则∠ＤCE的度数为( )
A.３4°
B.５４°
C.66°Ｄ．56°
1０．(２01６福建省福州市）如图，直线a,b被直线c所截，∠１与∠2的位置关系是( )
A．同位角 B.内错角 C.同旁内角 D．对顶角
1１．(２016陕西省）如图,AB∥CD,AE平分∠ＣAB交CＤ于点Ｅ,若∠C=50°，则∠AEＤ＝( ）
A.65°
B.１15°C．１25° D.1３０°
12.(20１６四川省凉山州)如图,四边形ＡBCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB＝ＡD=32，Ｃ
D=22，点P是四边形AＢＣD四条边上的一个动点，若P到BD的距离为5
2
，则满足
条件的点P有个.
1３.(20１6四川省宜宾市）如图,直线a∥b，∠1=４5°,∠2=30°,则∠P=°.
１4.(２016四川省广安市）如图，直线l１∥l2，若∠1=130°，∠2=６0°，则∠3=．
15.（201６山东省菏泽市）如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是．
16．（２01６江苏省无锡市）写出命题“如果ａ=b”,那么“3ａ=3b”的逆命题.
参考答案
1.Ｂ.
【解析】
试题分析：由图形所示，∠AOB的度数为5５°，故选B.
考点：角的概念．
2.B.
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠BEＦ+∠EFG=１80°，∴∠BＥF=１80°﹣５2°=１2８°；
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=64°；∴∠ＥGＦ=∠ＢEG=64°(内错角相等)．故选B．
考点:平行线的性质．
3．C．
【解析】
试题分析:∵l１∥l2,∴∠1=∠3，∵∠１=56°,∴∠3＝56°，∵∠２+∠３＝180°,∴∠2＝1２4°,故选C.
考点：平行线的性质．
4.C.
【解析】
试题分析:∵由图可知，实心圆点与空心圆点一定在紧相邻的三个侧面上，∴C 符合题意.
故选C.
考点:几何体的展开图.
5．B.
【解析】
试题分析：∵AB∥ＣD，∴∠Ａ=∠Ｃ=４0°,∵∠1=∠D+∠Ｃ,∵∠D=4５°,∴∠1＝∠D+∠Ｃ=45°+40°=8５°,故选Ｂ．
考点：平行线的性质．
６．B．
【解析】
试题分析：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣１２０°=60°,∵a∥b，∴∠2=∠3＝60°.故选B.
考点:平行线的性质.
7.C.
【解析】
试题分析：∵a∥ｂ,∴∠１=∠3,∵∠１＝５5°，∴∠3=55°，又∵∠2＝∠3,∴∠2=5５°,故选Ｃ．
考点：平行线的性质.
８．C．
【解析】
试题分析：∵ＡB∥ＣD,∠３=∠1=１00°,∴∠2=180°﹣∠3=80°，故选C．
考点：平行线的性质.
9．D.
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠Ｄ＝∠1＝3４°,∵DＥ⊥ＣE，∴∠DEC=９0°，∴∠DCE＝1８0°﹣9０°﹣３4°＝5６°.故选Ｄ.
考点：平行线的性质.
10．B．
【解析】
试题分析：直线ａ,b被直线c所截，∠1与∠2是内错角．故选B．
考点：1．同位角、内错角、同旁内角;2．对顶角、邻补角.
1１．Ｂ.
【解析】
试题分析:∵AB∥CD,∴∠C＋∠ＣAB=180°，∵∠Ｃ=50°，∴∠CＡB＝180°﹣5０°=130°,∵AE平分∠CAB,∴∠EＡB＝6５°，∵AB∥CD，∴∠EAＢ+∠ＡED=１80°,∴∠AＥD=１８０°﹣65°=115°，故选B.
考点：平行线的性质.
12．2．
【解析】
试题分析:过点A作ＡＥ⊥BＤ于E,过点C作CF⊥ＢＤ于F,∵∠BAＤ=∠ＡDC=90°,AＢ=AＤ=32，CＤ＝22,∴∠ＡBD=∠ADB=4５°，∴∠ＣDＦ=９0°﹣∠ADB=４５°,∵siｎ
∠ABD＝AE
AB
，∴AＥ=ＡB•sin∠AＢD=323>
5
2
,CＦ=2＜
5
2
，所以在AB和Ａ
Ｄ边上有符合P到ＢD的距离为5
2
的点2个，故答案为：2.
考点：１．点到直线的距离；２.分类讨论．
１3.75．
【解析】
试题分析：过P作ＰM∥直线ａ,∵直线a∥ｂ，∴直线a∥ｂ∥PＭ,∵∠1=４5°，∠2=30°，∴∠EＰM＝∠２=30°，∠FPM=∠1=45°，∴∠EPF=∠EPM+∠FPＭ＝３0°+45°=75°,故答案为:75．
考点：平行线的性质.
14.70°．
【解析】
试题分析：∵直线ｌ１∥ｌ2,∴∠4=∠1＝13０°,∴∠5=∠4﹣∠2=７0°，∴∠5=∠3=7０°．，故答案为：７0°．
考点:平行线的性质．
１５．15°．
【解析】
试题分析：如图,过A点作AB∥ａ，∴∠１=∠2，∵a∥ｂ,∴AB∥b，∴∠3＝∠4＝3０°,而∠2＋∠3＝45°,∴∠2＝15°，∴∠１=１５°.故答案为：1５°.
考点：平行线的性质．
１6．如果3ａ＝3b,那么a＝b．
【解析】
试题分析:命题“如果ａ=b”,那么“3a=3b”的逆命题是：如果3a＝3ｂ,那么a=ｂ,故答案
为：如果3a=3b,那么a=ｂ．考点：命题与定理.。