第二章损失分布

精品课件！
2018/10/11
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2.6损失分布的拟合
一般步骤： （1）充分利用历史数据，获得损失分布的大致 轮廓 （2）从已知的理论分布中选择一种看上去类似 可行的分布函数 （3）利用样本估计上述分布中的参数，可以用 矩估计、极大似然估计等 （4）检验 本节详见word文档“第2.6节”
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2.5混合分布与复合分布
2.5.1混合分布：设 为一个随机变量，当 时， pk ( ) P( N k | ) N的分布为 ，令 u( ) P( ) 为的 累积分布， 为 的pdf，则N的 v( ) 分布列为 P P( N k ) p ( )v( )d 或者：pk P( N k ) pk (i )v(i ) N的分布称为混合分布。 { pk ( ), k 0,1, 2 } 为泊 松分布时，N的分布称为混合泊松分布。
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X 的k 阶矩等于
这就是矩母函数的得名由来！
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Mgf的性质： （1）与分布函数一一对应 （2）与K阶原点矩的关系 （3）相互独立的随机变量的和的矩母函数的求法
（4）若Y＝aX＋b，则Y的矩母函数为：
MY (t ) e M X (at )
bt
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解：设gamma分布参数为 和 。由gamma 分布的均值和方差公式有
3 2 3
解得 3 ， 1 。 由前面的定理知，N服从负二项分布， 于是计算得到
P( N 1) p0 p1 0.125 0.1875 0.3125
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2.5.2复合分布：设M和N分别为两个随机变量， M1, M 2 , M N i.i.d 与 M 的分布相同，且Mi与N独立则
S M1 M 2
MN
的分布称为的复合分布 背景：N表示单位时间内损失事故的发生数
M 表示一年内索赔的总次数
S M1 M 2
XN
称为随机和，这里 N 为取非负整数值的随机变量
为独立同分布的随机序列
X i和N也是相互独立的
实际应用，N代表索赔次数，X代表 每次索赔额，S代表总索赔额。
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例2.4.1计算上述随机和S的cdf、mgf、数学期望 和方差。（详见讲义P12）
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例2.4.2先掷一颗骰子，再根据骰子所示的点数， 将一枚硬币抛掷若干次。以X表示骰子所示点 数，Y表示投掷硬币时出现正面的次数，试求 Y的数学期望和方差。
(3)矩母函数mgf（moment generation function)
(1)和(2)都是我们所熟知的，本节重点介绍矩母 函数
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定义2.2.1：对一个非负随机变量X ， 其矩母函数定义为 :
M X (t ) E[e ]
tX
随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。
如果X 和Y 相互独立，则
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例2.5.2假设投保车险的驾驶员可以分为两类， 他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类 的泊松参数为0.11，坏的一类的泊松参数为 0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94 和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时 多少？
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例2.5.3Actuaries have modeled auto windshield claim frequencies. They have concluded that the number of windshield claims filed per year per driver follows the Poisson distribution with parameter ，where follows the gamma distribution with mean 3 and variance 3. Calculate the probability that a driver selected at random will file no more than 1 windshield claim next year.
2.1 引言

保险中的理赔和损失都是不确定的，而且 可以用货币去度量，因此常用随机变量去 描述
对于随机变量的把握莫过于获得它的分布 获得它的分布通常可以用一些统计的方法， 包括分布拟合的方法、bayes方法和随机模 拟的方法

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2.2
(1)密度函数pdf
(2)分布函数cdf
随机变量的描述
k k
i
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例sson分布的混合（详见讲义P9）
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如何求混合分布的期望和方差？
E ( N ) E ( E ( N | ))
var( N ) E[var( N | )] var[ E( N | )]
MN
表示单位时间内损失事件产生的索赔额
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当
N
为poisson分布时
M N的分布称为复合poisson分布
S M1 M 2
M s (t ) exp( (M (t ) 1))
注意：复合poisson分布的卷积仍为复合 poisson分布
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例2.4.3一名矿工陷进一个有三扇门的矿井中， 第一扇门遇到一个隧道，走2个小时可以到达 安全区，第二扇门遇到又一个隧道，走3小时 会使他回到这矿井中，第三扇门通到又一个隧 道，走5小时也会使他回到矿井中。假定这矿 工总是等可能地在三扇门中选择一扇，计算矿 工到达安全区的时间X的矩母函数。
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例2.2.1：计算possion分布的矩母函数
M N (t ) exp((e 1))
t
例2.2.2：计算Gamma分布的矩母函数
M X (t ) (
t
) , t
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保险损失或赔付中一般涉及两个随机变量： 索赔次数和每次索赔金额。 索赔次数用离散的随机变量来刻画， 索赔金额用连续的随机变量来刻画。 因此需要大家记住一些常见的随机变量的分布 （包括概率密度函数、均值、方差、矩母函 数）。 见讲义P5，表1.3.1和表1.3.2
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2.3 随机变量的和
如何计算两个相互独立的随机变量的和的分布 方法之一：用卷积公式 方法之二：用矩母函数 例2.3.1讲义P11，例1.5.2 例2.3.2讲义P10，例1.5.1 都可以推广到多个随机变量
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2.4 随机和
S X1 X 2
X1 , X 2 ,