分式加减运算(讲义及答案).
(完整版)分式加减乘除运算
（三）分式 的运算知识点一：分式 的乘法 ---分式乘分式，用分子 的积作为积 的分子，分母 的积作为积 的分母23bc 2a b 4、 ；3a 16b4b 9a 24x y2b 2a 1、； 2、； 3、； 3y 2x 3 5a 2 2b5a 2 3c 22x 2 2x 2 4；x y x y ；x y x y3a 3b 25a b 396、； 7、5、a 2b 2x 2x x 3x210ab知识点二：分式 的乘方 ---要把分式 的分子、分母分别乘方 23222222 y 2x y 24a b a1 b 2a 2； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、1、3y3x3zx y知识点四：分式 的除法 --分式除以分式，把除式 的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘2y 2 3x ab 22c 23a b 223x5y 220a y 4；3x512xy 5a28x y ；2、 3xy6xy16a y 321、；3、 ；4、 ；5、 4cd2x 2 y 2xyx 1 1 x x 2 4x 4 x 2；9、 x 4y 22x 2y2y x ；7、；8、6、x 2x xx 2xy y 2 2x 2xy2 2 x 1x 1知识点五：分式 的乘除混合运算322x 222322x 2 x x 2x x 21aab 2x y y 1、； 4、； 5、；2 x2b b4x2axay23232ab 3 6a 4 b 33c a b aba a ab 2；7、6、2b 22c db a1．下列各式计算结果是分式 的是( )． x 37x 2 n a m bn 3m m 2n(C) 3 5x x(A)(B)(D) 3y 24y32．下列计算中正确 的是()．－ 1(A)(－1)＝－ 1 (B)(－ 1)＝11 1 (C) 2a 33(D) ( a) ( a)72a 3a 43．下列各式计算正确 的是()．1 (A) m ÷n · m ＝m (B) m nmn(C) 1 m m 1m (D) n ÷m · m ＝n)．4．计算 ( a b )4 (a ) 5 的结果是 (ab a 1 a (A)－1(B)1(C) (D)aa b5．下列分式中，最简分式是( )．x 2xy y 2 2x y 2 2x 2y 221xy (A)(B)(C) (D) x yx y15 y 2x y2y 2 x x 9． ( ) ( )2 __________．3 10． [(x ) ]3 2__________．y 2 y知识点六：分式 的加减运算法则：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减②异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减x 1 1； 2、a 2a 3c117102；1、； 3、； 4、22c d 3cd 222xxabc abc abcx yz x y xyza 2a 3a3 8 11 x y y2x y ；y x； 6、 ； 7、 y x x y 5、 x 1 x 1 x 2 2 21b 1 b 1 b 1 1 y 1 2xy 3 2m n 8、； 9、； 10、；2x y x 2 y 222x y2m ny 2x2m n4 x 2 y 2 x 2 y 211、 a 2；12、 xy2 axy知识点 7：分式 的混合运算 2x y x 2y 2 x 11x a 1 2 a ； ；2、x1 ；3、 1、2x y 2 x a 2a 3 a 9 a2 2y1 1x y 1 x 2 y 21 3 x 5 4、5、x 22x 4x 2知识点 8：化简求值 ---化简求值问题 的解题步骤一般都是先对式子进行化简，再将已知值代入求值 2x 2 x 2 2x 11x 2x 2 2x 2 1、先化简，再求值： (2x 3xx 9，其中 x 2．2、先化简，再求值： 1)÷x ，其中 x=．x321 x 1 x 3 5 )，其中 x ＝－ 4x 2x 3．4、先化简，再求值：2、先化简，再求值： 1，其中(x 2x 22x 4x 2a 1a 1a 1，其中aa 1 25、先化简，再求值：a 2 2a 1分式阶段水平测评（二）1．下列分式中是最简分式 的是（ ）.2x 4 x 1 1 x （D ）x 1（A ）（B ）（C ）22x 12xx 12．用科学记数法表示 0.000078，正确 的是（）.（A ）7.8×10-5 （B ）7.8×10-4 （C ）0.78×10-3（D ）0.78×10-41 3．下列计算：① ( 1)01；② ( 1) 1 1；③ 3a 35( x) ( x) 3 x 2．其；④3a 3中正确 的个数是（）．（A ）4 （B ）3（C ）1（ D ）0 1 1 1(R 1 R )，则表示 R 的公式是（ 4．已知公式1）．2R R 1 R 2R 2 RRR 2RR 2 R( R R )2（A ） R 1（C ） R 1） .（D ） R 1（） R 1B RR 2RR 2R 2RR 25．下列分式 的运算中，其中结果正确 的是（( a ) 231a 1 b2 a 3（A ）（ B ）abaa 2b 2a 3a 2 6a 91 （C ）a b（ D ）a b a 3a a ).a 24 a 2a6．化简 ( （A ）-4的结果是（）.a 2（B ） 4 （C ）2a(D)2a+4二、填空题（每小题 4分，计 16分）27．若 (a 1)0有意义，则 a ≠． 8．纳米是非常小 的长度单位， 1纳米 =0.00000000１米，那么用科学记数法表示 1纳米 =米．x y y 1 2 x y9．如果= ．，则 a b 2m dc10．若 a 、b 互为相反数， c 、d 互为倒数， m 的绝对值为 2，则 ．a b c三、解答题11．计算化简（每小题 5分，计 20分）x 2 4x 2(x 9)；（ 1） 2 x x 2；（2）2x 3x2 3a 4 1 a 1；（ 4） a（3） a 2 a 1.2a 4a 4 a 1 a 2 a 112．请将下面 的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢 的数（要合适哦！ ）代入求值：a 2 a 1 1.2a (a 1)2x 111 213.（10分）先化简，再求值,其中 x. 2x 2x 1 2x 2a x2bx 3 3 aba14．（10分）若关于 x 的方程的解是 x=2，其中 a b ≠ 0，求 的值． b快速练习21.①若 9x kxy 16y 2k =是一个完全平方式，则；2②若三项式 x 8xy m 是一个完全平方式，则 m = . 2.已知 a 2 ab 5,ab b 222,那么 a b 2．2x(x y 2 xy) y(x 2 x y) 2 34、 (3x 2y) (3x y)(3x y)5、211 2 23b c 27、 2m 26、 2a b 2ab c；2mnmn4 2228.已知 x y 3， xy 2，求 x 2 y ，x y的值。
16.2.2分式的加减
延伸与拓展
链接一：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地到 乙地按v千米/时的速度行驶，若按(v+a)千米/ 时的速度行驶，可提前多少小时到达？ mn 3 n 链接二：若 n 4 ，则 m 的值等于（ ）
7 A. 4
4 B. 3
4 C. 7
3 D. 4
小结：谈谈本节课收获？
（1）分式加减运算的方法思路：
3x 4 x2 x 1 x 1
(2)
a2 b 2 2ab 练习1：（1） a b a b
x2 4 （2） x 2 x 2
ax ay 例2、 x y yx
2 xy 2 1 1 2 x 2 y 2 ( x y) ( y x )2
练习2、（1）
4x 4y ；(2) = x y yx
；
3 1 5 、 、 的最简公分母是 （ 3） 4x 2x 6x
2m mn 2.计算 的结果是（ 2m n n 2m
Ａ. ）
.
mn n 2m
Ｂ.
mn n 2m
3m n Ｃ. n 2m
3m n Ｄ. n 2m
3. 计算：
2
a b (3) a b a b ba x2 x 1 4 x (4) ( 2 2 ) 2 x 2x x 4x 4 x 2x
a b a b 2ab (5) ( 2 ) 2 a b a b (a b)( a b)
2 2
2
2
应用：
1.黑猫警长接到举报，A地有坏蛋在搞破坏活动，经分 析有两条路都可从警察局到A地，每一条路都是3km，其 中第一条是平路，第二条有1km的上坡路和2km的下坡路。 黑猫警长在上坡路上的车速是v km/h，在平路上车速为 2vkm/h，在下坡路上的车速为3v km/h. （1）黑猫警长走第一条平路需要多长时间？你的依 据是什么？
分式的加减法(一)
第四章分式3．分式的加减法（一）苏红伟总体说明本节安排两课时。
第一节课阐述同分母的分式加减法的运算法则及其应用，分母中只有符号不同的分式加减运算主要。
第二节课则阐述异分母的分式加减法的运算法则及分式的通分。
这样安排，给学生一个简单到复杂的推理过程，由于第一节的铺垫，使学生对分式的掌握并不觉得难，且本节对于第四章分式有着至关重要的作用，起到承上启下。
否则，会面临许多学生根据实际生活问题列出分式方程，却得不出正确答案的窘境，有着功亏一篑的遗憾。
一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，并且经历过用字母表示现实情境中数量关系的过程。
由此类比分式的加减，可以猜想分式的加减运算法则。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过一些从实际问题建模的思想。
如小学的应用题以及七年级数学（上）的一元一次方程的应用。
它还与分数、分解因式、一元一次方程等有密切联系，因此可以加强知识之间的纵向联系。
二、教学任务分析分式是表示具体情境中数量的模型，为了体现这一点，教科书通过几个实际问题的提出，从而激发学生的兴趣，使学生产生解决这些问题的欲望。
它也是为后面一节分式方程作好铺垫。
知识与技能：1、同分母的分式的加减法的运算法则及其应用；2、简单的异分母的分式的加减法的运算；3、经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；4、发展有条理的思考及其语言表达能力。
过程与方法：根据学生已有的经验，通过一些问题的提出。
诱发学生积极思考，或通过合作交流，引导学生自己解决问题，从而总结规律，采用的是启发与探究相结合的方法。
情感与态度：1、经历从现实情境中提出问题，提出“用数学”的意识。
2、结合已有的教学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
三、教学重难点重点：同分母分式的加减法则难点：分母中只有符号不同的分式加减运算中的符号处理。
三、教学过程分析本节课设计了7个教学环节：提出问题——同分母加减——简单异分母加减——练习与提高——解决开始提出问题——课时小结第一环节提出问题活动内容问题一：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a 字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？问题二：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条路是平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的下坡路。
人教版数学八年级上册学案15.2.2《分式的加减》(含答案)
15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减学习目标：1．熟练地进行同分母的分式加减法的运算．2．会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减． 预习阅读教材=，完成预习内容． 知识探究 观察思考：(1)15＋25＝35； (2)15－25＝－15； (3)12＋13＝36＋26＝56； (4)12－13＝36－26＝16. 同分母分数相加减，________不变，把分子________． 异分母分数相加减，先________，再把________相加减． 类比分数的加减，你能说出分式的加减法则吗？1．同分母分式相加减，________不变，把________相加减． 用字母表示为：a c ＋b c ＝________；a c －bc＝________.2．异分母分式相加减，先________，变为________的分式，再________． 用字母表示为：a b ＋c d ＝________；a b —cd ＝________.自学反馈1.y x ＋2x ＝________.2.5y －a y ＝________.3.a x ＋b y ＝________.4.2x 3m －x2n＝________.活动1 小组讨论例1.(1)课本问题3中的1n ＋1n ＋3＝2n ＋3n （n ＋3）.(2)课本问题4中的s 3－s 1s 2－s 2－s 1s 1＝s 1（s 3－s 1）－s 2（s 2－s 1）s 1s 2.例2.计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2； (2)12p ＋3q ＋12p －3q .解：(1)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3x －y. (2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p4p 2－9q 2.活动2 跟踪训练 1．计算：(1)x ＋1x －1x ； (2)a b ＋1＋2a b ＋1－3a b ＋1.2．计算：(1)12c 2d ＋13cd 2； (2)32m －n －2m －n （2m －n ）2； (3)a a 2－b 2－1a ＋b .点拨：1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式； 2．注意：过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式．课堂小结1．分式加减运算的方法思路：异分母相加减――→通分转化为同分母相加减――→分母不变分子（整式）相加减2．分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误．3．分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式)．第2课时 分式的混合运算学习目标1．灵活应用分式的加减法法则． 2．会进行分式加减乘除混合运算． 预习阅读教材“例7、例8”，完成预习内容． 知识探究1．同分母的分式相加减，________不变，分子相加减．异分母的分式相加减：先________，化为____________，然后再按________分式的加减法法则进行计算．分式加减的结果要化为________．2．分数的混合运算顺序是________________________．类比分数的混合运算法则你能猜想出分式的混合运算顺序吗？试一试． 分式的混合运算顺序是________________________．自学反馈 计算：(1)1－3x 2y ÷3x 2y ·2y 3x ； (2)1＋1a －1－2a ＋1a 2＋a －2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 5b ＋a 25b .点拨：严格按照计算顺序计算，在计算过程中，分式前面是“－”号时，计算时一定要注意符号变化．活动1 小组讨论计算：(1)(x 2y )2·y 2x －x y 2÷2y 2x ； (2)x ＋1x ·(2x x ＋1)2－(1x －1－1x ＋1)．解：(1)原式＝x 24y 2·y 2x －x y 2·x 2y 2＝x 8y －x 22y 4＝xy 38y 4－4x 28y 4＝xy 3－4x28y4. (2)原式＝x ＋1x ·4x 2（x ＋1）2－[x ＋1（x ＋1）（x －1）－x －1（x ＋1）（x －1）] ＝4x x ＋1－2（x ＋1）（x －1）＝4x （x －1）（x ＋1）（x －1）－2（x ＋1）（x －1）＝4x 2－4x －2（x ＋1）（x －1）.活动2 跟踪训练 1．计算：x ＋y ＋x 2＋y2x －y .2．先化简，再求值：x －y x ＋2y ÷x 2－y2x 2＋4xy ＋4y2－2，其中x ＝2.25，y ＝－2.点拨：在运算过程中，要注意分式乘方不要漏乘；加减计算要注意符号；和整数或整式相加减时注意把整式或整数看成分母是1的整式或整数，通分后再计算；化简求值，一定要换成最简分式再求值． 课堂小结 1．“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减．在这里要注意分数线的作用．2．注意分式和分数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减．3．运算结果，能约分的要约分，要化成最简分式．课堂小练一、选择题1.化简的结果是（）A.x+1B.x﹣1C.﹣xD.x2.已知，则的值是（）A. B.﹣ C.2 D.﹣23.计算的正确结果是（）A.0B.C.D.4.计算：的结果为（）5.计算﹣a﹣1的正确结果是( )A．﹣ B． C．﹣ D．6.如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是( )A.①：同分母分式的加减法法则B.②：合并同类项法则C.③：提公因式法D.④：等式的基本性质二、填空题7.化简1x ＋3＋6x 2－9的结果是________．8.计算： += ．9.计算：﹣= ．10.= ．11.化简：= ．12.计算：﹣= ．13.计算： += ．14.计算的结果是___________15.计算：a a ＋2－4a 2＋2a=________.参考答案1.D ．2.D3.C4.A5.答案为：A ．6.答案为：D7.答案为：1x －3；8.答案为：x+1 9.答案为：1． 10.答案为:a ﹣3． 11.答案为：x+y.12.故答案为：．13.答案为：2 14.答案为：.15.答案为：a －2a。
分式的加减运算
分式的加减运算分式是数学中常见的一种运算形式，它由两个整数之间用横线分隔的表示方式构成。
分式的加减运算是指对两个分式进行相加或相减的操作。
在进行分式的加减运算时，需要注意分母的处理以及通分的方法。
下面将详细介绍分式的加减运算。
1. 分式的加法分式的加法是指在两个分式之间进行加法运算。
当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/b = (a + c)/b如果两个分式的分母不相同，需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行加法运算。
通分的方法一般是求两个分母的最小公倍数，然后将分子和分母同时乘以相应的倍数，使得两个分数的分母相同。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/(bd)2. 分式的减法分式的减法是指在两个分式之间进行减法运算。
与加法类似，当两个分式的分母相同时，可以直接对分子进行相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/b = (a - c)/b如果两个分式的分母不相同，同样需要进行通分处理，将分母转化为相同的值，再进行减法运算。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/(bd)需要注意的是，通分后得到的分子可能还需要进行化简，即将分式中的分子和分母同时除以它们的最大公约数，使得分子和分母互质。
这一步是为了保证分式的最简形式。
综上所述，分式的加减运算需要根据分母是否相同来分情况进行处理。
如果分母相同，则直接对分子进行加减运算；如果分母不同，则需要进行通分处理后再进行运算。
同时，在运算过程中还需要注意对结果进行化简，使得分式保持最简形式。
通过掌握分式的加减运算规则和通分的方法，我们可以更加灵活地处理分式计算，解决实际问题中的运算需求。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对分式进行加减运算的场景，如比例题、分数题等。
因此，熟练掌握分式的加减运算对于数学学习和日常生活都具有重要意义。
（以上为参考内容，具体表达可以根据实际情况进行修改）。
专题5.3分式的加减法运算(知识解读)
专题5.3 分式的加减法运算（知识解读）【学习目标】1. 类比分数的加减法运算法则，探究分式的加减法运算法则.2. 能进行简单的分式加、减运算.3. 掌握分式的加、减、乘、除混合运算.4. 掌握分式的化简求值.【知识点梳理】考点1：同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：. 注意：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.考点2：异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：. 注意：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.a b a b c c c ±±=a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±=【典例分析】【考点1 同分母分式的加减】【典例1】（2017•湖北）化简：﹣．【解答】解：﹣＝＝＝【变式11】（2015•义乌市）化简的结果是（）A．x+1B．C．x﹣1D．【答案】A【解答】解：原式＝﹣＝＝＝x+1．故选：A．【变式12】（2020•淄博）化简+的结果是（）A．a+b B．a﹣b C．D．【答案】B【解答】解：原式＝＝＝＝a﹣b．故选：B．【变式13】（攀枝花）化简+的结果是（）A．m+n B．n﹣m C．m﹣n D．﹣m﹣n 【答案】A【解答】解：+＝﹣＝＝m+n．故选：A．【考点2 异分母分式的加减】【典例2】（2016•南京）计算﹣．【解答】解：﹣＝﹣＝＝．【变式21】（2015•百色）化简﹣的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：原式＝﹣＝＝＝＝．故选：C．【变式22】（2019•济南）化简+的结果是（）A．x﹣2B．C．D．【答案】B【解答】解：原式＝+＝＝，故选：B．【变式23】（2016•甘孜州）化简：+．【解答】解法一：+＝+＝＝．解法二：+＝+＝+＝．【典例3】（2015春•扬州校级月考）计算（1）﹣（2）﹣（3）﹣x﹣1．【解答】解：（1）﹣＝＝＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝＝；（3）﹣x﹣1＝﹣＝＝．【变式31】（2019秋•石景山区期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝+＝＝【变式32】（秋•南充期末）计算：﹣．【解答】解：原式＝﹣，＝，＝，＝，＝．【变式33】（2020•鼓楼区一模）计算．【解答】解：原式＝＝＝＝【考点分式化简】【典例4】（2016•聊城）计算：（﹣）．【解答】解：原式＝•＝•＝﹣．【变式41】（2021•碑林区校级一模）化简：（﹣）÷．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝÷＝•＝．【变式42】（2020秋•潍城区期中）计算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）原式＝•＝＝；（2）原式＝﹣＝＝；（3）原式＝•+＝+＝＝．【变式43】（2021•金州区校级模拟）计算：÷﹣1．【解答】解：原式＝•﹣1＝﹣＝．【变式44】（2020秋•华龙区校级期中）计算（1）；你（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣＝＝；（2）原式＝÷＝•＝．【典例5】（2021秋•北碚区校级期中）先化简再求值：÷（x﹣1+），其中x＝2．【解答】解：原式＝÷＝÷＝•＝，当x＝2时，原式＝1【变式5】（2021秋•雨花区校级月考）先化简，再求值：，其中a＝2022．【答案】﹣．【解答】解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．当a＝2022时，原式＝﹣＝﹣．【典例6】（2021•射阳县二模）先化简，再求值：（）÷，其中x从1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．【答案】1【解答】解：原式＝[]＝＝＝，∵x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠0且x≠±1，∴x可以取2或3，当x＝2时，原式＝，当x＝3时，原式＝＝1．【变式6】（2022•牟平区校级开学）化简求值：，再从﹣1≤x ＜2中选一个整数值，对式子进行代入求值．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，∵﹣1≤x＜2且x为整数，∴x＝﹣1，0，1，2，当x＝1时，原式没有意义，舍去；当x＝﹣1时，原式＝；当x＝0时，原式＝1；当x＝2时，原式＝﹣．【典例7】（2021•潍城区二模）先化简，再求值：（﹣）÷（x+2﹣），其中x是不等式组的整数解．【解答】解：原式＝[+]÷[﹣]＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，由，解得：﹣1＜x≤2，∵x是整数，∴x＝0，1，2，由分式有意义的条件可知：x不能取0，1，故x＝2，∴原式＝＝2．【变式7】（2021•苍溪县模拟）先化简：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．【解答】解：原式＝＝＝2（x+1）﹣（x﹣1）＝2x+2﹣x+1＝x+3．解不等式组，得﹣3＜x≤1．由分式有意义的条件可知：x不能取﹣1，0，1，且x是整数，∴x＝﹣2．当x＝﹣2时，原式＝1．【典例8】（2021秋•兴宁区校级月考）先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝2a（a+2）＝2（a2+2a），∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．【变式8】（2021秋•沭阳县校级月考）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x2﹣x﹣6＝0．【解答】解：原式＝[﹣]÷＝•＝•＝•＝，∵x2﹣x﹣6＝0，∴x＝3或x＝﹣2，由分式有意义的条件可知：x不能取﹣2，故x＝3，∴原式＝＝﹣．。
分式加减法课件
分式加减法
问题一
某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手 抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录 入3000字文稿比手抄少用多少时间？
3000 3000 a 3a
分式加减法
问题二 帮帮小明算算时间
从甲地到乙地有两条路,每 一个条路都是 3km. 其中第一条 是平路,第二条有1km的上坡路, 2km的下坡路.小明在上坡路上 的骑车速度为v km/h, 在平路上 的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路 上的骑车速度为3vkm/h, 那么:
A
C
D
分B式加减法
解：因为
1 1 1 1 1 R R1 R2 R1 R1 50
R150 R1
R1R150 R1R150
2R1 50
R1 R1 50
即
1 2R1 50
R R1 R1 50
所以 RR1R150R1250R1
2分式R加1减 法 50 2R150
再来试试
例4
计算:
2ba2
3000 3000如何计算呢？ a 3a
这就需要我们进一步学习：
16.2.2分式的加减
分式加减法
17等于什么呢？ 44
1．这是小学数学的同分母分数相加，那么 你能说说同分母分数相加的加法法则吗？ 2．同分母分数相加，分母不变，分子相加．
分式加减法
想一想
会分数的加减，就会分式的加减
1．同分母分数加减法的法则如何叙述？ 如 :
1 5
2 5
?
2．你认为
1 a
2 a
?
3．猜一猜，同分母的分式应该如何加减?
【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减，
分母不变,分子相加减.
分式方程加减法
第五章分式与分式方程分式的加减法（一）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过同分母分数的加减，异分母分数的加减运算法则，在初一学习了整式的加减，在上一章学习了因式分解，本章又学习了分式及其乘除，都为这一节课的学习做好了铺垫。
由分数加减运算类比分式的加减是这节内容的要害。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生经历过许多类比和猜测的活动，如实数的加减运算类比整式的合并同类项；由n10在0<nn时的值的情况去猜测0>时的情况，由正整数相乘去发现规律猜测与负整数的乘法等，这些活动经验都为本节学习有很好的启迪。
二、教学任务分析同分母分式的加减法是最简单的，也是学习异分母的分式加减的基础，所以作为起始节也是工具节内容，它就要求教学时务必使学生理解它并且能够灵活运用，对分母互为相反式的分式加减，能明白改变运算符号的实质。
因此，本节课的教学目标定位为：1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。
2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。
3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。
三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——同分母加减——练习巩固——拓展提高——课堂小结——布置作业第一环节情景引入活动内容做一做：=+3231 =-7271 =+8381 =-125127 猜一猜=+a a 21 =-x x 12 =+bb 2523 =-y y 3437 活动目的：通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性。
从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容。
活动的注意事项：通过人人都可以入手的做一做，让学生回答，可以使学生很快进入状态又不觉得困难。
而后两个运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案。
第五章第03讲 分式的加减法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版8年级下册
第03讲分式的加减法(10类热点题型讲练)1.熟练掌握同分母的分式加减运算；2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.知识点01分式的通分分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大的倍数;③分子对应扩大相同倍数.知识点02最简公分母最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．知识点03同分母分式的加减同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：a c a cb b b±±=．知识点04异分母分式的加减异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=．注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01平面向量基本定理知识点02平面向量的坐标表示知识点03平面向量的坐标运算题型01同分母分式加减法题型02最简公分母题型03通分题型04异分母分式加减法题型05整式与分式相加减题型06已知分式恒等式，确定分子或分母【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．【变式训练】题型07分式加减混合运算题型08分式加减的实际应用【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．【变式训练】题型09分式加减乘除混合运算题型10分式化简求值一、单选题1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算2111x x x x --++的结果是（）A ．1B ．1x +C ．11x +D ．1x x +2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式22x x -，36x -的最简公分母是（）A ．2x -B ．()2x x -C ．()()323x x --D ．()32x x -【答案】D【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数为3，x 的最高次幂为1，2x -的最高次幂为1，则得出最简公分母．A ．2222233y y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．110x y y x-=--C ．3263x x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D ．()111333x y x y +=+将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的时间比原计划提前（）A ．60x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭天B ．60x x y y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭天C ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天D ．60x x y y ⎛⎫-⎪-⎝⎭天5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知2220x x --=，计算2121-⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭x x x x x x 的值是（）A ．1B ．1-C ．0.5D ．0.5-二、填空题6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算：221b a b a b+=-+．7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式29-a 和93a-进行通分时，最简公分母是【答案】()()333a a -+-【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵()()2933a a a -=+-，()9333a a -=--，∴最简公分母是()()333a a -+-，故答案为：()()333a a -+-．8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若2574515x A Bx x x x -=+--+-，A ，B 为常数，则2A B -的值为．9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简22a b M--时，整式M 看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是1a b-，则整式M 是．和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第2024次运算的结果2024y =．（用含字母x 的式子表示）三、解答题11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1)235a b c 与2710c a b；(2)22x x +与21x x-．(1)2111x x x -++；(2)24411a a a a a a -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭．(1)2m n m n n m m n n m -++---(2)22211111 m m mmm m-+-⎛⎫÷--⎪-+⎝⎭14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：(1)22211x x x -++；(2)3a b a b a b b a -+---；(3)2243164x x+--；(4)222a a a ---．(1)211y y y ---；(2)2221111x x x +--+-；(3)21613962x x x x------；(4)2()a b a b a b+--+．16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算11a a ---的解题过程：解：211a a a ---()-=---22111aa a a ……………………①()2211a a a --=-………………………②2211a a a a -+-=-………………………③111a a -==-．……………………………④上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值：111x x x x x -+⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，请从1-，0或2中选择你喜欢的一个数代入求值．18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值：111x x x ++⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，其中()1013.142x π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----，则11x x +-是“美好分式”．(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）①6325x x +；②232x x +；③33x x +；④24321x x +-．(2)将“美好分式”2221x x x -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)判断2251117x x x x x x x---÷+-的结果是否为“美好分式”，并说明理由．形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：514144111111x x x x x x x x ++++==+=++++++，则51x x ++是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；①23x x+；②21x x +；③21x x +-．(2)将“和谐分式”2472y y y -+-化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)应用：先化简22321112a a a a a a a-+--÷--，并回答：a 取什么整数时，该式的值为整数？3a ∴=，3a ∴=时，该式的值为整数．。
分式加减法(第2课时)
7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 83 24
4 12 8
32
最简公倍数： 4×3×2=24
类比分数，怎样把分式 通分呢？
素养目标
2. 会运用异分母的分式加减法则进行异分母 分式的加减运算. 1. 会确定几个分式的最简公分母，并根据分 式的基本性质进行通分.
探究新知
知识点 1 最简公分母
x3 x3 (x 3（ ) x 3)
6 x2 9
（3） a
2a 2
4
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-（a
a2 2)(a
2)
（a2a（ -2)a(a22) )
（a2a2-)(aa-
2
2)
（a
a-2 2)( a
2)
1 (a 2)
探究新知
注意： 1.分子要做为一个整体参与运算，注意符号问题 2.最后结果为最简分式，也就是分子分母不能含有 公因式
2x2 10x x2 25
3x 3x x 5 x 5 x 5 x 5
3x2 15x x2 25
探究新知
先通分，再计算：
（1）3 +
a
a 15 （2） 1 -
5a
x3
x
1
3（3）a
2a 2
4
-
1 a2
5a
15 + a 15
5a
5a
转 （x-3)(x+3) 化 x3
（x 3)( x 3)
=
__-__2_(_x_1__2_)__；
( 4 ) 1-1-1x = __-_1_-x_x____.
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3. 分式混合运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减．如果有括号，先算括号 里面的． 分式化简计算时，需要注意两点： ①在进行分式运算前，要先把分式的分子和分母_________， 能约分的，通常先约分． ②分式的乘除要______，加减要______，最后的结果要化成 ______________．
aa
aa
b d bc ___ ______ ， b d bc ____ _______ ．
a c ac
a c ac
知识点睛
1. 分式的通分： 根据_______________，异分母的分式可以化为_______的分 式，这一过程称为分式的通分． 对异分母分式进行通分时，需要注意两点： ①为了计算方便，通常取最简公分母（即各分母的所有因式 的最高次幂的积）作为它们的共同分母． ②分子、分母是多项式时，通常先因式分解，再找最简公分 母．
精讲精练
1. （1） 2 ； （2） a b ； （3） 2 ； （4） x 2 ； b
（5） 1 ； 5
（6）
a
1
2
；
（7）
7a a2
2 9
；
（8）
m m
n n
；
（9）
y2 xy2
1 x
；（10）
a a2
1 a
；
（11）
a
8
2
；（12）
a
1
1
.
2. （1） 2x ；
（2） a 2 ；
a
1
2
；
（7）
a
a
3
a
1 2
9
a a
1 3
；
（8）mm
n
n m
n
2mn n2 m2
；
2
（9）
y xy
x
1 xy
x
；
（10）
1 a2
a
a3 a2 1
；
（11） a 2 a2 4 ； a2
（12） a2 a 1． a 1
2. 分式的混合运算：
（1）
x2 x2
2
4
x
x2 2x
6. （1）因式分解，通分，分式的基本性质；
（2） 2x 2 ； x 1
（3）约分（或分式的基本性质）.
7.
24m 24 m
8. md a(a d)
9.
pb ab
6
_________
②
x 1 x 1
③
x 1 2(x 1)
1
④
2
当 x 5时， 原式 1 ． 2
（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有_______________；
（2）步骤②中空白处的代数式应为_____________________；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有_____________．
2a ≤ 4
值．
6. 课堂上，王老师出了这样一道题：
已知
x
5 ，求代数式
x2
2x 1 x2 1
1
x3 x 1
的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，
并解释说：“结果与 x 无关”．解答过程如下： 原式 (x 1)2 x 1 x 3 ①
(x 1)(x 1) x 1
x 1 x 1
吨，若单独开放 A 进水管，p 小时进可将该水池注满．如果
A，B 两个水管同时开放，那么能提前________小时将该蓄水
池注满．
5
【参考答案】
课前预习
1. ad ， bc ad ； ad ， bc ad ； ac ac ac ac
知识点睛
1. 分式的基本性质，同分母； 2. 分母，分子；通分，同分母的分式； 3. ①因式分解；②约分，通分，最简分式或整式；
（3） x 2 ； x2
（4）
4a ab b
2
；
（5）
x2 x2
y2 y2
；
（6） 3 . 2x
3. 化简得原式= 1 ，将 a 和 b 代入结果为 1 ；
ab
2
4. 化简得原式= 1 ，将 x=3 代入，结果为-1；（答案不唯一） x2
5. 化简得原式= a 3 ，将 a=0 时代入，结果 3；（答案不唯一）
7. 某农场原计划在 m 天内收割小麦 960 公顷，实际每天比原计
划多收割 40 公顷，实际_________天完成了任务．
8. 某工厂储存了 a 天用的煤 m 吨，要使储存的煤比预定的时间
多用 d 天，每天应节约用煤_________吨．
9. 某蓄水池装有 A，B 两个进水管，每小时可分别进水 a 吨，b
；
（2）
a
3a 4 a3
1
a
1
2
；
（3）
x
3 1
x
1
x2
4x x 1
4
；（4）
2a b
2
a
1
b
a b
b 4
；
3
（5）
x
x
y
x2
x2 y2 2xy
y2
x2
xy xy
；
（6）
x 1 2x 6
x3
2x2 x2 9
x
1 1
x
．
3.
先化简，再求值：
b2 a2
a2 ab
1
精讲精练
1. 分式的加减运算： （1） a b a b ； ab ab
（2） a2 b2 ； a+b a b
（3） x 3 x 4x 5 ； x+1 x+1 x+1
（4） x2 5 x 1 x ； x2 x2 2x
（5） 3 a 15 ； a 5a
（6）
2a a2
4
a
2ab a
b2
1 a
1 b
，其中
a= 3 1，b= 3 1．
4.
先化简
x
x 1
x
x
2
x2 x2
x 2x 1
，然后从
1≤
x
≤
3 中选取一
个你认为合适的整数 x 代入求值．
4
5.
先化简
a
3a 4 a3
a a
2 3
a a
3 2
，然后从不等式组
2a 5 < 3
的解集中选取一个你认为符合题意的 a 代入求
分式加减运算（讲义）
课前预习
1. 观察下列分数加减运算的式子：
1 2 1 2 3 ， 55 5 5
1 2 12 1 ， 55 5 5
1 1 3 2 32 5， 1 1 3 2 32 1 ． 23 66 6 6 23 66 6 6
猜一猜， b c ______ ， b c ______ ，