曲线论部分习题
高中政治《经济生活》曲线题专练
《经济生活》常见曲线图（一）需求曲线1.需求量变动曲线需求量的变动是指在其他条件不变时由商品本身的价格变动引起的需求变动，即点在需求曲线上运动，我们可以将之称为点移动。
特别注意在需求曲线中横坐标表示因变量，纵坐标表示自变量。
2、需求弹性曲线反映不同商品价格变动后引起需求量变化的程度，变化幅度大的称为富有弹性，一边是高档耐用品；变化幅度小的称为缺乏弹性，一般是生活必需品。
注意需求弹性会随着经济技术的发展发生变化。
3、需求（水平）变动曲线在商品本身价格不变的情况下，商品需求的变动有哪些原因？①消费者的收入水平。
消费者收入水平高了，对某些较高档物品，在同样的价格水平下，当然需求会增大，这就导致了消费曲线向右平移。
②相关商品的价格。
相关产品的价格对需求曲线的影响比较复杂，因为要区分这两个商品之间是如何相关的，是互补品还是替代品。
③消费者的偏好。
偏好增加了，在价格不变的情况下，需求当然增加，也会导致消费曲线向右平移。
反之亦然。
④消费者对该商品的价格预期。
预期未来价格会上升，在现期价格不变的情况下，会增加需求，导致需求曲线右移。
反之亦然。
（二）供给曲线（一）供给曲线1.供给量变动曲线即商品供给量随商品本身价格的上下波动而增减，表现为沿同一条供给曲线上下变动，称之为点移动。
特别注意在需求曲线中横坐标表示因变量，纵坐标表示自变量。
2. 供给水平变动曲线即生产成本、技术进步、国家政策等因素引起供给的变动，表现为整条供给曲线左右移动，称之为线移动。
（三）均衡价格问题1、在某一价格下，如果生产者试图出售的商品或服务数量多于消费者希望购买的数量，则带来过剩或称“供大于求”；而在另一价格下，如果消费者希望购买的数量超过生产者想出售的数量，则产生短缺或称“供不应求”。
综合起来看，供给量与需求量正好相等的价格就是均衡价格①当价格P> Po时，供应量(增加)大于需求量（减少)供过于求②当价格P< Po 时，供应量(减少)小于需求量(增加)供不应求2、均衡价格的变动供给减少：对某种商品的需求曲线不变，供给曲线左移，导致商品的（均衡）价格升高，且(均衡)产量和购买量降低。
匀变速曲线运动推论习题
匀变速曲线运动推论习题
1. 问题描述：
小明以匀速v1 m/s向前直线运动，经过t1秒后，以加速度a m/s^2开始运动。
这个过程中，小明所走过的路程S1为多少？
考虑小明前进的路程为直线，可以使用物理公式来推导。
2. 解决方案：
根据初速度v1、时间t1和加速度a的关系，可以得出小明在经过t1秒后的末速度v2：
v2 = v1 + a * t1
根据匀变速直线运动的路程公式，可以计算小明在经过t1秒后所走的路程S1：
S1 = v1 * t1 + 1/2 * a * t1^2
综上所述，小明在经过t1秒后所走过的路程S1为v1 * t1 + 1/2 * a * t1^2。
3. 示例计算：
假设小明初始速度为v1 = 5 m/s，经过t1 = 3 s后开始加速，加速度为a = 2 m/s^2。
根据计算公式，可以计算出小明在经过t1秒后所走过的路程S1：
S1 = 5 * 3 + 1/2 * 2 * 3^2 = 15 + 9 = 24 m
因此，小明在经过3秒后所走过的路程为24米。
4. 结论：
根据给定的初速度、时间和加速度，可以使用匀变速直线运动的公式计算物体在经过一定时间后的路程。
对于小明来说，根据他的初始速度v1、经过的时间t1和加速度a，可以计算出他在经过t1秒后所走过的路程S1。
5. 参考资料：
[1] 高中物理教材
[2] 牛津高中物理课本。
曲线论习题及答案
曲线论习题及答案曲线论习题及答案曲线论是数学中的一个重要分支，研究曲线的性质、方程和图形。
在学习曲线论的过程中，练习习题是非常重要的，可以帮助我们巩固知识，提高解题能力。
本文将给出一些曲线论的习题及其详细解答，希望能对读者的学习有所帮助。
1. 有一个曲线的方程为 y = x^2 - 3x + 2，求该曲线的顶点坐标。
解答：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a和 y = f(x) 求得。
根据给定的方程，可以得到 a = 1，b = -3，c = 2。
代入公式计算可得 x = -(-3) / (2*1) = 3/2，将 x 值代入方程求得 y = (3/2)^2 - 3*(3/2) + 2 = 1/4。
因此，该曲线的顶点坐标为 (3/2, 1/4)。
2. 已知一条曲线的方程为 y = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求该曲线的导数函数。
解答：导数函数是原函数的导数。
对于多项式函数 y = ax^n + bx^(n-1) + ... +cx + d，其导数函数为 y' = nax^(n-1) + (n-1)bx^(n-2) + ... + c。
根据给定的方程，可以得到 a = 2，b = -5，c = 3，d = -1。
代入公式计算可得 y' = 6x^2 -10x + 3。
因此，该曲线的导数函数为 y' = 6x^2 - 10x + 3。
3. 有一条曲线的方程为 y = e^x + 2，求该曲线的渐近线方程。
解答：渐近线是曲线在无穷远处趋近的直线。
对于指数函数 y = ae^bx + c，其渐近线方程为 y = c。
根据给定的方程，可以看出当 x 趋近于无穷大时，e^x 也趋近于无穷大，因此该曲线的渐近线方程为 y = 2。
4. 一条曲线的方程为 y = ln(x) - 1，求该曲线的对称轴方程。
解答：对称轴是曲线的镜像轴，对于函数 y = f(x)，其对称轴方程为 x = a，其中 a 是函数 f(x) 的极值点。
数理方程第二版课后习题答案
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以3.证明。
证毕证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为，和在区间上可导。
所以，在区间上可导当且仅当数量函数，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有，从而证毕5.证明具有固定方向的充要条件是具有固定方向，则。
可表示为，。
，其中，于是因为，故，从而为某个数，则在区间上处处有，于是。
如果在证：必要性：设其中为某个数量函数，为单位常向量，于是，可设，令充分性：如果量函数，为单位向量，因为为常向量，于是，6.证明，即具有固定方向。
证毕平行于固定平面的充要条件是。
，对证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得和，从而，，和此式连续求导，依次可得。
充分性：设的结论知，，即共面，因此，其中，如果可表示为，根据第5题，其中具有固定方向，则为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以共线，又由其中，为法向量过原点的平面，则平行于。
如果可知，，，和共面，于是为数量函数，令，那么，则与不，，这说明与可共线，从而表示为，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1.求圆柱螺线解：，点在点的切线与法平面的方程。
，于是当时，，对应于参数，于是切线的方程为：法平面的方程为2.求三次曲线解：于是切线的方程为：，当在点处的切线和法平面的方程。
时，，，法平面的方程为3.证明圆柱螺线证：，的切线和轴成固定角。
令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线解：从起计算的弧长。
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
曲线论(四)
四 曲线的弧长 自然参数设曲线的矢量式参数方程为()r r t =，如果把曲线看作质点运动的轨迹，那么由物理学知，dr dt表示质点运动在t 时刻的速度值。
因此质点在时间间隔12(,)t t 内所经过的路程为21t tdr dt dt⎰ 。
自然我们也可以用它作为曲线()r r t =介于12t t 与间的长度，即质点走过的路程。
1 曲线弧长的计算公式结论 1C 类曲线()r r t = 从()()r a r t到的弧长是()(),.t at r t d t t a σ'=>⎰证明 （略）注：弧长是曲线本身的一个几何量，所以它不受曲线的表达式（或方程）的影响。
详细地说，若曲线采用另一参数t *，它们所确定的弧长应该是一致的。
事实上，设(t t t *=)，则(())()r r t t r t ***== ，并设(,)t a b ∈时 (,)t c d *∈对应。
()dd d cccd r t d r d t d r d t d td td t d td t d td td t********==⎰⎰⎰0d t d t d td td t d t***>=当时，，这时a =t (c ),b =t (d ), 0d t d td t d td td t***<=-当时，，这时a =t (d ),b =t (c ),将其带入则得()d b cad r t d r d td t d td t****=⎰⎰。
因此这证明曲线的弧长与参数的选择无关。
所以，在理论问题中，我们经常用弧长作为曲线的参数。
2 自然参数① 定义一新函数：()()t as t r t dt '=⎰，这里t 可以大于、可以小于a ，因此s(t) 也可能是负值。
②s(t)的性质：(),()0,,()()0(),t t as t t a s t r t t t a σσ>⎧⎪''===>⎨⎪-<⎩，所以s(t)是t 的增函数；于是存在t = t (s) ,故()r r t =可表示为()()().()x x s r r s y y s z z s =⎧⎪==⎨⎪=⎩或③ 自然参数：我们称S 为曲线()r r t =的自然参数。
微分几何习题解答(曲线论)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
曲线论部分习题
(2) 悬链线
r
=
(t,
a
cosh
t a
,
0)
(3) 曳物线 r = (a cos t, a ln(sec t + tan t) − a sin t, 0)
2. 求平面曲线在极坐标方程ρ = ρ(θ)下的弧长公式.
3. 用弧长参数表示圆柱螺线和第1题中的双曲螺线.
4. 设曲线C : r = r(t)不通过原点, r(t0)是C 距原点最近的点. 且r′(t0) ̸= 0. 证 明r(t0)正交于r′(t0). 5. 设C : r = r(t)是参数曲线, m是固定向量. 若对任何t, r′(t)正交于m, 且r(0)正交
定角.
5. 证明:
(1) 任何平面曲线都是Bertrand曲线;
(2) 若kτ ̸= 0, 则空间曲线成为Bertrand曲线的充要条件是: 存在常数λ, µ(λ ̸= 0),
使
λk + µτ = 1
6. 证明: 若两条曲线可建立对应, 是对应点的从法线重合, 则这两条曲线或者重合, 或者都是平面曲线. 7. 设曲线r2(t)在r1(t)的切线上, 且r1(t)与r2(t)在t点的切线相互正交, 则称r2(t)为r1(t) 的渐伸线, 而r1(t)则称为r2(t)的渐缩线. 若r1(s) 为弧长参数曲线, 证明
(4) r = (a(1 − sin t), a(1 − cos t), bt) 3. 求以下曲线的切线, 主法线与密切平面方程:
(1) 三次挠曲线r = (at, bt2, ct3) (2) 圆柱螺线r = (r cos ωs, r sin ωs, hωs) 其中r, h为常数, ω = (r2 + h2)−1/2. 4. 求平面曲线在极坐标下的曲率公式. 5. 设曲线C : r = r(t)在P0(t0)处满足r′(t0) × r′′(t0) ̸= 0. 求当曲线C上邻近P0的两 点P1, P2独立地趋近于P0时, 由这三点所决定的平面的极限位置. 6. 证明: 圆柱螺线的主法线与它的轴正交, 而从法线则与它的轴交于定角.
经济曲线专项试题
经济生活曲线图1．图1表示某商品供给量和价格的关系(横轴为供给量,纵轴为价格,S1为变动前曲线,S2为变动后曲线)。
在不考虑其它因素条件下,以下变量中会导致S1向S2方向平行移动的是①该商品劳动生产率提高②该商品的市场价格提高③该商品的生产成本下降④生产该商品的企业减少A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④2、我国家电以旧换新补贴政策于2011年12月31日结束，这将影响家电产品的市场需求量。
下图能正确反映这一信息的是 D注：横轴为需求量，纵轴为价格，箭头是平移标志，D1为实行家电以旧换新补贴时市场需求曲线，D2为该政策结束后的市场需求曲线。
3、右图描述的是2011年1～6月某商品的价格走势，根据该图下列理解错误的是A．该商品很可能供不应求B．生产者可能会扩大该商品生产C．该商品的替代商品需求量会有所增加D．该商品的互补商品需求量会有所增加4、在下图中，OQ表示外汇汇率变化情况，OP表示人民币币值变化情况。
在其他条件不变的情况下，下列曲线图正确的是 B5、在右图中，当某商品的价格停留在A点或B点时，下列说法正确的是①在A点时是通货膨胀，在B点时是通货紧缩②在A点时是卖方市场，在B点时是买方市场③在A点时商品生产者会获利，在B点时会亏本④能否获利，既要看其价格还要看其个别劳动时间A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③6、 根据右图反映出的价格与需求关系，我们可以推断出A ．甲和乙是相互替代的商品B ．甲和乙是有互补关系的商品C ．甲是生活必需品，乙是高档耐用品D ．甲的价格由价值决定，乙的价格由供求关系决定7、右图为我国近几年的CPI （居民消费价格指数）走势图。
为保持国民经济平稳运行，据图选择正确的选项A ．a 点适宜降低存款利率B ．b 点适宜提高存款利率C ．c 点适宜增加税收D ．在任一点均应减少财政支出8、假定其他条件不变，在一般情况下，下 列选项中与右图曲线DD ′反映的变动关系相一致的是A.X 轴为社会必要劳动时间 Y 轴为商品价格B.X 轴为货币发行量 Y 轴为商品价格C.X 轴为人民币汇率 Y 轴为出口商品价格D.X 轴为居民家庭收入 Y 轴为恩格尔系数9、某商品的价格（P ）与其需求量（Q ）存在如图所示关系。
2018高考政治题型：曲线和推导类试题
经济涵义：表示不同商品需求量对价格变动反应的不同。价格变动对生活必需品的需求量影响较小(需求弹性小)，对高档耐用品的需求量影响较大(需求弹性大)。
方法技巧：需求弹性曲线。D1曲线陡峭代表的是生活必需品； D2曲线平缓代表的是高档耐用品
例5.（2010 广东卷）图5、6中商品甲、乙是两种互不关联的商品。 当两商品的价格P均从P1同幅下降到P2时，对于需求量Q的变化，若有如下判断： ①两商品的需求量与价格同向变动 ②两商品的需求量与价格反向变动 ③两商品相比，商品甲是高档耐用品 ④两商品相比，商品甲是生活必需品 其中正确的是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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2018高考政治题型 专题讲座 高三政治组 2018.5
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题型一 曲线坐标图题
经济曲线尤其是价格曲线试题具有直观性强、信息量大、新颖灵活等特点，因而受到命题人的青睐，近年来在高考中频频亮相。它常以曲线图像为载体，把数学的逻辑思维能力和函数知识应用到政治学科中，能全面地考查学生解读阐释信息、分析和解决问题的能力，是高考的必考题型。
【典例2】 2015年二季度以来，继上海大众官方宣布对多个车型降价促销后，长安福特、北京现代、一汽大众、上汽乘用车等多家重量级车企陆续跟进，很快降价风暴便席卷了几乎所有一线主流合资和自主品牌。不考虑其他因素，下列图示能正确反映汽车价格变动产生的影响的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
例3.（2016.全国1卷14）因原材料价格上涨，生产流感特效药的制药企业陷入经营困境，为保证药品的正常供给，政府对该类制药企业实施生产补贴，若用S、S’表示补贴前后该药品的供给曲线，不考虑其他因素，准确反映补贴前后该药品供给变化的图示是
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(2) 切线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为直线, 切线的球面标线为大圆或 大圆的一部分的充要条件是C 为平面曲线. (3) 从法线的球面标线为常值曲线的充要条件是C为平面曲线. (4) 法线的球面标线永不为常值曲线.
§6. 平面曲线的整体性质 1. 设平面简单闭曲线C的长为L, 曲率k(s)满足
5. 求椭圆r = (a cos t, b sin t, 0)的顶点(0 ≤ t ≤ 2π, a ̸= b).
6. 设r = r(s)是平面上弧长参数的凸闭曲线. 证明: T′′ 至少在四个点处平行于T.
7. 设C : r = r(s), C1 : r = r1(s)为平面上全长L 的凸曲线, s为弧长, 其弦长分别 为d, d1:
证明: L ≥ 2πR
0 < k(s) ≤ 1 (常数) R
2. 设平面凸闭曲线交直线于三点, 则直线在这三点的部分必包含在曲线内.
3. 是否存在平面简单闭曲线, 全长为6厘米, 所围成的面积为3厘米2?
4. 设AB是直线段, L > AB. 证明: 连接点A, B的长为L的曲线C与AB所界的面积
最大时, C是通过A, B的圆弧.
则称曲线C与所给球有n阶接触. 证明:
(1) 若曲线C落在已给球面上, 则C与球有任意阶接触;
(2) 若τ = 0, 则曲线与某一球有三阶接触的充要条件为: k′(s0) = 0. 从而平面曲 线不能与球处处有三阶接触, 除非曲线本身属于球面的一个圆.
8. 若k(s0) ̸= 0. 证明: 曲线C与已给球在s0处有二阶接触的充要条件是:
定角.
5. 证明:
(1) 任何平面曲线都是Bertrand曲线;
(2) 若kτ ̸= 0, 则空间曲线成为Bertrand曲线的充要条件是: 存在常数λ, µ(λ ̸= 0),
使
λk + µτ = 1
6. 证明: 若两条曲线可建立对应, 是对应点的从法线重合, 则这两条曲线或者重合, 或者都是平面曲线. 7. 设曲线r2(t)在r1(t)的切线上, 且r1(t)与r2(t)在t点的切线相互正交, 则称r2(t)为r1(t) 的渐伸线, 而r1(t)则称为r2(t)的渐缩线. 若r1(s) 为弧长参数曲线, 证明
4. 设r = (x(s), y(s))是平面弧长参数曲线, {t(s, n(s))}是它的Frenet标架. 证明:
(1) n(s) = (−y′(s), x′(s)), r′′(s) = kr(s)(−y(s), x(s))
(2) kr(s) = x′(s)y′′(s) − x′′(s)y′(s)
(3) 抛物线r = (t, t2)
(4) 摆线r = a(t − sin t, 1 − cos t)
(5)
悬链线r
=
(t,
a曳物线r = (a cos φ, a ln(sec φ + tan φ) − a sin φ),
6. 求平面上相对曲率等于常数的曲线.
0
≤
φ
<
π 2
7. 证明:
若τ (s0)
̸=
0,
证明:
曲线C 与已给球在s0 处有三阶接触的充要条件是λ
=
ρ′ (s0 ) τ (s0)
,
其
中ρ
=
1 k
是曲率半径.
(此时已给球的中心为mS
=
r(s0) + ρ(s0)N(s0) +
ρ′ (s0 ) τ (s0)
B(s0
).
称为曲线在s0处的密切球. )
4
曲线论部分习题
10. 设在曲线C上点P0邻近任意取三点P1, P2, P3. 证明: 当P1, P2, P3沿着曲线独立 地趋近于P0时, 过P0, P1, P2, P3的球的极限位置就是曲线C在点P0 处的密切球. 11. 证明: 圆柱螺线的曲率中心轨迹仍然是圆柱螺线.
(4) r = (a(1 − sin t), a(1 − cos t), bt) 3. 求以下曲线的切线, 主法线与密切平面方程:
(1) 三次挠曲线r = (at, bt2, ct3) (2) 圆柱螺线r = (r cos ωs, r sin ωs, hωs) 其中r, h为常数, ω = (r2 + h2)−1/2. 4. 求平面曲线在极坐标下的曲率公式. 5. 设曲线C : r = r(t)在P0(t0)处满足r′(t0) × r′′(t0) ̸= 0. 求当曲线C上邻近P0的两 点P1, P2独立地趋近于P0时, 由这三点所决定的平面的极限位置. 6. 证明: 圆柱螺线的主法线与它的轴正交, 而从法线则与它的轴交于定角.
(1) 平面上的同心圆;
(2) C1 : C2 :
r1 r2
= =
1 2
(cos−1
1 2
(cos−1
s s
− −
√ s1 √ s1
− −
s2, 1 − s2, 0) s2 − s, 1 − s2
+
√ 1
−
s2, 0)
4. 设曲线C1, C2为Bertrand曲线. 证明: C1与C2的对应点之间距离为常数, 切线交
(3) 取一般参数t时
x′(t)y′′(t) − x′′(t)y′(t)
kr(t) =
. (x′(t)2 + y′(t)2)1/2
5. 求以下平面曲线的相对曲率kr(假定弧长s增加的方向就是参数增加的方向): (1) 椭圆r = (a cos t, b sin t), 0 ≤ t < 2π
(2) 双曲线r = (a cosh t, b sinh t)
(1) 若曲线的所有切线通过定点, 则曲线是直线;
(2) 若曲线的所有切线平行于同一平面, 或者所有密切平面通过定点, 则曲线是平
面曲线.
§4
1. 证明曲线在一点和它的近似曲线有相同的曲率和挠率.
2. 若两曲线关于一平面对称, 证明: 在对应点两曲线曲率相等, 而挠率相差一符号.
⌢ ⌢ 3. 设P0是两曲线C1, C2的交点, 在P0的一旁邻近取点P1, P2分别属于C1, C2, 且使曲
r2(s) = r1(s) + (c − s)T1(s), 其中c为常数.
8. 证明: 平面曲线在同一平面内有一条渐伸线, 而有一条渐缩线是一般螺线. 9. 求圆的一条渐伸线. 10. 设r(s)是弧长参数曲线, r1(s), r2(s)是r(s)的两条不同的渐伸线. 证明: r1(s)与r2(s) 是Bertrand曲线偶的充要条件是: r(s)是平面曲线. 11. 设T(s), N(s), B(s)分别是曲线C的单位切向量,主法向量与从法向量, 则以下曲 线
3. 用弧长参数表示圆柱螺线和第1题中的双曲螺线.
4. 设曲线C : r = r(t)不通过原点, r(t0)是C 距原点最近的点. 且r′(t0) ̸= 0. 证 明r(t0)正交于r′(t0). 5. 设C : r = r(t)是参数曲线, m是固定向量. 若对任何t, r′(t)正交于m, 且r(0)正交
§5
1. 设在两条曲线C, C¯之间可建立(可微的)一一对应, 是对应点切线处处相同. 则两
曲线重合.
2.
求平面弧长参数曲线,
使它的曲率k(s)
=
1 1+s2
.
3. 设两曲线可建立对应, 使对应点有公共的主法线, 则称两曲线为Bertrand曲线, 其
中一条称为另一条的共轭曲线. 证明以下曲线均为Bertrand曲线:
4. 若单位球面上的弧长参数闭曲线的曲率k ̸= 1, 证明: 全挠率
∫L
τ (s)ds = 0
0
c′ =
−λ(s)b
3.
设s是曲线C
: r = r(s)的弧长.
k, τ
> 0;
曲线C1
:
r1(s)
=
∫s
0
B(σ)dσ的曲率,
挠
率分别为k1, τ1. 切向量, 主法向量, 从法向量分别为T1, N1, B1. 证明:
(1) s是C1的弧长;
(2) k1 = τ, τ1 = k, T1 = B, N1 = −N, B1 = T.
于m. 证明对任何t, r(t)正交于m.
6. 设平面曲线C在同一平面内直线l的同侧, 且与l相交于曲线C的正则点P . 证明:
直线l是曲线C在点P 处的切线.
§2 1. 求曲线r = (x(t), y(t), s(t))在t0处的切线与法平面方程. 2. 求以下曲线的曲率和挠率:
(1) r = (a cosh t, a sinh t, at) (2) r = (cos3 t, sin3 t, cos 2t) (3) r = (a(3t − t3), 3at2, a(3t + t3)), (a > 0)
线弧长P0P1 = P0P2 = ∆s.
若 lim
∆s→0
P1 P2 ∆sn
= 0, 则称曲线C1, C2在P0点有n阶接触.
证明:
(1) 两曲线具有n阶接触的充要条件为
r′1 = r′2, · · · , r(1n) = r(2n)
曲线论部分习题
3
(2) 曲线C的切线是在切点与曲线有一阶接触的唯一直线; (3) 若曲线C每一点的切线与曲线有二阶接触, 则曲线C是直线. 4. 求一个圆, 使它在原点与抛物线y = x2有二阶接触. 5. 设曲线C上一点P0满足r′(0) × r′′(0), P 是曲线C上与P0邻近的一点, l0与l分别是 曲线在P0, P 处的切线, 当P 趋近于P0时, 求下列平面的极限位置: (1) 过P 与l0的平面; (2) 过P0与l的平面; (3) 过l0而平行于l的平面; (4) 过l而平行于l0的平面. 6. 设P0为曲线C上一点, P 为曲线上P0的邻近点, l为P0处的切线, 点Q为点P 向切 线l所引的垂线足. 记