南京工业大学高等数学B 试卷(A)卷(闭)
南京工业大学 高数B(B)试卷含答案
南京工业大学 高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（ ）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（ ）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（ ） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （ ）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。
南京工业大学 高数B(A)试卷含答案
南京工业大学 高等数学B 试题（A ）卷（闭）2011--2012学年第一学期 使用班级 浦生工等 班级 学号 姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1.设()()则,211x x x f += ()=→x f x 0lim2．设()x f 在2=x 处可导，且 ()12='f ，则 ()()=+-+→hh f h f h 2232lim3．设函数()x y 是由方程 xy e e xy=-所确定，则 ='=0|x y4．如 ()4322++=x x x f ，则适合等式 ()()()()2424-'=-ξf f f 的=ξ5．设2()d x f x x e C -=+⎰, 则()f x '=______________6．()⎰-=+1110sin dx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x 2cos 1-等价的是（ ）A.xB.x 21C. 2xD.22x 2. 设 221arctan 0() , 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 当 当0()x a ==在处连续，则 A.0B. ∞C. 1D.2π3. 设函数0)(=x x f 在的某个邻域内具有二阶连续导数，且'"(0)(0)0,f f ==则( )A. 的拐点为)())0(,0(x f y f =B. 当为拐点时“))0(,0(,1sin )(lim0f x x f x =→C. 当为拐点时“))0(,0(,1cos )(lim0f xx f x =→ D. 0)0(=f 4. 在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim =∞→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .1lim 0=+→xx x D.024lim22=--→x x x 5. []()()()d ()()()xaf x a b F x f t t a x b F x f x =≤≤⎰设在，连续， ，则是( )A. []a b 在，上的定积分B. [] a b 在，上的积分与一个常数之差C. 原函数一般表示式D. 一个原函数 6.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（ ） A.()1,1 B.()1,1- C.()1,0- D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.3sin lim x xx x -→2.设 2222+++=xxx x y ,求 y '3.设有参数方程()()0arctan 1ln 2>⎩⎨⎧=+=t ty t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+2115.dx xx ⎰+1416.设 ()()⎰++=13211dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。
南京工业大学线代期末试卷
南京工业大学 线 性 代 数 试题（A ）卷（闭）班级 学号 姓名一、填空题（每题3分，共15分）1、已知2111320=z y x，则=------111542653z y x 。
2、已知n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ， 则矩阵TA 的秩为 。
3、如向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321α、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22a β是属于某实对称矩阵不同特征值的特征向量，则=a 。
4、设三阶矩阵A 的行列式为31，则*)3(2--A A 5、设u 为n 维单位列向量，则n 阶矩阵Tuu E H -=的n 个特征值分别为 。
二、选择题（每题3分，共15分） 1、如21321,,,,ββααα都是四维列向量，且4阶行列式m =1321βααα，n =3221αβαα，则4阶行列式)(21123ββααα+等于( )（A ）n m + （B ）m n - （C ）)(n m +- （D ）n m -2、设C B A 、、是三个同阶方阵、E 为同阶单位矩阵，且E ABC =。
下列等式：E ACB =;E BAC =;E BCA =;E CAB =;E CBA =。
其中正确的个数有( ) （A ） 2个 (B) 1个 (C ) 3个 (D) 4个3、如矩阵A 的秩为r ，则以下结论正确的是( )(A) A 中所有r 阶子式均不为零 (B) A 中所有1-r 子式均不为零 (C) A 中只有一个r 阶子式不等于零 (D) A 中所有1+r 阶子式均为零4、设三阶矩阵A 的特征值分别为201、、-，则E A -4的特征值为( ) （A ）－1、0、2 (B) －5、－1、0 (C)－5、－1、7 (D)－2、4、11 5、以下论述中不可对角化的矩阵为（ ）(A) 实对称矩阵 (B) 有n 个线性无关特征向量的n 阶方阵 （C ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 (D) 有n 个不同特征值的n 阶方阵三、（11分）计算n 阶行列式xy y y y xyyyy x yy y yx四、(12分)求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11232α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12223α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11324α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02555α的秩及其一个极大无关组并将其余的向量由该极大无关组线性表示。
南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A及答案
南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A 及答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111， 于是2011)1(1)()(x dtt s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰， 又xxx x s n n -==∑∞=1)(12， 所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ， 则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ， 则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n 发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(y x x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F y x λλλλλλ当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。
南京工程学院(08-09)高等数学BⅡ(a)简
南京工程学院(08/09)高等数学BII 试卷(A)一、单项选择题 (本大题共5小题, 每小题3分, 满分15分)1. 对于二元函数z = f (x , y ) 以下说法中不正确的是( ) A. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处连续是它在该点可微的必要条件;B. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处可微是它在该点偏导数存在的充分条件;C. 函数z = f (x , y ) 在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的无关条件;D. 函数z = f (x , y ) 在区域D 内二阶偏导数存在，是二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂与2z y x∂∂∂相等的充分条件. 2. 向量a⨯ b 与两向量a 与b的位置关系是 ()A. 共面;B. 共线;C. 垂直;D. 斜交.3. 级数111113355779++++⨯⨯⨯⨯ ( ) A. 发散; B. 收敛且和为1/2; C. 收敛且和为1; D. 收敛且和为2.4. 改变积分次序= () A. ; B.C ．; D. .5、微分方程y ”-4y=0的特征根为（ ）Ａ0和4 B. 0和-4 C -2和2 D.-2i 和2i二、填空题 (本大题共7小题, 每小题3分, 满分21分)1. 点M(2, 3, 5)到平面5x-3y+2z-10=0的距离为 .2. 曲线x = 1-sin t , y = 2 -e 2t , z = ln(1+t ) 在t = 0处的切线方程为 .3. 已知方程222230x y z z ++--=则zx ∂∂= .4. 幂级数11n n nx ∞-=∑在(-1, 1)上的和函数为 .5. 设L 为曲线y = x 2 上从点A(1, 1)到B(0, 0)的一段弧, 则d L x y ⎰= __________ .6. 当是由｜x+y ｜=1及｜x-y ｜=1所围成的闭区域，则 = __________7.微分方程y ′=еx-2y 的通解__________三、解答题 (本大题共5小题, 每小题8分, 满分40分)1. 设z = x y ，求d z 和2zx y ∂∂∂.2. 求过点M (1, 2, -1)且与直线L : 2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程.3. 计算I =(32)d d Dx y x y +⎰⎰, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围的闭区域.4. 将函数21()54f x x x =++展开成x +5的幂级数.5. 计算32()d (e )d y L I y x x x y y =-++⎰ , 其中L 为圆弧x 2+y 2 =a 2且为逆时针方向.四、综合应用题(本大题共3小题, 满分24分)1. (本题满分8分)求由方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-10=0所确定的函数z=f(x,y)的极值2、（本题满分10分）设f (x)连续且满足f (x)，求f (x)3. (本题满分6分) 判断级数1ns n a n ∞=∑ (a >0, s >0) 的敛散性.。
南京工业大学复变函数试题a(.12)
南京工业大学复变函数试题(A)卷（闭）2009――2010学年第 1 学期 使用班级 电子、通信08级班级 学号 姓名 得分一、判断题（每题2分，计10分）1、 如果0z 是)(z f 的奇点，那么)(z f 在0z 处不可导 （ ）2、 设)(z f 在单连通区域B 内处处解析且不为零，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则积分0)()('=⎰dz z f z f c（ ） 3、 设u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，则u 也是v 的共轭调和函数（ ）4、 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 （ ）5、 如果0z 是)(z f 的m 级极点，那么0z 就是)(1z f 的m 级零点 （ ）二、填空题（每空3分，计24分）1、复数z 满足：12≤-i z ，则______)min(arg ______,)max(arg ==z z 。
2、)(i Ln -的主值为______________。
3、沿从原点到i +1的直线段，计算积分⎰++i dz z 102)1(的值为_____________________。
4、级数∑∞=-13)1(n nn z 的收敛半径=R _______________。
5、0=z 为函数41)(ze zf z -=的___________级极点。
6、=++⎰dz z z c 4412____________,其中1:=z C 。
7、=]0,[Re 1z e s _________________。
三、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。
（8分四、函数z1=ω将z 平面上的曲线1=x 映成ω平面上怎样的曲线。
（8分） 五、沿指定曲线正向计算下列积分：（1、2每题6分，3题8分，计20分） 1、,)2(21dz z i z c ⎰+）－（其中1:=z C 。
2、,)1(122dz z z z c ⎰--其中2:=z C 。
南京工业大学线性代数B试卷
南京工业大学线性代数B试卷南京工业大学线性代数B 试题（A ）卷（闭）2016-2017学年第二学期使用班级 16级计算机等专业班级学号姓名符号说明：A A 表示矩阵A 的转置，A (A )表示矩阵A 的秩，|A |表示方阵A 的行列式，A *表示方阵A 的伴随矩阵。
一、选择题(每题3分，共12分)1. 设A 为4阶方阵，且5A =，则()15T A -=（）A. 55B. 35C.5-5D. 3-52. 设A 为m n ?阶矩阵，m n ≠，则齐次线性方程组0Ax =只有零解的充分必要条件是A 的秩（）A. 小于mB. 等于mC. 小于nD. 等于n3.设向量组12,,,r ααα(Ⅰ)和向量组12,,,sβββ（Ⅱ）均线性相关，且(Ⅰ)可由（Ⅱ）线性表示，则一定有（）A. (Ⅰ)的秩≤（Ⅱ）的秩B. (Ⅰ)的秩 >（Ⅱ）的秩C. r s ≤D. r s >4.已知111213212223313233a a a A a a a a a a ?? ?= ? ,111213212223313233333a a a B a a a a a a ?? ?= ? ，100030001P ?? ?= ?，100310001Q ?? ?= ?，则 B =（） A. PA B. AP C. QA D. AQ二、填空题 (每题3分，共18分)1. ,3211-=A 则A 的伴随矩阵A *= . 2. 设A 为3阶方阵，如果对任意一个3维向量()T 321,,x x x X =都是AX=0解向量，则A= .3. 设3阶方阵A 有特征值1，-1，2，E A B 232-=，则B 的特征值为= .4. 设321ααα，，为3阶方阵A 的列向量组，且|A|=3，则22312-2αααα，，= .5. 设有m 个n 维向量, 且m>n ，则该向量组必线性 .6. 向量组(1, 0 ,1) T , (2, 3, 4) T 单位正交化为T ??? ??21021，，、 . 三、(8分)求行列式D=12 2 2 2212222 21222221222221.四、(10分)设????? ??=????? ??--=100012,2113402-03B A ，且AX-2X=B, 求X .五、(12分)已知向量组()T 10231，，，=α，()T 23-1407，，，=α，()T 3101-2，，，=α，()T 42615，，，=α，()T 5141-2，，，=α.(1). 求该向量组的秩。
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案解析
南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一． 填空题(每空3分，共15分)1、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=z y x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________.5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A AB -=则B 的三个特征值为________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵） ()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则 （ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000220000111321------n n n n。
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南京工业大学 高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）学院 班级 学号 姓名一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为2、设yoz 平面上曲线12222=-cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .3、设a x x a y D ≤≤-≤≤0,0:22，由二重积分的几何意义知⎰⎰=--Ddxdy y x a 222 .4、已知向量c 与(1,1,1)a =,(2,1,3)b =-都垂直，且向量a ，b ，c 构成右手系则c = . 5、曲面04x 8z xy 3x :2=--+-∑在)2,3,1(-P 处的切平面的法向量是 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（ ）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程（A ）xyy x dx dy 23+= （B ）22y )1x (dxdy+= （C ）x e xy dxdy=- （D ）222xy x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及41z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（ ）.（A ）异面 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）相交3、对二元函数)y ,x (fz =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（ ） （A ） 若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f在0P 处连续 （B ） 若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ） 若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在 （Ｄ）若)y ,x (f在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则dxdy y x D2⎰⎰＝（ ）)(A dxdy y x 21D 2⎰⎰ )(B dxdy y x 41D 2⎰⎰ )(C ０ )(D dxdy y x 1D 2⎰⎰5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).)(A 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+1n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛)(C 若1u u limn1n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞=1n n u 收敛 三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1、（７分）求微分方程5)1x (1x y2dx dy +=+-的通解。
2、（７分）设)y 2x cos(xy z -+=求yx z2∂∂∂。
3、（７分）求过点)1,3,1(M 0-并且与直线4z2y 3x =-=垂直的平面方程．4、（７分）计算⎰⎰Ddxdy yysin ，其中D 是由直线x y =与x y =所围成的闭区域。
5、（９分）求出幂级数∑∞=++-0n 1n n1n x )1(的收敛域及其和函数６、（9分）设函数)y ,x (zz =由方程0)xzy ,y z x (F =++确定，求dz7、(9分)求方程2x1y x 2y +'=''的通解四、应用题（8分）试求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积．五（本题7分）要求用两种不同的方法计算二重积分⎰⎰+D 222dxdy yx x，其中222ayx:D≤+)a(>（注意如果用一种方法正确解出可得4分）南京工业大学 高等数学B 试卷（A ）(参考答案)2011--2012学年 第 二 学期 使用班级 浦江学院11级一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、31y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、361a π 4、)3,1,4(-- 5、)1,3,3(- 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、(A)2、(A )3、(D)4、(A )5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：解：因1x 2)x (P +-=⇒积分因子⎰dx )x (P e=2dx 1x 2)1x (1e +=⎰+- 方程两边乘2)1x (1+得到，212252)1x ()1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+， 两边积分： dx )1x (y )1x (1212+=+⎰= C )1x (3223++通解为： ]C )1x (32[)1x (y 232+++=，-----------------------7分2、解：)y 2x sin(y xz--=∂∂ y x z 2∂∂∂=)xz(x ∂∂∂∂=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。
由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为0)1z (4)3y (2)1x (3=++---⇒07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分4、解：原式=⎰⎰yy 102dx yysin dy= =⎰-10dy )y sin y y (sin =⎰10ydy sin -⎰10ydy sin y=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分5、解：因)x (u )x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛当1x -=时，级数为∑∞=+-0n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞=+-0n n1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,1(---------------------------------------------------------------4分 设∑∞=++-=0n 1n n1n x )1()x (s 1x 1≤<-，)1n x ()1()x (s 0n 1n n'+-='∑∞=+=x 11x )1(0n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，所以⎰⎰+='x0xdx x 11dx )x (s 1x 1≤<-⇒)x 1ln()0(s )x (s+=- ⇒)x 1ln()x (s +=-------------------5分6、解：设=)z ,y ,x (G )xzy ,y z x (F ++则 )xz(F F G 221x -+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以z x G G x z -=∂∂=21221F x 1F y 1F x zF +--，z y G G y z -=∂∂=21212F x1F y 1F F y z ++--dz =dx F x1F y 1F x zF 21221+--dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分 （若用其他方法解，自己掌握）7、解：令p y ='，则 dx dp y =''，方程化为 2x1xp2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12C ln )x 1ln(p ln ++= ⇒)x 1(C y 21+='---------------------------------------------------5分231C )x 31x (C y ++= ---------------------------------------9分 四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2-++λ+= 则 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+λ+==+λ+==+λ+=2z y x a yz 2xz2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ⇒唯一驻点6a z y x ===由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6a 时，可使体积最大五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰θθD222rdrd r cos r =⎰⎰θθπa 0220rdr cos d =⎰πθθ+20a02d r 2122cos 1=2a 2π---------------------------4分解法二：利用对称性：⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰+D 222dxdy yx y ，因此，⎰⎰+D222dxdy y x x =21【⎰⎰+D 222dxdy y x x +⎰⎰+D 222dxdy yx y 】 =21⎰⎰++D2222dxdy yx y x =2a 2π-------------------------------3分。