立体几何建系方法
常见的建系类型汇总
常见的建系类型汇总前⾔如果没有笛卡尔平⾯直⾓坐标系，那么涉及平⾯向量的问题只能⽤基向量的⽅法[形的⾓度]求解，不能⽤代数⽅法[数的⾓度]计算；同理如果没有空间直⾓坐标系的介⼊，⽴体⼏何中的问题也就只能从形的⾓度思考，⽽不能⽤代数⽅法[数的⾓度]来计算；所以建系的⽬的主要是想把有关形的问题，通过代数的⽅法计算解决；本博⽂旨在总结⽴体⼏何中常见⼏何体的建系⽅法和类型，⽐如正四⾯体中、正三棱柱中、四棱锥等中的建系⽅法，坐标计算⽅法等，便于学习。
⽽且我们应该知道，当建⽴的坐标系不同时，计算的难度是不⼀样的。
建平直系平⾯问题中若涉及平⾯向量的计算问题，常可以建⽴平⾯直⾓坐标系；№1【2017河北武⾢中学⼀模，⽂11】在Rt\triangle ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，MN=\sqrt{2}，则\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CN}的取值范围是【】A.[2，\cfrac{5}{2}]B.[2，4]C.[3，6]D.[4，6]分析：求向量的内积的取值范围，应该想到⽤内积的坐标运算，本题⽬难点是⼀般想不到主动建系，由形的运算转化为数的运算。
解：如图所⽰，以点C为坐标原点，分别以CB、CA所在的直线为x、y轴建⽴如同所⽰的坐标系，则C(0，0)，A(0，3)，B(3 ，0)，设点N的横坐标为x，则由等腰直⾓三⾓形可知，点N的纵坐标为3-x，即点N(x，3-x)，⼜由MN=\sqrt{2}，计算可知点M(x-1，4-x)，则\overrightarrow{CM}=(x-1，4-x)，\overrightarrow{CN}=(x，3-x)，由于点M,N是动点，取两个极限位置研究x的取值范围，当点M位于点A时，x取到最⼩值1，当点N位于点B时，x取到最⼤值3，即1\leq x\leq 3，则\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CN}=f(x)=(x-1，4-x)\cdot (x，3-x)=x(x-1)+(4-x)(3-x)=2(x-2)^2+4，x\in [1，3]当x=2时，f(x)_{min}=f(2)=4，当x=1或x=3时，f(x)_{max}=f(1)=f(3)=6，即f(x)\in [4，6]。
立体几何建系的标准写法
立体几何建系的标准写法通常使用向量表示。
以下是常见的立体几何建系的标准写法示例：
坐标系表示：
直角坐标系：使用三个相互垂直的坐标轴（通常标记为x、y 和z）来表示空间中的点。
例如，(x, y, z) 表示空间中的一个点。
柱面坐标系：使用径向距离、极角和高度来表示点的位置。
例如，(ρ, θ, h) 表示柱面坐标系中的一个点。
向量表示：
位置向量：使用位置向量表示从原点到点的有向线段。
例如，OA 表示从原点O 到点 A 的位置向量。
方向向量：表示一个方向的向量，通常以单位向量的形式表示。
例如，u 表示一个单位方向向量。
平面表示：
法线向量：表示平面的法线方向的向量，通常以单位向量的形式表示。
例如，n 表示平面的法线向量。
需要注意的是，不同的教材和学科可能会有略微不同的标准写法。
在具体的问题和文献中，可能会使用特定的符号和约定来表示立体几何建系。
因此，在使用标准写法时，最好参考所使用的教材、规范或参考资料，以确保一致性和准确性。
延展点4 空间几何体建系的方法
延展点4 空间几何体建系的方法(对应学生用书第156页)坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,是运用坐标法解题的关键.建系的基本思想:(1)寻找线线垂直关系.如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线,那么就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系,如果不存在这样的三条直线,那么尽可能地找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系.(2)建系时要注意使用的是右手系.利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 为PC 的中点,EF ⊥BP 于点F.求证:(1)PA ∥平面EDB ; (2)PB ⊥平面EFD.解析依题意,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DP 所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz ,如图,设DC=PD=1,则P (0,0,1),A (1,0,0),D (0,0,0),B (1,1,0),E (0,12,12),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,-12).设F (x ,y ,z ),则PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z-1),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y -12,z -12). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x+(y -12)-(z -12)=0,即x+y-z=0. ①又因为PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=λ,y=λ,z-1=-λ. ② 由①②可知,x=13,y=13,z=23,λ=13. 所以EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,-16,16). (1)设n 1=(x 1,y 1,z 1)为平面EDB 的法向量, 则{n 1·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12y 1+12z 1=0,x 1+12y 1-12z 1=0,所以{x 1=z 1,y 1=-z 1.取z 1=-1,则n 1=(-1,1,-1). 因为PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1=0. 又因为PA ⊄平面EDB ,所以PA ∥平面EDB. (2)设n 2=(x 2,y 2,z 2)为平面EFD 的法向量, 则{n 2·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{13x 2-16y 2+16z 2=0,12y 2+12z 2=0,所以{x 2=-z 2,y 2=-z 2.取z 2=1,则n 2=(-1,-1,1). 所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 2,所以PB ⊥平面EFD. 点拨 利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系,形如正方体、长方体、正四棱柱、底面为矩形且有一条棱垂直于底面的四棱锥等几何体.【拓展训练1】(1)已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,AB ⊥AD ,AB ∥CD ,AB=4,AD=2,DC=1,则异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为 .(2)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心,则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为 .答案 (1)3√1717(2)√36解析 (1)如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在的直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2),B (2,4,0),D (0,0,0),C (0,1,0),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-3,2),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), 设BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的角为θ, 则cos θ=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-3√1717, 所以异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为3√1717. (2)依题意,建立空间直角坐标系如图所示, 则B (1,1,0),O (12,12,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0),DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量. 又OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,-1), 所以BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√2×√62=√36. 利用线面垂直关系建立空间直角坐标系(2020年全国新高考Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD.设平面PAD 与平面PBC 的交线为l.(1)证明:l ⊥平面PDC.(2)已知PD=AD=1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.解析 (1)在正方形ABCD 中,AD ∥BC ,因为AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以AD ∥平面PBC.又因为AD ⊂平面PAD ,平面PAD ∩平面PBC=l , 所以AD ∥l.因为在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 所以AD ⊥DC ,所以l ⊥DC.又PD ⊥平面ABCD ,所以AD ⊥PD ,所以l ⊥PD. 因为CD ∩PD=D ,所以l ⊥平面PDC.(2)如图,建立空间直角坐标系D-xyz ,因为PD=AD=1,则有D (0,0,0),C (0,1,0),P (0,0,1),B (1,1,0). 设Q (m ,0,1),则有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,0,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面QCD 的法向量为n=(x ,y ,z ), 则{DC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{y =0,mx +z =0, 令x=1,则z=-m ,所以平面QCD 的一个法向量为n=(1,0,-m ),则cos <n ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3·√m 2+1.根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值为直线与平面所成角的正弦值,直线与平面所成角的正弦值等于|cos <n ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√3·√m 2+1=√33·√1+2m+m 2m 2+1=√33·√1+2m m 2+1≤√33·√1+2|m|m 2+1≤√33·√1+1=√63,当且仅当m=1时取等号,所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为√63.点拨 利用线面垂直关系建立空间直角坐标系,这类问题一般已知一条直线与底面垂直,或能证明某一条直线与底面垂直,很多情况把这条直线作为z 轴.【拓展训练2】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为1的菱形,∠ABC=π4,PA ⊥底面ABCD ,PA=2,M 为PA 的中点,N 为BC 的中点,AF ⊥CD 于点F.如图,建立空间直角坐标系.求出平面PCD 的一个法向量,并证明:MN ∥平面PCD.解析 由题设知,在Rt △AFD 中,AF=FD=√22,F (0,√22,0),D (-√22,√22,0),P (0,0,2),M (0,0,1),N 1-√24,√24,0,则MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-√24,√24,-1),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√22,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-√22,√22,-2.设平面PCD 的法向量n=(x ,y ,z ), 则{n ·PF⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{√22y -2z =0,-√22x +√22y -2z =0,令z=√2,得n=(0,4,√2).因为MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=1-√24,√24,-1·(0,4,√2)=0, 又MN ⊄平面PCD ,所以MN ∥平面PCD.利用面面垂直关系建立空间直角坐标系(2018年全国Ⅲ卷)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD⏜所在平面垂直,M 是CD ⏜上异于C ,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC.(2)当三棱锥M-ABC 体积最大时,求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值.解析 (1)由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD.因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM. 因为M 为CD⏜上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM. 又BC ∩CM=C ,所以DM ⊥平面BMC. 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC.(2)以D 为坐标原点,DA⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC 体积最大时,M 为CD⏜的中点. 由题设得D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,2,0),M (0,1,1), 则AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0). 设n=(x ,y ,z )是平面MAB 的法向量,则{n ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +y +z =0,2y =0,可取n=(1,0,2).DA⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面MCD 的一个法向量, 因此cos <n ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√55,故sin <n ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√55.所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是2√55. 点拨 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系的题型一般是已知一个平面垂直于底面,这个平面是等腰三角形或等边三角形所在的平面,需要准确运用其性质.【拓展训练3】如图,正方形ABCD ,ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM=BN=a (0<a<√2).(1)当a 为何值时,线段MN 的长度最短?(2)当线段MN 的长度最短时,求AB 与平面AMN 所成角α的正弦值.解析 (1)以B 为原点,BA ,BE ,BC 所在的直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系B-xyz (如图所示),则N (√22a,√22a,0),M (√22a,0,1-√22a).所以MN=√(1-√22a)2+(√22a)2= √(a -√22)2+12,所以当a=√22时,线段MN 的长度最短.(2)由(1)知当a=√22时,线段MN 的长度最短,此时M (12,0,12),N (12,12,0),又A (1,0,0),所以AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,12,0). 设平面AMN 的法向量n=(x ,y ,z ),则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{-12x +12z =0,-12x +12y =0,取x=1,得y=1,z=1, 所以平面AMN 的一个法向量n=(1,1,1).因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,0),所以AB 与平面AMN 所成角α的正弦值sin α=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33.。
立体几何的向量方法建系
y
x
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1、图形直观
z
y
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z 1、图形直观
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z 1、图形直观
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1、图形直观
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例 2.(北京卷)如图，在三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AA1C1C 是边长为 4 的正方形， 平面 ABC⊥平面
AA1C1C，AB=3，BC=5.
AC＝2 2，PA＝2，E 是 PC 上的一点，PE＝2EC.
(1)证明：PC⊥平面 BED；
(2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小．
z
z
z
y y
x
x
x
y
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问题:如何求平面的法向量?
n
a
b
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
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练习2、如图，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC 的中点,作EF⊥PB交PB于点F， 证明PA//平面EDB；
z
z
y
y
o x
n
x
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1.有三条两两垂直的直线（墙角）时建系最方便； 2.没有明显的“墙角”时需通过条件或辅助线 “找墙角”或“造墙角”； 3.实在没有时可借助直角建系， 另一条坐标轴“悬空”.
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例1、（2014福建理） ABCD, AB BD CD 1
高中数学立体几何建系设点专题
ABCD 222，，，AQ PB 22222，，，，，2x 2)2PQ nn2ABQM ADCOPxyzMABD CO PxyzE C B ==32的正三角形，的正三角形，223a2a23(0,02a32a2a3a13OCDA1 B1 C1 AOCDA1 B1 xzyA BCA1B1C1MzyxCA1B1C1Mz解法二： 13(,,2)22a AC a a =-， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角q 的正弦为：1sin cos ,AC n q =<> =1112||||AC n AC n ×=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。
（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面,,,A B C D A B A D A C C D A B C ^^Ð=°,P A A B B C ==E 是PC 的中点的中点.. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．中点．A P E B C D ABCD1A1C1B63611222226121++621566建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2AB=2，，则(13,1,0(3,1,C 平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n = ，所以AC 1113648AC n AC n ×== 。
3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。
的距离。
解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则1111(1,1,1,0),1(1,0,,0,1),(0,0,1(0,0,1))BD B C BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ×=+=和10,B C n x z ×=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n\=- \异面直线BD 与B 1C 的距离：的距离：111||13|cos ,|33BB n d BB BB n n ×=<>===4.4.四棱椎四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD D 为正三角形，为正三角形，平面,ABCD PCD 平面^PB PD E AC 为,^中点中点. . （1）求证：）求证：PB PB PB∥∥ 平面AEC AEC；； （2）求二面角E —AC AC——D 的大小的大小. . 解：设AD a CD ==,，过,,H CD PH P 垂足为作^A B C DP C D 平面平面^ ^\PH 平面ABCD ，又 是矩形底面ABCD 故可以分别以OH OH、、HC HC、、HP 所在直线为x 轴、轴、y y 轴、轴、z z 轴建立空间直角坐标系H-xyz H-xyz。
立体几何建系点到面距离公式
立体几何建系点到面距离公式立体几何这玩意儿，对于很多同学来说，就像是一个藏着无数秘密的神秘城堡。
而在这个城堡里，有一个非常重要的宝贝，那就是建系点到面距离公式。
咱们先来瞅瞅这个公式到底长啥样。
它就像一个神奇的密码，能帮咱们解开点到面距离的谜题。
假设一个平面的方程是 Ax + By + Cz + D = 0 ，平面外有一个点P(x₀, y₀, z₀) ，那么点 P 到这个平面的距离 d 就可以用公式 d = |Ax₀+ By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) 来计算。
听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子。
有一次我在课堂上讲这个公式，看到同学们一脸懵的样子，我就知道得想个办法让他们明白。
我灵机一动，拿起教室里的一块小黑板当作平面，然后拿一支粉笔当作点。
我比划着说：“同学们，这小黑板就是那个平面，粉笔头就是咱们要找距离的那个点。
”我一边说着，一边在黑板上写下公式，一步一步地带着他们推导。
有的同学开始慢慢跟上了思路，眼睛里有了一丝亮光；但还有一些同学依然皱着眉头。
我又换了个例子，假设咱们的教室地面是一个平面，然后我站在讲台上的某个点，那怎么算我到地面的距离呢？这时候，大家的兴趣都被提起来了，开始七嘴八舌地讨论。
咱们再深入聊聊这个公式的妙处。
它就像是一把万能钥匙，不管多复杂的立体几何图形，只要能找到合适的坐标系，把平面方程写出来，再把点的坐标搞清楚，距离就能算出来。
比如说一个三棱锥，顶点到底面的距离，用这个公式就能轻松搞定。
不用再费劲地去作垂线，找各种线段的长度，大大节省了时间和精力。
在做练习题的时候，很多同学一开始总是容易出错。
不是坐标写错了，就是公式记错了。
这时候可别着急，多做几道题，多总结总结规律，慢慢就熟练了。
其实学习立体几何，掌握这个建系点到面距离公式，就像是在探险中找到了一张宝贵的地图。
只要咱们能看懂这张地图，就能在立体几何的世界里畅行无阻。
立体几何建系方法
立体几何建系方法熟悉几个补形建系的技巧基本模型：长方体 ；下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC -,其中,2PA ABC ABC π⊥∠=.特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。
建系方法：（2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。
建系方法：（3）正四面体A-BCD 建系方法：（4）两个面互相垂直建系方法1、（2011年高考重庆卷文科20) 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥====（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。
PA BCA CDP2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=2,PB⊥PD.(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．A BCD EA1B1C14．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值 为2E AF C --的余弦值．5、（08安徽）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的 菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点.（1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求点B 到平面OCD 的距离.P BECD FA。
巧建系，妙解立体几何题
解题宝典立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.在解答立体几何问题时，我们一般只有借助立体几何图形来进行分析，才能快速明确题目中点、线、面的位置关系，找到解题的突破口.建系法是解答立体几何问题的一种重要方法，而运用建系法解答立体几何问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，通过空间直角坐标运算求得问题的答案.那么如何选取坐标轴和原点，建立合适的直角坐标系呢？主要有以下两种方法.一、根据几何体的性质和特点建系我们知道，空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，并相交于一点.因此，在解答立体几何问题时，可以根据简单几何体的特点和性质，尤其是长方体、直棱柱、直棱锥、圆柱的性质和特点来寻找垂直关系.当图形中出现三条直线两两互相垂直且交于一点时，可以将这三条直线看作坐标轴，将该交点视为坐标原点来建系.例1.（2019年全国卷Ⅱ理科·第17题）如图1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.图1图2分析:本题主要考查了二面角的求法.我们根据长方体的特点和性质可知长方体的所有侧棱都与底面垂直，且底面上由顶点出发的两条棱相互垂直，于是可将底面的其中一个顶点视为原点，以由顶点出发的三条棱为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.然后根据题目给出的条件，找出相关点的坐标，求出两个平面、BEC 、ECC 1的法向量，再根据公式求出两个平面法向量的夹角余弦值，便可得出夹角的正弦值.解：以点D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D -xyz .设正方形ABCD 的边长为1，||AA 1=2a ，则||A 1E =||AE =a ，所以||EB 1=||EB =a 2+1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，且BE 在平面ABB 1A 1内，因此C 1B 1⊥BE .由题知BE ⊥EC 1,所以BE ⊥平面EB 1C １.且EB 1在平面EB 1C 1内，则BE ⊥EB 1.在RtΔB 1EB 中，EB 12+EB 2=B 1B 2，即a 2+1+a 2+1=4a 2，所以a =1，所以B (1,1,0)，C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，所以 CE =(1,-1,1)， CB =(1,0,0)， CC 1=(0,0,2)设平面BCE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíî n 1·CE =x 1-y 1+z 1=0, n 1·CB =x 1=0,，解得{x 1=0,z 1=y 1,取 n 1=(0,1,1)，设平面CEC 1的法向量为 n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíî n 2·CE =x 2-y 2+z 2=0, n 2·CC 1=2z 2=0,解得{z 2=0,y 2=x 2,取 n 2=(1,1,0)，所以cos n 1, n 2=n 1·n 2|| n 1·|| n 2=12.于是sin n 1, n 2=,故二面角B -EC -C 1的正弦值为.例2.如图3，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1=AC =CB .求二傅灵欣廖小莲44解题宝典面角D -A 1C -E 的正弦值.图3图4分析：该几何体为直三棱柱，我们可以根据直三棱柱图形的特点和性质来建立空间直角坐标系.直棱柱的侧棱垂直于底面，只要根据题目的条件在直三棱柱的底面找到两条互相垂直且与侧棱有交点的直线，这样三条直线两两便会互相垂直，为建立空间直角坐标系创造了条件.求出相关点的坐标以及二面角所包含的两个平面的法向量，再根据公式便可求出二面角的余弦值，求得夹角的正弦值.解：由AC =CB =得ΔACB 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，又因为是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以棱CC 1⊥底面ACB .故以点C 为原点、CA 的方向为x 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.设AB =2，则AA 1=AC =CB =AA 1=2，则A (2,0,0)，B （0，2,0），D 0），A 1（2,0，2），C （0,0,0），又因为AA 1=BB 1=2，所以E(0,2，于是 CA 1=（2,0，2）， CD =0），CE =（0，2，，设平面DA 1C 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíîïï n 1·CA 121+2=0,CD · n 1=2121=0,解得{x 1+z 1=0,x 1+y 1=0,取n 1=(1,-1,-1)，设平面A 1CE 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíîïï n 2·AC 1=2x 222=0, CE · n 2=2y 222=0,解得ìíîïïx 2+z 2=0,y 2+12z 2=0,取n 2=（2,1,-2），所以cos n 1， n 2=n 1·n 2|| n 1·||n 2=，则sin n 1, n 2=故二面角D -A 1C -E 的正弦值为.在用建系法解答与长方体、直棱锥有关的立体几何问题时，可以根据长方体、直棱锥本身的性质和特点来建系，若无法根据几何体的性质和特点建系，可以根据题意创造条件来建系.二、利用线面垂直关系建立直角坐标系在建系时，z 轴往往是比较容易选取的，而坐标原点即为z 轴与底面的交点，那么我们只需要确定与z 轴垂直的坐标平面xOy ，且使x 轴、y 轴相互垂直即可.可以根据线面垂直关系来寻找与z 轴垂直的平面.首先要充分利用好底面中的垂直条件，然后根据线面垂直的判断定理得到相应的z 轴以及与z 轴垂直的平面，这样便可建立符合要求的空间直角坐标系.例3（2020年全国Ⅰ卷，第20题）如图5，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.图5分析：我们可以先根据线面垂直的关系，即PD ⊥底面ABCD 来建立空间直角坐标系.而四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，所以正方形的四条邻边相互垂直，于是可以以D 为坐标原点、DA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，设45方法集锦。
高中数学立体几何建系
在高中数学的立体几何中，建立坐标系是常见的方法之一。
建立坐标系可以帮助我们描述和研究立体图形的位置、形状和性质。
以下是一些常见的建系方法：
直角坐标系：在平面上建立直角坐标系，可以使用两个垂直的坐标轴（通常是x轴和y轴）来描述图形的位置和尺寸。
三维情况下，可以添加一个垂直于平面的z轴，形成三维直角坐标系。
柱面坐标系：柱面坐标系适用于柱面或圆柱体等具有柱状特征的图形。
它使用一个径向距离（r）和一个角度（θ）来描述图形上的点的位置。
球面坐标系：球面坐标系适用于球体或球壳等具有球状特征的图形。
它使用一个径向距离（ρ）、一个极角（θ）和一个方位角（φ）来描述图形上的点的位置。
斜二面角坐标系：斜二面角坐标系适用于描述两个平面的夹角关系，常用于研究平面与平面相交、平面与直线相交等问题。
在建系过程中，我们需要选择适当的坐标轴或坐标系，并定义坐标轴的正方向和原点位置，以及确定单位长度等。
这样可以建立一个坐标系，使得我们可以方便地进行立体图形的分析、计算和推导。
立体几何建系方法
立体几何建系方法立体几何是研究空间中图形的形状、大小、位置和相互关系的数学分支。
在立体几何中，建系是指确定和描述空间中图形的位置、方向和尺寸的方法。
建系方法有很多种，包括点线面建系、轴线建系、坐标建系等。
下面将详细介绍每种建系方法的原理和应用。
1.点线面建系点线面建系是最基本的建系方法之一，在立体几何的研究中有着广泛的应用。
点线面建系是通过确定一个点、一条线或一个平面来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
(1)点建系：通过确定一个点作为参考点，然后确定其他点相对于该参考点的位置和方向。
例如，在三维空间中，可以选择一个空间中的一些点作为原点，然后以该点为参考点确定其他点的位置和方向。
(2)线建系：通过确定两个点来确定一条线，然后确定其他点相对于该线的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择两个不共线的点确定一条线，然后以该线为基准确定其他点的位置和方向。
(3)面建系：通过确定三个不共线的点来确定一个平面，然后确定其他点相对于该平面的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择三个不共线的点确定一个平面，然后以该平面为基准确定其他点的位置和方向。
点线面建系在立体几何的分析中具有重要的作用，可以通过确定一些点、线或平面来确定其他点、线或平面的位置和方向关系。
例如，在计算机图形学中，点线面建系可以用于描述和操作三维模型的位置和姿态。
2.轴线建系轴线建系是一种常用的建系方法，通过确定一个或多个轴线来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
轴线建系常用于工程制图和机械设计中。
(1)单轴建系：通过确定一个轴线来建立坐标系。
例如，在机械设计中，常用水平轴或垂直轴作为参考轴线，然后确定其他点、线或面相对于该轴线的位置和方向。
(2)双轴建系：通过确定两个相互垂直的轴线来建立坐标系。
例如，在平面图形的制图中，常用水平轴和垂直轴来确定二维平面中点、线或面的位置和方向。
(3)多轴建系：通过确定多个轴线来建立坐标系。
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熟悉几个补形建系的技巧
基本模型：长方体 ；
下面几个多面体可考虑补成长方体建系：
（1）三棱锥 ,其中 .
特点： ；四个面均为直角三角形。
建系方法：
（2）四棱锥P-ABCD,其中 ABCD为矩形。
建系方法：
（3）正四面体A-BCD 建系方法：
（4）两个面互相垂直建系方法
1、（2011年高考重庆卷文科20)如题（20）图，在四面体 中，平面ABC⊥平面，
3、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、Байду номын сангаасC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝ AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
4．如图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， ， 分别是 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值
为 ，求二面角 的余弦值．
5、（08安徽）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的 菱形， , , , 为 的中点.
（1）求异面直线 与 所成角的大小；
（2）求点 到平面 的距离.
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，
又BO=2,PO= ,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；