立体几何如何建系
立体几何中的各种建系
直角建系
•以三条相互垂直的线为坐标轴。
•常用于简单多面体，例如长方体、正方体和菱形十二面体。
极坐标系
•以一个点为极点，一个线段为极轴。
•坐标由极点到点的距离（极径）和极轴与线段之间的夹角（极角）表示。
•常用于球体和圆柱体。
柱面坐标系
•以一个轴为 z 轴，与该轴相交的两条平行线为 x 轴和 y 轴。
•坐标由点到 z 轴的距离（柱面半径）、点到 x 轴的投影与 z 轴的夹角（柱面角）和点到 z 轴投影到 x-y 平面的距离（高度）表示。
•常用于圆柱体和圆锥体。
球面坐标系
•以一个点为极点，两个相互垂直的半径为经线和纬线。
•坐标由极点到点的距离（极径）、纬线与极点连线的夹角（纬度）和经线与参考经线的夹角（经度）表示。
•常用于球体。
双极坐标系
•以两个点为焦点的双曲线的一个分支。
•坐标由点到两焦点的距离之差和点到该分支的距离之和表示。
•常用于轨迹和电磁场问题。
椭圆柱坐标系
•以三个相互正交的椭圆为坐标轴。
•坐标由点到三个椭圆的距离表示。
•常用于椭圆柱体和椭圆锥体。
抛物柱坐标系
•以一个抛物线的一个分支和该抛物线的准线为坐标轴。
•坐标由点到抛物线分支的距离和点到准线的距离之差表示。
•常用于抛物柱体和抛物锥体。
柱面-球面坐标系
•极坐标系和柱面坐标系的组合。
•坐标由极径、极角、柱面半径和高度表示。
•常用于圆柱球体和球冠。
立体几何建系
立体几何建系立体几何是数学中一种建模和抽象技术，它应用于各类实体空间中，也就是说，它可以用来分析和推断空间中的几何关系，从而实现建模。
立体几何在数学发展史上具有重要的地位，是几何学的重要组成部分。
它是学习空间概念和形状如何相互作用的重要工具。
立体几何的基本构件包括点、线、面、空间以及相互之间的关系。
例如，点的坐标定义：点是在空间中的一个固定位置，到该点的距离可以有无数种可能的测量方法，其中距离最常见的是欧几里德距离；线可以处理两个点之间的关系，例如线段、曲线、空间曲线等；面可以描述多边形在空间中的表现形式；空间可以描述多边形构成的几何形式。
立体几何在封闭调查和定理证明方面发挥着重要作用。
封闭调查，是指收集和研究三角形、四边形、五边形、六边形等多边形的概念，以及这些多边形之间的关系。
定理证明，是指通过定理，对多边形的概念及其之间的关系进行描述和解释，以及证明多边形的几何运动以及多边形的属性。
立体几何的研究主要是以建立精确的定理和空间结构的形状为目的的，它的研究结果可以用于空间几何中的实际应用。
例如，在求解立体几何中的问题时，可以应用定理进行解答，以期得到有效的解决方案；在三角形和四边形定理的求解中，可以利用定理求解实际的三角形和四边形；在求解所有平面多边形的空间结构的形状时，可以利用立体几何的基础定理，求解实际的平面多边形空间结构的形状。
此外，立体几何在机械绘图、三维实物建模、投影等工程技术中也有着广泛的应用。
例如，在机械绘图中，可以利用立体几何的定理，把机械绘图中的图形分解为不同的组成部分；在三维实物建模中，可以利用立体几何的定理构建几何物体的实体模型；在投影中，可以应用立体几何的定理，对物体的投影进行控制。
立体几何的研究为数学与空间运动的科学研究提供了一种重要的理论基础，是数学研究领域中的重要组成部分。
它的研究主要是以构建精确的几何模型，描述和解释实体空间中物体的几何关系，以及解决空间几何应用问题为目的，也是实体空间中对空间形状和几何运动等概念的重要抽象与建模技术。
高中数学讲义：立体几何中的建系设点问题
⽴体⼏何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上（2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直④ 直棱柱：侧棱与底面垂直（2）线线垂直（相交垂直）：① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一）③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC^（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I æöæöç÷ç÷èøèø2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
高考数学热点问题专题解析——立体几何中的建系设点问题
立体几何解答题的建系设点问题在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。
一、基础知识：（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：（1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。
4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。
5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论：（1）线面垂直：① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若222AB AC BC +=，则AB AC ⊥（二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点（1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下：x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0（2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例：则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了111,,0,,1,022H I ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2、空间中在底面投影为特殊位置的点：如果()'11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同）由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。
建系要求
8、关于建立坐标系（高考数学）周晓焕回复
建立坐标系有什么要求？？？还是只要是能算出来就可以？？？
立体几何中建立坐标系，要求及原则：定原点，画三轴，建系利于坐标求.为使计算简化，证明方便，需要恰当的选取坐标系.“恰当”意味着要充分的利用图形的特点：垂直关系，对称关系，平行关系，中点等.
途径一：利用图形中的对称关系建立坐标系：图形中虽然没有明显的交于一点的三条直线，但有一定的对称关系（如正三棱柱，正四棱柱等），利用自身对称性可建立直角坐标系. 途径二：利用面面垂直的性质定理建立坐标系：图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系.
途径三：利用图形中现成的垂直关系建立坐标系.
建系原则：
1.让尽可能多的点落在坐标轴上；
2.利用图形本身的一些垂直关系；
3.利用图形中一些对称关系.。
巧建系，妙解立体几何题
解题宝典立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.在解答立体几何问题时，我们一般只有借助立体几何图形来进行分析，才能快速明确题目中点、线、面的位置关系，找到解题的突破口.建系法是解答立体几何问题的一种重要方法，而运用建系法解答立体几何问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，通过空间直角坐标运算求得问题的答案.那么如何选取坐标轴和原点，建立合适的直角坐标系呢？主要有以下两种方法.一、根据几何体的性质和特点建系我们知道，空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，并相交于一点.因此，在解答立体几何问题时，可以根据简单几何体的特点和性质，尤其是长方体、直棱柱、直棱锥、圆柱的性质和特点来寻找垂直关系.当图形中出现三条直线两两互相垂直且交于一点时，可以将这三条直线看作坐标轴，将该交点视为坐标原点来建系.例1.（2019年全国卷Ⅱ理科·第17题）如图1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.图1图2分析:本题主要考查了二面角的求法.我们根据长方体的特点和性质可知长方体的所有侧棱都与底面垂直，且底面上由顶点出发的两条棱相互垂直，于是可将底面的其中一个顶点视为原点，以由顶点出发的三条棱为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.然后根据题目给出的条件，找出相关点的坐标，求出两个平面、BEC 、ECC 1的法向量，再根据公式求出两个平面法向量的夹角余弦值，便可得出夹角的正弦值.解：以点D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D -xyz .设正方形ABCD 的边长为1，||AA 1=2a ，则||A 1E =||AE =a ，所以||EB 1=||EB =a 2+1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，且BE 在平面ABB 1A 1内，因此C 1B 1⊥BE .由题知BE ⊥EC 1,所以BE ⊥平面EB 1C １.且EB 1在平面EB 1C 1内，则BE ⊥EB 1.在RtΔB 1EB 中，EB 12+EB 2=B 1B 2，即a 2+1+a 2+1=4a 2，所以a =1，所以B (1,1,0)，C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，所以 CE =(1,-1,1)， CB =(1,0,0)， CC 1=(0,0,2)设平面BCE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíî n 1·CE =x 1-y 1+z 1=0, n 1·CB =x 1=0,，解得{x 1=0,z 1=y 1,取 n 1=(0,1,1)，设平面CEC 1的法向量为 n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíî n 2·CE =x 2-y 2+z 2=0, n 2·CC 1=2z 2=0,解得{z 2=0,y 2=x 2,取 n 2=(1,1,0)，所以cos n 1, n 2=n 1·n 2|| n 1·|| n 2=12.于是sin n 1, n 2=,故二面角B -EC -C 1的正弦值为.例2.如图3，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1=AC =CB .求二傅灵欣廖小莲44解题宝典面角D -A 1C -E 的正弦值.图3图4分析：该几何体为直三棱柱，我们可以根据直三棱柱图形的特点和性质来建立空间直角坐标系.直棱柱的侧棱垂直于底面，只要根据题目的条件在直三棱柱的底面找到两条互相垂直且与侧棱有交点的直线，这样三条直线两两便会互相垂直，为建立空间直角坐标系创造了条件.求出相关点的坐标以及二面角所包含的两个平面的法向量，再根据公式便可求出二面角的余弦值，求得夹角的正弦值.解：由AC =CB =得ΔACB 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，又因为是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以棱CC 1⊥底面ACB .故以点C 为原点、CA 的方向为x 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.设AB =2，则AA 1=AC =CB =AA 1=2，则A (2,0,0)，B （0，2,0），D 0），A 1（2,0，2），C （0,0,0），又因为AA 1=BB 1=2，所以E(0,2，于是 CA 1=（2,0，2）， CD =0），CE =（0，2，，设平面DA 1C 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíîïï n 1·CA 121+2=0,CD · n 1=2121=0,解得{x 1+z 1=0,x 1+y 1=0,取n 1=(1,-1,-1)，设平面A 1CE 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíîïï n 2·AC 1=2x 222=0, CE · n 2=2y 222=0,解得ìíîïïx 2+z 2=0,y 2+12z 2=0,取n 2=（2,1,-2），所以cos n 1， n 2=n 1·n 2|| n 1·||n 2=，则sin n 1, n 2=故二面角D -A 1C -E 的正弦值为.在用建系法解答与长方体、直棱锥有关的立体几何问题时，可以根据长方体、直棱锥本身的性质和特点来建系，若无法根据几何体的性质和特点建系，可以根据题意创造条件来建系.二、利用线面垂直关系建立直角坐标系在建系时，z 轴往往是比较容易选取的，而坐标原点即为z 轴与底面的交点，那么我们只需要确定与z 轴垂直的坐标平面xOy ，且使x 轴、y 轴相互垂直即可.可以根据线面垂直关系来寻找与z 轴垂直的平面.首先要充分利用好底面中的垂直条件，然后根据线面垂直的判断定理得到相应的z 轴以及与z 轴垂直的平面，这样便可建立符合要求的空间直角坐标系.例3（2020年全国Ⅰ卷，第20题）如图5，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.图5分析：我们可以先根据线面垂直的关系，即PD ⊥底面ABCD 来建立空间直角坐标系.而四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，所以正方形的四条邻边相互垂直，于是可以以D 为坐标原点、DA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，设45方法集锦。
高中数学立体几何建系
在高中数学的立体几何中，建立坐标系是常见的方法之一。
建立坐标系可以帮助我们描述和研究立体图形的位置、形状和性质。
以下是一些常见的建系方法：
直角坐标系：在平面上建立直角坐标系，可以使用两个垂直的坐标轴（通常是x轴和y轴）来描述图形的位置和尺寸。
三维情况下，可以添加一个垂直于平面的z轴，形成三维直角坐标系。
柱面坐标系：柱面坐标系适用于柱面或圆柱体等具有柱状特征的图形。
它使用一个径向距离（r）和一个角度（θ）来描述图形上的点的位置。
球面坐标系：球面坐标系适用于球体或球壳等具有球状特征的图形。
它使用一个径向距离（ρ）、一个极角（θ）和一个方位角（φ）来描述图形上的点的位置。
斜二面角坐标系：斜二面角坐标系适用于描述两个平面的夹角关系，常用于研究平面与平面相交、平面与直线相交等问题。
在建系过程中，我们需要选择适当的坐标轴或坐标系，并定义坐标轴的正方向和原点位置，以及确定单位长度等。
这样可以建立一个坐标系，使得我们可以方便地进行立体图形的分析、计算和推导。
立体几何建系方法
立体几何建系方法立体几何是研究空间中图形的形状、大小、位置和相互关系的数学分支。
在立体几何中，建系是指确定和描述空间中图形的位置、方向和尺寸的方法。
建系方法有很多种，包括点线面建系、轴线建系、坐标建系等。
下面将详细介绍每种建系方法的原理和应用。
1.点线面建系点线面建系是最基本的建系方法之一，在立体几何的研究中有着广泛的应用。
点线面建系是通过确定一个点、一条线或一个平面来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
(1)点建系：通过确定一个点作为参考点，然后确定其他点相对于该参考点的位置和方向。
例如，在三维空间中，可以选择一个空间中的一些点作为原点，然后以该点为参考点确定其他点的位置和方向。
(2)线建系：通过确定两个点来确定一条线，然后确定其他点相对于该线的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择两个不共线的点确定一条线，然后以该线为基准确定其他点的位置和方向。
(3)面建系：通过确定三个不共线的点来确定一个平面，然后确定其他点相对于该平面的位置和方向。
例如，在三维空间中，选择三个不共线的点确定一个平面，然后以该平面为基准确定其他点的位置和方向。
点线面建系在立体几何的分析中具有重要的作用，可以通过确定一些点、线或平面来确定其他点、线或平面的位置和方向关系。
例如，在计算机图形学中，点线面建系可以用于描述和操作三维模型的位置和姿态。
2.轴线建系轴线建系是一种常用的建系方法，通过确定一个或多个轴线来建立坐标系，从而确定其他点、线或面的位置和方向。
轴线建系常用于工程制图和机械设计中。
(1)单轴建系：通过确定一个轴线来建立坐标系。
例如，在机械设计中，常用水平轴或垂直轴作为参考轴线，然后确定其他点、线或面相对于该轴线的位置和方向。
(2)双轴建系：通过确定两个相互垂直的轴线来建立坐标系。
例如，在平面图形的制图中，常用水平轴和垂直轴来确定二维平面中点、线或面的位置和方向。
(3)多轴建系：通过确定多个轴线来建立坐标系。
立体几何建系原则
立体几何建系原则
嘿，咱说说立体几何建系原则是啥。
有一回我做数学作业，碰到一道立体几何题，可把我难住了。
后来老师讲了立体几何建系的方法，我才有点明白。
立体几何建系原则呢，首先得选好坐标轴。
就像盖房子得先打好地基一样，坐标轴选得好，后面做题就容易多了。
比如说，要找那些互相垂直的边来当坐标轴，这样计算起来就方便。
然后得确定好原点和单位长度。
原点就像一个中心点，单位长度得合适，不能太大也不能太小。
我记得有一次做题，我一开始原点选得不好，结果算了半天都不对。
还有就是要注意坐标的正负。
别搞混了，不然答案就错了。
就像走路，得知道方向是对的，不然越走越远。
所以啊，立体几何建系得遵循选好坐标轴、确定原点和单位长度、注意坐标正负这些原则。
下次你做立体几何题的时候，可别忘了这些哦。
立体几何建系方法
立体几何建系方法
立体几何建系方法是指在解决立体几何问题时，建立相应的坐标系或者辅助图形来辅助计算。
以下是一些常用的立体几何建系方法：
1. 建立坐标系：可以通过建立平面直角坐标系或者空间直角坐标系，将三维问题转化为二维平面上的问题。
通过引入坐标系，可以方便地表示点、向量、直线、平面等几何元素，并可以利用坐标系的性质来进行计算。
2. 投影建系：投影建系是指通过将立体图形进行投影，将三维问题转化为二维平面上的问题。
常见的投影建系方法有平面投影、轴测投影、透视投影等。
3. 建立辅助图形：在解决立体几何问题时，可以通过建立一些辅助图形来辅助计算。
常见的辅助图形有平行四边形、三角形、圆等。
通过建立辅助图形，可以改变原问题的形式，从而更容易进行计算。
4. 应用剖分方法：剖分方法是指将复杂的立体图形剖分为简单的几何元素，从而简化计算过程。
常见的剖分方法有平分法、中分法、垂分法等。
5. 利用对称性：利用图形的对称性可以简化计算过程。
通过找出图形的对称中心、对称轴等，可以将问题降低到简化的情况，减少计算难度。
这些建系方法可以根据具体问题的需要进行灵活运用，对于不同类型的立体几何问题，选择合适的建系方法可以极大地简化计算过程，提高计算效率。