【数学】四川省宜宾市第四中学校2021-2021学年高二下学期第四学月考试(文)

四川省宜宾市第四中学校2021-2021学年高二下学期第四学月考试（文）第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()212z i i +=-，则复数z 的虚部为 A ．i -B ．1-C ．iD ．12．命题“[1,),x ∀∈+∞210x x +-≥”的否定形式是 A ．(,1)x ∃∈-∞，使得210x x +-< B ．[1)x ∃∈+∞，使得210x x +-< C ．(,1)x ∀∈-∞，使得210x x +-≥D ．[1)x ∀∈+∞，使得210x x +-<3.已知一组数据（1，2），（3，5），（6，8），（0x ，0y ）的线性回归方程为ˆ2yx =+，则00x y -的值为 A. -3 B. -5C. -2D. -14．双曲线221169x y -=上P 点到左焦点的距离是6，则P 到右焦点的距离是A ．12B ．14C ．16D ．185．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为 A ．200吨B ．300吨C ．400吨D ．600吨6．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++附表：A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”7．“a =是“函数())f x ax =为奇函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．圆22244205x y x y ++-+=上的点到直线340x y +=的距离的最大值是A ．35B ．15C ．25+ D ．25- 9.已知函数3()f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(1,2]上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是 A ．2a >-B.3a ≥-C. 32a -≤<-D. 32a -≤≤-10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．1311．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为A ．B ．2CD ．112．已知函数)1010(82)(222+--++-=x x a x x x f 有唯一零点，则a =A ．2B ．10C ．4D ．7第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()32f x x ax x b =+++在1x =处取得极值，则实数a =______．14．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为_________________ 15．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（lg 20.3010=，lg30.4771=）16．已知点()4,0A ，抛物线C ：22y px =（04p <<）的准线为l ，点P 在C 上，作PH l⊥于H ，且PH PA =，120APH ∠=︒，则p =__________． 三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()3213f x x ax bx =-+（,a b R ∈），()()021f f ''==. （I ）求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；（II ）若函数()()4g x f x x =-， []3,2x ∈-，求()g x 的单调区间和最小值.18．（12分）为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表： 场数 9 10 11 12 13 14 人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？非歌迷歌迷 合计 男 女 合计（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． P （K 2≥k ）0.05 0.01 k3.8416.63519．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （I ）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（II ）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积. 20．（12分）已知直线2:220(1)l x ay a a --=>，椭圆22122:1,,x C y F F a+=分别为椭圆的左、右焦点.(I)当直线l 过右焦点2F 时，求椭圆C 的标准方程；(II)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且2,2.AG GO BH HO ==，若点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数a 的取值范围. 21．（12分）已知函数()ln 1()f x a x x a =-+∈R （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）当0a <时，对任意的()1212,(0,1],x x x x ∈<，都有()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0.θρθ-=（I ）求曲线C 和直线l 的直角坐标系方程；（II ）已知()0,1P 直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()|2||1|f x x x =++-．（I ）求证：()3f x ≥； （II ）求不等式2()f x x ≥的解集．参考答案1．B 2．B3．A4．B5．C6．C7．A8．C9．C10．A11．D12．C13．2-14. 1y x =+ 15．616．58 17．（1）因为()22f x x ax b =-+'，由()()021f f ''==即1{441b a b =-+=，得1{1a b ==，则()f x 的解析式为()3213f x x x x =-+，即有()33f =， ()34f '= 所以所求切线方程为490x y --=. （2）∵()32133g x x x x =--，∴()223g x x x =--'，由()2230g x x x =-->'， 得1x <-或3x >，由()2230g x x x =--<'，得13x -<<，∵[]3,2x ∈-，∴()g x 的单调增区间为[]3,1--，减区间为(]1,2-，∵()()223923g g -=-<=-， ∴()g x 的最小值为9-.18．（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下： 非歌迷 歌迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 7525100…（3分）因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…（6分）（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 2，a 3），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2）}其中a i 表示男性，i=1，2，3，b i 表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…（9分）用A 表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（b 1，b 2） }，事件A 由7个基本事件组成． ∴P （A ）=…（12分） 19．（1）由已知90BAP CDP ==︒∠∠，得AB AP ⊥,CD PD ⊥.由于AB CD ∥，故AB PD ⊥，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . （2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E .由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =. 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=. 由题设得31833x =，故2x =.从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==. 可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+ 20．解：(1)由已知可得直线l 与x 轴的交点坐标2(,0)2a ，所以22ac =①，又221a c -=②，由①②解得22a =，21c =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，由2222220,1,x ay a x y a ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩得223428440a y a y a a ++-=， 由()()2324264448416+1280a a a a a a ∆=-⨯-⨯=>，又1a >，解得1a <<①，由根与系数关系，得3122482a a y y a +=-=-，4221224488a a a y y a --== 由2AG GO =，2BH HO =可得11,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，()()2212122||99x x y y GH --=+，设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，由已知可得12MO GH <，即()()222212121212166499x x y y x x y y ++++⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎪⎝⎭⎦⎝⎭， 整理得12120x x y y +<，又()23422121212124222224a y y a y y aay a ay a x x +++++=⋅=， 所以()2341212124204a y y a y y a y y ++++<，所以()()23412124420a y y ay y a ++++<，即()22344442082a a a a a -⎛⎫+⨯+⨯-+< ⎪⎝⎭，即240a -<，所以22a -<< ②， 综上所述，由①②得a 的取值范围为12a <<． 21．（1）定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x'-=-=， 当0a 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<， 即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞，无增区间； 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞ （2）()()1212114f x f x x x ⎛⎫-<-⎪⎝⎭，即()()121244f x f x x x -<-，令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增， 所以2244()()10a g x f x x x x''=+=-+在(0,1]上恒成立， 即4a x x-在(0,1]上恒成立，只需max 4a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增，所以max4143a x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，综上所述，实数a 的取值范围为[3,0)-. 22．（1）由题知2x y m +=，2x y m -=，消去m 有22224144x y x y -=⇒-=，即曲线22144x yC:-=，因为sin cos 0cos 0sin x x y θρθρθρθ-==⇒-=⎨⎪=⎩， 即直线0x l -=；（2）易知点()0,1P 在直线l 上，且直线l 的倾斜角为6π， 则直线l 的参数方程为2112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）， 因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以有22211145022t t t ⎫⎛⎫-+=⇒--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得11t =，2t =，根据参数的几何意义有11PA t =，21PB t ==有12t t +=，1210t t ⋅=，1212121111105PA PB t t t t t t +=⋅+=+==.23．（1）证明：()()()21213f x x x x x =++-≥+--=．（2）()21,2,3,21,21,1,x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩所以22,21,x x x ≤-⎧⎨--≥⎩或221,3,x x -<<⎧⎨≥⎩或21,21,x x x ≥⎧⎨+≥⎩解得1x ≤≤+{|1x x ≤≤．。