高等数学试题C答案及评分标准

合集下载

经管类高数C期末练习及答案

2017-2018-2《高数C 》期末练习题答案一、选择题1、下面计算正确的是（ C ）A.201x dx x +∞-∞=+⎰B.1122102ln 211x x dx dx x x -==++⎰⎰ C. 121ln(1)0x x dx -++=⎰ D.121cos 0ln(3)xdx x -=+⎰2、设),(y x f z =的全微分为dz xdx ydy =+，则点(0,0) （ D ） A ．不是f x y (,)的连续点 B.不是f x y (,)的极值点 C.是f x y (,)的极大值点 D.是f x y (,)的极小值点解:22222,,1,0,1z z z z zx y A B C x y x x y y∂∂∂∂∂========∂∂∂∂∂∂3、下列命题中正确的是（ C ）A. 若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑必定收敛 B. 若1n n u ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑必定发散C. 若1n n u ∞=∑收敛，则1n n u ∞=∑必定收敛 D. 若1n n u ∞=∑发散，则1n n u ∞=∑可能收敛4、下列级数中绝对收敛的是（ D ）A ．∑∞=-11)1(n nn B.∑∞=--11)1(n n nC. ∑∞=-+-111)1(n n n nD.∑∞=--11)32()1(n n n5、设},11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D },11,10|),{(1≤≤-≤≤=y x y x D },10,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D⎰⎰=Dd y x I σ23， ⎰⎰=1231D d y x I σ， ⎰⎰=2232D d y x I σ则下面正确的是（ C ）A.12I I =B.24I I =C.0=ID.0≠I6、幂级数nn x 21)31(∑∞=+的收敛域为（ A ） A.(-4,2) B.[-4,2] C. (-3,3) D.[-3,3]解:可用特殊值法,取2x =,此时2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散,排除其他三个选项若是填空题:22212113limlim 313n n n n n nx u x u x ++→∞→∞+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭当2113x +⎛⎫< ⎪⎝⎭,即42x -<<时,n n x 21)31(∑∞=+收敛当2x =时,2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散当4x =-时,2111()13n n n x ∞∞==+=∑∑发散所以收敛域为(-4,2) 7、将21101(,)x xdx f x y dy --⎰⎰写成极坐标形式的二重积分为（ A ） A ．1210sin cos (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰B.110sin cos (cos ,sin )d f r r dr πθθθθθ+⎰⎰C.12sin cos 01(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ+⎰⎰D.120(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰8、将cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰写成直角坐标形式的二重积分为（ C ）A ．2100(,)y y dy f x y dx -⎰⎰B.1100(,)dx f x y dy ⎰⎰C.21(,)x x dx f x y dy -⎰⎰D.2110(,)y dy f x y dx -⎰⎰9、下列方程中为一阶线性方程的是( C ) A.2x y xy e '+= B.x yy xy e '+= C.1x yy +'= D.22y x y x '=+10、设0a >，则1(1)(1cos )na n n ∞=--∑（ C ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D. 敛散性与a 有关 11、正项级数1nn a∞=∑若满足条件( D )必收敛A.lim 0n n a →∞= B.1lim1n n n a a →∞+< C.1lim 1n n n a a +→∞≤ D.1lim 1n n n aa →∞+>12、)(x f 的导函数为x sin ，则)(x f 的一个原函数为 ( B ) A ．x sin 1+ B. x sin 1- C. x cos 1+ D. x cos 1- 解：211sin )(cos )(sin )(C x C x dx x f C x x f x x f ++-=⇒+-=⇒='⎰ 取1,021==C C 得B 若为填空题21sin C x C x ++-二、填空题3、微分方程y xy y '+=的通解y =____________________.22x x Ce -解: (1)dyy xy y y x dx'+=⇒=- 分离变量得(1)dyx dx y=- 两边积分(1)dyx dx y =-⎰⎰得21ln ln 2y x x C =-+ 即22x x y Ce-=4、020cos limxx t dt x→=⎰ ．解:020cos limxx t dt x→=⎰20cos lim 11x x →-=- 5、改换二次积分的积分次序后，1(,)__________________.xxdx f x y dy =⎰⎰210(,)y y dy f x y dx ⎰⎰6、微分方程2sin (cos )ln ,()y x x y y y e π'==的解y = ．sin x e解:分离变量得cos ln sin dy xdxy y x= 两边积分cos ln sin dy xdx y y x=⎰⎰ 得lnln lnsin ln y x C =+ 即ln sin y C x =所以sin C x y e =,由2()y e π=得1C =,从而sin x y e = 7、极限2!lim n n n n n→∞=______________.考虑级数12!n n n n n∞=∑,1112(1)!(1)lim lim 2lim 2!1n n n n n n n n n nn u n n n u n n +++→∞→∞→∞++⎛⎫== ⎪+⎝⎭ 122lim 111n n e n →∞==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以级数12!n n n n n ∞=∑收敛,从而2!lim 0n n n n n →∞= 9、抛物线x y 22-=与直线4--=x y 所围图形的面积为 .解: 24824y x x y x y =--=-⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩所求面积23244224418262()()|y y y A y dy y --=-++=-++=⎰ 10、42x dx -=⎰____________________.10解:2240404202201022 ||x x x dx xdx xdx ---=-+=-+=⎰⎰⎰11、将函数13x -展开成x 的幂级数是 .10,(3,3)3nn n x x ∞+=∈-∑解：01111,(3,3)333413n n n x x x x ∞===∈---∑10,(3,3)3nn n x x ∞+==∈-∑ 12、设平面区域2222(,)|1,0,0x y D x y a b a b ⎧⎫=+≤>>⎨⎬⎩⎭,则35()D ax by c dxdy ++=⎰⎰__________________.35()DDa xb yc dxdy cdxdy abc π++==⎰⎰⎰⎰奇奇13、4222sin 1x xdx x -=+⎰ . 0 14、33()x f x dx e C =+⎰,则()f x = ．3x e 解：3()3xf x dx e C =+⎰333()(())()x x f x f x dx e C e ''⇒==+=⎰三、解答题1、计算二重积分arctan D y d xσ⎰⎰,其中D 是由圆周22221,4x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域.解：2401sin arctan arctan[]cos y xDd d d πρθσθρρρθ=⎰⎰⎰⎰2401d d πθρθρ=⎰⎰222444100033||2222d d πππρθθθθθ===⎰⎰2364π= 2、求由抛物线42+=x y ，直线4y x =±所围图形D 的面积，并求D 绕x 轴旋转所成立体的体积.解：244y xy x =⎧⎨=+⎩得28x y =⎧⎨=⎩则所求面积为2202(44)A x x dx =+-⎰32202(42)|3x x x =+-163=所求体积为222202[(4)16]V x x dx π=+-⎰53282(16)|53x x x π=-+1283π= 3、计算⎰⎰D y x xxd d sin 其中D 是直线π===x y x y ,0,所围成的闭区域．解: 取D 为X – 型域：⎩⎨⎧≤≤≤≤πx xy D 00:[]20cos d sin d d sin d d sin 000=-===∴⎰⎰⎰⎰⎰πππx x x y x x x y x x xx D 4、求幂级数∑∞=+1)12(n n x n 的和函数.解:先求收敛域（自己求）111()(21)2nnn n n n s x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑11122()11n n n n x xx nxx x x x ∞∞-=='=+=+--∑∑ x ∈(-1,1) 12()2()111n n x x xx x x x x x∞=''=+=+---∑ 223(1)x x x -=- x ∈(-1,1)当1x =时, 11(21)(21)nn n n x n ∞∞==+=+∑∑发散当1x =-时, 11(21)(1)(21)nn n n n x n ∞∞==+=-+∑∑发散223()(1)x x s x x -∴=- x ∈(-1,1) 5、设函数(,)z z x y =由方程ln x zz y=确定，求z x ∂∂及22z x ∂∂.解：设(,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+, 则22111,,x y z x x zF F F z y z z z+===--=-，所以 21x z F z zz x z x F x z z ∂=-==+∂+ 从而2222231()()()()()xz z zz x z z zz x z x x xx z x z x z ∂∂-+-+∂+∂∂===-∂+++ 7、判定下列级数的敛散性（1）11ln(1),(0)n n n λλ∞=+>∑（2）∑∞=12cos n n n n （3）1001(1)2nn n ∞=+∑ （4）∑∞=--2ln )1(n nn n （5）2147(1)(2)(3)n n n n n n n ∞=+++++∑解：（1）11ln(1)lim 101lim ln(1)n n n n n nnλλλλ+→∞→∞+==>+而级数111n nλ∞+=∑收敛，所以，11ln(1),(0)n n nλλ+∞=+>∑收敛（2）cos ,1,2,,22n n n n n nv n ≤==且11112limlim 122n n n n nn n v n v ++→∞→∞+==<， 1cos 2nn n n∞=∑绝对收敛，所以它本身也收敛 (3) 10011100(2)2lim lim (1)2n n n n nnn u n u ++→∞→∞+=+1001001(2)1lim 12(1)2n n n →∞+==<+ 1001(1)2nn n ∞=+∴∑收敛（4）设2ln 1)(≥-=x xx x f2211102()(ln )(ln )x x f x x x x x x x --'=-=-<≥--()f x ∴在[2,)+∞上单调递减,所以当1n n <+时,()(1)f n f n ≥+即1111ln ln()n n n n ≥-+-+,又10lim ln n n n →∞=- 21()ln nn n n∞=-∴-∑收敛 11011limlim lim ln ln n x x n x n n x x x→∞→+∞→+∞===≠---21ln n n n ∞=∴-∑发散从而∑∞=--2ln )1(n nn n 条件收敛（5）243224747(1)(2)(3)limlim 101(1)(2)(3)n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞+++++++==≠+++Q 而级数211n n∞=∑收敛 , 故由比较审敛法的极限形式得级数11(1)(2)n n n n +∞=++∑ 收敛8、求幂级数111(1)n n n x n+∞-=-∑的收敛半径、收敛域及收敛区间内的和函数. 解：先求收敛域（自己求）1111()(1)(1)n n n n n n x x s x x n n +∞∞-===-=--∑∑，令1()(1)nnn x t x n ∞==-∑，显然(0)0t =111()(1)1n n n t x x x ∞-=-'=-=+∑||1x <所以()ln(1)t x x C =-++,由(0)0t =,得0C =()ln(1)t x x =-+ ||1x <所以()ln(1)s x x x =+ ||1x <当1x =时, 11111(1)(1)n n n n n x n n +-∞∞-==--=∑∑收敛当1x =-时, 11111(1)n n n n x n n+∞∞-==-=∑∑发散 ()ln(1)s x x x ∴=+ x ∈(1,1]-所以收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-,收敛域为(1,1]-.9、求幂级数11n n x n∞=∑的收敛区间，在收敛区间内的和函数()s x ，并计算数项级数1(1)2n nn n -∞=-∑的和. 解： 11()n n s x x n∞==∑,0)0(=s111()1n n s x x x∞-='==-∑(1,1)-C x dx xx s +--=-=⎰)1ln(11)(，由0)0(=s 得0=C 11)1ln()(<≤---=∴x x x s 11(1)2n nn n -∞=-∑的和为13()ln 22s --=10、.d d 11}0,1|),{(2222y x yx xyI x y x y x D D⎰⎰+++=≥≤+=，计算二重积分设区域122222212120222220011d d d d d d 1111111d d 2d d 2d d ln(1)|ln 2,11122DD D DD xy xyI x y x y x y x y x y x y x y x y r r r x yx yr ππθπ+=++++++====+=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解＝＋＋11、试求函数y x xy y x z ++-+=22在闭区域.3,0,0:-≥+≤≤y x y x D 上的最大值和最小值.解:先求驻点，解方程组⎩⎨⎧=+-==+-=012'012'x y z y x z yx 解得：1,1-=-=y x ，故得D 内唯一驻点：)1,1(1--p ，对应函数值为： 1)1,1(-=--z ；在边界03,0,1≤≤-=x y l 上，x x x z +=2)0,(在)0,21(2-p 处取最小值：41)0,21(-=-z ，在)0,3(3-p 处取最大值：6)0,3(=-z ；在边界03,0,2≤≤-=y x l 上，y y y z +=2),0(在)21,0(4-p 处取最小值：41)21,0(-=-z ，在)3,0(5-p 处取最大值：6)3,0(=-z ；在边界03,3,3≤≤--=+x y x l 上)1)(2(3)3,(++=--x x x x z 在)23,23(6--p 处取最小值：43)23,23(-=--z ，在在)0,3(3-p 与)3,0(5-p 处取最大值：6；比较上述六点的函数值得：1),(min ),(-=∈y x Z Dy x ,6),(max ),(=∈y x Z Dy x .12、求微分方程22(6)0ydx y x dy +-=的通解.解：方程可化为262dx x y dy y -=，即32dx yx dy y -=-，它对应的齐次微分方程为：30dx x dy y-= 分离变量，解得3x Cy =。

《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案

《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2．由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−，所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫，所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ．当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ．当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+−  ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+−  ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫，故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析方法一由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+．方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫，则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+，当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫．第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．证设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−．于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<．故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。

高等数学c教材答案同济大学

高等数学c教材答案同济大学高等数学C教材答案 - 同济大学导言高等数学C是同济大学在数学系开设的一门课程，旨在帮助学生深入理解高等数学的概念、原理和应用。

本文将提供同济大学高等数学C教材的答案，以供学生参考和学习。

第一章导数与微分1.1 函数、极限与连续题目1：计算极限$\lim\limits_{x\to 2}(x^2+3x-4)$。

解答：将$x$代入函数中，得到$\lim\limits_{x\to 2}(2^2+3\cdot2-4)$，计算得$\lim\limits_{x\to 2}(4+6-4)=6$。

题目2：判断函数$f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \text{如果 }x<0\\ 2, & \text{如果 }x=0\\ \sqrt{x}, & \text{如果 }x>0 \end{cases}$在$x=0$处是否连续。

解答：由定义，函数在$x=0$处连续，当且仅当$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$。

代入函数并计算可得$-1=2=0$，显然不成立，因此函数在$x=0$处不连续。

1.2 导数与微分题目1：计算函数$f(x)=3x^2+5x-2$在$x=1$处的导数。

解答：根据导数的定义，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。

代入函数并计算可得$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3(1+h)^2+5(1+h)-2-(3-5-2)}{h}$，进一步计算可得$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3h+3}{h}=3$。

题目2：判断函数$f(x)=\begin{cases} x^2, & \text{如果 }x\neq 0\\ 0,& \text{如果 }x=0 \end{cases}$在$x=0$处是否可导。

大学高数c试题及答案

大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。

答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。

答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。

答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。

答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。

答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。

2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。

答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。

3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。

答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。

4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。

2017成人高考专升本《高等数学》真题及参考答案评分标准

2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.当0→x 时，下列变量是无穷小量的为（）A.21x B.x2 C.xsin D.()e x +ln 2.=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x 21lim 0（）A.eB.1-e C.2e D.2-e 3.若函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,0,21x a x e x f x，在x=0处连续，则常数a=（）A.0B.21 C.1 D.24.设函数()x x x f ln =，则()='e f （）A.-1B.0C.1D.25.函数()x x x f 33-=的极小值为（）A.-2B.0C.2D.46.方程132222=++z y x 表示的二次曲面是（）A.圆锥面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面7.若()1210=+⎰dx k x ，则常数=k （）A.-2B.-1C.0D.18.设函数()x f 在[]b a ,上连续且()0>x f ，则（）A.()0>dx x f ba ⎰ B.()0<dx x f ba ⎰C.()0=⎰dx x f ba D.()dx x f ba ⎰的符号无法确定9.空间直线231231-=-+=-z y x 的方向向量可取为（）A.（3，-1,2）B.（1，-2,3）C.（1,1，-1）D.（1，-1，-1）10.一直a 为常数，则幂级数()∑∞=+-121n nan （）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与a 的取值有关二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。

将答案填写在答题卡相应题号后。

11.()=--→2sin 2lim2x x x _________12.曲线121++=x x y 的水平渐进方程为_________13.若函数()x f 满足()21='f ，则()()=--→11lim 21x f x f x _________14.设函数()xx x f 1-=，则()='x f _______15.()⎰-=+22cos sin ππdx x x _______16.⎰+∞=+0211dx x __________17.一直曲线22-+=x x y 的切线l 斜率为3，则l 的方程为_________18.设二元函数()y x z +=2ln ，则=∂∂xz_________19.设()x f 为连续函数，则()='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰xdt t f 0__________20.幂级数∑∞=03n n nx 的收敛半径为_________三、解答题：21～28题，共70分，接答应写出推理、演算步骤21.求201sin limx x e x x --→22.设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=3211ty tx ，求dx dy 23.已知x sin 是()x f 的一个原函数，求()⎰'dxx f x24.计算dx x⎰+41125.设二元函数122+-+=y x y x z ，求yx zx z ∂∂∂∂∂2及26.计算二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22，其中区域(){}4,22≤+=y x y x D27.求微分方程2x dxdyy的通解28.用铁皮做一个容积为V 的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小2017年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（一）试题答案解析1.【答案】C【解析】00sin sin lim 0==→x x 2.【答案】C【解析】222021lim 21lim e x x xx xx =⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅→→3.【答案】B【解析】因为函数()x f 在0=x 处连续，则()()21021lim lim 00====-→→f a e x f x x x 4.【答案】D【解析】因为()()1ln ln ln +='+='x x x x x f ，所以()21ln =+='e e f 5.【答案】A【解析】因为()332-='x x f ，令()0='x f ，得驻点11-=x ，12=x ，又()x x f 6=''()0<61-=-''f ，()0>61=''f ，所以()x f 在12=x 处取得极小值，且极小值()2311-=-=f 6.【答案】D【解析】可将原方程化为13121222=++z y x ，所以原方程表示的是椭球面。

大学高等数学(C2)试题答案

《高等数学》试卷（C ）(2)参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共15分）1、B2、C3、C4、D5、 B 二、填空题（每空3分，共15分）1、922、1-3、44200(,)ydy f x y dx -⎰⎰ 4、12a a - 5、24cos xy x三、计算题（共63分） 1．解：21ln ex xdx ⎰311ln 3e xdx =⎰33111(ln )13e e x x x dx x =-⎰ （+4分） 32331111()((1))333e e x dx e e =-=--⎰32199e =+ (+3分)2．解：设2ln(1)z v u =+ ，,u xy v x y ==+，求2zx y∂∂∂z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222()ln(1)1xy x y x y x y =++++ (+4分) 2z x y ∂=∂∂222222(()ln(1))1xy x y x y y x y∂+++∂+ 222222222222224(1)222()1(1)1xy xy x y xy x y x y x y x y x y x y +-=++++++ 22222(3)2()(1)x y xy x y x y +=++ （+3分）3．解：因 112()dxdx xx y ex e dx c ---⎰⎰=+⎰ ln 2ln ()x x e x e dx c -=+⎰21()2x x c =+ (+4分)11|1,2x y C ===由得，故方程的特解为21(1)2y x x =+ （+3分）4. 解：21122221x Dx y dxdy x dx y dy -=⎰⎰⎰⎰12811()3x x dx -=-⎰ （+4分）39111114()33927x x -=-=(+3分)5. 解：方程的特征方程为：2420r r -+=，其特征根为1,22r = （+4分）故方程的通解为：(2(212xxy c e c e =+ (+3分)6．解：曲线()x f y =绕y 轴旋转所得体积为 2dcV x dy π=⎰，且曲线214x y y =-与y 轴上的交点为120,4y y == （+4分）所以44222345400111132()()43816515V x dy y y dy y y y ππππ==-=-+=⨯⎰⎰ (+3分) 7．解：20x x →=34241sin 2limx x x x x +→ （+3分） 242021sin lim xx x x +=→21121sin lim 4220=+=→x x x x (+4分) 8．解：设长方体的长、宽、高分别为,x y ,z ，则长方体的体积为 V xyz =，而有条件 2()4xy yz zx ++=，即设(,,,)(2()4)F x y z xyz xy yz zx λλ=-++-， (+3分)则2()02()02()02()40x y z F yz y z F yz x z F xy x y F xy yz zx λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=-+=⎪⎪=++-=⎩，求解以上方程组得x y z ===V = (+4分)9、设 =)(x s 21121n n x n -∞=-∑，则 ∑∑∞=∞=-=='02122)()(n nn n x x x s 2211lim x x n n --=∞→ (+3分)当1x <时级数 ++++753753x x x x 收敛，故=')(x s 211x- 所以两边积分得 ()s x =xx-+11ln 21 (+4分) 四、证明题（共7分）证明：21()nn n ab ∞=+∑221112n n n n n n n a b a b ∞∞∞====++∑∑∑2222111()n n n n n n n a b a b ∞∞∞===≤+++∑∑∑22112()n n n n a b ∞∞===+∑∑， .(+3分)因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故存在N ，当n N >时有1,1n n a b <<，即当n N>时有22,n n n n a a b b <<，21()nn n ab ∞=+∑22221111112()2()2()NNn n n n n nn n n n n N n N a b a b a b ∞∞∞∞=====+=+≤+≤+++∑∑∑∑∑∑112()n n n n M a b ∞∞==≤++∑∑，其中112()NNn n n n M a b ===+∑∑可得级数21()nn n ab ∞=+∑也收敛 .(+4分)证法2：因级数正项级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收敛，故有lim 0,lim 0n n n n a b →∞→∞==，且1()nn n ab ∞=+∑也收敛。

高数c下学期期末考试试题及答案

高数c下学期期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A2. 极限lim(x→0)(sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为：A. 3x^2-12x+11B. x^3-6x^2+11C. 3x^2-12x+6D. 3x^2-6x+11答案：A4. 定积分∫(0,1)x^2dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)收敛，则以下级数收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞)(1/n)B. ∑(n=1 to ∞)(1/n^3)C. ∑(n=1 to ∞)(1/n^4)D. ∑(n=1 to ∞)(1/n^5)答案：C6. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x * e^x + CD. 1/e^x + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为________。

答案：02. 曲线y=x^3在x=1处的切线斜率为________。

答案：33. 定积分∫(0,2)x dx的值为________。

答案：44. 若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

答案：1/x三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的导数。

答案：f'(x)=3x^2-3，所以f'(2)=9。

2. 计算定积分∫(1,2)(2x-1)dx。

答案：[(2x^2-x)](1,2) = (2*2^2-2) - (2*1^2-1) = 4。

3. 求级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)的和。

高等数学c类第二册教材答案

高等数学c类第二册教材答案一、导论高等数学C类第二册是大学高等数学的进阶教材，主要涵盖了多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数三个部分。

本教材的答案旨在帮助学生更好地理解和掌握课本内容，提供一种参考和辅助学习的工具。

以下是高等数学C类第二册教材的答案。

二、多元函数微分学答案1. 多元函数的极限与连续1.1 多元函数极限概念及性质(1) 定义和性质练习题1. 将以下多元函数的极限求出：(1) lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y)(2) lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2)解答：(1) 这是一个两个变量的极限问题，我们可以使用直接代入法：lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y) = 0/0 (无法直接代入)为了解决这个问题，我们可以进行坐标轴变换：令x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r>0，0≤θ<2π。

根据坐标轴变换的性质，当(x,y)→(0,0) 时，可得r→0。

将坐标变换后的表达式代入原函数：(x^2+y^2)/(x+y) = [(rcosθ)^2+(rsinθ)^2]/(rcosθ+rsinθ) =(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)/(rcosθ+rsinθ)= [r^2(cos^2θ+sin^2θ)]/(rcosθ+rsinθ) =r([r(cos^2θ+sin^2θ)]/[rcosθ+rsinθ])= r，当r → 0 时，此极限为lim(r)→0 r = 0。

所以，该极限的解为 0。

(2) 类似地，根据直接代入法：lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2) = (3(2)^2+4(3)^2)/((2)^2-(3)^2) = 33/7。

所以，该极限的解为 33/7。

1.2 多元函数连续概念及性质(1) 定义和性质练习题2. 判断函数 f(x,y) = (3x^2+y^2)/(x^2-y^2) 在点 (2,3) 处是否连续。

高等数学c考试题及答案解析

高等数学c考试题及答案解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2在x=0处的导数？A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B解析：根据导数的定义，函数f(x)=x^2在x=0处的导数为f'(x)=2x，代入x=0得到f'(0)=0，因此正确答案为B。

2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B解析：根据极限的性质，我们知道lim(x→0) (sin(x)/x) = 1，因此正确答案为B。

3. 以下哪个选项是函数f(x)=e^x的不定积分？A. e^x + CB. e^x - CC. e^x * CD. e^x / C答案：A解析：根据积分的基本公式，函数f(x)=e^x的不定积分为∫e^x dx = e^x + C，因此正确答案为A。

4. 以下哪个选项是函数f(x)=ln(x)的二阶导数？A. 1/xB. 1/x^2C. -1/x^2D. -1/x^3答案：B解析：首先求出函数f(x)=ln(x)的一阶导数为f'(x)=1/x，再求二阶导数得到f''(x)=-1/x^2，因此正确答案为B。

5. 以下哪个选项是函数f(x)=x^3-3x+2的极值点？A. x=-1B. x=1C. x=2D. x=-2答案：B解析：首先求出函数f(x)=x^3-3x+2的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得到x=±1，再通过二阶导数测试或一阶导数的符号变化判断，x=1为极小值点，因此正确答案为B。

6. 以下哪个选项是函数f(x)=x^2+2x+1的最小值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B解析：函数f(x)=x^2+2x+1可以写成f(x)=(x+1)^2，这是一个开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处，即x=-1时，此时f(x)=0，因此正确答案为B。

《高等数学C》2019-2020学年第一学期期末试卷

浙江大学2019——2020学年第1学期《高等数学C 》(I)期末考试试卷复核教师：______________一、填空（3分×6=18分） 1.3(sin ππx dx -+⎰= 。

2. 2353lim(sin )53x x x x→∞+=+ 。

3．设sin(ln )ln(cos )yx x =+，则dy = 。

4. (sin )df x dx= 。

5．(2)xaf t dt '⎰=。

6.设2323x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩确定函数()y y x =，则dy dx = 。

二、计算（6分×12=72分） 1．求1lim(1)3nn n →∞-+2．求011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦3．求曲线2ln(1)y x =+的凹凸区间及拐点坐标。

4.设22()(2)x f x x x x -=--，求()f x 的间断点，并说明类型。

5．已知方程22cos 10yx t e dt tdt -+=⎰⎰确定隐函数()y y x =，求dy dx。

6.计算7.计算8．计算1arctan ⎰x xdx9．计算1⎰10. 已知函数1() =⎰f x ，计算120() ⎰x f x dx 。

11.讨论方程5510x x -+=在区间(,)-∞+∞内实根的个数及范围。

12.春花制衣公司是一家专门生产衬衣的小公司，其成本函数为2()4000800.4C Q Q Q =-+，其中Q 为每天的产量，求：当产量为多少时平均成本最低？三、解答与证明题（5分⨯2=10分） 1.设()f x 具有连续的二阶导数，且()0f a =，(),()(),f x x a g x x a f a x a⎧≠⎪=-⎨⎪'=⎩，求()g x '，并证明()g x 的一阶导数在x a =处连续。

2．设函数()f x 在[]1,2上连续，在(1,2)内可导，1(1),(2)22f f ==，试证：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得2()()f ξf ξξ'=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高等数学试题C 答案及评分标准
一、单项选择题(3×6分):
二、填空题(3×10分):
1. []1,1- ；
2.
5
7
, 0 ； 3. 1
1(1)2
y x -=
- ，12(1)y x -=--； 4. 0y =，2x =； 5. n ax a e ； 6. sin ()
f x C ； 7. 10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
三、计算题(每小题6分，共36分):
1. 【解】0lim tan ln tan tan ln 0
lim lim x x x
x
x x
x x x e e
+
→+
+
→→==，（1）
22
200000ln 1/sin lim tan ln lim lim lim lim 0cot csc x x x x x x x x x x x x x x
x +++++→→→→→===-=-=- （4） tan 0
lim 1x x x e +
→==. （1） 2.【解】 sin 0
tan sin lim
(1)x x x x x x e →-⋅-0tan (1cos )
lim sin x x x x x x
→⋅-=⋅⋅ （3） 2
02lim
x x x x x x
→⋅
=⋅⋅01lim 2x →= （2） 1
2
=. （
1） 3.【解】 ln [ln ln(1)]y x x x =-+ （2）
1
1[ln ln(1)]1y x x x y x x '⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭
（3）
1ln 111x
x x y x x x ⎛⎫⎛
⎫'=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
.
（1） 4.【解】因为()f x ''存在，
所以 2[()]y f x ''=222()()2()f x x x f x '''=⋅=⋅ （2）
2[2()]y x f x ''''=⋅222()2[()]f x x f x '''=+⋅ （2）
2
2
2
2()2()()f x x f x x ''''=+⋅⋅
2
2
2
2()4()f x x f x '''=+⋅. （2）
5.【解】 arctan xdx ⎰2arctan 1x
x x dx x =⋅-+⎰
（3） 2
2
11arctan (1)21x x d x x =⋅-++⎰ （2） ()21
arctan ln 12
x x x C =⋅-++. （1）
6.【解】令tan ,,22x t t ππ⎛⎫
= ∈- ⎪⎝⎭
,2sec dx tdt =. （1）
⎰
23sec 1cos sec sec t dt dt tdt t t ===⎰⎰⎰ （3）
sin t C C =+=+ （2）
四、应用题(10分):
【解】总利润 ()()L x p x C x =⋅-(800)(200010)x x x =-⋅-+
27902000x x =-+- （4）
因为()2790L x x '=-+，令()0L x '=，得唯一驻点：395x =, （3）又()20L x "=-<，所以395x =为唯一极（大）值点，从而为最大值点，且
(395)154025L =，(395)405p =. （2）
所以，厂商生产收音机395台时，所获取的利润最大，最大
利润是154025元，为实现最大利润，其单价应为405元. （1）
五、证明题(6分):
【证明】令 2
1()
ln(1)2
f x x x
x
（1）因为()f x 在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内可导，当0x >时，
21()
1
01
1
x f x x
x x
，（3）
故，当0x 时，()f x 单调增加.又(0)0f =，
所以，当0x 时，()(0)0f x f >=，即2
1ln(1)02
x x
x .
当0x
时，21
ln(1)2
x x x +>-. （2）。