信号与系统 于敏慧(第二版)第二周作业答案
信号与系统课后题解第二章
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
信号与系统课后题答案
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
《信号与系统》第二章习题解答
yt xt ht
(b) If d y t dctontains only three
value of a?
discontinuities,what is the
Solution ：
yt
a
0 a 1 1+a t
5
Chapter 2
Problems Solution
2.11 Let xt ut 3 ut 5 ht e3tut
a
u0 tcostdt
cost
1
t0
b
5
0
sin2t t 3dt 0
c
5
5
u1 1
cos2
d
1 t
6 4
u1tcos2 1tdt
1cos2t 0 t 0
8
Chapter 2
Problems Solution
2.22a
xt ht
e e
tut
信号与系统课后答案(第二版)+曾禹村+第二章作业参考答案
i1(t) = i2 (t) + i3 (t) , i2 (t) R2 − L 有 8i2 `(t) + 3i2 (t) = 2e`(t) ˆ ˆ 由 h`(t) + 3h(t) = 2δ (t)
0
h
(−1) t 3
T
t
t 3E − τ E (t) = ∫ δ (τ )dτ − ∫ e 8 u(τ )dτ −∞ 4 −∞ 32
x(t)
1
2 t
yx(t)
1 2 3 4 t
0
1
0
Qh(0) = 0, t ≤ 0, 有 0 ≤ t <1 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) = t 时 1≤ t < 2时 h(t) + h(t −1) + h(t − 2) = h(t) + h(t −1) =1 , h(t) =1− h(t −1) =1− (t −1) = 2 −t 2 ≤ t < 3 , h(t) + h(t −1) + h(t − 2) =1 时 h(t) =1− h(t −1) − h(t − 2) =1− (2 − (t −1)) − (t − 2) = 0 3 ≤ t < 4时 h(t) = 4 − t − h(t −1) − h(t − 2) =4 −t − 0 − (2 − (t − 2)) = 0 , t, 0 ≤ t < 1 ∴h(t) = 2 − t, 1 ≤ t ≤ 2 0, t < 0,2 < t
解: (e) 特征方程为 λ2+4λ+4=0 得 λ1=-2， λ2=-2。 则 h(t)= (c1eλ1 t+ c2eλ2t)u(t)=( c1e- 3 t+ c2e-2 t)u(t) h`(t)= (c1+ c2)δ(t)+(-3c1e- 3 t-2c2e- 2t)u(t) h``(t)= (c1+ c2)δ`(t)+(-3c1-2c2) δ(t)+ (9c1e- 3 t+4c2e- 2t)u(t) 将x(t)= δ(t), y(t)=h(t)代入原方程得：
信号与系统 第二版第二章
1
2 t
.c
h ( −τ ) = τ + 2 ( −2 < τ < −1)
om
2
解：(1) x(t)*h(t)
h (t − τ ) x (τ ) h ( −τ )t 2
−2 − 1
h (t − τ ) x (τ ) h ( −τ ) 2 t
−2 − 1
0
τ
0
2
τ
aw .k hd
h (t − τ ) x (τ ) h ( −τ ) 2 t
aw
A
5 A 4
x (t ) ∗ h (t )
.c
− T0
解：
A
.k hd
0
t
h (t )
w
A 4 0 1 5 1 t T0 − T0 − T0 2 4 2
w
(1)
T − 0 4
(1)
T0 2
w
t
− 2)] * [δ (t ) + δ (t − 1)]
= sin πt[ε (t ) − ε (t − 2)] + sin π (t − 1)[ε (t − 1) − ε (t − 1 − 2)]
om
t>2
t
2-12 某系统的数学模型为
1
x (t )
e −τ dτ ⋅ ε (t − 2)
2
.k hd
2
x(t )
aw
2 t
2-13 系统的激励x(t)和冲激响应h(t)分别如图所示，试用 图解分析法确定x(t)*h(t)和h(t)*x(t)在各时间段的卷积积分 上下限。
w
w
w
0
.c
1
0
信号与系统第二章习题与答案
第二章习题与答案1．求以下序列的z 变换并画出零极点图和收敛域。
分析：Z 变换概念∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域 是知足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的概念可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a an x nnn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-解：(2) 由z 变换的概念可知：n n nz n u z X -∞-∞=∑=)()21()( ∑∞=-=0)21(n n n z 12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域： 0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--= 12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z。
信号与系统课后习题与解答第二章
2-1 对图2-1所示电路分别列写求电压)(0t v 的微分方程表示。
2(t ei )(t +-(e )(e )(t +-图2-1解 （a ）对于图2-1（a ）所示电路列写网孔电流方程，得[]⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-++⎰⎰⎰∞-∞-∞-t t t t v i d i i t e d i d i dt t di i )()()()()()()()(202122111ττττττττ 又 dtt di t v )(2)(20= 消元可得如下微分方程：)(3)(5)(5)(200022033t v t v dt dt v dtd t v dt d +++=2)(te dt d（b ）对于图2-1（b ）所示的双耦合电路，列写电路微分方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+++=+++⎰⎰∞-∞-)()(0)()()()(1)()()()()(10221221211t v t Ri t Ri dt t di M dt t di L d i Ct e t Ri dtt di M dt t di L d i C ttττττ 消元可得如下微分方程：)()(1)(2)(2)(2)()(22020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dtd R R L t v dtd RL t v dt d M L =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++- （c ）对于图2-1（c ）所示电路列写电路方程，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞-)()()(1)()()()(10101011t v t v dt d C dt t v L R t v R t v t v dt d C t i t μ 消元可得如下微分方程：)()(1)(1)()(101011022110331t i dt dR t v RL t v dt d R R L C t v dt d R C R C t v dt d CC μ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （d ）对图2-1（d ）所示电路列写电路方程，电流)(t i 如图2-2所示，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++⎰∞-)()()()()()()()(1)(1011t v t v t e t v t Ri t e t v d i C t Ri t μμττ 消元可得如下微分方程：(t e )(t +-图2-2)()(1)()1(00t e Rt v R t v dt d Cμμ=+-2-2 图2-3所示为理想火箭推动器模型。
信号与系统课后习题参考答案
1.20
解：（a）
x1 (t)
=
cos( 2t )
=
1 2
(e j2t
+
e− j2t
)
则：
y1 (t)
= T{1 (e j2t 2
+ e − j2t )} =
1 (e j3t 2
+ e − j3t ) ；
(b)
x2 (t)
=
cos(2(t
−
1 )) 2
=
1 (e j(2t−1) 2
+ e − j(2t−1) )
-1/2
-1
1 1/2 -2 -1 0 1
1 1 1 x[-n+3]
1/2 n
678 2 34 5
-1/2 -1
(c) x[3n]
1 x[3n]
1/2 n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -1/2
7
(d) x[3n+1]
x[n+1]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x(t)[δ(t + 3) − δ(t - 3)]
2
2
3/2
t
0 （-1/2）
6
1.22
(a)x[n-4]
x[n-4]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
0 1 23 4 5 6 7 8
-1/2
-1
(b)x[3-n]
x[n+3]
11 1 1
1/2 1/2
1/2 n
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5
-4 -3 -2
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y0(t)
1
t
0
2
4
(6) x(t) = dx0 (t) , h(t) = dh0 (t) 。
dt
dt
x(t) * h(t) = dx0 (t) * dh0 (t) = d 2 y0 (t)
dt dt
dt 2
x(t) ∗ h(t) = 0.5δ(t) − 0.5δ(t − 2)
2.10 求 y[n] = x1[n]* x2[n]* x3[n] 。 其 中 x1[n] = (0.5)n u[n] ， x2[n] = u[n + 3] 和
（2）利用（1）的结果，求系统的逆系统的单位样值（脉冲）响应。
（3）利用（2）的结果，结合卷积性质，求一信号 x[n]，使之满足
x[n]* h[n] = 2n (u[n] − u[n − 4])
解：（1） h[n] − Ah[n −1] = δ [n]，其中 h[n] = (1 )n u[n] ， 2
（通项： an = a1q n−1 ）
n
∑ 此题： a1 = 1, q = 2 ； x[n]* h[n] = 2nu[n]*u[n] = ( 2k )u[n] = (2n+1 −1)u[n] k =0
2.6 计算图 2-45（b）与（c）所示信号 x(n)与 h(n)的卷积和,注意：N＝4。 解：（b）利用脉冲信号δ(n)的卷积性质以及卷积的延时性质计算：
k =−∞
+ 3] =
u[n + 3] 0.5k
k =0
；
= 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3]
（2） x1[n]* x2[n]* x3[n] = 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3]* (δ [n] − δ [n −1]) ； = 2(1 − 0.5n+4 )u[n + 3] − 2(1 − 0.5n+3 )u[n + 2]
由图可知： x[n] = δ [n +1] + 2δ [n] + δ [n −1] + δ [n − 2]
h[n] =−δ[n −1] − δ[n − 4] + δ[n − 5]
y[n] = x[n]* h[n] = {δ[n +1] + 2δ[n] + δ[n −1] + δ[n − 2]}* h[n] = h[n +1] + 2h[n] + h[n −1] + h[n − 2] =-δ[n] − 2δ[n −1] − δ[n − 2] − 2δ[n − 3] − δ[n − 4] + δ[n − 5] +δ[n − 7]
k =−∞
k =−∞
k =−∞
∑ ∑ 0
当 0 ≤ t ≤ 3 时，有 y(t) = e−(t−3k)
k =−∞
0
= e−t e3k
k =−∞
=
1
e−t −e
−3
=
Ae −t
，其中
A
=
1
1 − e−3
；
2.7 考虑一离散时间系统，其单位样值（脉冲）响应为 h[n] = ( 1 )n u[n] 2
（1）求 A 以满足 h[n] − Ah[n −1] = δ [n]
（5） h(t) = e−6 t ；
（7） h(t) = (−2e−t − e(t−100) /100 ) ⋅ u(t) 。
解：
（3）非因果，稳定；非因果很显然；因为
0
2
4 t
图 1-72（c）
y1(t) 2
t 0 12
图 1-72（b）
x3(t) 2 1
-1 0 1 2
t
图 1-72（d）
解：（1）由图 1-72（c）知： x2 (t) = x1 (t) − x1 (t − 2)
由于是 LTI 系统，便有 y2 (t) = y1 (t) − y1 (t − 2) ，图见 1-72（c’）；
y(t) = e j3t
x(t) = e − j2t S
y(t) = e − j3t
(1) 若 x1 (t) = cos 2t ，求系统的输出 y1 (t) ；
(2) 若 x2 (t) = cos(2t − 1) ，求系统的输出 y2 (t) 。
解：（1） x1 (t)
=
cos 2t
=
1 (e j2t 2
=
1 2
(e− je
j 3t
+
e
ej − j3t
)
=
cos(3t
− 1)
1.22 一 个 LTI 系 统 ， 当 输 入 x1(t) = u(t) 时 ， 输 出 为 y(t) = e−tu(t) + u(−1− t) ，求该系统对图 1-71 所示的输入 x(t)的 解：由题意知： x(t) = u(t) 时， y(t) = e−tu(t) + u(−1− t)
也可直接计算为： x1 (t) * x2 (t) = x1 (t + 5) + x1 (t − 5) ；
（3）
x1 (t )
*
x3 (t)
=
[u(t
+ 1)
−
u(t
− 1)]*[δ
(t
+
1) 2
+
δ
(t
−
1 )] 2
= u(t +1.5) − u(t − 0.5) + u(t + 0.5) − u(t −1.5)
= δ [n] + 3 δ [n −1] + 3δ [n − 2] + 6δ [n − 3] − 4δ [n − 4] 2
2.8 某 LTI 系 统 的 单 位 冲 激 响 应 为 h0 (t) ， 当 输 入 为 x0 (t) 时 ， 系 统 对 x0 (t) 的 响 应 为
y0 (t) = x0 (t) * h0 (t) （如图 2-46 所示）。现给出以下各组单位冲激响应 h(t) 和输入 x(t) ，分别求
解答：（1）是；因为系统在时刻 n 的输出 y[n]不但取决于 n 时刻的输入，还与时刻 n-2 的输入有
关；
（2） y[n] = Aδ[n]Aδ[n − 2] = A2δ[n]δ[n − 2] = 0
1.18 一连续时间线性系统 S，其输入为 x(t)，输出为 y(t)，有以下关系：
x(t) = e j2t S
2.2 求下列离散序列 x(n)与 h(n)的卷积和。
(1) x[n] = nu[n] Biblioteka h[n] = δ [n − 2] ;
(2) x[n] = 2n u[n] , h[n] = u[n]
解：(1) x[n]* h[n] = nu[n]*δ [n − 2] = [n − 2]u[n − 2]
(2)用到等比数列前 n 项的求和公式： S = a1 (q n − 1) q −1
题 2-45（c）图解
第二次
2.3（1）（3）；2.4；2.7； 2.8（1）、（2）、（6）；2.10；2.14（3）、（5）、（7）；2.17；
2.3
已知 x1(t) = u(t +1) − u(t −1) , x2 (t) = δ (t + 5) + δ (t − 5) ,
x3
(t)
=
δ
(t
+ e− j2t ) ，
y1 (t)
=
1 (e j3t 2
+ e− j3t )
=
cos 3t
（线性系统）；
（2） x2 (t)
=
cos(2t
− 1)
=
1 (e j(2t−1) 2
+ e − j(2t−1) )
=
1 (e− j e j2t 2
+ e je− j2t ) ，
由于是线性系统，有
y2 (t)
x(t) 1
0
12 t
图 1-71 题 1.22 图
响应。
现在输入如图 1-71 所示的信号，即 x(t) = u(t −1) − u(t − 2)
由线性系统的性质可知，此时的系统输出为
y(t) = e−(t−1)u(t −1) + u(−t) − e−(t−2)u(t − 2) − u(1 − t)
1.23 已知一个 LTI 系统对图 1-72（a）所示信号 x1 (t) 的响应 y1 (t) 如图 1-72（b），求该系统对图 1-72
（c），1-72（d）所示信号 x2 (t) 、 x3 (t) 的响应，并画出其波形。
x1(t) 1
0
2
图 1-72（a）
t
图 1-72 题 1.23 图
x2(t) 1
因此
h1[n]
=
δ
[n]
−
1 2
δ
[n
−
1]
（3） x[n]*h[n]信号再串联一个 h[n]的逆系统，则输出为 x[n]，所以
( ) x[n] = x[n]* h[n]* h1[n] =
2n (u[n] − u[n − 4])
* δ [n] − 1 δ [n −1]
2
= 2n (u[n] − u[n − 4]) − 1 2n−1 (u[n − 1] − u[n − 5]) 2
y(t) = x(t) * h(t) （用 y0 (t) 表示），并画出 y(t) 的波形图。
y0(t)
1
t
0
2
图 2-46 2.8 题图
(1) x(t) = 3x0 (t) , h(t) = h0 (t) ;
y0(t) 3