北京大学高等代数(II)2017 习题课 1
高等代数(II)例题选讲(2)
kX 3 ( k ≠ 0 ) .
例 4. 已知 3 维线性空间 V 的线性变换 σ 在基 α1 , α 2 , α 3 下的矩阵为
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《高等代数 II》习题课例题讲解（ 2）
求证： W = L ( −α1 + α 2 , −α1 + α 3 ) 是 σ 的不变子空间. 证：由题意知
3
σ ( a, b, c ) = ( 3a + b, − a + b, − a − b + 2c ) .
3
解：设 e1 = (1, 0, 0 ) , e2 = ( 0,1, 0 ) , e3 = ( 0, 0,1) 是 P 的一组基，则
σ ( e1 ) = 3e1 − e2 − e3 ， σ ( e2 ) = e1 + e2 − e3 ， σ ( e3 ) = 2e3 . 3 1 0 A= −1 1 0 . −1 −1 2
为 P 的一组基，因为
3
σ ( e1 ) = (1, 0,1) = e1 + e3 ， σ ( e2 ) = ( 2,1,1) = 2e1 + e2 + e3 ， σ ( e2 ) = ( −1,1, −2 ) = −e1 + e2 − 2e3 ， 1 2 −1 σ ( e1 , e2 , e3 ) = ( e1 , e2 , e3 ) 0 1 1 . 1 1 −2
全部解
α = cξ = 3ce1 − ce2 + ce3 .
所以，
dim σ −1 ( 0 ) = 1 ， σ −1 ( 0 ) 的一个基为
（2）对 A 施行初等列变换，得
σ −1 ( 0 ) = {α | σ (α ) = 0, α ∈ P3 } = L (ξ ) . ξ = ( 3, −1,1) = 3e1 − e2 + e3 . 1 0 0 A→ 0 1 0 . 1 −1 0
北京大学数学科学学院高等代数(II)期末考试题
试题1（北京大学高等代数(I)期末考试题）一、（本题共40分）给定有理数域Q 上的多项式42()3 3.f x x x =++1．（本题5分）证明()f x 为Q 中的不可约多项式.2．（本题5分）设α是()f x 在复数域C 内的一个根，定义[]{}2012.Q a a a a αα=++证明：对于任意的[]()g x Q x ∈，有[]()g Q αα∈；又对于任意的[],Q βγα∈，有[]Q βγα∈.3．（本题5分）接上题，证明：若[]Q βα∈，0β≠，则存在[]Q γα∈，使得1βγ=.4．（本题5分）找出()f x 的一个sturm 序列, 判断()f x 有几个实根.5．（本题5分）求下面三阶方阵在有理数域Q 上的最小多项式：0 031 000 13A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、（本题10分）在欧氏空间4R 内求下列齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间的正交补空间的一组标准正交基.三、（本题15分）给定数域P 上的多项式3()f x x px q =++.设()f x 在复数域C 内的三个根是123,,ααα.求P 上的首1三项式()F x ，它以222123,,ααα为三个根. 四、（本题15分）设σ是n 维酉空间V 内的一个Hermite 变换.1．（本题5分）证明i σε-可逆，这里i 为虚单位.2．（本题10分）证明1()()i i τσεσε-=-+为酉变换.五、（本题10分）设σ是n 维酉空间V 内的一个线性变换.如果σ的特征向量都是*σ的特征向量，证明σ是正规变换.六、（本题5分） 证明在n 维欧氏空间V 中两两夹钝角（即夹角大于2π）的向量不能多于1n +个.七、（本题5分）考察复数域上全体n 阶方阵所成的集合()n M C ，它关于矩阵的加法及实数与矩阵的数乘组成实数域R 上的线性空间.设M 为其子空间，且满足：（i ）若,A B M ∈，则,A B M ∈；（ii ）若,0A M A ∈≠ ，则A 可逆，且1A M -∈.1．证明：任给A M ∈，则()A aE a R =∈或A aE B =+，这里a R ∈，且2(,0)B b E b R b =∈<. 2．令{}2|,,0N A M A bE b R b =∈=∈<，证明N 是M 的子空间.。
北京科技大学高代(下)习题解答1.doc
北京科技大学高代（下）习题解答1北京科技大学唐思铭462、设％, %是线性空间V的子空问，给出％U/是V的子空间的充分必要条件。
解：充分必要条件是％匸匕或匕匸必证明：必要性设V,UV2是V的子空间若％匸岭或％匸％不成立，则存在但少纟匕以及&2丘％但勺纟％。
因为v.uv2是u的子空间, 所以，^! + cr2 G U V2 ,因此有，（7] + （72 G V（或0+色丘匕，但是，如果a}+a2eV},由a} eV}可得，a2 e V},矛盾；而如果a}+a2^V2,由a. e V2又i可得，a} eV2,矛盾。
所以，V,cV2或匕uK充分性是显然的，证毕4.6.4、设a〕=（1, 一1,0）,设色=（一1,2,1）,求向星色，使得，span{a} ,a2,a3] = /?3解：设V；=span[a l 9a2 },易知，dim% = 2, （3X = a, + cr2 =（0,1,1）eV,,设=（0,0,1）,贝ij% = span {e ,勺} = s P an {e，0i }，e，0i，a3线性无关，所以，span [a l ,a2y ct.} = span {a} ,^,a3} = R' 4.6.5 >如果况维线性空间的子空间序列匕，i = l,2,…，满足条件，叫^岭匸…^匕匸…则存在自然数，使得，匕*严匕七=••• = %=•••证明（提示）:q =dim匕，j = 1, 2 ,…，则n x <n2 <-<n,467、若线性空间V的子空间％,岭的维数分别是人和乙，问：％+%和XU岭的所有可能维数是多少？解：％+岭所有可能维数是mr,+r2Z间的整数。
例如，对于斤+尸5 + 3 = 8,取线性无关的向量组a〕，…，逐，X = span{a} ,a2 ,a3,a4,a5 },贝！J,V2 = span{a3.a A,a5 }时，V} + V2的维数是5；V2= span{a4,a5y a6 }时，％ +岭的维数是6 ;V2= span{a^.a^a q }时，+ 匕的维数是7 ；V2 =span{a6,a7,a s }时,V, +V2的维数是8；V,UV2要成为子空间才有维数,此时V.G K或岭匸«,所以可能维数max{r, , r2}4.7.2、在线性空间疋中，记,硏={（旺,X2,••・,£）€/?" |x,+X2 +••• + X n =0| W2 ={（召,兀2|兀]=兀2 =•••=£}证明：R n =W X㊉怡证明（提示、）：设匕.=耳一勺+J = 1,2…,乃一1 , a“ = q+6 +…匕，贝！J，= span {&],•••, a n_x}, W2 = span {a n}由此易得，R n = W,㊉比证毕4.7.3、在线性空间7?”中,取向量0,也，…4$,记,U = span[a{ ,a2，…,Q$}V = a E R" a t a T = 0, z = 1 , 2,…，s}证明：是V的线性子空间，且R n=U㊉V 证明（提示）：这里是行向量。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。
证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数秩r，则。
即，22222 若令，y，则可得非零解使。
这与所给条件矛盾，故。
充分性。
由，知，222故有，即证二次型半正定。
．证明：是半正定的。
证（）可见：。
21）当不全相等时2）当时f。
2故原二次型是半正定的。
AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。
X1。
证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。
由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。
不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。
17．A是一个实矩阵，证明：。
证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。
事实上，即证与同解，故。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。
n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
3) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()10011314001274856399561274=+++++++==ττk i ，故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()5110110101325648974897251=+++++++==ττk i ，故当6,3==k i 时的排列为奇排列。
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。
解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序,……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为()[]()()()时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；故当34,2414,4211221211++=+=-=+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为 ()()21121-=-+++n n n 。
0701205_高等代数 北大版 课后习题答案
39
26 2 x；
99
2）同理可得 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 。
2． m, p, q 适合什么条件时，有
1） x2 mx 1 | x3 px q ，
2） x2 mx 1 | x 4 px2 q 。
解 1）由假设，所得余式为 0，即 ( p 1 m2 ) x (q m) 0 ，
g( x) q2( x)r1(x) r2 ( x)
解得 r2 ( x) g( x) q2( x)r1(x) g( x) q2( x)[ f ( x) q1( x) g( x)] ， [ q2( x)] f ( x) [1 q1(x)q2 ( x)] g( x)
u( x)
于是
q2( x)
x1
。
v( x) 1 q1(x)q2 ( x) 1 1 ( x 1) x 2
９．证明： ( f (x)h( x), g(x)h( x)) ( f (x), g (x)) h( x) ， (h( x) 的首系数为１） 。
证 因为存在多项式 u( x), v( x) 使 ( f (x), g (x)) u(x) f ( x) v( x)g( x) ，
式，求 t, u 的值。
解
f (x)
因为
q1(x)g( x)
r1( x)
( x3
tx2
u)
( x2
2x u)
，
g( x) q2 ( x)r1( x) r2 (x)
(x (t 2))( x2 2x u) (u 2t 4)x u(3 t ) ，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余得 ( f (x), g( x)) x 1，且 u(x)
11
22 2
高等代数习题课指导讲义
高等代数习题课指导高等代数习题课是在各章小单元授课基础上，帮助学生疏理相应小单元基础知识而设立的以练为主、讲练结合的教学形式，使学生进一步理解已授知识的重点，帮助学生克服学习中的难点，因而是整个课程教学的基本环节之一。
教学中应明确目的，把握全局，突出练习，以提高习题课的教学质量。
习题课1 矩阵的运算与可逆矩阵〔2学时〕教学目的 通过2学时的习题课教学实践，使学生进一步理解、掌握矩阵运算及其可逆矩阵的基础知识与基本方法，把握矩阵证题的基本技巧。
基础提要 略述〔结合课堂练习题的解释，点述主要概念、相关定理及其基本方法〕。
课堂练习：1 计算AB ，BA ，AB －BA ，其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a c b b c a B a b c c b a A 111,111． 2 设A ，B ，C ∈)(F M n ．证明，假设AB =BA ，AC =CA ，则A (B + C ) = (B + C ) A ；A (BC ) = (BC ) A ．3 设A = )()(F M a n nn ij ∈，A 的主对角元素nn a a a ,,,2211 的和∑=ni ii a 1叫做A 的迹，记作A Tr ．设A ，B )(F M n ∈，证明：1);Tr Tr )(Tr B A B A +=+ 2);,Tr )(Tr F k A k kA ∈=3));(Tr )(Tr BA AB = 4)AB －BA n I ≠．4 设A n M ∈(R )，且A '= A ．证明，假设2A = 0，则A = 0．5 设A = B +C 机遇)(F M n ∈，其中C C B B -='=',．证明以下命题彼此等价：1) A A A A '='； 2)BC = CB ； 3)CB 是反对称矩阵．6 设)(F M A n ∈，且A 2+A +I n =0．证明，A 可逆；并求A -17 设)(F M A n ∈是对合矩阵, 即n I A =2,且n I A ±≠.证明：1)A 是可逆矩阵, 并求1-A . 2)A I n +与A I n -都是奇异矩阵.8 设A ，B ，C )(F M n ∈．证明：1)假设A 非奇异，则AB = AC ⇒B = C ；2)假设A 奇异，则1)的结论未必成立(举例说明)．9 设)(F M A n ∈可逆，且1-A =nn ij b )(，求,)(1-A P ij ,))((1-A k D i )((k T ij 1)-A ．10 设n M A ∈(R )．证明假设以下三命题有两个成立，则其第三个也成立：1) A 是对称矩阵； 2) A 是对合矩阵； 3) A 是正交矩阵．课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。
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4. 证明: 若素数 p 整除 a b , 则 p 必整除 a, b 之一 .
证: 若 p 不整除 a , 则有 ( p , a ) = 1 . 于是存在 u , v Z , 使得 u p + v a = 1 . 两边乘 b , 得 u b p + v a b = b . 由题设 p | a b , 故 p | b .
1: 设 R 是幺环, a , b R . 证明: 若 1 – a b 可逆, 则 1 – b a 也可逆.
证: ( 1 – b a ) ( 1 + b ( 1 – a b ) -1 a )
= 1 – b a + ( 1 – b a ) b ( 1 – a b ) -1 a = 1 – b a + b ( 1 – a b ) ( 1 – a b ) -1 a =1
若还有 c R , 使得 a c = c a = 1 , 则 c= c(ab)=(ca)b =b
设 R 是一个环, a R . 若 R 中有元素 b 0 , 使得 a b = 0, 则称 a 为 R 的一个 左零因子. 用类似的方式定义右零因子.
设 R 是幺环, a R . 若 R 中有元素 b , 使得 a b = 1, 则称 b 为 a 的一个右逆. 用类似的方式定义左逆. 若 a 既有左逆, 又有右逆, 则 a 的左逆 = 右逆且唯一, 称为 a 的逆.
设 v = – 42 + 97 k , k Z . 则 u = 55 – 127 k . 故不定方程 97 x + 127 y = 1 的一般解 具有形式 ( x , y ) = ( 55 – 127 k , – 42 + 97 k ) , k Z . 容易验证, 这些都是解…
3. 设 a , b , c Z , 证明: 1) 若 a | b c 且 ( a , b ) = 1 , 则 a | c ; 2) 若 a | c , b | c 且 ( a , b ) = 1 ,
高等代数 II
2017 习题课
主讲教师： 高 峡 助 教：王宇鹏 孙致远 员晓帆
先回顾一下环的定义: 若非空集合 R 上有两种运算
加法: a & 满足以下 6 条公理, 则称 R 是一个环.
前四条公理保证 R 在加法下构成交换群: 1) 交换律 对 a, b R , 有 a + b = b + a 2) 结合律 对 a, b, c R , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
6) 左, 右分配律 对 a, b, c R , 有 a(b+c)= ab+ac (b+c)a= ba+ca
若环 R 中有一个元素 e 具有性质 ae = ea = a, aR,
则称 e 是 R 的幺元 (或单位元).
幺元若存在, 必唯一, 通常记作 1R 或 1.
整环的定义
1) 有幺元 1 且 1 0 的环称为幺环.
2) 乘法满足交换律的环称为交换环.
3) 满足消去律的交换幺环称为整环. (消去律成立等价于无非平凡零因子)
可逆元
4) 设 R 是幺环, a R . 若存在 b R , 使得 ab=ba=1,
则称 a 是 R 的可逆元, 称 b 为 a 的逆, 记作 a-1
a 的逆 b 一旦存在, 必唯一 :
2) 反向叠代 69 = 483 – 3138 = 483 – 3(2070 – 4483) = – 32070 + 13483 = – 32070 + 13 ( 6693 – 32070 ) = 13 6693 – 42 2070 = 13 6693 – 42 ( 8763 – 6693 ) = – 42 8763 + 55 6693
5. 已知整数 a1 , a2 , … , an 的最大公因数为 1 . 试构造一个 n 级整系数矩阵 A , 使得 A 的第一行元素为 a1 , … , an 且 | A | = 1 .
两边除以 69 , 得 – 42 127 + 55 97 = 1
故不定方程 97 x + 127 y = 1 的一组 整数解为 ( x , y ) = ( 55 , – 42 ) ; 若 ( u , v ) 也满足 97 u + 127 v = 1 , 则有
97 ( 55 – u ) = 127 ( v + 42 ) 由 ( 97 , 127 ) = 1 知 97 | ( v + 42 ) (见下题)
2. 1) 求 ( 6693, 8763 ) ; 2) 求不定方程 97 x + 127 y = 1 的所有整数解; 3) 求整数 a Z , 0 a < 127, 使得 97 a 5 mod 127.
1) 利用性质 ( a , b ) = ( a – q b , b ) , q Z ( 6693, 8763 ) = ( 6693, 8763 – 6693 ) = ( 6693, 2070 ) = ( 6693 – 32070, 2070 ) = ( 483, 2070 ) = ( 483, 2070 – 4483) = ( 483, 138 ) = ( 483 – 3138, 138 ) = ( 69, 138 ) = ( 69, 138 – 2 69 ) = ( 69, 0 ) = 69
3) 存在元素 0 , 使得对 a R , 有 0+a=a+0=a
这样的元素 0 唯一, 称为 R 的零元素 4) 任何元素都有负元素
对每个 a R , 存在 b R , 使得 a+b=b+a=0
b 由 a 唯一确定, 称为 a 的负元素
5) 乘法结合律 对 a, b, c R , 有 a(bc)=(ab)c
则 ab|c ; 3) 若 ( a , b ) = 1 且 ( a , c ) = 1 ,
则 (a,bc)=1.
3. 证: 1) 由 ( a , b ) = 1 知存在 u , v Z , 使得
ua+vb=1 两边乘以 c , 得 u a c + v b c = c . 由题设 a | b c , 又 a | u a c , 故 a | c ; 2) 3) …