10函数项级数和幂级数 习题课
幂级数
u n ( x ),
n 1
x I.
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
收敛 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
的收敛点 .
若 x0 I 时 ,
u n ( x0 )
n 1
发散 , 则称 x 0 为
un ( x)
n 1
收敛区间 [ 1, 1), 绝对收敛区间 （ 1, 1).
一般地，对于幂级数都可以采用达朗贝尔判别法
例4 解
求
( x 5) n
n
的收敛区间
.
n 1
令 y x 5, 则
lim
( x 5) n
| a n 1 | | an |
n
n 1
y
n
n 1
n
1
谁的收敛半径？
| x | 0 1,
n
故幂级数
an x
n0
在 ( , ) 上收敛 .
故
R .
n
lim
| u n 1 ( x ) | | un (x) |
|x|
( 3 ) 当 时 ,
x ( , 0 ) ( 0 , ) , 均有
an x
n0
n
,
都存在一个非负
当 | x | R 时 , 幂级数可能收敛
, 也可能发散
.
幂级数的收敛半径
我们称上述定理中的非负数 R 为幂级数
an x
n
的收敛半径.
x 0 处收敛时 , 规定 R 0.
四川大学数学类基础课程 《数学分析(II)习题课》教学大纲
四川大学数学类基础课程《数学分析（II）习题课》教学大纲课程名称：数学分析（II）习题课英文名称：Mathematical Analysis-II课程性质：必修课程代码：20101750本大纲主笔人：黄勇面向专业：数学类各专业主讲课教材名称：数学分析（上、下）出版单位：高等教育出版社出版日期：2004年10（第2版）编著：陈纪修於崇华金路习题课指导书名称：数学分析习题课讲义（上、下）出版单位：高等教育出版社出版日期：2004年1月（第1版）编著：谢惠民恽自求等习题课讲义名称：自己编写一、课程学时学分课程总学时：104学时课程总学分：5学分习题课总学时：36学时习题课总学分：2学分二、习题课的地位、作用和目的数学分析是数学专业最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学专业本科一、二年级学生的必修课。
数学分析习题课是数学分析课程的重要组成部分，是学生学习这门课程的一个必要环节。
尤其是各位教师和学生们都应该充分地认识到习题课的重要性，习题课与主讲课同等重要。
数学分析习题课是通过学生自己严格的课堂和课外习题训练，再加上习题课教师对数学分析学习中各类习题的讲解，能使学生加深对课程内容的理解，全面系统地掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
三、习题课的教学方式与教学要求教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
教学要求：习题课的教学是通过学生在课后进行严格的习题训练、在课堂上由习题课老师和学生通过讲、练结合的方式进行。
每次主讲老师讲完教材内容后布置下习题由学生课后训练，并于下次课将所完成的作业本上交由习题课老师批改。
习题课教师通过批改学生的课后作业，可以及时发现学生作业中的问题。
幂级数习题课
第十四章 幂级数习题课一 疑难解析与注意事项1．如何求缺项幂级数的收敛半径 答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式1lim n n n n aa ρρ+→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．例如幂级数2112n n n x ∞=∑，可令2y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112n n n y ∞=∑的收敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当22x >时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为R =2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．例如求幂级数2202nn n x ∞=∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数2202nnn x ∞=∑，因为22222222lim42n n n n nx xx ++→∞=，当214x<时，即2x <，2202nn n x ∞=∑收敛，则原来级数绝对收敛；当214x >时，即2x >，2202nnn x ∞=∑发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域答：1）首先求幂级数的收敛半径R ；2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论nn n a R∞=∑，()nn n a R ∞=-∑的收敛性，如果两个都收敛，则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（()nn n a R ∞=-∑收敛），(],R R -（nn n a R∞=∑收敛）．3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何 答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．例如幂级数n x n ∑的收敛区间是()1,1-，在端点1处，级数1n∑发散，在端点1-处级数()1nn-∑收敛，收敛域是[)1,1-．2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．n x n ∑在端点1-处是条件收敛，2nx n ∑收敛域是[]1,1-，在端点1与1-处都是绝对收敛的．4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗答：不一定，例如nx ∑收敛域为()1,1-，但逐项积分和幂级数为11n x n ++∑收敛域为[)1,1-．设幂级数0nn n a x ∞=∑，11n n n na x∞-=∑，11n n n x a n +∞=+∑收敛域分别是12,,D D D ，则有12D D D ⊂⊂ 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由n a 变为n na ，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由n a 变为1na n +，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．5．如何求幂级数的和函数答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求 幂级数的和函数：（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数． （2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有!n ，向xe 的幂级数展开形式转化，系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化．注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．6．如何利用幂级数求数项级数的和答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点0x 处的值．然后求出幂级数的和函数()S x ，则()0S x 便是原数项级数的和．7．如何求函数f 在0x 处的幂级数展开式 答：主要有以下两种方法：（1）直接法．计算函数f 在0x 处的各阶导数()()0n f x ，写出它的泰勒级数，然后证明()0lim =∞→x R n n ．（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围． 三 典型例题1．求幂级数的收敛域：1）∑n x n n )!2()!(2； 2）∑---)!12()2(12n x n ； 3）∑+-+n n n x n )1()2(3； 4）∑+++n x n)1211(Λ； 5）∑∞=1221n nnx ． 解：1）由于2212[(1)!](2)!(1)1lim lim lim [2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n na n n n a n n n n ρ+→∞→∞→∞++==⋅==+++，因此收敛半径14R ρ==，当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2，通项记为n u ，则有 n u =)!2(4)!(2n n n =)!2(2)!(22n n n =)12(5312642-⋅⋅⋅⋅n nΛΛ12+>n ， 于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑nx n n )!2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛域为)4,4(-．2）令2t x =-，则级数∑---)!12()2(12n x n 转化为21(21)!n t n --∑（缺陷幂级数），下面先求21(21)!n tn --∑的收敛域，因为21221(21)!lim lim 01(21)2(21)!n n n n t t n t n nn +-→∞→∞+==<+-，即对任意(),t ∈-∞+∞，21(21)!n t n --∑都收敛，因此21(21)!n t n --∑的收敛域为(),-∞+∞，因此的收敛域为(),-∞+∞．3）令1t x =+，则级数∑+-+nn n x n)1()2(3转化为3(2)n n n t n +-∑，下面先求3(2)n n n tn +-∑的收敛域，由于n ρ==3n ，所以收敛半径31=R ，因而级数3(2)n n nt n +-∑的收敛区间为11(,)33-， 当13x =-时，级数为∑⎪⎭⎫⎝⎛--+nn n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n nn n 3211)1(收敛， 当13x =时，级数为3(2)13n n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=1123n n n ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，123nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛（123n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，因为213n =<），∑n 1发散，故3(2)13nn n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，因此3(2)n n nt n +-∑的收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，级数∑+-+nn n x n )1()2(3的收敛域为11133x -≤+<的解集，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,34． 4）因为nn n 1⋅n n1211+++≤Λn n 1⋅≤，又∞→n lim11=⋅nn ，所以∞→n lim11211=+++nnΛ， 从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时，n n n)1)(1211(lim ±+++∞→Λ0≠， 可见级数∑+++nx n)1211(Λ在1±=x 时发散，故这个级数的收敛域为)1,1(-． 5）法1: (将其看成不缺项的幂级数 Λ++⋅++⋅4232210210x x x x )设 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==k n k n a kn 2,2112,0∑∑∞=∞==11221n n nn n nx a x ， 2121lim lim 2==∞→∞→nnn n n n a 2=∴R ．法2: 令t x =2，∑∞=121n nnt 收敛半径为2，故R = 法3: (将其视为以x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)22lim )()(lim 221x x x u x u n nn n ==∞→+∞→， 当122<x 即 2<x 时幂级数收敛， 当2>x 时发散，故R =． 即收敛半径为R =，收敛区间是(，当x =时，∑∞=1221n nnx 为111212n n n n ∞∞===∑∑发散，因此收敛域为(． 2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）： （1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数；（2）求幂级数11nn x n ∞=+∑的和函数；（3）求幂级数11n n nx ∞-=∑的和函数；（4）求幂级数1n n nx ∞=∑的和函数；（5）求幂级数ΛΛ+++++++12531253n x x x x n 的和函数； （6）求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x 的和函数；（7）求幂级数1!nn x n ∞=∑的和函数．注：应用：求幂级数的和函数．思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)．必须的知识点：1）等比级数011nn ∞==-∑W W ，11nn ∞==-∑W W W---------； 2）牛顿莱布尼兹公式()()()xaf t dt f x f a '=-⎰；3）()()()xaf t dt f x '=⎰．注意点：1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求()0f 时必须要看级数展开式中第一项；例 设()0n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是0a ，因此()00f a =．常见错误，有些人把0直接代通项，()0000n f ∞===∑．设()1n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是1a x ，因此()00f =．3）涉及到除以x 时，要讨论x 为0不为0． 幂级数求和函数步骤:求其收敛半径R 和收敛域D ．在收敛区间内求和函数．(利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法) ，(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)；收敛域若不是开区间， 还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．写出和函数， 注明定义域D ． 解（1）1）求收敛域；1lim lim lim 1n nn n n n n a n n ρ→∞→∞→∞====（或111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===）； 收敛半径11R ρ==；收敛区间()1,1-；当1x =-时，()11nn n∞=-∑收敛；当1x =时，11n n∞=∑发散．因此收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：因为等比级数系数为1或()1n-，而1n n x n∞=∑的系数为1n ，要向等比级数转化必须要把n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．令()1nn x f x n∞==∑，在收敛区间()1,1-上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）． ()1111n n f x x x∞-='==-∑， ()()()()0010ln 11xxf x f t dt f dt x t'=+==---⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，（若幂级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续．）()()()111lim lim ln 1ln 2x x f f x x ++→-→--==--=-⎡⎤⎣⎦． （2）1）求收敛域； 收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的1n +抵消，但是只有1n x +的求导才能出现1n +，必须要乘一个x ，除以一个x ，111111n n n n x x n x n +∞∞===++∑∑，而要除以x ，就必须讨论x 为0不为0．当0x =时，()00f =当0x ≠时，()111111n n n n x x f x n x n +∞∞====++∑∑，（只需要求出111n n x n +∞=+∑就会求出()f x ，下面求111n n x n +∞=+∑） 令()111n n x g x n +∞==+∑，收敛域[)1,1-在收敛区间()1,1-上逐项求导．()11n n xg x x x∞='==-∑， ()()()()000ln 11xxtg x g t dt g dt x x t'=+==----⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，()()()111lim lim ln 11ln 2x x g g x x x ++→-→--==---=-⎡⎤⎣⎦． 于是()()()() 0 0ln 11 1,00,1 ln2 1 1x x f x x x x =⎧⎪-⎪=--∈-⎨⎪-=-⎪⎩U（3） 收敛域为()1,1- 令()11n n f x nx ∞-==∑，对()11n n f x nx ∞-==∑在()1,1-上逐项积分；()1111xx n n n n xf t dt ntdt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， ()()2111x f x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-． （4）解1：收敛域为()1,1-()()-1211=1nn n n xf x nx x nx x ∞∞====-∑∑．解2 由于∞→n limnn a =∞→n lim11=⋅nn ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设111()nn n n f x nx x nx∞∞-====⋅∑∑，令∑∞=-=11)(n n nxx g在)1,1(-上对()g x 逐项积分得，dt t g x ⎰)(dt ntx n n ⎰∑∞=-=011=xx x n n -=∑∞=11所以=)(x g ()1xx '-=2)1(1x -，从而)(x f 2)1(x x -= （1<x ）．（5）讨论级数2121n n x n +∞=+∑，因为2322123lim21n n n x n x x n ++→∞+=+，当21x <，即1x <，21021n n x n +∞=+∑收敛，2121n n x n +∞=+∑收敛； 当21x >，即1x >，21021n n x n +∞=+∑发散，2121n n x n +∞=+∑发散， 因此收敛半径1R =，收敛区间为()1,1-，且1±=x 时，∑∞=+0121n n 与2100(1)12121n n n n n +∞∞==-=-++∑∑都是发散级数，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设210()21n n x f x n +∞==+∑，在)1,1(-逐项求导可得221()1n n f x x x ∞='==-∑， 所以)(x f dt t x⎰-=0211x x-+=11ln 21 （1<x ）， （6）由1)1(1lim =+∞→nn n n 知幂级数的收敛半径为1=R ． 又1±=x 时， 级数均收敛，故幂级数的收敛域为]1,1[-．令]1,1[,)1()(1-∈+=∑∞=x n n x x S n n则 ]1,1[,)1()(11-∈+=∑∞=+x n n x x xS n n 由于)1,1(-∈∀x ， 有,))1(())((111∑∑∞=∞=+='+='n nn n nx n n x x xS,11)())((111∑∑∞=-∞=-=='=''n n n n x xn x x xS从而)1,1(-∈∀x ， 有),1ln(1d d ))(())((00x ttt t tS x xS xx--=-=''='⎰⎰),1ln()1(d )1ln(d ))(()(0x x x t t t t tS x xS xx--+=--='=⎰⎰于是}.0{\)1,1(),1ln(11)(-∈∀--+=x x xxx S 而由)(x S 的定义， 0)0(=S ．此外， 当1±=x 时， )(x S 在1-=x 处右连续， 在1=x 处左连续． 故,2ln 21)]1ln(11[lim )(lim )1(11-=--+==-++-→-→x xxx S S x x.1)]1ln(11[lim )(lim )1(11=--+==---→→x xxx S S x x综上知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈--+==.1,1};0{\)1,1[),1ln(11;0,0)(x x x x x x x S（7）易求收敛域为(),-∞∞，()1011,,!!n nx n n x x e x n n ∞∞===-=-∈-∞+∞∑∑． 3．利用幂级数求数项级数的和． 1）求级数∑∞=122n nnx的和函数，并求数项级数∑∞=19n n n的和； 2) 求级数∑∞=-1212n nn 的和； 方法：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点0x 处的值， 然后求出和函数)(x S ， 则)(0x S 便为所求之和．解（1）法1：级数∑∞=122n nnx的收敛域为()11-，，∑∑∞=-∞==1121222n n n nnx x nx，令∑∞=-=1122)(n n nx x s ，逐项积分⎰∑∑⎰∞=∞=--===x n n nxn x x xdx nxdx x s 01122201212)(， 两边求导，得22221)1(2)'1()(x xx x x s -=-=， 所以222112)1(2)(2x x x xs nxn n-==∑∞=，()11x ∈-，，从而649)911(91221)31(22192121=-⋅==∑∑∞=∞=n nn nn n ． 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便． 法2 令ΛΛ+++++=nnxx x x x s 26422642)( ，ΛΛ------=-+)1(286422642)(n nxx x x x s x ，222642212)(2)()1(xx xx x x x s x n-=+++++=-ΛΛ ， 所以222)1(2)(x x x s -= ，()11x ∈-，． （2）作幂级数221212-∞=∑-n n n x n ，并设和函数为()S x ， 则⎰∑⎰∑∞=∞=--=-=xn xn n n n nx dx x n dx x s 0101122221212)(2121)2(12212xx x x x n n -⋅==∑∞=)0(≠x ， 两边求导，得2222)2(2)'2()(x x x x x S -+=-= )2(<x ， 因为1x =在收敛区间内，故用1x =带入上式得∑∞==-=13212)1(n nn S ． 4．求函数的幂级数展开式1）将函数()2x e x f =，x a ，2sin x 展开成x 的幂级数；2）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数；3）将函数()2sin f x x =展开成x 的幂级数； 4）21)(2--=x x x f 在1=x 处的泰勒级数展开式； 5）求0x =处的泰勒级数展开式； 6）求()ln(f x x =在0x =处的泰勒级数展开式．注意： 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域． 解：1）将2x 视为一个整体，由xe 的展开式可知n n n n x x n x n e 2020!1)(!12∑∑∞=∞=== ，)(+∞<<-∞x ． 类似地n n n nn ax x x n a a x n ea ∑∑∞=∞====00ln !)(ln )ln (!1 ，)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x ．∑∞=++-=01222)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞=++-=024)!12()1(n n n x n )(+∞<<-∞x ．2）∑∞==-011n nx x (11<<-x )⇒()011n n x x ∞==-+∑，()11x -<<． ⇒()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑，()11x -<≤． 10(1)ln ln[1(1)](1)1nn n x x x n ∞+=-=+-=-+∑ )20111(≤<≤-<-x x ，即．3）222221011cos 21212sin (1(1))(1),()22(2)!2(2)!n n n n n n n n x x x x x n n ∞∞+==-==--=--∞<<+∞∑∑． 4）]1121[31212+--=--x x x x11(1),0221(1)n n x x x x ∞=-==--<<---∑∑∞=<<---=-+=-+=+031,)21()1(21211121)1(2111n nn x x x x x100101(1)()[(1)(1)]321(1)[1](1),0 2.32n nn n n n nn n n f x x x x x ∞∞+==∞+=-∴=--+--=--<<∑∑∑5）[]1lnln(1)ln(1)2x x =+-- 11111(1)(1)()2n n n n n n x x n n ++∞∞==⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑1111(1)2n n n n n x x n n +∞∞==⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑∑211,(1,1)21n n x x n -∞==∈--∑． 6）()ln(f x x =，()f x '==，12221111()(1)(1)222(1)1!n n n x x n ∞-=-----+=+=+∑L211321()()()2221!n n n x n ∞=----=+∑L 21(1)(21)!!1,(1,1)!2n nnn n x x n ∞=--=+∈-∑． 而(0)0f =，于是[]211(1)(21)!!(),1,1!2(21)n xn n n n f x x x x n n ∞+=--==+∈-+∑⎰．。
无穷级数(幂级数)
( 2 ) ∑ ( − nx ) ;
n
∞
∵ ρ = lim n a n = lim n = +∞ , ∴ R = 0,
n→ ∞
n =1
n→ ∞
点收敛。 级数只在 x = 0点收敛。
x ( 3) ∑ ; n = 1 n! a n+1 1 ∵ ρ = lim = lim = 0, ∴ R = +∞ , n→ ∞ a n→ ∞ n + 1 n
故收敛域为(0,1]. 故收敛域为
法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项） 法二：直接利用比值，根值判别法（有缺项）
x 的收敛域. 例 2 求幂级数∑ n 的收敛域 n=1 2
∞
2n−1
x x x 解 ∵ 级数为 + + 3 + ⋯ 缺少偶次幂的项 2 2 2 2 应用达朗贝尔判别法
un+1 ( x ) 1 2 2 n+1 lim = lim 2 n−1 = x , n→ ∞ u ( x ) n→ ∞ x 2 n 2n 1 2 时 级数收敛, 当 x < 1, 即 x < 2时, 级数收敛 2
1.代数运算性质: 1.代数运算性质: 代数运算性质
∞ ∞
设∑ a n x 和∑ bn x 的收敛半径各为 R1 和R2 ,
n n n= 0
R = min{R1 , R2 }
n= 0
(1) 加减法
∑a
n=0
∞
n
x ± ∑ bn x = ∑ c n x . x ∈ (− R, R )
n n
n
∞
∞
n= 0
n n=0 n=0 ∞ ∞
( 2 ) 假设当 x = x 0时发散 ,
习题课讲义(级数)
第九讲：无穷级数一、 常数项级数 1、 概念与性质：（1） 数列{}n u 中的各项用加号连接的形式：∑∞==++++121n nn uu u u 称为无穷项数项级数，第n 项称为一般项（通项）。
数列∑==ni nn uS 1称为级数∑∞=1n nu的前n 项之和（部分和），若S S n n =∞→lim ，则称级数∑∞=1n nu的和为S ，级数∑∞=1n nu收敛；若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n nu发散。
若级数∑∞=1n nu收敛，n n S S r -=称为级数∑∞=1n nu的余项，0lim =∞→n n r 。
例1：判定下列级数的敛散性： ①∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ： 解：()n n n u n ln 1ln 11ln -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=， ()()∞→+=-+++-+-=n n n S n 1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln ()∞→n ，故∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111ln n n 发散； ②()∑∞=+1!1n n n： 解：()!11!1+-=n n u n ，()()1!111!11!1!31!21!211→+-=+-++-+-=n n n S n ()∞→n ，故()∑∞=+1!1n n n收敛； ③调和级数：∑∞=11n n ； 解：由()n n n n ln 1ln 11ln 1-+=⎪⎭⎫⎝⎛+>，()()∞→+=-+++-+->+++=1ln ln 1ln 2ln 3ln 1ln 2ln 1211n n n nS n ()∞→n ，故级数∑∞=11n n发散。
④几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⇒∑∞=-1,,1,111q q q aaqn n 发散⑤-p 级数：∑∞=11n pn ()0>p ⎩⎨⎧≤>⇒11p ，p ，发散收敛 （2） 性质：ⅰ、设α、β为常数，若∑∞=1n nu、∑∞=1n nv收敛，则()∑∞=+1n n nv uβα也收敛，且()∑∞=+1n n nv uβα∑∑∞=∞=+=11n n n n v u βα；推论：常数0≠k ，∑∞=1n nku与∑∞=1n nu同敛散；比如：证明级数∑∞=12n n 发散：因为∑∞=12n n 与∑∞=11n n 同敛散，又∑∞=11n n 发散，故级数∑∞=12n n 发散；注意：∑∞=12n n ∑∞=≠112n n，≠⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=1211n n n ∑∑∞=∞=+11211n n nn ； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； 推论：∑∞=1n nu与∑∞+=1N n nu同敛散；ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，则原级数必发散） 比如：已知()8π121212=-∑∞=k k ，求∑∞=121n n： 解：()()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=121212212141121211211k k k n k k k k n ， 故()6834121341221212ππ=⨯=-=∑∑∞=∞=k n k n；ⅳ、若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u （若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu发散）比如：由01lim ≠=∞→nn n ，则∑∞=11n nn发散。
高等数学：幂级数
n an
n n
所以幂级数的收敛半径为 R 1，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数 n, (1)nn 均发散，
n0 n1
故所求级数的收敛域为(-1,1).
典型例题讲解
（2）因为 lim an1 lim (1)n1 / (1)n lim n 1,
n an n n 1
n
n n 1
幂级数
幂级数
知识点讲解
1.幂级数的定义和性质 2.典型例题讲解
幂级数的定义和性质
定义1
由幂函数序列 {an (x x0 )n}所产生的函数项级数
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) an (x x0 )n
n0
称为幂级数.
其中 an (n 0,1,2,) 称为幂级数的系数.
当0 R 时，幂级数 an xn 在 (R, R) 上收敛， n0
在区间端点幂级数 an xn 可能收敛也可能发散. n0
称 (R, R)为幂级数的收敛区间.
幂级数的定义和性质
定理2
对于幂级数 an xn , n0
若
lim an1 n an
,
则
（1）当 0 时，幂级数 anxn n0
所以幂级数的收敛半径为 R 1 ，收敛区间为(-1,1).
当 x 1 时，级数
(1)n
n1 n
收敛；
当 x 1时，级数
1
n1 n
发散.
故所求级数的收敛域为(-1,1].
典型例题讲解
例2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.
解
(1)
n1
1 n 2n
(x
1) n ;
(2)
n0
(1)n1 n 2n
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
幂级数及泰勒展开习题解答(最新整理)
幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++1R ⇒=当时，因 ， 所以收敛，1x =21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-112(21)n n n ∞=-∑当时， 绝对收敛，1x =-1(1)2(21)nn n n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒[1,1]-2.n ∞=解：11lim 2n n nna a +→∞==2R ⇒= 当时，为收敛的交错级数，2x=1n ∞=当时， 2x =-11n n ∞∞===- 收敛区间为。
⇒(2,2]-3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。
13R ⇒=13x =±⇒11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n na n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
231x -<12x <<当时， 发散，1x =11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑当时， 为收敛的交错级数，2x =1(1)21nn n ∞=--∑ 收敛区间为。
⇒(1,2]5.1ln(1)1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++1R ⇒=故当，即时级数绝对收敛。
11x -<02x <<当时，因为0x =，1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时，所以 收敛，1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑当时，因为当时 所以发散， 2x =2n ≥ln(1)11112n n n n +>>++1ln(1)1n n n ∞=++∑ 收敛区间为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
111第十章 函数项级数习题课一、 主要内容1、基本概念函数列（函数项级数）的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域 2、一致收敛性A 、 函数列{()}n f x一致收敛性的判断：（1）定义：用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性（2）Cauchy 收敛准则：用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断 （3）确界（最大值方法）：||()()||0n f x f x -→ （4）估计方法：|()()|0n n f x f x a -≤→（5）Dini-定理：条件1）闭区间[,]a b ；2）连续性；3）关于n 的单调性 注、除Cauchy 收敛准则外，都需要知道极限函数，因此，在判断一致收敛性时，一般应先利用点收敛性计算出极限函数。
注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同，定义方法通常处理抽象的对象，估计方法是确界方法的简化形式，估计方法处理较为简单的具体的对象，确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计，通常用于处理具有一般结构的具体的函数列，也可以用于非一致收敛性的判断。
注、Dini 定理中，要验证的关键条件是关于n 的单调性，定理中相应的条件为“对任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 作为数列关于n 是单调的”，注意到收敛或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系，上述条件也可以改为“存在N ，当n>N 时”条件成立即可，但是，要注意N 必须是与x 无关的，即当n>N 时，对所有任意固定的x [,]a b ∈，{()}n f x 关于n 单调，因此，此时的单调性也称为对n 的单调性关于x 一致成立。
非一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）确界法：存在n x ，使得||()()||n n n f x f x -不收敛于0 （4）和函数连续性定理（5）端点发散性判别法：{()}n f x 在c 点左连续，{()}n f c 发散，则{()}n f x 在112(,)c c δ-内非一致收敛注、在判断非一致收敛性时，按照使用时的难易程度，可以按如下顺序使用相应的方法进行判断：端点发散性判别法、和函数连续性定理、确界方法、定义法、Cauchy 收敛准则。
B 、函数项级数()n u x ∑ 一致收敛性的判断 （1）定义（2）Cauchy 收敛准则（3）转化为函数列（部分和） （4）余项方法：{()}n r x 一致收敛于0（5）几个判别法：W-法，Abel 法，Dirichlet 法，Dini-法注、一般来说，由于不容易计算和函数，函数项级数的一致收敛性的判断比函数列一致收敛性的判断要复杂，但是，由于判别法并不是很多，因此，对一个题目，在不能准确分析其结构特点，确定相应的判别法时，可以采用逐个试探的方法，确定出一个合适的判别法，但是，不管用哪个判别法，一定要严格验证相应的条件。
注、方法（3）和方法（4）处理问题的思想是一致的，只是途径不同。
非一致收敛性的判断 （1）、定义 （2）、Cauchy 准则 （3）、部分和方法，转化为函数列判断 （4）、和函数连续定理 （5）、端点发散性判别法（6）、必要条件：通项函数列{()}n u x 不一致收敛于0（7）、逐项求积法：与和函数连续性定理类似，利用一致收敛的和函数的分析性质，通过验证不能逐项求积进行判断。
注、使用的顺序基本和函数列的情形类似。
3、和函数性质定性分析：连续性，可微性的判断 定量分析：求导，求积，求极限注、对和函数的连续性、可微性等定性性质的分析，充分利用这些性质的局部性，将给定区间（通常是开区间）上的性质研究转化为内闭区间上的性质研究，因此，解决问题的关键通常是内闭一致收敛性的验证。
4、幂级数（1）收敛半径，收敛域113（2）各种收敛性的关系：点收敛、绝对收敛、一致收敛 （3）幂级数的展开（4）和函数的性质：求和，求导，求积，求极限…注、要充分利用各种技巧实现和函数的计算、幂级数的展开等性质研究。
二、 典型题目1、判断函数列{()}n f x 在[0,1]的一致收敛性，其中 （1）、()1n nx f x n x=++， （2）、()(1)n n f x nx x =-。
解：（1）计算得，()lim ()lim1n n n nx f x f x xn x→∞→∞===++， [0,1]x ∈，因而，2|()()|||1n nx f x f x x n xn-=-≤++， [0,1]x ∈，故，{()}n f x 在[0,1]一致收敛。
（2）计算得()lim ()lim (1)0nn n n f x f x nx x →∞→∞==-=，[0,1]x ∈，记()|()()|(1)n n x f x f x nx x ϕ=-=-，则1()(1)[1(1)]n x n x n x ϕ-'=--+，故，()x ϕ在11n x n =+处达到最大值，因而11||()()||()(1)11nn n n f x f x x n n eϕ-==-→++，故，{()}n f x 在[0,1]非一致收敛。
注、下述用Dini-定理求证（2）的过程是否合适。
验证Dini 定理的条件： 显然，对任意的n ，()(1)[0,1]n n f x nx x C =-∈，()0[0,1]f x C =∈；当0x =或1x =，()0n f x =，因而关于n 单调；当0x ≠时，考察()(1)n n f x nx x =-关于n 的单调性，为此，将离散变量n 连续化，记1(0,1)a x =-∈，考查对应函数()y g y ya =关于y 的单调性。
显然，114()ln [1ln ]yyyg y a ya a a y a '=+=+，故，当101ln y a>>时，()0g y '<，因而关于y 单减。
对应得到当11ln1n x>-时，()n f x 关于n 单减，故由Dini-定理，{()}n f x 在[0,1]中一致收敛。
分析 显然，这是与最大值解法相矛盾的结论。
最大值方法是正确的，那么，上述Dini-定理的证明过程错在何处？进一步考察Dini-定理的条件与上述证明过程：条件,[0,1]n f f C ∈是确定的，有限区间[0,1]也适合，剩下的条件只有单调性了。
那么，Dini-定理中对单调性条件如何要求的？其叙述为：对任意固定的x ，{()}n f x 是n 的单调数列，注意到收敛性与前有限项没有关系，因而{()}n f x 的单调性也放宽为n N >时，{()}n f x 是n 的单调数列，本例中，在验证单调条件时，实际证明了：0x ∀≠，当11ln1n Nx∆>=-时，{()}n f x 关于n 单调，显然，11ln 1N x=→+∞-，（0x +→），因此，{()}n f x 的单调性关于x 并非是一致的，破坏了Dini-定理的条件，故Dini-定理不可用。
从上述分析过程看，当考虑到数列的收敛与前面有限项关系时，Dini-定理可这样表述：Dini-定理 在有限闭区间[,]a b 上，设()[,]n f x C a b ∈，n ∀且{()}n f x 点收敛于()[,]f x C a b ∈，又0N ∃>，使得对任意固定的[,]x a b ∈，{()}|n n N f x >关于n 单调，则[,]()()a b n f x f x ⇒。
注、上述分析表明：要考察函数列的性质时，通常只须考察n 充分大，即n N >时所满足的性质即可，要注意与x 关系的刻画，对函数项级数要注意同样的问题，如W-定理：W-定理 设0N ∃>，使得n N >时，|()|n n u x a ≤，x I ∀∈，且1n n a ∞=∑收敛，115则1()n n u x ∞=∑在I 上一致收敛。
定理中的条件|()|n n u x a ≤也是关于x 一致成立的，因此，条件不能改为“对任意的x ，存在N(x)，使得n>N(x)时，|()|n n u x a ≤”。
例2、证明：若()f x 在(,)a b 有连续导数()f x '，则1()[()()]n f x n f x f x n =+-在(,)a b 内闭一致收敛于()f x '。
分析 从题目形式看，由于知道极限函数，只需用定义验证即可，考察1|()()||[()()]()|n f x f x n f x f x f x n''-=+--|()()|f f x ξ''=-统一形式，1x x nξ<<+，1||x nξ-<因此，利用一致连续性可以完成证明。
证明：任取[,][,]a b αβ⊂，则()f x '在[,]αβ一致连续，因此，0ε∀>，0δ∃>，使得,[,]x x αβ'''∀∈且||x x δ'''-<时，|()()|f x f x ε'''''-<， 利用微分中值定理，存在1:x x nξξ<<+，使得|()()||()(n f x f x f f x ξ''-=-， 故，1n δ>时， 1||x nξδ-<<，因而|()()|n f x f x ε-<， 故，[,]()()n f x f x αβ'⇒。
3、讨论一致收敛性（1）2(1) , [0,1]nn x x x ∞=-∈∑ ； （2）20, (0,)nx n x e x ∞-=∈+∞∑。
解：（1）法一、由于结构简单，可以计算其部分和，因此，可以转化为函 数列来处理。
由于116120()(1)=(1-) (1-)knn k S x xx x x ==-∑，[0,1]x ∈故，()lim ()1 n n S x S x x →+∞==-，[0,1]x ∈。
因而，|()()|(1)nn S x S x x x -=-， 对任意的n ，记()(1) n g x x x =-，则11()(1)n n g x n x x n-+'=- 因而，g （x ）在n =n+1n x 处达到最大值，因而n1n||()()||(1)=() 0n+1n+1n n n n S x S x x x -=-→，n →+∞因此，[0,1]()()n S x S x ⇒，故，20(1) n n x x ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。
法二、也可利用最大值法，或W-判别法。
记2()(1)n n u x x x =-，则121()(1)2(1)(1)[(2)]n n n n u x n x x x x x x n n x --'=---=--+故，()n u x 在2n n x n =+处达到最大值，因而220()()()()222nn n nnu x u n n n ≤≤=+++ 2224()2n n≤≤+由W-定理可得，20(1) n n x x ∞=-∑在[0,1]x ∈一致收敛。