高考数学图形与数式
2024 高考 数学考试大纲
2024 高考数学考试大纲2024年高考数学考试大纲主要分为数与式、函数、几何与变换、统计与概率四个部分。
一、数与式1. 实数：实数的概念、实数的四则运算、有理数与无理数的关系、开方运算。
2. 立方根：立方根的概念、立方根的计算、立方根的性质。
3. 代数式与多项式：代数式的概念、等价代数式的判定、多项式的概念与多项式的次数、整除与同余等概念。
二、函数1. 函数的定义：函数的定义域、函数的值域、函数的单调性、函数的奇偶性等概念。
2. 一次函数：一次函数的定义、一次函数的图象与性质。
3. 二次函数：二次函数的定义、二次函数的图象与性质。
4. 分式函数：分式函数的定义、分式函数的图象与性质。
5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的定义与性质。
6. 指数函数与对数函数：指数函数与对数函数的定义、指数函数与对数函数的图象与性质。
三、几何与变换1. 平面几何：平行线与相交线、三角形、四边形、圆等平面图形的性质与判定。
2. 立体几何：空间几何体的表面积和体积，空间点线面的位置关系等概念。
3. 解析几何：直线的方程，圆的方程，圆锥曲线的方程等解析几何的基本概念。
4. 坐标变换：平移变换、旋转变换等坐标变换的概念与性质。
四、统计与概率1. 概率初步知识：概率的基本概念，随机事件的概率等概念。
2. 统计初步知识：总体与样本的概念，数据的整理与表示方法等概念。
3. 离散型随机变量及其分布：离散型随机变量的概念，几种常见的离散型随机变量的分布等概念。
4. 二项分布及其应用：二项分布的概念，二项分布的性质等概念。
新高考数学公式知识点汇总
新高考数学公式知识点汇总在新高考改革背景下，学生们在数学考试中将会遇到更加注重能力培养和实际运用的题目。
而数学公式作为数学学习的重要基础，对于学生而言也是必备的知识点。
下面将为大家整理一份新高考数学公式的知识点汇总，希望能够对大家的学习有所帮助。
一、平面解析几何公式平面解析几何公式是数学中的重要内容，建立在笛卡尔坐标系的基础上，主要用于描述平面上的几何关系。
1. 点到直线的距离公式设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0, y0)，则点到直线的距离为：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)2. 直线的斜率公式设直线上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的斜率为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)3. 直线的点斜式和斜截式设直线通过点(x0, y0)，斜率为k，则直线的点斜式和斜截式分别为：点斜式：y - y0 = k(x - x0)斜截式：y = kx + b二、立体几何公式立体几何公式主要涉及到空间中的几何图形的计算，是解决空间几何问题的基础。
1. 球体积公式设球体半径为r，则球体积为：V = (4/3)πr^32. 圆柱体体积公式设圆柱体的底面半径为r，高为h，则圆柱体体积为：V = πr^2h3. 圆锥体体积公式设圆锥体的底面半径为r，高为h，则圆锥体体积为：V = (1/3)πr^2h三、数列与级数公式数列与级数是数学中的重要概念，它们有着广泛的应用，特别是在数学建模等领域。
1. 等差数列通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项为：an = a1 + (n-1)d2. 等差数列求和公式设等差数列的首项为a1，末项为an，项数为n，则等差数列的和为：Sn = (n/2)(a1 + an)3. 等比数列通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项为：an = a1 * q^(n-1)四、微积分基本公式微积分是数学中的重要分支，研究函数的变化规律和求解曲线下的面积等问题。
高考数学重点难点37数形结合思想大全
重点重点难点36 函数方程思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究［例1］已知函数f(x)=logm(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x1＞x2≥α，有当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴即即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根∴∴0＜m＜故当0＜m＜时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏. （1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：又A、B锐角为三角形内两内角∴＜A+B＜π∴tan(A+B)＜0，即∴∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=且≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3●锦囊妙计函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练一、选择题1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［–(2a)2］对任意x∈［,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( )A.(0,B.(0, )C.［,1D.( , ）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是( )A.［，+∞B.(1,C.［,+∞D.(1, ］二、填空题3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为.三、解答题5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, …gn(x)=f［gn–1(x)］,…（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)= (a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参考答案●重点重点难点磁场1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′= ，又点M在直线上有，即∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意得a= ，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C3.解析：显然有x＞3，原方程可化为故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10又x= ＞3可得a＞.答案：＜a＜104.解析：原式化为.当＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须＜x≤26.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=–=1得a=–1，故f(x)=–x2+2x. （2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立；设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0=∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1由g1(x)＞0 6x–6x2＞1故对于区间( )和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0,∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,∴a≥在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范围是［,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2–m+1=0，n2–n+1=0故方程x2–x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=( )2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场1.曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B 用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决. 解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3}作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知：必须且只需解得≤a≤2③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需解得2＜a≤3④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2=2–2cos(α–β)又∵单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即∴.●锦囊妙计应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练一、选择题1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为( )A.α＜a＜b＜βB.α＜a＜β＜bC.a＜α＜b＜βD.a＜α＜β＜b二、填空题3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥},B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是.三、解答题5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？参考答案●重点难点磁场1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2) a∈(–3,–2 ，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：答案：A二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3三、5.解：①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=–的图象，知当｜–｜＜1且–≠时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(–,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan ，故tan(α+β)=3.6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆.如图所示∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即a最大.此时a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜,∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜如图：由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知–≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，– .于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y∴∴.高考数学重点难点突破重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。
高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)
【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。
在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求三角函数的单调区间使用情景：一般三角函数类型解题模板：第一步先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意参数A, 的正负；第二步利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；第三步运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.例1 函数cos( 2 )y x 的单调递增区间是（）4A．[k π＋，kπ＋8 58π] B ．[k π－38π，kπ＋8]C．[2k π＋，2kπ＋8 58π] D ．[2k π－38π，2kπ＋8] （以上k∈Z）【答案】 B.考点：三角函数单调性.【点评】本题解题的关键是将 2x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数y cos( 2x)的单调44递增区间转化为2x 在区间2k ,2k 上递减的.4【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是y f (x) 图像的任意两条对称6轴，且x1 x 的最小值为2 2．求函数 f (x) 的单调增区间；【答案】[ k , k ], k Z .3 6【解析】试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求，根据公式求此函数的单调递增区间.试题解析：由题意得T , 则1, f (x) sin(2 x ). 由2k 2x 2k , 解得6 2 6 23 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是k k ], k Z x k k [ .,6 3 6考点：1．y A sin x 的单调性；【变式演练2】已知函数sin( )+ ( 0 0 )f x A x B A ，，的一系列对应值如下表：2x6 3 5643116 [73176y 2 4 2 4 （1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；【答案】（1） f x 3sin x 1（2）352k ，2k (k Z)（k + ，1）(k Z).6 6 3（2）当2 2 ( )k x k k Z，即2 3 25x k ，k k Z时，函数f x 单调递2 2 ( )6 6增．令= ( x k k Z)，所以函数 f x 的对称中心为+ 1 ( x k k Z)，得= + ( k k Z)（，）．3 33考点：1．三角函数解析式及基本性质；2．数形结合法[ 来源:Z*xx*]类型二由y A sin( x ) 的图象求其函数式使用情景：一般函数y A s in( x ) 求其函数式解题模板：第一步观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与x轴交点坐标等；第二步利用特殊点代入函数解析式计算得出参数A, , 中一个或两个或三个；第三步要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；第四步得出结论.例2 已知函数y A sin( x ) y A s in( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的2解析式是（）（A）y 4 sin( x ) （B）y 4 s in( x )8 4 8 4（C）y 4 s in( x ) （D）y 4 sin( x )8 4 8 4【答案】 D考点：y Asin x 的图像【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与x轴的交点坐标可得其周期为T ，进而可得的大小；然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到的大小.【变式演练3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示，则f x2的解析式为（）6A．2sinf x x B．f x2sin2x36C．2sin2f x x D．f x2sin4x6【答案】B【解析】考点：由y A s in(x)的部分图像确定解析式。
高考数学理二轮专题复习典型例题在线：专题30 数形结合的思想方法
2
即 122cos 4 d2a2c 2b2，
所以 cos2 21cos2 a2c 2b2，
命题得证.
15
(6)利用“正余弦定理”构图 例 6 求 s i n 2 2 0 c o s 2 5 0 s i n 2 0 c o s 5 0 的 值 ． 解析:将原式变形为 sin2 20 sin2 40 2sin20 sin40cos120， 于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分 别为20、40、120，并设此三角形外接圆直径为1， 则此三角形三边长分别为sin20、sin40、sin120，
11
因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0，
从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)．
点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相 同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函 数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特 殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点 即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：
例 1求 函 数 fxx24x13x212x37
的 最 小 值 ．
-
4
解析：将函数式变形，得
f x x2 4x 13 x2 12x 37
x 22 0 32 x 62 0 12，
设A2,3，B 6,1，P x,0，则上述问题转化为求
-
PA PB 的最小值，如图点A关于x轴的对称点为 C (2， 3)，因为 PA PB PC PB BC 4 2，
由余弦定理可得 sin2 20 sin2 40 2sin20sin40cos120 sin2120 3 .
山东高考数学知识点
山东高考数学知识点
一、数与式
1. 实数及其性质
2. 复数
3. 数量关系与函数
二、代数式与方程
1. 代数式的基本概念
2. 多项式及其运算
3. 方程及其根
4. 一元一次方程与一元一次不等式
5. 二次根式与二次方程
6. 二次函数与一元二次方程
三、函数及其图象
1. 函数及其表示法
2. 基本初等函数及其性质
3. 图象与函数关系
4. 函数的性质和变化规律
5. 函数的应用
四、数列与数表
1. 数列的概念及分类
2. 等差数列
3. 等比数列
五、几何与变换
1. 平面几何基本概念
2. 几何变换与刚体运动
3. 平面向量及其运算
4. 解析几何在平面几何中的应用
5. 三角函数与解三角形
6. 图形与坐标几何
六、概率与统计
1. 随机事件及其概率
2. 概率的计算方法
3. 统计与统计图
4. 正态分布及其应用
七、数学思想方法
1. 数学模型与数学问题的提出
2. 运算与推理
3. 证明方法与证明思路
4. 问题解决的思路与方法
以上是山东高考数学的主要知识点，通过系统学习和掌握这些知识点，可以帮助考生更好地应对高考数学的考试。
希望各位考生认真学习，刻苦复习，取得优异成绩！。
新高考数学基础知识点汇总
新高考数学基础知识点汇总随着新高考改革的推进，数学作为一门重要的科目，对学生的考试成绩和升学路径都产生着深远的影响。
为了帮助广大学生更好地备考数学，下面将对新高考数学的基础知识点进行汇总，供学生参考。
一、数与式的基本概念1. 数的基本概念数的分类、数的读法、数的性质等。
2. 数的四则运算加法、减法、乘法、除法的定义和性质。
3. 算式的基本概念算术表达式、算术表达式的概念和性质。
4. 计算顺序与计算规则加减乘除的计算顺序和计算规则。
二、代数式及其基本性质1. 代数式的概念代数式的定义和构成要素。
2. 代数式的运算代数式的加减乘除运算法则。
3. 同类项与合并同类项同类项的定义和合并同类项的方法。
4. 二项式的乘法展开二项式乘法的展开法则和运算规律。
三、方程与不等式1. 方程的基本概念方程的定义和解的概念。
2. 一元一次方程一元一次方程的解法和性质。
3. 一元二次方程一元二次方程的解法和性质。
4. 不等式的基本概念不等式的定义和解的概念。
5. 一元一次不等式一元一次不等式的解法和性质。
四、三角学1. 角的概念角的定义、角的度量、角的性质等。
2. 三角函数的基本概念正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和性质。
3. 角的变化关系三角函数之间的关系和性质。
4. 三角函数的应用三角函数在实际问题中的应用。
五、平面向量1. 向量的基本概念向量的定义、向量的表示和性质。
2. 向量的运算向量的加法、减法和数量乘法运算。
3. 向量的坐标表示在直角坐标系下向量的坐标表示方法。
4. 向量的应用向量在几何和物理问题中的应用。
六、几何图形与变换1. 几何图形的基本属性点、线段、角、面的定义和性质。
2. 三角形的性质三角形的内角和、外角和、角平分线等性质。
3. 平面几何的基本定理中线定理、高线定理、正弦定理、余弦定理等。
4. 平移、旋转、镜像和缩放平面几何变换的基本性质和规律。
通过对以上知识点的系统学习和掌握，相信广大学生能在新高考中取得优异的数学成绩。
高考数学数形结合问题
第五十二讲数形联合A组一、选择题1. 已知函数 f(x)＝ x2＋ e x－1(x<0) 与 g(x)＝ x2＋ ln( x＋ a)的图象上存在对于y 轴对称的点，则 a 2的取值范围是 ()A.－∞，1－∞，e) C.－1， eD.－ e，1e B.(e e答案： B分析：由题意可得，当x>0 时， y＝ f(－ x)与 y＝ g(x)的图象有交点，即g(x)＝ f(－ x)有正解，即 x2＋ln( x＋ a) ＝ (－x)2＋ e－x－12有正解，即 e－x－ ln(x＋ a)－12＝ 0 有正解，令 F(x)＝ e－x－ ln(x1－x－1－x1＋a)－，则 F′(x)＝－ e<0，故函数 F(x)＝ e－ ln(x＋ a)－在 (0，＋∞)上是单一递减2x＋ a2的，要使方程g(x)＝ f(－ x)有正解，则存在正数 x 使得 F(x) ≥0，即 e－x－ln( x＋ a)－1≥0，所以2e x1 e x1x 在(0，＋∞)上单一递减，所以e 011a≤e2x ，又y＝ e2a< e20＝ e2，选B.2. 函数 f(x)= 1 x 2 (| x |1)，假如方程 f(x)=a 有且只有一个实根，那么 a 知足 ( )| x |(| x |1)A. a<0B.0≤ a<1C.a=1D.a>1答案： C分析：由图知 a=1 时，图象只有一个交点，应选 C.3.已知圆 C：( x－3)2＋( y－4)2＝1和两点 A(－m,0)，B( m，0)( m>0)，若圆 C上存在点 P，使得∠ APB＝90°，则 m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案： B分析 . 依据题意，画出表示图，以下图，则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1，且 | AB | ＝2m .1因为∠ APB ＝ 90°，连结 OP ，易知 | OP |＝ 2| AB | ＝m .要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 .22因为 | OC | ＝ 3 ＋ 4 ＝ 5，所以 | OP |max ＝ | OC | ＋ r ＝ 6，1224. 设平面点集 A ＝ {( x ，y )|( y － x ) · ( y －x ) ≥ 0} ， B ＝ {( x ， y )|( x － 1) ＋( y － 1) ≤1} ，则 A∩B 所表示的平面图形的面积为 ( ) 334πA. 4πB.5πC.7πD.21答案： D 分析：因为对于会合A ， ( y － x ) y － x ≥ 0，y － x ≥0，y － x ≤0，所以1或1其表示的平面地区如图 .y －x ≥ 0y － x ≤ 0，对于会合 B ， ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2≤ 1 表示以 (1,1) 为圆心， 1 为半径的圆及其内部地区，其面积为π .12由题意意知 A ∩ B 所表示的平面图形为图中暗影部分，曲线y ＝ x 与直线 y ＝x 将圆 ( x －1) ＋( － 1) 2＝1 分红1， 2， 3，4四部分 . 因为圆 ( x － 1)2＋( y－ 1) 2＝1 与 y ＝ 1 的图象都对于直ySSSSx线 y ＝ x 对称，进而 S ＝S ， S ＝ S ，而 S ＋ S ＋ S ＋ S ＝π，所以 S＝S ＋S ＝ π暗影 2.1234123424二、填空题5. 已知函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R) ，对函数 y ＝ g ( x )( x ∈ I ) ，定义 g ( x ) 对于 f ( x ) 的“对称函数” 为函数 y＝ h( x)( x∈ I )，y＝ h( x)知足：对随意x∈ I ，两个点( x，h( x))，( x，g( x))对于点( x，f ( x))对称.若 h( x)是 g( x)＝4－x2对于f ( x) ＝ 3x＋b的“对称函数” ，且h( x)> g( x) 恒成立，则实数 b的取值范围是 ________.答案： (210，＋∞ )分析由已知得h x＋ 4－x2) ＝ 6＋ 2－ 4－x 2(x)> ()＝3＋，所以 (.2x b h x x b h g x恒成立，即 6x ＋2－ 4－2> 4－x2，3 ＋> 4－x2恒成立 .b x x b在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋ b 及半圆 y＝2如图所4－x(b示) ，可得>2，即b>2 10，故答案为 (2 10，＋∞ ). 10x2y26．椭圆a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的左、右极点分别是A，B，左、右焦点分别是 F1，F2，若| AF1|，| F1F2 | ， | F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【分析】1121122∵ | AF| ＝a－c，|FF|＝ 2c， | F B| ＝a＋c，且三者成等比数列，则| FF|11222c5＝| AF| · | F B| ，即 4c＝( a－c) · ( a＋c) ，得a＝ 5c，∴ e＝a＝5.【答案】5 5三、解答题7. 已知函数f (x) ＝ 2lnx－x2＋( ∈R)．ax a(1) 当＝2时，求f (x) 的图象在x＝ 1处的切线方程；a(2) 若函数g( x)＝ f (x)－ax＋ m在1， e上有两个零点，务实数m的取值范围．e22解： (1)当 a＝2时， f( x) ＝ 2ln x－x＋ 2x，f′ ( x) ＝x－ 2x＋2，切点坐标为 (1 ， 1)，切线的斜率k＝ f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2( x－1)，即 y＝2x－1.(2)g( x)＝2ln x－ x2＋ m，2－ 2（x＋ 1）（x－ 1）则 g′( x)＝x－2x＝x.1∵ x∈e，e，∴当 g′( x)＝0时， x＝1.1当 <x<1 时，g′( x)>0 ；e当 1<x<e 时，g′ ( x)<0.故 g ( x ) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g (1) ＝ m － 1.112121 1又 g e ＝ m － 2－ e 2， g (e) ＝ m ＋ 2－ e ， g (e) － g e ＝ 4－ e ＋ e 2<0，则 g (e)< g e ，1∴ g ( x ) 在 ， e 上的最小值是 g (e) ． e1g ( x ) 在， e 上有两个零点的条件是eg （ 1）＝ m － 1>0，11 g e ＝ m － 2－e 2≤ 0，1解得 1<m ≤ 2＋e 2 ，1∴实数 m 的取值范围是1，2＋ e 2 .8. 已知函数 f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x 的图象经以下变换获得：先将g(x)图象上全部点π的纵坐标伸长到本来的2 倍 (横坐标不变 )，再将所获得的图象向右平移2个单位长度 .(1) 求函数 f(x)的分析式，并求其图象的对称轴方程；(2) 已知对于 x 的方程 f( x) ＋g( x)＝m 在 [0,2 π)内有两个不一样的解α， β.2m 2 ①务实数m 的取值范围；②证明： cos(α－ β)＝－ 1.5解 法一 (1) 将 g(x)＝ cos x 的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的2 倍(横坐标不变 )获得 y＝2cos x 的图象，再将 y ＝2cos x 的图象向右平移π y ＝ 2cos x －π 个单位长度后获得的图象，22故 f(x)＝ 2sin x.进而函数 f(x)＝ 2sin x 图象的对称轴方程为πx ＝ k π＋(k ∈ Z ).2(2) ① f(x)＋g(x)＝ 2sin x ＋ cos x ＝ 52sin x ＋ 1cos x ＝ 5sin(x ＋ φ)55此中 sin φ＝ 1， cos φ＝255.依题意， sin(x ＋ φ)＝ m在 [0，2π)内有两个不一样的解α， β，当且仅当m＜ 1，故 m 的取值55范围是 (－ 5， 5).②证明 因为 α， β是方程5sin( x ＋ φ)＝m 在 [0，2π)内的两个不一样的解。
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1、首先输入文字“火焰”，并两次按下Ctrl+B组合键将其打散。2、使用墨水瓶工具为文字描边，随后去掉文字，保留边框。3、在“插入”菜单下选择“新建元件”，新建名为“火焰”的影片剪辑元件。4、选择“Deco工具”，在“属性”面板下的“绘制效果”里选择“火焰动画”选项。5、在 三维建筑动画制作中有哪些要求三维建筑动画虚拟表现影片最好应该由建筑师本人应用，但由于现今社会分工日趋精细，在建筑师辅助设计意图指导的基础上，动画表现工作往往需要三维动画人员进行电脑制作，这些人员可能是美术专业、建筑相关专业及计算机专业等非建筑设计专业人员。如果 三维虚拟软件 1、一、三维建筑动画制作设计人员要具有一定的艺术修养和绘画的基本功;电脑动画表现如果不从其它绘画艺术中获取营养和启示，就不会有广阔的创新发展空间。2、二、三维建筑动画制作设计人员要有建筑设计意识和理论知识;建筑动画不同于艺术绘画，追求艺术性美观性的同时，还要注意一 5、 为使整个建筑动画场景更加真实，场景材质的颜色和属性应与实际的物体相似。在调整材质时除了要考虑个别物体的特殊性外，还要注意材质色调的整体协调。要控制好材质的反射和折射数量，否则会在最终渲染时耗费大量的时间。要充分利用好材质贴图的特性对整个场景和物体表面的控制，如 6、建筑动画的灯光控制相对静帧效果图的制作要复杂一些，建筑效果图只是单一方向的视觉表现，对整个场景可任意调整灯光的位置、角度、强弱等来达到单一方向灯光的光感效果，对建筑动画而言，则要进行多角度的调整和观察。建筑动画的室外和室内场景有较明显的灯光差别，室外场景除 总之，材质和灯光应该是紧密相连的，制作者应将其各种技术参数进行细致调节，反复比对静帧效果，以达到动画画面更具有真实性和艺术性。 以上经验由丝路数码技术提供！ 动画制作的流程分享动画制作的流程分期 pr、ps、3dmax、人物画像，脚本 1、动画制作，主要分为三期，分别是前期、中期和后期。 2、前期：就是企划/策划，就是确定这个作品是否适合将他做成动画，根据成本和预计利润，以这个来规划制作的成本时间。制作的内容包括脚本制作，分镜图、人设的设计、背景、还有整个画面的色彩。 3、中期：原画，将分镜头的画面按照要求用画面完整的表现出来。动画，将原画的定格的画面用pr加上更多的画面，让动作看起来是更加连贯的。上色，根据人物和背景的色彩设定，给面上色。摄影，将动画人物和背景合成为最终镜头，用pr进行特殊处理，再加上一些音效。 4、后期：剪接动画，将所有的动画画面镜头都剪辑接在一起，这样摄影效果出来时就像电视剧一样按段分割，这样使我们后期再发现有问题时容易修改。
mg动画制作
详解Fireworks中的动画制作 有过FLASH动画制作基础的朋友一定知道，在FLASH中将绘制的图像转换成的“图像元件”或“动画元件”是可以通过软件的内建指令，产生运动及其它变化的效果。而在Fireworks中也沿用了这种动画制作方式，从而大大减省了GIF动画制作时的繁琐性。而在本篇教 在Fireworks中，动画的运动方式可分为四个基本动作： 1、直线运动：图像由A点直线移动至B点； 2、旋转：图像原地进行顺时针或逆时针旋转； 3、不透明度渐变：图像的透明度发生变化； 4、缩放：图像的产生放大或缩小的变化。 每种动画效果即可独立作用于一个图形对象，也可同时作用于一个图形对象上。 2、二、图像的动画制作 在Fireworks中，将绘制完成的图形对象制作成动画效果，可以通过“动画”的设置对话框直接完成。同时也可以将图像转为“图像元件”后，通过“补间实例”功能来间接实现。 1、使用“动画”设置框制作动画 点选将要制作成动画的图形对象后，选择菜单栏上的“修改——动画——选择动画”命令，将会弹出“动画”的设置对话框，如图01。图01 在这里，可以设置动画的帧数、图像的移动距离、运动方向、缩放程度、不透明度的变化以及旋转的方向和角度等。设置完成后可点击“确定”按钮。如果此时的“帧”浮动面板里的帧数少于当前将要创建的动画帧数时，则会弹出一个提示框，示意是否为当前动画建立足够的帧数。再次点击 2、使用“补间实例”功能制作动画 这是一种间接制作动画的方式。具体的操作方法是，先选中图形对象后按F8键，在“元件属性”对话框中将图象转为“图形元件”。此时打开“库”浮动面板的话就会看到，这里多了一个“图形元件”。说明该对象已被成功转换为“图形元件”。如图03。图03 而原来画布中的图像左下角则会多出一个小箭头标志，表明这是该“图形元件”的一个分身。我们从“库”面板中用鼠标将该“图形元件”拖拽至画布当中，为该“图形元件”建立第二个分身对象。同时选中这两个分身对象后，在任意一个分身对象上点击鼠标右键，并从弹出菜单中选择“元 在“步骤”栏中可输入这两个分身之间过渡的图像步骤，在这里我们可以理解为该动画设置帧数。而“分散到帧”复选框则是将这两个分身之间的过渡图像按顺序分发到每个帧之中。因此只有选中了该项，整个动画才能完成。在点击“确定”按钮后即可生成动画效果了。 如果想让图像做成动画后产生缩放、不透明度渐变以及旋转效果的话，可在启动“补间实例”之前对这两个分身对象进行不同程度地缩放、不透明度设置和旋转后，再进行“补间实例”的操作。 字母形变动画A→B的制作方法 在Flash动画制作中，有一类动画，称为形变动画，指的就是形状发生改变的动画！ 下面，本例教你制作一个字母形变动画，从字母A逐渐变化到B的动画。 要制作此例子，需要您本身有一小点动画制作基础。我们所使用的软件是Flash软件。
1、一、在两个关键帧中输入字母文字 首先，需要您在舞台的时间轴上的两个关键帧中，分别输入两个字母。 如下图，在第一帧中，输入字母A。 2、然后，在第十帧中，输入字母B，如下图。 3、一般情况下，上述两个关键帧中的字母，要注意其位置和大小要保持一致。您可以将第一帧的A字母复制粘贴到第十帧，然后再修改为B字母，这样，不仅能保证位置和大小不变，同时还能保证字体字型等不会改变，这样制作出来的效果，其对比性更好。 二、分离、打散两个关键帧中的字母对象 关键帧中有字母以后，还得需要将字母分离，即打散，这一步相当关键，不能少，否则动画就无效了。 选择第一帧的A字母，点击右键，如下图。 4、选择菜单中的“分离”，这样，就将字母打散了。 使用同样的方法，再对字母B进行分离。效果如下图。 5、所谓的分离打散，指的是将对象分离开来，使其不是一个组合的整体。这样才能创建形变动画。 三、创建两个关键帧之间的形变动画 使用鼠标左键选择第一帧，注意，选择的是帧，而不是帧中的对象。 6、然后，在其对应的属性面板中，找到“补间”，之后，如上图一样，选择“形状”动画，这样，整个动画就制作完成了。 最后，按下Ctrl+Enter键，就可以观看形变动画的效果了。