基于MATLAB的小波变换在信号分析中应用的实现
Matlab小波分析在信号处理中的应用
Ｔ ｅ Ｕ ｅ ｆ Ｍ ｔ ａ ａ ｅ ｅ ｎ １ ｓ Ｓ ｎ Ｓ ｇ ａ Ｐ ｏ ｅ ｓ ｎ ｈ ｓ ｏ ａ １ ｂ Ｗ ｖ １ ｔ ｈ ａ ｙ ｉ ｉ ｉ ｎ １ ｒ ｃ ｓ ｉ ｇ
肖大 雪
Ｘｉ ｏＤａ ｕ ａ ｘ ｅ
（ 江西财经大学软件与通信工程学 院， 南昌 江西 ３ ０ １） ３ ０ ３
Ｇ ｂ ｒ １４ ａ ｏ 于 ９６年提 出窗 口傅 立叶变换 ， 它可以对时空信号进 行分段或分 块， 即时空一频谱分析 。
展。 至今 ， 对于其性质随时间稳定 不变 的信号而言， 处理的理
它度量 了信号在所有不同频率中的振荡信息 。
傅立叶变换 的逆变化为：
１ 田
厂） ＩＦ ） （ ， 寺 （Ｐ
（ ２ ）
意味着信号可展开为不同频率正弦信号 的线性叠加 。
从（ 式 中我们可以看 出傅立 叶变换 的核函数是 正弦 函 １ ）
摘
‘
要： 文在对傅立 叶变换和窗 口傅立 叶变换 以及小波变换 比较分析的基础上 ， 本 重点探讨 了Ｍａ ａ ｔ ｂ小波分析对普通信 ｌ
ｇ进行分析 、 － 消噪、 压缩和奇异点检测等信号处理 中的各种应用 ， 并提 出一些 自己的看法。 关键词： 小波变换 ； 信号处理； 消噪 ； 缩 压 中图分类号 ： Ｐ ７ Ｔ ２４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：６ １ ７ ２（０ １１０ ６ ５ １７ － ９ ． １）．０ ００ ４ ２
Ｏ Ｗｎ ｅ ． ｖｉｗｓ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： ａ ｅｅ ａ ｓ ｏ ； ｉ ａ ｒ ｃ ｓ ｉｇ Ｄｅ ｎ ｉｉ ｇ Ｃ ｍｐ ｅ ｓｏ ｙ ｒ ｓ Ｗ ｖ ｌｔ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ Ｓ ｇ ｌ ｏ ｅ ｓｎ ； — ｏ ｓ ； ｏ ｒ ｓｉ ｎ ｍ ｎ Ｐ ｎ
matlab小波分解重构高频信号
matlab小波分解重构高频信号读者可能会有的问题和困惑。
小波分解是一种遍布于各个领域，常用于信号处理、图像处理等技术的数学工具。
它基于一种名为小波变换的数学理论，可以将原始信号分解成多个频带组合，类似于频域的傅里叶变换。
在这些频带中，低频部分对应着原信号的慢变化、趋势等，而高频部分则对应着信号的短时变化、噪声等。
因此，小波分解可以用于对信号进行去噪、特征提取、边缘检测等操作，也可以用于压缩、加密等应用。
在本文中，我们将以MATLAB 为例，介绍如何使用小波分解对信号进行处理。
一、加载示例数据在MATLAB 中，可以使用wavread 函数加载音频文件作为示例数据，如下所示：matlab[x, fs] = wavread('example.wav');这里，x 是加载的音频数据，fs 是采样率。
如果需要处理的是其他类型的信号，可以使用其他载入数据的函数，如load、csvread 等。
二、进行小波分解在MATLAB 中，可以使用wavedec 函数进行小波分解，如下所示：matlab[c, l] = wavedec(x, N, wname);其中，c 是分解后的系数向量，l 是包含各个频带长度的向量，N 是分解的阶数，wname 是小波函数的名称。
这里，我们选择Daubechies-4 小波作为分析小波函数，其名称为db4。
matlab[c, l] = wavedec(x, 5, 'db4');三、获取高频信号在小波分解后的系数向量c 中，每个位置对应着一个分解出的频带。
因此，我们可以根据小波分解的原理，获取特定频带的系数，再通过逆小波变换将其重构成对应的信号。
在本文中，我们将使用高频部分作为重点介绍。
对于N 阶小波分解，l(1:N+1) 包含有N+1 个数字，分别对应着从低频到高频的各个频带长度。
其中，l(1) 对应的是最低频的长度，也就是原信号长度。
为了获取高频系数，我们需要从c 向量中抽取其中的高频部分。
matlab小波变换信号分离
MATLAB小波变换（Wavelet Transform）是一种常用的信号处理工具，可用于信号的时频分析，特征提取和信号分离等应用。
本文将对MATLAB小波变换进行详细介绍，并利用其进行信号分离的实际应用。
1. 小波变换原理MATLAB小波变换是一种多尺度分析方法，通过将信号分解为不同频率和尺度的小波基函数，能够揭示信号的时频特性。
其原理是利用小波基函数对信号进行分解和重构，从而实现对信号的时频分析和特征提取。
2. MATLAB小波变换工具MATLAB提供了丰富的小波分析工具包，包括小波变换函数、小波滤波器设计函数等，能够方便地进行信号的小波分解和重构。
利用MATLAB小波变换工具，可以对信号进行多尺度分析，揭示信号中的细节和特征信息。
3. 信号分离应用利用MATLAB小波变换，可以实现对混合信号的分离和去噪。
在实际应用中，经常遇到多个信号叠加在一起的情况，通过小波变换可以将这些混合信号分解为各自的成分，从而实现信号的分离和分析。
4. 实例分析接下来，我们通过一个实际的示例来演示MATLAB小波变换在信号分离中的应用。
假设我们有两个信号叠加在一起，分别是正弦信号和方波信号。
我们首先使用MATLAB将这两个信号混合在一起，然后利用小波变换对其进行分析和分离。
我们使用MATLAB生成正弦信号和方波信号，并将它们叠加在一起。
利用小波变换将这两个信号进行分解，得到它们各自的小波系数。
我们根据小波系数重构出原始信号的各个成分，实现信号的分离和还原。
通过实例分析，我们可以看到MATLAB小波变换在信号分离中的有效性和实用性，能够帮助我们从混合信号中提取出感兴趣的成分，实现对信号的分析和处理。
5. 总结MATLAB小波变换是一种强大的信号处理工具，可以用于信号的时频分析、特征提取和信号分离等应用。
通过对小波变换原理和工具的详细介绍，以及实际的应用实例分析，我们深入理解了MATLAB小波变换在信号分离中的应用和优势。
matlab wsst 实现方法(一)
matlab wsst 实现方法(一)Matlab WSST 实现介绍在信号处理和数据分析中，离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是一种常用的技术。
其中，基于小波域的子带选择和阈值处理方法被广泛应用于信号的去噪和特征提取等方面。
Matlab 提供了许多函数和工具箱，便于实现小波域的信号处理。
本文将介绍一些常用的方法和函数，帮助读者进一步研究和应用小波域的分析。
第一部分：基本概念什么是小波？小波是一种数学函数，具有尖锐的峰和谷，具有局部性和多分辨率分析特性。
小波可以用于信号的时频分析和编码等应用。
什么是小波变换？小波变换是一种将信号表示为小波基函数的线性组合的方法。
小波变换具有时频局部性、多分辨率和平移不变性的特点，适用于处理非平稳信号。
第二部分：Matlab函数介绍wcoherencewcoherence函数计算信号的小波相干图，用来分析两个信号之间的相互关系。
对于非平稳信号，相干图能够提供更加详细的时频信息。
wtwt函数用来计算连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）。
CWT可以提供信号的时频信息，并且不同尺度的小波基函数可以捕捉到不同频率成分的特征。
idwtidwt函数用于逆小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform）。
通过idwt函数，可以将小波系数还原成原始信号。
第三部分：应用示例信号去噪使用小波阈值去噪方法对信号进行去噪处理。
首先，对信号进行小波分解，然后根据阈值的选择，将小波系数中的噪声部分置零或进行缩放，最后将处理后的小波系数进行逆小波变换，得到去噪后的信号。
特征提取利用小波变换进行信号的特征提取。
通过选择不同的小波基函数和分解尺度，可以获得信号在不同频率和时间尺度上的特征。
常用的方法包括小波包分析和小波时频分析等。
结论通过Matlab的小波域信号处理工具和函数，我们可以方便地进行信号的时频分析、去噪和特征提取等操作。
Matlab中的小波变换与小波分析技术
Matlab中的小波变换与小波分析技术引言：小波变换（Wavelet Transform）是一种强大的信号分析技术，能够在时间与频率上同时提供信息。
与传统的傅里叶变换相比，小波变换可以应对非平稳信号，并在信号分析中提供更多的细节和局部特征。
在Matlab中，小波变换及其相关分析技术被广泛应用于各个领域，如图像处理、信号处理、数据压缩等。
本文将介绍Matlab中的小波变换与小波分析技术，并探讨其在实践中的应用。
一、小波变换的基本原理小波变换通过将信号与不同尺度和位移的小波基函数相乘，来获得信号在不同频率和时域上的表示。
与傅里叶变换可以提供整个频谱信息不同，小波变换能够提供信号的时间局部特征。
小波基函数具有紧凑支持，可以在时间和频率上实现局部化。
Matlab中提供了丰富的小波变换函数，如cwt、dwt、wt、swt等。
其中，cwt 函数实现了连续小波变换，dwt函数实现了离散小波变换，wt函数实现了小波变换的可视化分析，swt函数实现了离散小波变换的平移不变性。
二、小波变换的应用1. 图像处理小波变换在图像处理中具有广泛的应用。
通过对图像进行小波分解，可以将图像信号分解成不同频带的小波系数。
这些小波系数包含了图像的细节和轮廓信息，可以用于图像去噪、边缘检测、纹理分析等。
在Matlab中，可以使用wavedec2函数对图像进行二维小波分解，然后使用wrcoef函数对分解得到的小波系数进行重构，实现图像的去噪和增强等操作。
2. 信号处理小波变换在信号处理中也有广泛的应用。
通过对信号进行小波分解，可以将信号分解成不同频带的小波系数。
这些小波系数可以用于信号去噪、特征提取、模式识别等。
在Matlab中，可以使用dwt函数对信号进行离散小波分解，然后使用idwt函数对分解得到的小波系数进行重构，实现信号的去噪和分析等操作。
3. 数据压缩小波变换在数据压缩领域被广泛应用。
通过对信号或图像进行小波分解，可以将信号或图像的能量在频域上进行稀疏表示，然后通过舍弃部分系数进行数据压缩。
matlab离散小波变换dwt(小波分解)
小波变换是一种在信号处理领域广泛应用的数学工具，它可以将信号分解成不同尺度和频率成分，具有良好的局部化特性。
在Matlab中，离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）是其中一种常用的小波变换方法，它广泛应用于图像处理、语音处理、数据压缩等领域。
本文将对Matlab中离散小波变换的原理、应用及实现方法进行详细介绍。
1. 离散小波变换的原理离散小波变换是通过将信号经过多级高通和低通滤波器的卷积运算，然后下采样，最终得到近似系数和细节系数的过程。
具体来说，设输入信号为x[n]，高通滤波器为h[n]，低通滤波器为g[n]，则小波变换的原理可以表述为：\[a_{\text{scale},n} = x[n]*h_{\text{scale},n} \]\[d_{\text{scale},n} = x[n]*g_{\text{scale},n} \]其中，a为近似系数，d为细节系数，scale表示尺度，n表示离散时间序列。
2. Matlab中离散小波变换的应用离散小波变换在Matlab中有着广泛的应用，包括但不限于图像处理、语音处理、数据压缩等领域。
其中，图像处理是离散小波变换最为常见的应用之一。
通过对图像进行小波变换，可以将图像分解成不同尺度和频率的分量，实现图像的分析和处理。
在语音处理领域，离散小波变换可以用于信号降噪、语音特征提取等方面。
在数据压缩领域，离散小波变换可以实现对数据的降维和提取主要信息，从而实现数据的压缩存储。
3. Matlab中离散小波变换的实现方法在Matlab中，可以通过调用相关函数来实现离散小波变换。
其中，dwt函数是Matlab中常用的离散小波变换函数之一。
其调用格式为：\[cA = dwt(X,'wname','mode')\]\[cA, cD = dwt(X,'wname','mode')\]其中，X为输入信号，'wname'为小波基函数的名称，'mode'为信号的扩展模式。
基于MATLAB的小波分析在信号消噪中的应用
基于MATLAB的小波分析在信号消噪中的应用摘要在信号分析与处理中信号去噪是一个常见问题，本文利用MATLAB 软件中的小波分析工具箱实现信号的去噪。
首先利用单尺度小波分解函数分解信号，并去除高频系数，再利用去噪函数处理新信号，获得了良好的去噪效果。
相比于直接利用去噪函数去噪，本文的方法减小了去噪误差，能更好的去除随机噪声。
关键字小波分解；小波重构；信号去噪；MATLAB0 引言1910年，Haar提出了最早的小波规范正交基，但当时并没有出现“小波”这个词。
1981年，Morlet对Fourier变换与加窗Fourier变换的异同、特点及函数构造做了创造性研究，首次提出了“小波分析”的概念，建立了以他的名字命名的Morlet小波，并取得巨大成功。
后来，Mallat于1987年将计算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出多分辨率分析概念，统一了在此之前的所有正交小波基的构造，并且提出相应的分解与重构快速算法。
由于小波变换具有底熵性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等良好特性，使小波变换在工程中得到广泛应用。
1 小波变换原理上式称为小波函数，它是由母小波经过伸缩、平移得到的函数族，可知连续小波变换是一个二元函数，它把一元函数变换成时间和频域平面上的二元函数。
同时由Parseval恒等式易得到小波变换频域的表示：通过上式可知小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，因此小波变换在时频域都有很强的表征信号局部特征的能力。
基于以上小波变换的优点，因此小波变换在信号的分析与处理中广泛应用。
2 信号去噪信号去噪是信号处理领域的一个常见问题。
传统去噪方法主要是线性滤波和非线性滤波，例如中值滤波和Wiener滤波等。
小波变换具有诸多优点因此也常利用小波变换进行信号的消噪。
MATLAB软件提供了多个阈值去噪函数，本文采用ddencmp函数获取信号去噪阈值，然后采用wdencmp实现信号去噪，并计算消噪误差。
基于matlab信号分析与处理
基于matlab信号分析与处理信号分析与处理是一门重要的学科，它涉及到许多领域，如通信、音频处理、图象处理等。
在信号分析与处理中，Matlab是一种常用的工具，它提供了丰富的函数和工具箱，可以匡助我们进行信号的分析和处理。
首先，我们需要了解信号的基本概念。
信号可以分为连续信号和离散信号两种类型。
连续信号是在时间上是连续变化的，而离散信号则是在时间上是离散的。
在Matlab中，我们可以使用不同的函数来表示和处理这两种类型的信号。
对于连续信号，我们可以使用Matlab中的plot函数来绘制信号的图象。
例如，我们可以使用以下代码来绘制一个正弦信号：```matlabt = 0:0.01:2*pi; % 时间范围为0到2πx = sin(t); % 正弦信号plot(t, x); % 绘制信号图象xlabel('时间'); % 设置x轴标签ylabel('幅度'); % 设置y轴标签title('正弦信号'); % 设置图象标题```对于离散信号，我们可以使用Matlab中的stem函数来绘制信号的图象。
例如，我们可以使用以下代码来绘制一个离散的方波信号：```matlabn = 0:10; % 时间范围为0到10x = square(n); % 方波信号stem(n, x); % 绘制信号图象xlabel('时间'); % 设置x轴标签ylabel('幅度'); % 设置y轴标签title('方波信号'); % 设置图象标题```除了绘制信号的图象，我们还可以对信号进行一系列的分析和处理。
例如，我们可以使用Matlab中的fft函数来进行信号的频谱分析。
以下是一个示例代码：```matlabFs = 1000; % 采样频率为1000Hzt = 0:1/Fs:1; % 时间范围为0到1秒x = sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); % 两个正弦信号的叠加y = fft(x); % 对信号进行傅里叶变换f = (0:length(y)-1)*Fs/length(y); % 计算频率范围plot(f, abs(y)); % 绘制频谱图象xlabel('频率'); % 设置x轴标签ylabel('幅度'); % 设置y轴标签title('频谱分析'); % 设置图象标题```除了频谱分析，我们还可以对信号进行滤波、降噪、特征提取等处理。
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基于MATLAB的小波变换在信号分析中应用的实现院系：应用技术学院专业：电子信息工程*名：***指导教师单位：应用技术学院指导教师姓名：王庆平指导教师职称：讲师二零一一年六月The application of wavelet transform based on MTLAB in signalanalysisFaculty：Application and Technology InstituteProfession：Electronic information engeeringName：Li ChengyunTutor’s Unit：Application and Technology InstituteTutor：Wang QingpingTutor’s Title：LecturerJune 2011目录摘要 (1)ABSTRACT (2)前言 (3)第1章绪论 (4)1.1本文的研究背景意义 (4)1.2国内外研究现状 (5)1.3本文的研究内容 (7)第2章 MATLAB简介 (8)2.1MATLAB的概况 (8)2.2MATLAB6.1的功能 (8)2.3MATLAB的主要组成部分 (9)2.4MATLAB的语言特点 (10)第3章基本理论 (12)3.1从傅里叶变换到小波变换 (12)3.1.1 傅里叶变换 (12)3.1.2 短时傅里叶变换 (13)3.1.3 小波变换 (14)3.2连续小波变换 (15)3.3离散小波变换 (17)3.4小波包分析 (18)3.5多分辨率分析与M ALLAT算法 (19)3.5.1 多分辨率分析 (19)3.5.2 Mallat算法 (19)3.6本章小结 (20)第4章小波阈值法图像去噪 (21)4.1图像去噪 (21)4.1.1 邻域平均法 (22)4.1.2 中值滤波法 (24)4.2小波阈值去噪 (27)4.2.1 阈值去噪原理 (28)4.2.2 选取阈值函数 (28)4.2.3 几种阈值选取方法 (29)4.3小波阈值仿真 (31)第5章小波变换在图像边缘检测中的应用 (33)5.1图像边缘检测概述 (33)5.2常见的边缘检测算法。
(34)5.3小波边缘检测算法 (39)5.4小波缘检测仿真 (39)全文总结 (42)谢辞 (43)参考文献 (44)附录 (46)英文资料 (46)中文翻译 (60)摘要小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用。
平面图像可以看成是二维信号，因此，小波分析很自然地应用到了图像处理领域。
图像去噪和边缘检测是图像预处理中应用非常广泛的技术，其作用是为了提高信噪比，突出图像的期望特征，以便对其进行更高层次的处理。
小波变换由于其自身的优良特性而在图像处理中得到了越来越多的应用。
本文从基本理论出发，首先对小波变换进行了详尽而深刻的阐述。
循序渐进地介绍了从概念到小波分析等一系列相关内容，最终引出小波分析中非常重要的Mallat 算法。
对小波变换在图像去噪和边缘检测领域的应用本文作了重点研究。
为用作对比，简要介绍了几种传统的图像去噪算法和边缘检测算法，重点研究和详细阐述了运用小波变换进行图像去噪和边缘检测算法的原理和具体实现步骤,将小波算法与传统的图像去噪算法和边缘检测算法作MATLAB仿真对比以得出结论。
关键词：图像去噪；图像边缘检测；小波变换；MATLABABSTRACTWavelet analysis theory, as a new time—frequency analysis tool，has been well applied in the area of signal analysis and processing．An image is actually a two-dimensional signal．So it is natural to apply wavelet analysis to the area of image processing．Image de-noising and edge detection are two widely used technologies in image pre—processing．By enhancing SNR and highlighting expected features of image，it will be more convenient for further step of processing．Wavelet transform is more and more frequently applied to image processing according to its own advantages．First，beginning with basic theories，wavelet transform is thoroughly and deeply introduced in this article．A series of related contents from definition to wavelet analysis are gradually elaborated step by step．Mallat algorithm which is of great importance in wavelet analysis is introduced in the end．Second，researches on application of wavelet transform to the areas of image de—noising and edge detection are the major part of this article．For comparison，several traditional image de—noising methods and edge detection methods are briefly introduced．The theories and steps of completion of image de—noising and edge detection algorithms to which wavelet transform is applied are elaborated．Image de—noising and edge detection algorithms between wavelet transform and traditional methods are simulated and compared to draw a conclusion．Key words：image de-noising；image edge detection；wavelet transform; MATLAB前言传统的信号理论，是建立在Fourier分析基础上的，而Fourier变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。
在实际应用中人们开始对Fourier变换进行各种改进，小波分析由此产生了。
小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶；在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。
小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。
第1章绪论1.1 本文的研究背景意义21世纪是人类向海洋进军的世纪，海洋信息获取、传输和处理的理论与技术的重要性更显突出，水下机器人是人类探索与开发海洋的重要工具。
视觉系统是水下机器入获取周围环境信息的重要手段之一，一方面要将获得的环境信息抽象为可供机器人规划和决策的环境模型，同时提供机器人对水下目标的检测、跟踪和定位信息。
因此，图像信息处理的能力是水下机器人对环境动态感知、快速定位与跟踪视觉目标的关键。
海洋中的声音种类多种多样，比如各种海洋仪器设备工作时会产生声音，如船舶螺旋桨击水声、海中潜艇运动声，还有海中生物发出的声音以及海浪声等等，所有这些导致海洋声音背景复杂、噪声严重，由声纳仪器设备得到的声纳图像背景复杂，对比度差，噪声较为严重，干扰强，边缘恶化，从而不易对图像进行去噪和判读图像边缘。
海洋环境的复杂性还突出表现在水下不确定性因素(如动态的、非结构化的、)影响更加严重，水下成像过程中水体对光的散射和吸收效应带来的非线性影响，以及水下图像对比度低、边缘模糊、弱纹理等缺陷，这些为水下图像处理带来了更多的困难。
小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支，素有“数学显微镜”的美称。
它是继1822年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域，解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题。
小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。
具体来说，利用小波方法去噪和边缘特征检测的成功主要得益于小波具有如下特点：(1)低熵性。
由于小波系数的稀疏分布，使得图像经小波变换后的熵明显降低。
(2)多分辨率特性。
由于采用了多分辨率的方法，所以小波变换可以在不同尺度上描述信号的局部特征，很好地刻画信号非平稳特征，如边缘、尖峰、断点等，可在不同分辨率下根据信号和噪声分布的特点去噪。
(3)去相关特性。
小波变换可以对信号去相关，使信号的能量集中于少数几个小波系数上，而噪声能量分布于大部分小波系数上，即：噪声在变换后有自化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。
(4)选基灵活性。
由于小波变换可以灵活选择小波基，从而可针对不同的应用对象选用不同的小波函数，以获得最佳的效果。
1.2 国内外研究现状[15]图像去噪和边缘检测是信号处理中的经典问题。
传统的去噪方法多采用平均或线性方法，如：Wiener滤波，但去噪效果不令人满意。
随着小波理论日趋完善，它以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河。
小波变换用于图像去嗓的理论基础始于S．Mallat把数学上的Lipschitz系数与小波变换的模极大值联系起来。
随后，Donoho提出了小波M值萎缩方法(VisuShrink)，并从渐近意义上证明了其优越性。