人教A版高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 同步练习(1)A卷
人教A版必修2《2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》练习卷
人教A版必修2《2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》练习卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.若直线a和b异面，直线b和c异面，则直线a和c()A. 异面或相交B. 异面或平行C. 异面或平行或相交D. 相交或平行2.长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()．A. 2对B. 3对C. 6对D. 12对3.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直4.下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是()A. B.C. D.5.长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，CC1=√2，则异面直线AC与BA1所成角的余弦值为()A. √306B. 23C. √63D. √666.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8.在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将三角形ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘9.已知两异面直线a，b的夹角是15°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为8°，那么这样的直线l有()A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）10.给定下列四个命题：(1)空间四边形的两条对角线是异面直线；(2)空间四边形ABCD中没有对角线；(3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面；(4)过直线外一点作该直线的垂线，有且只有一条；(5)两条直线互相垂直，则一定共面；(6)垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中正确的是______ ．11.已知a，b，c是空间中的三条直线，α是空间中的一个平面．下列说法正确的序号是______①若a⊥c，b⊥c，则a//b；②若a//α，b//α，则a//b；③若a//α，b⊥α，则a⊥b；④若a//b，a//α，则b//α；12.正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于______．13.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有________条．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）14.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF//平面BDD1B1．15.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1．(1)求A1B与B1D1所成的角；(2)求AC与BD1所成的角．16.如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF=√2，求AD，BC所成的角．17.在ABC−A1B1C1中，所有棱长均相等，且∠ABB1=60°，D为AC的中点，求证：(1)B1C//平面A1BD；(2)AB⊥B1C.18.如下图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=√2，DA⊥AC，DA⊥AB.若DA=1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．19.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属基础题．根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能平行，相交也可能是异面直线．解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查了异面直线的概念，画出图形进行分析．解：在正方体中没有与体对角线平行的棱，所以要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，所以与AC1异面的棱有：BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，所以长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.故选C．3.答案：A解析：解：如图，在正方体AC1中：∵A1B//D1C，∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线A1B与EF不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线A1B与EF不平行，故两直线相交．题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查四点共面的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．在A、C中，均得到PS//QR，P、Q、R、S四点共面；在B中，过P，Q，R，S可作一六边形，P、Q、R、S四点共面；在D中，PS与SQ既不平行也不相交，P、Q、R、S四点不共面．解：在A图中，分别连接PS，QR，易证PS//QR，∴四点共面;在B图中，过P，Q，R，S可作一六边形，如图所示，∴四点共面;在C图中，分别连接PQ，RS，易证PQ//RS，∴四点共面;在D图中，连接PS，RQ，易知PS与RQ为异面直线，∴四点不共面，故选D．5.答案：D解析：本题考查了异面直线的夹角，属于中档题．异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，在△BA1C1中，由余弦定理计算即可．解：如图，异面直线AC与BA1所成角等于∠BA1C1，在△BA 1C 1中，BA 1=√3,A 1C 1=√2,BC 1=√3，由余弦定理可得cos∠BA 1C =√3)2√2)2√3)22×√3×√2=√66， 故选：D ． 6.答案：C解析：本题考查了两条异面直线所成的角的求法，空间直线与直线的位置关系，难度中档.由已知可得PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，由PB//CM 得∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角.解：由题意底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，分别过P ，D 点作AD ，AP 的平行线交于M ，连接CM ，AM ，∵PM//AD ，AD//BC ，PM =AD ，AD =BC ，∴四边形PBCM 是平行四边形，∴PB//CM ，∴∠ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角，设PA =AB =a ，在ΔACM 中，AM =√2a ，AC =√2a ，CM =√2a ，∴ΔACM是等边三角形，∴∠ACM=60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°.故选C．7.答案：C解析：本题考查两条异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养，由A1B//D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C.解：如下图所示，∵A1B//D1C，∴异面直线直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°，故选C．8.答案：C解析：本题考查异面直线所成的角，分析折叠后的图象的性质，然后作出异面直线所成的角即可求解．解：将三角形折成三棱锥如图所示，HG与IJ为一对异面直线，因为DF，AD与HG，IJ平行，所以∠ADF即为所求，又∠ADF=60°，因此，HG与IJ所成角为60°．故选C.9.答案：B解析：解：先将异面直线a，b平移到点P，则∠BPE=15°，∠EPD=165°而∠BPE的角平分线与a和b的所成角为7.5°，而∠EPD的角平分线与a和b的所成角为82.5°∵8°>7.5°，∴直线与a，b所成的角相等且等于8°有且只有2条，使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线，故选：B．先将异面直线a，b平移到点P，结合图形可知，当使直线在面BPE的射影为∠BPE的角平分线时存在2条满足条件，当直线在面EPD的射影为∠EPB的角平分线时，没有满足条件的直线．本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及射影等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．10.答案：(1)解析：解：∵空间四边形不是平面图形，若其两条对角线是共面直线时，则四点共面，∴两条对角线是不共面，∴(1)正确；∵空间四边形ABCD中，其对角线是AD、BC，∴(2)错误；∵和两条异面直线都相交，且过同一点的两条直线，不是异面直线，∴(3)错误；∵过直线外一点作该直线的垂线，有无数条，∴(4)错误；∵两条直线互相垂直，可能是异面垂直，∴(5)错误；∵垂直于同一直线的两条直线的位置关系是异面、平行或相交，∴(6)错误．故答案是(1)．根据空间四边形的定义可判断(1)(2)是否正确；借助图象，和两条异面直线都相交的两条直线，若一个交点重合，则不是异面直线，由此判断(3)是否正确；根据直线与直线垂直，可以是异面垂直，判断(4)(5)(6)是否正确；本题考查了空间直线与直线的位置关系，考查了学生的空间想象能力．11.答案：③解析：本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题.根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．解：对于①，若a，b为平面α的直线，c⊥α，则a⊥c，b⊥c，但a//b不一定成立，故①错误；对于②，若a//α，b//α，则a，b的关系不确定，故②错误；对于③，不妨设a在α上的射影为a′，则a′⊂α，a//a′，由b⊥α可得b⊥a′，于是a⊥b，故③正确；对于④，若b⊂α，显然结论不成立，故④错误．故答案为③．12.答案：√36解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，是中档题．取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，(a>0)，则EF=12AB=a，CE=CF=2a⋅sin60°=√3a，在△CEF中，cos∠CEF=CE2+EF2−CF2 2×CE×EF=√3a)22√3a)22×√3a×a =√36．故答案为：√36．13.答案：6解析：本题考查了异面直线，根据异面直线的概念可知与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，可得结果．解：如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条．14.答案：证明：取D1B1的中点O，连OF，OB，∵OF//12B1C1，OF=12B1C1，∵BE//12B1C1，BE=12B1C1，∴OF//BE，OF=BE，∴四边形OFEB为平行四边形，∴EF//BO，∵EF⊄平面BB1D1D，BO⊂平面BB1D1D，∴EF//平面BB1D1D.解析：本题考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行的判定定理是关键，先证明四边形OFEB为平行四边形，可得EF//BO，利用线面平行的判定定理，即可证明EF//平面BB1D1D.15.答案：解：(1)如图，连结BD， A1D. ∵ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴DD1BB1, ∴DBB1D1为平行四边形，∴BD//B1D1， ∵A1B，BD， A1D是全等的正方形的对角线，∴A1B=BD=A1D，即△A1BD是正三角形，∴∠A1BD=60°．∵∠A1BD是锐角，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，∴A1B与B1D1所成的角为60°．(2)取DD1的中点E，连结EO，EA，EC．∵O为BD的中点，∴OE//BD1．∵∠EDA=90°=∠EDC，AD=DC，∴EA=EC.在等腰三角形EAC中，∵O是AC的中点，∴EO⊥AC，∴∠EOA=90°．∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角，∴AC与BD1所成的角为90°．解析：本题考查正方体中异面直线所成的角的求法以及直线与平面垂直的证明，属于基础题．(1)通过B1C1//BC，说明异面直线AC与B1C1所成角就是∠ACB，然后求解即可；(2)找出∠EOA，即可得．16.答案：解：取BD的中点H，连接EH，FH，因为E是AB的中点，且AD=2，∴EH//AD，EH=1．同理FH//BC，FH=1，∴∠EHF是异面直线AD，BC所成的角，又因为EF=√2，∴△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，∴∠EHF =90°，即AD ，BC 所成的角是90°．解析：本题考查异面直线所成的角，取BD 的中点H ，连接EH ，FH ，由中位线定理可知∠EHF 是异面直线AD ，BC 所成的角，再结合题意可求AD ，BC 所成的角．17.答案：证明：(1)连接AB 1和A 1B ，交于E ，连接DE ，由D ，E 分别为AC ，A 1B 的中点，可得DE//B 1C ，由DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，即有B 1C//平面A 1BD ；(2)取AB 中点O ，连接OC ，OB 1，则OB 1⊥AB ．在正△ABC 中，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵OB 1∩OC =O ，∴AB ⊥平面OB 1C ，∴AB ⊥B 1C .解析：(1)连接AB 1和A 1B ，交于E ，连接DE ，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；(2)取AB 中点O ，连接OC ，OB 1，则OB 1⊥AB ，证明AB ⊥平面OB 1C ，即可证明AB ⊥B 1C .本题考查线面平行和线面垂直的判定，注意运用线面平行和线面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化，属于中档题．18.答案：解：取AC 的中点F ，连接BF 、EF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点，∴EF//CD ，∴∠BEF 为所求的异面直线BE 与CD 所成的角(或其补角)．在Rt △EAB 中，AB =1，AE =12AD =12，∴BE =√52． 在Rt △AEF 中，AF =12AC =12，AE =12，∴EF =√22． 在Rt △ABF 中，AB =1，AF =12，∴BF =√52． 在等腰△EBF 中，cos∠FEB =12EF BE =√24√52=√1010， ∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为√1010．解析：本题考查求异面直线的夹角，属基础题．取AC的中点F，连接BF、EF，可证EF//CD，∴∠BEF为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．然后分别求得BE，EF的长度，由求解即可．19.答案：解：(1)如图，连接AC、AB1，∵多面体ABCD−A1B1C1D1是正方体，∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得AC//A1C1，由此得到∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角．又∵AB1=B1C=AC，可得△AB1C为正三角形，∴∠B1CA=60°，即A1C1与B1C所成角为60°．(2)如图，连接BD，∵AA1//CC1，且AA1=CC1，∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得AC//A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．又∵EF是△ABD的中位线，∴EF//BD．∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，即A1C1与EF所成角的大小为90°．解析：(1)根据正方体的性质，证出AC//A1C1，由此得到∠B1CA就是A1C1与B1C所成的角．然后在正三角形AB1C中加以计算，可得A1C1与B1C所成角的大小；(2)平行四边形AA1C1C中可得AC//A1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角，进而利用三角形中位线定理与正方形的性质，即可算出A1C1与EF所成角的大小．本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题．。
人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步练习D卷
人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步练习D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC=60°，则∠PQR等于（）A . 60°B . 60°或120°C . 120°D . 以上结论都不对2. （2分）在正方体ABCD－A1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条3. （2分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2．若二面角C－AB－C1的大小为60°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）下列命题中，正确的结论有（）①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=2AB=2，平面α过定点A，平面α∥平面A1BC，平面α∩平面ABC=m，平面α∩平面A1C1C=n，则m，n所成角的余弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分） (2018高二上·嘉兴期末) 已知正方体分别是正方形和的中心,则和所成的角的大小是________.8. （1分）若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.则一定成立的是________(填序号)．9. （1分） (2019高二上·安平月考) 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成的角的余弦值为________．10. （1分） (2017高二上·枣强期末) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1 ，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________．三、解答题 (共3题；共35分)11. （10分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段，的中点.（1）求证： ||平面；（2）四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小.12. （15分） (2018高二上·定远期中) 如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明：；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。
高中数学第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习(含解析)新人教A版必修2
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A组1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.答案:D2.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直解析:∵a∥b,∴a与c所成的角就是b与c所成的角,∵b⊥c,∴a⊥c.答案:C3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.图①图②答案:D5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形答案:D6.直线a,b不在平面α内,a,b在平面α内的射影是两条平行直线,则a,b的位置关系是.答案:平行或异面7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为. 解析:∵a∥OA,根据等角定理,又∵异面直线所成的角为锐角或直角,∴a与OB所成的角为60°.答案:60°8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角为.解析:如图,连接A1B,BC1,A1C1,则EF∥A1B,GH∥BC1,所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角.因为△A1BC1是等边三角形,所以A1B与BC1所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°.答案:60°9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明∠BGC=∠FD1E.证明:∵F为BB1的中点,∴BF=BB1.∵G为DD1的中点,∴D1G=DD1.又∵BB1 DD1,∴BF D1G.∴四边形D1GBF为平行四边形.∴D1F∥GB,同理D1E∥GC.又∵∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同,∴∠BGC=∠FD1E.10.空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解:取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG CD,GF AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.B组1.下列选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行解析:如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.答案:C3.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是()A.MN≥(AC+BD)B.MN≤(AC+BD)C.MN=(AC+BD)D.MN<(AC+BD)解析:取BC的中点Q,则MN<MQ+NQ=.答案:D4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.解析:由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:65.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.解析:取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.答案:90°6.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN ⊥CD,只有①③正确.答案:①③7.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;(2)求的值.(1)证明:∵AA'∩BB'=O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C',且,∴.8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)×a2(-x2+x)=a2.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.。
高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系课时作业含解析新人教A版必修2
高中数学课时分层作业：课时作业9 空间中直线与直线之间的位置关系——基础巩固类——1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(C)A．一定平行B．一定异面C．相交或异面D．一定相交解析：在空间中分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是异面或相交．故选C．2．两等角的一组对应边平行，则(D)A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．3．长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(C)A．2对B．3对C．6对D．12对解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．故选C．4．若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(D)A．异面B．平行C．相交D．相交、平行、异面均可能解析：若a∥b，显然直线a，b与直线l所成的角相等；若a，b相交，则a，b确定平面α，若直线l⊥α，则l⊥a，l⊥b，此时直线a，b与直线l所成的角相等；当直线a，b异面时，同样存在直线l与a，b都垂直，此时直线a，b与直线l所成的角相等．故选D．5．如下图所示，若G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(D)A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：①中GH ∥MN ；③中GM ∥HN 且GM ≠HN ，故GH ，MN 必相交，所以①③中GH ，MN 共面，故选D ．6．在四面体ABCD 中，AD ＝BC ，且AD ⊥BC ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与BC 所成的角为( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 解析：如图，取BD 的中点G ，连接EG ，GF ，则∠EFG 即为异面直线EF 与BC 所成的角．因为EG ＝12AD ，GF ＝12BC ，且AD ＝BC ，所以EG ＝GF .因为AD ⊥BC ，EG ∥AD ，GF ∥BC ，所以EG ⊥GF ，所以△EGF 为等腰直角三角形，所以∠EFG ＝45°.7．已知空间两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为60°或120°. 解析：根据“等角定理”可知，α与β相等或互补，故β为60°或120°. 8．如图所示，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB1∥CC1，所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角，∠AB1B＝45°.(2)连接B1C，易得EF∥B1C，所以∠AB1C即为异面直线AB1和EF所成的角．连接AC，则△AB1C为正三角形，所以∠AB1C＝60°.9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．其中正确结论的序号是①③.解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，所以只有①③正确．10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点．求证：(1)GB∥D1F；(2)∠BGC＝∠FD1E.证明：(1)因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形．所以GC∥D1E，GB∥D1F.(2)因为∠BGC 与∠FD 1E 两边的方向都相同，所以∠BGC ＝∠FD 1E .11.如图，在三棱锥A -BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线， 所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，在Rt △OEH 中，所以cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.——能力提升类——12．已知在空间四边形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，且AC ＝4，BD ＝6，则( A )A ．1<MN <5B ．2<MN <10C ．1≤MN ≤5D ．2<MN <5解析：取AD 的中点H ，连接MH ，NH ，则MH 綊12BD ，NH 綊12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形．由三角形中三边关系可得|MH －NH |<MN <|MH ＋NH |，即1<MN <5.13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1上有一只蚂蚁从A 点出发沿正方体的棱前进，若它走进的第(n ＋2)条棱与第n 条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第 2 018条棱之后的位置可能在( D )A ．点A 1处B ．点A 处C ．点D 处 D ．点B 1处解析：由图形(如图)结合正方体的性质知，与直线AB异面的直线有A1D1，B1C1，CC1，DD1，共4条．蚂蚁从A点出发，走进的第(n＋2)条棱与第n条棱是异面的，如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A，按照此走法，每次要走6条棱才回到起点．∵2 018＝6×336＋2，∴这只蚂蚁走过第2 018条棱之后的位置与走过第2条棱之后的位置相同．而前2条棱的走法有以下几种情况：AB→BB1，AB→BC，AD→DC，AD→DD1，AA1→A1B1，AA1→A1D1.故走过第2条棱之后的位置可能有以下几种情况：B1，C，D1.故选D．14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.解析：如图所示，连接BC1，则BC1∥AD1，则异面直线AD1与DM所成的角为直线BC1与DM 所成的角．∵M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，∴BC1∥MN.∵∠CMN＝90°，∴BC1⊥MC，又MC是斜线DM在平面BCC1B1上的射影，∴DM⊥BC1，∴直线BC1与DM所成的角为90°，则异面直线AD1与DM所成的角为90°.15．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB ＝BC＝23，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．解：如图，连接CD1，AC．由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC＝23，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴∠AD1C为A1B和AD1所成的角．∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°.∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且底面是菱形，∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝22AC．∵底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝23，∠ABC＝120°，∴AC＝23×sin60°×2＝6，∴AD1＝22AC＝32，∴AA1＝AD21－A1D21＝ 6.。
高中人教A版数学必修二教师用书第2章 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含答案
空间中直线与直线之间的位置关系．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．．理解平行公理(公理)和等角定理．(重点)．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．(难点、易错点)教材整理空间直线的位置关系阅读教材～“探究”以上的内容，完成下列问题．．异面直线()定义：把平面内的两条直线叫做异面直线．任何一个不同在()画法：(通常用平面衬托)图．空间两条直线的位置关系错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()两条直线无公共点，则这两条直线平行．( )()两直线若不是异面直线，则必相交或平行．( ) ()过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．( )()和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．( )【解析】 ()错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．()正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面．()错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．()错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．【答案】 ()× ()√ ()× ()×教材整理 公理及等角定理阅读教材“探究”以下至倒数第行的内容，完成下列问题．．公理平行线的传递性．这一性质叫做空间互相平行．文字表述：平行于同一条直线的两条直线.∥⇒符号表述：．等角定理相等或互补．，那么这两个角对应平行空间中如果两个角的两边分别已知∥，∥，若∠＝°，则∠等于( )．° ．°或°．°．以上结论都不对【解析】 因为∥，∥， 所以∠与∠相等或互补．因为∠＝°，所以∠＝°或°.【答案】教材整理 异面直线所成的角阅读教材下面的两个自然段至“探究”以上的内容，完成下列问题．．定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线′∥，′∥，我们把′与′所成的．)或夹角(叫做异面直线与所成的角)直角或(角锐 .≤°θ°<的取值范围：θ．异面直线所成的角.⊥时，与互相垂直，记作°＝θ．当如图，正方体′′′′中异面直线′′与所成的角为．异面直线′与所成的角为．。
【优质文档】人教A版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点(含答案)-1
（ 1）求异面直线 AB1与 C1N 所成的角； （ 2）求三棱锥 M C1CN 的体积 .
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42．斜三棱柱 ABC A B C 中 ,底面是边长为 a 的正三角形 ,侧棱长为 b ,侧棱 AA 与底 面相邻两边 AB ? AC 都成 45 角 ,求此三棱柱的侧面积和体积 . 43．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知它的底面边长为 10 ，高为 20 .
_________
29．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 B1C 与 AD1 所成的角的大小为
_________．
30 ．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是： 号）
________（选择正确的编
（ 1）平行；（ 2）相交；（ 3）异面；
31．在正四面体 ABCD 中， M ， N，P 分别为棱 AB， BC， BD 的中点，则异面直线 MN
AB 2BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为（
）
A ． 60
B ． 90
C． 105
D ． 75
4．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 , AB 1 , AD 2 , AA1 1 ,则异面直线 A1B1 与 AC1 所
成角的余弦值为 ( )
2
A．
3
B． 6 6
C． 6 3
1
D．
3
5．已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为( )
1
A．
高中数学 (知识导学+例题解析+达标训练)2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 新人教A版必修
空间中直线与直线之间的位置关系知识导学：（1）理解异面直线的概念、空间中两条直线的位置关系及画法；（2）理解异面直线所成角的定义、X 围及应用，进一步培养空间想象能力．一、基础知识：1、平面的基本性质：2、不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．3、空间两条直线的位置关系：空间两直线{⎧⎪⎨⎪⎩相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;共面直线平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线:不同在任何一个平面内,没有共公点.b a ba αβαO a'b a（1） （2） （3）1A1C 4、异面直线所成的角：已知两条异面直线a与b，经过空间任一点O作直线a’//a，b’//b，直线a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角．异面直线所成的角的X围：(0︒，90]︒．如果两条异面直线所成的角是直角，叫做这两条直线互相垂直．注意：两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．二、例题解析：例1、在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则：（1）四边形EFGH是__________四边形；（2）若AC=BD，则四边形EFGH是_______；（3）若AC=BD，且AC⊥BD，则四边形EFGH是_______________。
例2、如图，空间四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．例3、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）与直线A1B异面的棱有（2）与直线CC1垂直的棱有____________________________；（3）直线A1B和CC1的夹角是______度；A1B和B1C的夹角是______度；（4）与直线A1B的夹角为60°的所有面对角线有__________________。
三、达标训练：1、关于异面直线下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是异面直线B．分别在两个平面内的两条直线是异面直线C．没有公共点的两条直线是异面直线D．既不相交也不平行的两条直线是异面直线2、给出三个命题：②若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行；③若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行。
人教A版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点(含答案)-2
人教A 版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a ，b ，c ，若a 与b 共面，b 与c 共面，则a 与c 共面；④若直线l 上有一点在平面α外，则l 在平面α外.其中错误命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示，正四棱锥P ABCD -的底面面积为3，体积为2，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为（ ）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 3．1111ABCD A B C D -是棱长为1的正方体，一个质点从A 出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i 段与第2i +所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）.问质点走完的第99段与第l 段所在的直线所成的角是（ ）A ．0︒B ．30°C ．60︒D ．90︒4．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若//,//m n αα，则//m nB ．若,αγβγ⊥⊥，则//αβC ．若//,//m n αα，且,m n ββ⊂⊂，则//αβD ．若,m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥5．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所形成角的余弦值为A ．B ．C ．310D ．6． 空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是 ( ) A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）．A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥ 8．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AC ==与1BB 所成的角为30°，则1AA = （ ）A B ．3 C D9．已知正四棱锥S —ABCD E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为A ．π3B ．π6C ．π2D ．π410．已知矩形,ABCD 1,AB BC ==将ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ） A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 11．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面 12．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为线段AD 、BC 上的点，20ABE ∠=︒，30CDF ∠=︒，将ABE ∆绕直线BE ，将CDF ∆绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 13．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 14．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④15．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝AA 1＝2，BC ＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角弦值为（ ）A B C D 16．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β．则m ∥n ；②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；③若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 17．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝2CC 1，则BM 与AN 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，8AB =，6AD =，异面直线BD 与1AC 所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．98πB ．196πC ．784πD ．13723π 19．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的正切值为（ ）A ．B ．13C ．3D 20．已知三条直线,,a b c 两两互相垂直，P 为空间中一个定点，则在过点P 的直线中，分别与,,a b c 所成的角都相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题21．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.22．在正方体1111ABCD A B C D -中, ,M N 分别为棱11C D ,1C C 的中点,则直线AM 与BN 所成角的余弦值为_____23．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若1AB =，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为___________.24．平面α//平面β，直线,m n αβ∈∈，点,,A m B n AB ∈∈与面α夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为____.25．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．26．已知四边形ABCD 、四边形ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角的度数为__________．27．在正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与11B D 所成的角等于___________. 28．在空间内，如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是_______.29．已知a ，b ，c 是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：①若a b ∥，b c ∥，则a c P ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；③若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；④若a ，b 与c 成等角，则a b ∥．其中正确的说法是______（填序号）．30．已知120AOB ∠=o ，直线a OA ∥，直线b OB ∥且a 与b 是异面直线，则a 与b 所成角的大小是__________.31．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、AB 、AD 的长分别为4cm 、5cm 、6cm ，则异面直线AD 和11A B 的距离是______cm .32．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线BD 与1AC 所成角的大小为________. 33．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．34．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上)．35．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：①BM 与DE 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直.以上四个结论中，正确的是______.36．一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF GC ⊥；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；③BD MN P ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒.其中正确的是________(填序号)．37．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是____________.38．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）39．已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30°；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.40．四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________三、解答题41．在三棱锥P ABC -中，已知PA 、PB 、PC 两两垂直，5PB =，6PC =，三棱锥P ABC -的体积为20，Q 是BC 的中点，求异面直线PB 、AQ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.42．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点.（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积.43．（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成．（1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.44．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点，（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .45．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F 为棱CD ，11C D 的中点（如图），棱长为2．（1）求证：1AE A F P ；（2）求AE 和1B C 所成角的余弦值．46．如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ︒∠=∠=，BC AD ∥，12BC AD =，BE FA ∥，12BE FA =，G ，H 分别为F A ，FD 的中点.（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形.（2）C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,//,2AD AB AB DC AD DC AP ⊥===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE DC ⊥；（2）求二面角E AB P --的余弦值．48．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.49．如图所示的几何体P —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，PB ，PB ⊥AB ，平面ABCD ⊥平面P AB ，AC ∩BD ＝O ，E 为PD 的中点，G 为平面P AB 内任一点．(1)在平面P AB 内，过G 点是否存在直线l 使OE ∥l ？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；(2)过A ，C ，E 三点的平面将几何体P —ABCD 截去三棱锥D —AEC ，求剩余几何体AECBP 的体积．50．如图，已知圆锥的顶点为P ，母线长为4，底面圆心为O ，半径为2．（1）求这个圆锥的体积；（2）设OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求异面直线PM与OB 所成角的正切值．参考答案1．C2．C3．D4．D5．C6．C7．C8．D9．A10．B11．D12．D13．C14．D15．C16．C17．D18．B19．B20．D212223．90024．45o；25．③④26．60︒27．60︒28．平行或异面29．①30．60o31．432．90o33．134．③④35．③④36．①②37．90°38．arccos5 39．无数40．341．arctan 242．（1）；（2）43.43．（14 （2）44．（1（2）见解析45．（1）见解析；（2）5． 46．（1）见解析（2）C ，D ，F ，E 四点共面.见解析47．（1）见解析；（2）2．48．（1）83；（2 49．（1）过G 点存在直线l 使OE ∥l ，详见解析（2）38a 350．（1；（2。
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人教A版高中数学必修二2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步练习（1）A
卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共6题；共12分)
1. （2分） (2018高二上·北京月考) 如下图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60o角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是（）
A . ①②③
B . ②④
C . ③④
D . ②③④
2. （2分）下列叙述中，正确的是（）
A . 四边形是平面图形
B . 有三个公共点的两个平面重合。
C . 两两相交的三条直线必在同一个平面内
D . 三角形必是平面图形。
3. （2分） (2019高一下·朝阳期末) 在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线和所成角的大小是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别BC1 ， CD1是的中点，则下列判断错误的是（）
A . MN与CC1垂直
B . MN与AC垂直
C . MN与BD平行
D . MN与A1B1平行
5. （2分）如图，A1B1C1-ABC是直棱柱，，点D1 ， F1分别是A1B1 ， A1C1的中点. 若BC=CA=CC1 ，则BD1与AF1所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 直三棱柱中，，，则直线与所成角的大小为（）
A . 30°
B . 60°
C . 90°
D . 120°
二、填空题 (共4题；共4分)
7. （1分）给出下列命题：
①如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点；
②两个平面的交线可能是一条线段；
③经过空间任意三点的平面有且只有一个；
④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面．
其中正确命题的序号为________．
8. （1分） (2018高一下·双鸭山期末) 在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．
9. （1分）如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条.
10. （1分） (2017高二上·苏州月考) 设a、b、c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关
系为________．
三、解答题 (共4题；共30分)
11. （5分）梯形ABCD中，AB∥CD ， E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.
12. （10分）(2020·南京模拟) 如图，是圆柱的两条母线，分别经过上下底面的圆心
是下底面与垂直的直径， .
（1）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若二面角的大小为，求母线的长.
13. （5分） (2019高一上·蒙山月考) 已知四边形是空间四边形，分别是边
的中点，求证：四边形是平行四边形.
14. （10分） (2017·泰州模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求证：AB∥EF．
参考答案一、单选题 (共6题；共12分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
三、解答题 (共4题；共30分)
11-1、12-1、
12-2、13-1、14-1、
14-2、。