Matlab 详解导数及偏导数运算
Matlab-详解导数及偏导数运算ppt课件
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20
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2y2z2
u
z
z x2y2z2
u
y
y x2y2z2
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21
例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
3
1. 学习Matlab命令
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
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4
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f (x)的一阶导数 f(x)；
diff(f(x),n)， 求 f(x)的 n阶导 f(n)(x 数 );
实验3 导数及偏导数运算
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1
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
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2
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
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dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
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19
4. 求多元函数的偏导数
例8 设u x2y2z2，求 u的一阶偏导
解：输入命令
Matlab 详解导数及偏导数运算
xi x j
x
j
xi
f ( x1, x2 ,, xn ) f ( x1, x2 ,, xn )
例12
设
ln
x
y
ex
e，求
dy
;
解： F
(
x,
y)
ln
x
e
y x
dx
e,先求 Fx
,
再求
Fy
,
dy Fx dx Fy
syms x y ; df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x) df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y) dy_dx=-df_dx/df_dy
。
y 4t
y t arctan t
3. 求下列隐函数的导数
1) arctan y ln x2 y2 ； x
4. 设 y e x cos x，求 y(4)；
2) x y y x；
5. 验证 y e x sin x满足关系式 y 2 y 2 y 0；
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f ( x)的一阶导数 f ( x)；
diff(f(x),n)， 求 f ( x) 的 n 阶导数 f (n)( x);
sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)^2)*x)
matlab求导方法
matlab求导方法Matlab中求导是非常常用的操作，因为它是一个数学和科学计算的工具。
在Matlab中，我们可以使用不同的方法来求导，例如数值方法和符号方法。
本文将详细介绍Matlab中常用的求导方法，并进行详细的演示和讨论。
首先，我们来介绍一下Matlab中的数值求导方法。
数值求导方法是通过计算函数在离散点上的差分来近似求解函数的导数。
在Matlab中，常用的数值求导方法有前向差分、后向差分和中心差分。
前向差分法是通过计算函数在当前点和下一个点的差值来近似求解导数。
具体的计算公式如下：```matlabdfdx = (f(x+h) - f(x)) / h```其中，`f(x)`是要求导的函数，`h`是步长，`dfdx`是函数在`x`处的导数。
可以看到，前向差分法是通过斜线法线方向的差值来近似导数。
在Matlab中，我们可以使用`diff`函数来快速计算前向差分法的导数。
后向差分法与前向差分法类似，只是差值的方向相反。
具体的计算公式如下：```matlabdfdx = (f(x) - f(x-h)) / h```与前向差分法一样，后向差分法也可以使用`diff`函数来计算。
中心差分法是通过计算函数在当前点和前后点的差值来近似求解导数。
具体的计算公式如下：```matlabdfdx = (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h)```可以看到，中心差分法是通过两个斜线法线方向的差值来近似导数。
在Matlab中，也可以使用`diff`函数来计算中心差分法的导数。
除了数值求导方法，Matlab还提供了符号求导方法。
符号求导方法通过利用符号计算的能力来直接求解函数的导数。
在Matlab中，通过定义符号变量和符号函数，可以使用`diff`函数来快速求解函数的导数。
下面是一个简单的例子：```matlabsyms xf = x^2 + sin(x);dfdx = diff(f, x);```在上面的例子中，我们首先定义了一个符号变量`x`，然后定义了一个符号函数`f`，最后使用`diff`函数来计算函数`f`关于变量`x`的导数`dfdx`。
用Matlab进行求导运算
y = e sin x
x
y = ln(1 x 2 ) y = sin(2 x ) y = ln(arccos 2 x) y = e x sin x
y = x ln x
x
y=x
x
用matlab求下列二阶导数 求下列二阶导数
y = (1 + x )acr tan x
2
例4：求函数 y = tan x ：
解
的导数
>> syms x
>> diff(tan(x))
ans = 1 + tan(x )^ 2
例5：求函数 y = sin x 的导数 ：
解
>> syms x
>> diff(sin(sqrt(x)))
ans = 1 / 2 * cos(x ^ (1 / 2))/ x ^ (1 / 2)
解
>> syms x >> diff(x ^ 3 + cos(x) + log(2))
ans = 3 * x ^ 2 sin(x )
例3：求函数 y = 2 x sin x ：
解
的导数
>> syms x >> diff(2 * sqrt(x) * sin(x))
ans = 1 / x ^ (1 / 2) * sin(x ) + 2 * x ^ (1 / 2) * cos(x )
解
>> syms x
ห้องสมุดไป่ตู้
>> diff(exp(-x) * cos(x),x,2)
ans = 2 * exp(x ) * sin(x )
原来可以这样求导函数，再复杂的函数求导不再话下！
原来可以这样求导函数，再复杂的函数求导不再话下！今天给大家介绍如何利用MATLAB求函数的导函数，要是有了这神器，我还用去查那个表吗？更不用担心自己算错，至于那些作业高数作业校验什么的！还用去翻标准答案吗？我们以下面这个函数为例：一阶一维（这里的阶是求几阶导函数的阶，维指的是函数表达式的变量个数）：输入以下命令，其中diff(函数表达式名)是MATLAB内置的求导函数名。
>> syms x;>> f(x)=sin(x)+x^2;>> diff(f(x))结果为：ans =2*x + cos(x)结果确实是sin(x)+x^2的导函数啊！再利用pretty()函数输出我们手写函数的表示形式：>> pretty(ans)2 x + cos(x)发现结果变成我们日常手写的函数表示形式2x+cos(x)假如我要对sin(x)+x^2求n阶导函数呢？嘿嘿！只需要在diff(函数表达式名，阶数)即可，比如下面的：二阶一维diff(f(x),n)，n阶导数>> diff(f(x),2)ans =2 - sin(x)校验确实是sin(x)+x^2的二阶导函数，更高阶的各位同学可以再去实践下！多维一阶偏导：diff(f(x1,x2,.....),xi),对含有M个变量的函数求xi的偏导数.比如这个函数：对这个函数x2求偏导：哈哈，结果就是2*x2。
如果我们对函数x2求二阶偏导呢，只需要diff（）第三个添加一个2.通过今天的学习，我们可以用MATLAB求函数的n阶n维的导函数！好了，今天的介绍就到这里了，有什么好的建议请在下方评论，觉得不错的朋友可以关注一下小编，谢谢！。
用Matlab软件求多元函数的偏导数和极值
数学实验五 用Matlab 软件求多元函数的偏导数和极值一、多元函数的偏导数1．调用格式一：diff('多元函数','自变量',n)其中，n 为所求偏导数的阶数．例1 已知y x z 2cos 2=，求x z ∂∂、x y z ∂∂∂2和22y z ∂∂． 解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：pzpx=diff('x^2*cos(2*y)','x')p2zpypx=diff(pzpx,'y')p2zpy2=diff('x^2*cos(2*y)','y',2)取名为exa9保存，再在命令窗口中输入命令exa9，程序运行结果如下：pzpx =2*x*cos(2*y)p2zpypx =-4*x*sin(2*y)p2zpy2 =-4*x^2*cos(2*y)即y x x z 2cos 2=∂∂，y x x y z 2sin 42−=∂∂∂，y x yz 2cos 4222−=∂∂． 2．调用格式二：syms x y z …diff(f,自变量,n)例2 已知)5sin(32z y x u +−=，求x u ∂∂、x y z u ∂∂∂∂3和33z u ∂∂． 解 在命令行中依次输入：syms x y zu=sin(x^2-y^3+5*z);ux=diff(u,x);uxy=diff(ux,y);uxyz=diff(uxy,z);uz3=diff(u,z,3);ux,uxyz,uz3运行结果如下：ux =2*cos(x^2-y^3+5*z)*xuxyz =30*cos(x^2-y^3+5*z)*y^2*xuz3 =-125*cos(x^2-y^3+5*z)即)5cos(232z y x x xu +−=∂∂，)5cos(303223z y x xy x y z u +−=∂∂∂∂， )5cos(1253233z y x zu +−−=∂∂． 二、隐函数的导数在Matlab 中没有直接求隐函数导数的命令，但可调用Maple 中求隐函数导数的命令，调用格式如下：maple('implicitdiff(f(u,x,y,z,…，)=0,u,x)')例3 求由多元方程xyz z y x =++222所确定的隐函数dxz ∂． 解 在命令行中输入：pzpx=maple('implicitdiff(x^2+y^2+z^2-x*y*z=0,z,x)')运行结果是：pzpx =(2*x-y*z)/(-2*z+x*y)即 zxy yz x x z 22−−=∂∂． 三、多元函数的极（或最）值在Matlab 中同样有求多元函数的极（或最）小值的函数，但由于多元函数的形式比较复杂，不同情况用到不同的Matlab 函数．若要求多元函数u 在某一区域的极（或最）大值，可转化为求u −在该区域内的极（或最）小值．1．非线性无约束情形求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式是：[x,fval]=fminsearch(‘f ’,x0)f 是被最小化的目标函数名，x0是求解的初始值向量．例４ 求二元函数2331042),(y xy xy x y x f +−+=的最值点和最值．解 打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：%必须对自变量进行转化x=x(1)，y=x(2)[Xmin,fmin]=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2',[0,0]);[Xmax,Fmin]=fminsearch('-2*x(1)^3-4*x(1)*x(2)^3+10*x(1)*x(2)-x(2)^2',[0,0]);fmax=-Fmin;Xmin,fminXmax,fmax取名为exa10保存，再在命令窗口中输入命令exa10，程序运行结果如下：Xmin =1.0016 0.8335fmin =-3.3241Xmax =-1.0000 1.0000fmax =2．非线性有约束情形非线性有约束优化问题的数学模型如下：式中，x,b,beq,lb 和ub 是向量，A 和Aeq 是矩阵，c(x)和ceq(x)为函数，返回标量．f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非线性函数．求极（或最）小值点或极（或最）小值的调用格式如下：[x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)nonlcon 参数计算非线性不等式约束c(x)<=0和非线性等式约束ceq(x)=0．例5 求表面积为6m 2的体积最大的长方体体积．解 设长方体的长、宽、高分别为x1、x2、x3，则f(x)=-x(1)*x(2)*x(3)，S.t x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3=0，x(i)>0,i=1,2,3．⑴ 建立函数文件fun1打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：function F=fun1(x) %函数文件必须是function 开头F=-x(1)*x(2)*x(3);单击“保存”按钮，自动取名为fun1，再击保存．⑵ 建立非线性约束函数文件yceqfunction [c,ceq]=yceq(x)c=x(1)*x(2)+x(2)*x(3)+x(3)*x(1)-3;ceq=[];保存方法同上，自动取名为yceq ，再击保存．⑶ 编制主程序：打开Ｍ文件编辑窗口，在其中输入下面命令集：x0=[3;3;3]; %给长宽高一个初值A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];lb=[0,0,0];ub=[];[xmax,fmin]=fmincon('fun1',x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'yceq'); %函数要加单引号Vmax=-fmin;xmax,Vmax取名为exa11保存，再在命令窗口中输入命令exa11，程序运行结果如下：xmax =1.00001.00001.0000Vmax =ubx lb beqx Aeq bx A x ceq x c x f Min ≤≤≤⋅≤⋅=≤0)(0)()(四、上机实验1．用help命令查看函数diff，fminsearch和fmincon等的用法．2．上机验证上面各例．3．作相关小节练习中多元函数的偏导数，极（或最）值．。
MATLAB计算方法和技巧 导数的计算
MATLAB求导数的方法1．数值导数的计算[问题]求正弦函数的一阶导数和二阶导数y = sin x[数学模型]函数的一阶导数为y' = cos x函数的二阶导数为y'' = -sin x[算法]求差分函数为diff，对于数值向量，其功能是求后一元素与前一元素之差，如果数值间隔取得足够小，就能表示导数的近似值。
对于符号函数，可用同样的函数diff计算符号导数。
[程序]zyq3_1diff.m如下。
%正弦函数的导数clear %清除变量a=0:5:360; %度数向量x=a*pi/180; %弧度向量dx=x(2); %间隔(第1个值为零)y=sin(x); %正弦曲线dy=diff(y)/dx; %用差分求导数的近似值dy=[dy(1),(dy(1:end-1)+dy(2:end))/2,dy(end)];%求平均值figure %创建图形窗口%plot(x,cos(x),x(1:end-1),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏左)%plot(x,cos(x),x(2:end),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏右)plot(x,cos(x),x,dy,'.') %画导数曲线(数值导数适中)s=sym('sin(x)'); %定义符号函数sdy=diff(s); %符号导数ssdy=subs(sdy,'x',x); %替换数值hold on%保持图像plot(x,ssdy,'ro') %画导数曲线legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例title('正弦函数的一阶导数') %标题d2y=diff(dy)/dx; %用差分求导数的近似值d2y=[d2y(1),(d2y(1:end-1)+d2y(2:end))/2,d2y(end)];%求平均值figure %创建图形窗口plot(x,-sin(x),x,d2y,'.') %画导数曲线(数值导数适中)sd2y=diff(s,2); %符号二阶导数ssd2y=subs(sd2y,'x',x); %替换数值hold on%保持图像plot(x,ssd2y,'ro') %画导数曲线legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例title('正弦函数的二阶导数') %标题[图示]2．函数极值的计算[问题]求如下函数的极值y = x3– 3x2 + x(1) [数学模型]求导数y' = 3x2– 6x + 1 (2) 令y' = 0，解得1(3x=±=1.8165，0.1835 (3)3[算法]将自变量设计为向量，函数设计为内线函数，用max函数和min函数求极大值和极小值。
用Matlab求解函数的导数
用Matlab求解函数的导数标题：使用MATLAB求解函数的导数摘要：MATLAB是一种强大的数学软件，可用于解决各种数学问题。
本文将探讨如何使用MATLAB求解函数的导数。
我们将从简单的数值方法开始，逐步介绍MATLAB中提供的不同工具和技术，以获得更精确和高效的导数计算结果。
此外，我们还将分享对导数概念及其在数学和科学领域中的实际应用的理解。
导论：导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点的变化率。
求解函数的导数在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
使用MATLAB可以更方便地进行导数计算，并得到高质量的结果。
I. 数值导数方法在MATLAB中，最简单的求解导数的方法是使用数值差商近似。
通过计算函数在两个非常接近的点上的斜率来估计导数。
我们将演示如何使用数值差商近似来计算函数的导数，并讨论其精度和收敛性。
II. 符号导数计算MATLAB还提供了符号计算工具箱，可以通过符号表达式来求解函数的导数。
我们将介绍如何使用符号计算工具箱来获取函数的符号导数，并讨论符号计算与数值方法的比较。
III. 数值优化方法对于复杂的函数或需要高精度的导数计算，数值优化方法可以提供更准确的结果。
我们将介绍MATLAB中的几种高级数值优化方法，如梯度法和拟牛顿法，并演示如何在MATLAB中应用它们来求解函数的导数。
IV. 应用实例在本节中，我们将通过一些实际的应用示例来展示导数的重要性。
我们将通过MATLAB来解决一些典型的问题，如最小二乘拟合、优化问题和微分方程求解，以展示导数在不同领域中的实际应用。
总结与展望：通过本文，我们了解了如何使用MATLAB求解函数的导数。
我们从数值方法开始，逐步介绍了符号计算和数值优化方法，并演示了导数在实际问题中的应用。
MATLAB提供了丰富的工具和函数，能够满足不同需求的导数计算，并提供高质量的结果。
在今后的研究中，我们可以进一步探索MATLAB在数学建模、优化和控制等领域中的导数求解能力。
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f f f x y z
g g g
x h
x
y h
y
z h
z
2. 导数的概念
导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一 点处的切线斜率。
1). 点导数是一个极限值
例1 . 设函数 f ( x) e x，用定义计算 f (0)；
实验3 导数及偏导数运算
实验目的：
1. 进一步理解导数概念及几何意义； 2. 学习Matlab的求导命令与求导法。
实验内容：
学习 Matlab 命令 导数概念 求一元函数的导数 求多元函数的偏导数 求高阶导数或高阶偏导数 求隐函数所确定函数的导数与偏导数
1. 学习Matlab命令
plot(x,x+1,’r’)
从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接 近曲线的割线.
3. 求一元函数的导数
1) y=f(x)的一阶导数
例3 . 求 y sin x 的导数； x
解： 输入指令
pretty(dy_dx)
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x)
cos(x) sin(x) ------ - ------
解： f ( x) 在某一点 x0 的导数定义为极限
lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0
x
我们记 h x，输入命令：
syms h; limit((exp(0+h)-exp(0))/h,h,0)
ans=1 可知结果 f (0) 1。
2). 导数的几何意义是曲线的切线斜率
解： 输入指令
syms a x; a=diff([sqrt(x^2-2*x+5),cos(x^2)+2*cos(2*x), 4^(sin(x)),log(log(x))])
Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。
a= [ 1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2), -2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x), 4^sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x)]
2) 参数方程确定的函数的导数
设参数方程
x y
x(t) 所确定的函数 y
y(t )
f (x)，
则 y f ( x)的导数 dy y(t)。 dx x(t)
例7
设
x y
a(t a(1
sin t)，求 cos t)
dy dx
;
解： 输入命令
syms a t; dx_dt=diff(a*(t-sin(t)));dy_dt=diff(a*(1-cos(t))); dy_dx=dy_dt/dx_dt.
例 9 求下列函数的偏导数 z1 arctan( y / x);z2 x y。 解： 输入命令
du_dx=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x du_dy =1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y du_dz = 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*z
u
x
x x2z2
u
y
y x2 y2 z2
例2 画出 f ( x) e x 在x=0处(P(0,1))的切线及若
干条割线，观察割线的变化趋势.
解:在曲线 f ( x) e x 上另取一点M (h,eh ) ，
则PM的方程是: y 1 eh 1 x0 h0
即 y eh 1 x 1 h
取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线.
例5 求 y ( x2 2x)20 的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff((x^2+2*x)^20)
得结果: dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).
例6 求下列函数的的导数： y1 x2 2 x 5; y2 cos x2 2cos 2x; y3 4sin x; y4 ln ln x.
dy_dx = sin(t)/(1-cos(t))
4. 求多元函数的偏导数
例8 设 u x2 y2 z2，求 u 的一阶偏导数；
解：输入命令
syms x y z; du_dx=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),x) du_dy=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),y) du_dz=diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2),z) a=jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2),[x y,z])
建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：
x=sym(‘x’) 建立符号变量 x；
syms x y z
建立多个符号变量 x,y,z；
Matlab 求导命令 diff 调用格式：
diff(f(x))，
求 f ( x)的一阶导数 f ( x)；
diff(f(x),n)， 求 f ( x) 的 n 阶导数 f (n)( x);
h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),'r');hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i)),'r.') plot(x,a(i)*x+1) end axis square
作出y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x
diff(f(x，y), x)，
求 f ( x, y) 对 x 的一阶偏导数 f ； x
diff(函数f(x，y),变量名 x,n)， 求 f ( x, y) 对 x 的 n 阶偏导数 n f ；
x n matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用 格式：
jacobian([f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)],[x,y,z])
x2
得结果:
x
dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.
例4 求 y ln(sin x) 的导数；
解： 输入指令
syms x; dy_dx=diff(log(sin(x)))
得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).
在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示， log10(x) 表示 lgx。