正弦交流电的瞬时值及其三要素
电工基础教案10正弦交流电的基本知识
正弦交流电路授课教案课题模块三正弦交流电路课题一正弦交流电的基本知识授课班级授课时间教学目的1．掌握正弦交流电的三要素2．掌握正弦交流电的四种表示形式及其相互转换教学重点及难点重点：1．正弦交流电的三要素2．正弦交流电的四种表示形式难点：初相位、相位及相位差教学内容纲要教学方法一．正弦交流电的特点大小和方向随时间按正弦规律变化的电流称为正弦交变电流，简称交流（ ac 或 AC ）。
我们日常生活、生产中，大量使用的电能都是正弦交流电。
正弦交流电具有以下特点：1．交流电压易于改变。
在电力系统中，应用变压器可以方便地改变电压，高压输电可以减少线路上的损耗；降低电压以满足不同用电设备的电压等级。
2．交流发电机比直流发电机结构简单。
二．正弦量的三要素正弦量的三要素为：最大值、角频率、初相角。
1．最大值----用来描述变化的幅度1）瞬时值：用小写字母表示，如 e 、 u 、 i 。
2）最大值：也称振幅或峰值，通常用大写字母加下标 m 表示，如。
3)有效值：用大写字母E、U、I表示。
它与最大值的关系为：2．角频率---- 用来描述变化的快慢1) 周期： T ，秒提问：日常生活中，有哪些地方用到交流电？是单相还是三相》周期越短、频率（角频率）越高，交流电变化越快。
2) 频率：， Hz 。
3) 角频率：3．初相角---- 用来描述变化的先后1) 相位角：2) 初相角： t=0 时正弦量的相位角称作初相角。
* 的大小和正负与计时起点有关。
* 规定* 如果正弦量零点在纵轴的左侧时，角为正；在纵轴右侧时，角为负。
结论: 一个正弦量与时间的函数关系可用它的频率、初相位和振幅三个量表示，这三个量就叫正弦量的三要素。
对一个正弦交流电量来说，可以由这三个要素来唯一确定：三、相位差与相位关系1 ．相位差——两个正弦交流电在任何瞬时相位角之差称相位差。
* 两个同频正弦量的相位差等于它们的初相之差。
规定。
2 ．相位关系a)超前、滞后关系；b)同相关系（；c)反相关系；d)正交关系四、课堂练习1 ）正弦交流电的三个基本要素是，，．2 ）我国工业及生活中使用的交流电频率为、周期为。
正弦量的瞬时值、幅值和有效值(精)
正弦量的瞬时值、幅值和有效值
3.2 正弦量的三要素
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
其中u、i分别为电压和电流的瞬时值; Um、Im分别为 电压和电流的幅值（或最大值）; ω为角频率; φu, φi分别
为电压和电流的初相角, 如图所示。
注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值
u ~
i
R
+ U _
I
R
பைடு நூலகம்
通入正弦交流电，T时 间内，电流热效应：
T
通入直流电，T时间内， 电流热效应：
Q = I2 RT
Q
2 i Rdt 0
则有： 同理：
I
Im 2
U U m 2
E
Em 2
1.瞬时值、最大值、有效值
i I m sin t
母u, i, e 表示 。 母带下标m表示, 如：Im, 有效值。以大写字母I、U、
瞬时值 : 描述正弦量在任一瞬间的值 ，以小写字 最大值 ：瞬时值中的最大数值，也称幅值 ,以大写字 Um, Em. 有效值 : 与交流热效应相等的直流定义为交流电的 E表示 。
电工电子技术基础知识点详解1-2-正弦量的三要素
正弦量的三要素正弦量随时间按正弦规律作周期性变化，它与时间的函数关系可以用频率、初相位和最大值三个量表示其基本特征，这三个量称正弦函数的三要素。
因此对于一个正弦量，只有当三要素确定之后，正弦量才是唯一确定的量。
设正弦交流电流)sin(ψω+=t I i m其波形如图1所示。
下面讨论正弦量的三要素。
图1 正弦交流电流波形1．正弦量的三要素(1) 周期、频率、角频率正弦量变化的快慢可以用三种方法表示，它们是周期T 、频率f 、角频率ω 。
周期T ：正弦交流量重复变化一周所需的时间称为周期T 。
单位: 秒（s ）周期越短，表示交流电变化越快。
频率f ：每秒时间内正弦量变化的周期数称为频率f 。
单位: 赫兹 (Hz)，1Hz =1/s 。
较高的f 用千赫或兆赫表示。
Hz 10kHz 13= Hz 10MHz 16=频率和周期互为倒数，即Tf 1= fT 1= 我国电力系统交流电的标准频率（简称工频）是50Hz 。
所以s f T 02.01==在其它技术领域里使用各种不同频率的交流电。
如音频是20Hz ～20kHz ；航空工业用的交流电是400Hz ；无线电广播的中波段频率是535kHz 到1650kHz ；电视广播的频率则在几十兆赫到几百兆赫之间。
角频率ω：表示正弦量在1秒钟内所变化的电角度。
单位: 弧度/秒（rad/s ）。
f Tπ2π2==ω，s rad T 、f 、ω从不同角度描述了正弦交流量变化的快慢，上式表示三者之间的关系。
当f =5 0Hz 时，rad 3142==f πω。
例4.1 已知电台广播频率kHz 640=f ，试求T 和ω。
解： sf s f T rad 1002.41064014.322μs 56.11056.110640116362⨯=⨯⨯⨯===⨯=⨯==-πω2. 最大值和有效值正弦交流量的大小可用瞬时值、最大值和有效值表示。
瞬时值：正弦交流量在任一瞬间的实际值称瞬时值。
模块二、电工基础知识--正弦交流电
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I 2XC
U2
XC
单位：乏（var）
例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，
i
φ=30°，ω=106rad/s，求i。
+
解: （1）相量图法：先画相量图，
u
C
_
分别求I、 φ。
I
U
UI (1 cos2 t)dt
T0
UI I 2R U 2 / R
ωt
单位：瓦、千瓦 (W、kW)
电压与电流最大值的关系：
Im=URm/R
电压与电流有效值的关系：
I=UR/R
或 UR=IR
电路的功率
瞬时功率：瞬时电压与电流的乘积。 有功功率：瞬时功率的平均值。
P=URI=I2R=UR2/R
UR
R
U UL UC UR
电压三角形
电压与电流的相位差：
arctg U L UC arctg X L XC
UR
R
Z XL XC
R
阻抗三角形
阻抗：
Z R2 (XL XC )2
arctg X L X C
R 阻抗角
Z X XL XC
2.功率关系
由 u 2Usinω t
+
1
u
i 2U sin( ω t 90) (1) 瞬时功率 X C
_
p iu
正弦交流电的瞬时值表达式与三要素
正弦交流电的瞬时值表达式与三要素
一正弦电流的波形，其数学表达式为：正弦电流的波形i=Imsin（ωt+φ）
式中Im——幅值；
φ——初相位；
ω——角频率。
幅值、初相位和角频率统称为正弦量的三要素。
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，已知正弦量的三要素，即可确定正弦量的瞬时值。
（1）幅值
正弦量瞬时值中的最大值称为幅值，表示交流电的强度，用Im表示。
（2）角频率
在单位时间内正弦量变化的角度称为角频率，反映了正弦量的变化快慢程度，用W表示，单位为弧度每秒（rad/s）。
正弦量变化快慢还可用频率和周期表示。
正弦量变化一次所需时间称为周期，用T表示，单位为秒（s）。
每秒内正弦量变化的次数称为频率，用f表示，单位为赫兹（Hz）。
（3）初相位
随时间变化的角度（ωt+φ）称为正弦量的相位。
如果已知正弦量在某一时刻的相位，就可以确定这个正弦量在该时刻的数值、方向及变化趋势，因此相位表示了正弦量在某一时刻的状态。
不同的相位对应正弦量的不同状态，所以相位还反映出正弦量变化的进程。
正弦电路的电压电流及相量表示
解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为
=（-180o）-（- 45o ）= -135o＜0
所以u（t）滞后i1（t）135o 。
电压u（t）与电流i2（t）的相位差为
= -180o - 60o = -240o 由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位 差应为 = -240o+360o = 120o＞0，因此u（t）超前 i2（t）120o 。
四、正弦量的有效值 有效值的提出： 正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正 弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个 周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上 产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压 u （t）的有效值。用大写字母“U”表示。 有效值的定义式：
1 U T
本讲作业
1、复习本讲内容；
2、预习下一讲内容——正弦电路的相量分析法； 3、书面作业：习题8-1，8-2，8-4，8-5。
8.2 正弦量的相量表示
一、相量表示法的提出 前面学过的解析式（三角函数表示法）和正弦量 的波形图（正弦曲线表示法）都不便于分析计算正弦 电路。为了解决这个问题，引入了正弦量的第三种表 示方法——相量表示法。 二、相量表示法采用的形式 相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。
三、相量表示方法 模等于正弦量的有效值（或振幅），幅角等于 正弦量的初相的复数，称为该正弦量的相量。相量 用该正弦量的符号上加一圆点“ · ”来表示，说明它 是时间的函数，以便与一般复数相区别。 振幅相量 相量的模为正弦量的振幅，称振幅相量，以 I m 、 Um 等表示。其振幅相量表达式为
将u3（t）的解析式整理如下： u3（t）= 5cos（100πt + 60o） = 5sin（100πt + 60o + 90o） = 5sin（100πt + 150o ）V 所以得到
正弦交流电知识
交流电的基本概念交流电可分为正弦交流电和非正弦交流电。
正弦交流电的大小和方向随时间按正弦规律周期性变化，通常所说的交流电就是指正弦交流电。
1. 正弦交流电（1）正弦交流电的产生：正弦交流电由交流发电机产生的。
（2）正弦交流电的三要素①瞬时值、最大值、有效值图1 正弦交流电波形瞬时值：正弦波上每一点的幅度称为正弦交流电的瞬时值，反映该点正弦交流电的大小，用小写字母表示，如i、u分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的瞬时值。
峰值：正弦波上幅度最大点的值称为峰值。
峰值有两个，其中一个峰值为正，另一个峰值为负，两者大小相等。
峰-峰值：两个峰值之间的垂直量称正弦交流电的峰-峰值，如图2所示。
峰值的绝对值称正弦交流电的最大值，反映正弦交流电大小变化的范围，用大写字母加下标m表示，如I m、U m分别表示正弦交流电流和正弦交流电压的最大值。
图2 正弦波的峰-峰值有效值：相同时间内、相同电阻上，产生与交流电相同热量所需的直流电的大小。
I＝0.707I m U＝0.707U m一般电气设备上标注的额定电压、额定电流都是指有效值。
当给定或测量交流电压、交流电流时，除非特别说明，也都是指有效值。
大多数仪表都能测量显示交流电压、交流电流的有效值。
②相位角、初相角在实际应用中，正弦波的相位通常用转子线圈旋转了多长时间来表示。
如果1秒钟转子线圈旋转了ω电角度，则t时间正弦波的相位为：Φ＝ωt＋φ其中，Φ称为相位角，φ称为初相角③周期、频率、角频率周期：正弦波完成一次循环所需的时间叫周期，用T表示。
周期的单位是秒（s）。
频率：指1秒钟循环的次数，用f表示。
频率的单位是赫兹（Hz），简称赫。
角频率：指1秒钟变化的电角度，用ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。
关系：2πf（3）正弦交流电的表示三角函数法：u＝U m sin（ωt＋φu）＝U sin（ωt＋φu）i＝I m sin（ωt＋φi）＝I sin（ωt＋φi）波形图表示法：图3 正弦交流电的波形表示2. 三相正弦交流电正弦交流电有单相正弦交流电和三相正弦交流电两种，实际应用中的单相正弦交流电只是三相正弦交流电中的某一相。
正弦交流电瞬时值表达式
正弦交流电瞬时值表达式
正弦交流电的瞬时值可以用下面的表达式来表示，\[ V(t) =
V_m \sin(\omega t + \phi) \]
其中，\( V(t) \) 表示时间 t 时的电压值，\( V_m \) 是电压的峰值，\( \omega \) 是角频率，\( t \) 是时间，\( \phi \) 是相位角。
这个表达式说明了正弦交流电的瞬时值是随时间变化的，其变化规律是正弦函数。
通过改变相位角 \( \phi \) ，可以实现对正弦波形的平移，而改变峰值 \( V_m \) 可以控制波形的振幅，角频率 \( \omega \) 则决定了波形的周期。
这个表达式是描述交流电特性的重要工具，能够帮助我们分析交流电路中电压和电流的变化规律。
从物理角度来看，这个表达式反映了交流电的瞬时值随时间的变化规律，而从工程角度来看，这个表达式是分析交流电路中电压和电流的重要数学工具。
因此，正弦交流电的瞬时值表达式对于理解交流电的特性和在实际电路中的应用具有重要意义。
总之，正弦交流电的瞬时值表达式是一个简洁而强大的工具，它能够帮助我们理解交流电的特性，并在工程实践中得到应用。
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t
最大值
i
最大值 Im 初相位
角频率
周期 T
初相位
t
作业：
课本160页
5-1-6
谢谢！
正弦交流电的表示方法：
瞬时值表达式 （一般形式）
u U m sin t u e Em sin t e
必须小写
i I m sin t i
i
波形图
t
矢量表示法
5.1.3 正弦交流电的三要素
1.最大值或振幅
i I m sin t
6
, 请写出瞬时值表达式。
5.1.3 正弦交流电的三要素
课堂巩固练习
习题2：已知某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz，
初相角为
6 解：已知
, 请写出瞬时值表达式。
I m 2A
i
6
f 50Hz
2f 2 50 100 rad / s
i I m sin t 2sin (100
)
6
小技巧：i I m sin t sin前面的值为最大值； t前面的值为角频率ω ； t后面的值为初相位 。
5.1.3 正弦交流电的三要素
例
已知某正弦交流电流的波形图如下图
解： 2 2 100 rad / s T 0.02
i
所示, 试写出电流的三要素和瞬时值表达式i。
i
T
0.03
t
0.04
0
0.01
0.02
T
T=0.02s
2 2 f 2 50 100 T
1 1 f 50 Hz T 0.02
3.初相位
5.1.3 正弦交流电的三要素
i I m sin t
i
i
Im
t
0
称为初相位或初相角。
i
Im
i1
Im
i=Imsin(ωt -π/3)
小规律： 若起点在坐标原点（或纵轴）的左侧，
> 0； < 0。 若起点在坐标原点（或纵轴）的右侧，
5.1.3 正弦交流电的三要素
总结：
正弦交流电的三要素
i I m sin t
最大值
i
最大值 Im
角频率
2 2f T
周期T
初相位
正弦交流电的三要素
5.1.3 正弦交流电的三要素
目的与要求：
掌握正弦交流电的三要素
重点与难点：
重点：正弦交流电的三要素 难点：交流电的波形图
5.1.3 正弦交流电的三要素
正弦交流电
正弦交流电：电流或电压、电动势的大小和 方向随时间按正弦规律变化的交流电。
想一想：正弦交流电有哪些表示方法呢？
5.1.3 正弦交流电的三要素
.01 0 0.02
t/s
u/V 250
5.1.3 正弦交流电的三要素
200
u1 u2
0.01
3
0
0.02
t/s
解：1）
U m1 250V
u1 0
2） U m2 200V
u 2
3
2 2 1 100 rad / s T 0.02
i/A
Im
注意： 在波形图中 一般不能直接读 出角频率ω。 可通过周期 T或频率f来求出 角频率ω。
T
0
0.01
T
0.02
0.03
t/s
2 2 f T
1 f T
周期T： 变化一周所需的时间。 频率f：每秒变化的周期数。
单位：秒(s) 单位：赫兹（Hz）
5.1.3 正弦交流电的三要素
初相位
t
找到问题了吗？
I 5 sin100t A 6
u U sin1000 t A 3
例
已知： i 3 sin1000 t A 6
写出表达式的三要素。
5.1.3 正弦交流电的三要素
幅度：
I m 3A
0
i2
i3 t
0
t
说明：
给出了观察正弦波的起点或参考点。
几种不同起点的正弦电流波的初相位：
i
i I m sin t
i
5.1.3 正弦交流电的三要素
Im
i1
i
Im
0
i2
Im
t
0
i3
0
t
3
3
t
0
3
3
i=Imsin(ωt)
i=Imsin(ωt+π/3)
T1 0.02S
2 1 100 rad / s
u2 U m sin(t ) V 200sin(100 t
u1 U m sin(t ) 250sin (100 t )
3
)V
5.1.3 正弦交流电的三要素
小结：
正弦交流电的三要素:
i I m sin
量的三要素。 解：根据 u U m sin t u
最大值： Um =220 2 V, 角频率：ω=314 rad/s, 初相位： u
4
小技巧：
i I m sin t
sin前面的值为最大值； t前面的值为角频率ω ； t后面的值为初相位
。
习题2：已知某正弦交流电流的振幅为2A,频率为50Hz， 初相角为
Im为正弦电流的最大值， 又称振幅值。
i(A)
4 Im
0
注意： 电量名称必 须大写,下标加m， 如： Im、
Em
Um 、
e(V)
Im =4A 14.1 Em =14.1V
t（s）
-14.1
t(s)
5.1.3 正弦交流电的三要素
2.角频率ω
i I m sin t
角频率ω
交流电每秒内变化的电度数称为角频率，用 字母“ω”表示。单位：弧度/秒（rad/s）
6
小技巧：
i I m sin t
角频率： 1000 rad/s 初相位：
sin前面的值为最大值； t前面的值为角频率ω ； t后面的值为初相位
。
5.1.3 正弦交流电的三要素
习题1：已知u=220 2 sin(314t- ) V, 请写出这个正弦
课堂巩固练习
4
i/A 1.6
I m 1.6A
0
最大值
i I m sin(t ) 1.6sin (100 t )
0.02
0.01
t/s
初相位 i 0
周期T
T 0.02 Hz
5.1.3 正弦交流电的三要素
例
已知两个同频正弦交流电压的波形图
如下图所示, 试写出u1及u2的瞬时值表达式。