1.2 直角三角形(解析版)

第一单元
第2课时直角三角形
一、选择题
1．若直角三角形的三边长分别为3，4，x ，则x 的值为( )
A.5 7 C.57 D.7
【答案】C ；
【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.
2.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a=1.5，b=2，c=3
B ．a=7，b=24，c=25
C ．a=6，b=8，c=10
D ．a=3，b=4，c=5
【答案】A ；
【解析】解：A 、∵1.52+22≠32
，∴该三角形不是直角三角形，故A 选项符合题意；
B 、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B 选项不符合题意；
C 、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C 选项不符合题意；
D 、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D 选项不符合题意．
故选：A ．
3．三角形的三边长分别为 22a b +、2ab 、22a b -（a b 、都是正整数），则这个三角形是（ ）
A ．直角三角形
B ． 钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．不能确定
【答案】A ；
【解析】()2222222()2()a b ab a b -+=+，满足勾股定理的逆定理. 4．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米D．14米【答案】B；
【解析】解：如图，设大树高为AB=10m，
小树高为CD=4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，
在Rt△AEC中，AC==10（m），
故小鸟至少飞行10m．
故选：B．
5．下列各命题的逆命题成立的是（）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
【答案】C；
【解析】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选C ．
6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）
A.一定全等
B.一定不全等
C.可能全等
D.以上都不是
【答案】C ；
【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
【答案】C ；
【解析】22222272425152025+=+=，
. 8. c b a ,,为直角三角形的三边，且c 为斜边，h 为斜边上的高，下列说法：
①222,,c b a 能组成一个三角形 ②c b a ,,能组成三角形
③h b a h c ,,++能组成直角三角形 ④
h b a 1,1,1能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C ；
【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错a b c >c b a ,,能组成三角形，②正确；因为ab ch =，所以
2222222a ab b h c ch h +++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确；因为
222
2222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确. 9.已知如图，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，CD ⊥DE ，CD ＝ED ，AD ＝2，BC ＝3，则△ADE 的面积为（ ）
A. 1
B. 2
C. 5
D. 无法确定
【答案】A ； 【解析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D 作
BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt
△CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可
10. 下列定理中，有逆定理的是（ ）
A ．四边形的内角和等于360°
B ．同角的余角相等
C ．全等三角形对应角相等
D ．在一个三角形中，等边对等角
【答案】D.
二、填空题
11. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2cm ，点E 在BC 上，且AE ＝EC.若将纸片沿AE 折叠，
点B 恰好与AC 上的点'B 重合，则AC ＝ cm .
【答案】4；
【解析】90AB E ABE '∠=∠=︒，又因为AE ＝CE ，所以BE '为△AEC 的垂直平分线，AC ＝2AB ＝4cm .
12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠
BAD＝_______.
【答案】45°；
【解析】证△ADC与△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.
13.如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则三角形为三角形．【答案】直角；
【解析】解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50=0
即a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0
∴a=3，b=4，c=5
∵a2+b2=c2
∴三角形为直角三角形．
14.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR=PS，
AQ=PQ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的
是．
【答案】①②．
【解析】解：连接AP，
在Rt△ASP和Rt△ARP中，
PR=PS，PA=PA，
所以Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以①AS=AR正确；
因为AQ=PQ，
所以∠QAP=∠QPA，
又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，
所以∠PAR=∠PAQ，
于是∠RAP=∠QPA，
所以②PQ∥AR正确；
③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．
故答案为：①②．
三、解答题
15.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点
分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．
【解析】
解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP=BC时，
∵∠C=∠QAP=90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，AP=AC，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），
即AP=AC=10cm，
∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．
综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．16.已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地
扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；
（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；
（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．
【解析】
解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴DC==6（m），
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为：32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），
故AD==4（m），
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为：（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴AB=10m，
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。