经济数学线性代数(1)
04184线性代数(经管类)基础知识
第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。
线性代数及其在经济领域中的应用与作用
③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系 ，从具体概 利润 ，列 出方程组求解 。
念抽象 出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合 例如：某商店经营四类商品 ，四个月的销售额及利润额如表 ２
等 ，对于强化人们 的数学训练 ，增益科学智能是非常有用 的；
所示 ，试求每类商品的利润率 。
间。托普利茨将 线性代数 的主要定理推广到任意体上的最一般 的向 解 ：设 Ａ…Ｂ Ｃ、Ｄ四种 产品的单位成 本分别为 Ｘ 、Ｘ：、Ｘ，、ｘ ，可列
量 空 间 中 。
出方 程组
“代数”这一个词在我 国出现较 晚 ，在清代 时才传 人 中国 ，当时 被人 们译成“阿尔热 巴拉 ”，直 到 １８５９年 ，清代 著名的数学家 、翻译 家李善兰才将它翻译成 为“代数学”，之后 一直 沿用 。现代线性代数
得以被具体表示 。
工具 ，而线性方程组在经济领域 的应用 比较广泛。
由于科学研究 中的非线性模 型通常可以被近似为线性模 型 ，使 ２．１成本 问题 。
得线性代数被 广泛地应用于 自然科学 和社会科学中。
某些产品在生产过程 中能获得另外几种产 品或副产 品，但是 对
线性代数 出现 于十七世纪。直到十八世纪末 ，线性代数 的领域 每种产品 的单位成本难 以确 定 ，这类 问题可以通过几次测试 ，列 出
用 ，因而它在各种代数分支中 占居首要地位 ；
斤
②在计算机广泛应用 的今天 ，计算机 图形学 、计算机辅助设计 、 ２．２利润问题。
密码学 、虚拟现实等技术无不以线性代 数为其理论 和算法基础 的一 企业经营几类商 品，由于有些费用难 以划分 ，因此不能 确定每
部 分ห้องสมุดไป่ตู้；
线性代数PPT全集
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大 为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
基础 基本内容
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
大学数学知识点(微积分,线性代数)
线性代数知识点第一章 行列式1． 二阶、三阶行列式的计算*2． 行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）3． 行列式展开（=D ，=0）4． 利用性质计算四、五阶行列式5． 克拉默法则解线性方程组及对方程组解的判定（分非齐次的和齐次的） 主要是行列式的计算第二章 矩阵1． 矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别2． 矩阵的运算（加减、数乘、乘法不满足交换律、转置、方阵的幂）3． 特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵、三角形矩阵、对称矩阵、分块矩阵）4． 矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形、标准形5． 逆矩阵的定义、运算性质6． 利用初等变换求逆矩阵及矩阵方程7． 矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩主要是矩阵的运算及逆矩阵和秩的求解第三章 线性方程组1． 线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）2． 线性方程组解的判定（分非齐次的和齐次的）3． N 维向量空间4． 向量间的线性关系a) 线性组合b) 线性相关与线性无关c) 极大无关组5． 线性方程组解的结构（分非齐次的和齐次的）主要是线性相关无关的判定及极大无关组、线性方程组的求解经济数学知识点第七章 无穷级数6． 无穷级数的概念：1231n n n uu u u u ∞==+++++∑7． 无穷级数的敛散性：部分和有极限——级数收敛8． 无穷级数的性质（和差、数乘、加减项、加括号、必要条件——通项不收敛于零）9． 正项级数收敛的基本定理——正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列n S 有界10． 常用判别法a) 比较判别法• 参考级数（p-级数、几何级数）• 推论（极限） b)比值判别法 c)根值判别法 • 不需要参考级数 • 与1比较（有时要结合比较判别法）——P285例9 11．交错级数：莱布尼茨定理 12．任意项级数 13．幂级数 a)幂级数的性质（和差、连续性、可积性、可导性——求和函数） b)收敛半径及收敛域 c)非特殊幂级数要结合换元法 14．泰勒公式和麦克劳林公式 15．泰勒级数和麦克劳林级数（条件） 16．函数的幂级数展开 a)直接法(泰勒级数法) b) 三种常用函数的泰勒展开式2111(,)2!!x n e x x x x n =+++++∈-∞+∞ 213511sin (1) (,)3!5!(21)!n n x x x x x x n +=-+-+-+∈-∞+∞+ 2311(1) (1,1)1n n x x x x x x=-+-++-+∈-+17． 函数的幂级数展开（间接法） – 利用已有的函数泰勒展开式 – 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分 – 注意等式成立的范围 18．幂级数的应用举例 – 近似计算 19． 常用的泰勒公式01(1);1n n x x ∞==-∑01(2)(1);1n n n x x ∞==-+∑2201(3);1n n x x ∞==-∑0(4);!nx n x e n ∞==∑ 210(5)sin (1);(21)!n nn x x n +∞==-+∑10(6)ln(1)(1).1n n n x x n +∞=+=-+∑第八章 多元函数1． 空间解析几何简介2． 多（二）元函数的概念a) 定义域b) 二元函数的图象是一个曲面3． 二元函数的极限（方向任意）4． 二元函数的连续性及闭区间上连续函数的性质5． 二元函数的偏导数a) 偏导数的定义及计算b) 高阶偏导数c) 可微的必要条件、充分条件d) 二元函数的全微分e) 全微分在近似计算中的应用f) 复合函数的微分法（链式法则）g) 隐函数的微分法h) 二元函数的极值的必要条件、充分条件),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：（1）20B AC -<时具有极值， 当0<A 时有极大值， 当0>A 时有极小值； （2）20B AC ->时没有极值；（3）20B AC -=时可能有极值,也可能没有极值i) 条件极值及拉格朗日乘数法6． 二重积分a) 二重积分的定义及几何意义b) 二重积分的性质（数乘、和差、可加性、比较、长度、范围、中值） c) 二重积分的计算i. 积分顺序的交换ii. 化为累次积分第九章 微分方程与差分方程简介1． 微分方程的的概念2． 一阶微分方程——注意常数C 的选择a) 可分离变量的微分方程()()g y dy f x dx =、()()dy f x g y dx = b) 齐次微分方程()dy y f dx x= c) 一阶线性微分方程()()dy P x y Q x dx+= i. 一阶线性齐次方程()0dy P x y dx+= ii. 一阶线性非齐次方程()()dy P x y Q x dx+= 3． 几种二阶微分方程a) 22() d y f x dx=型的微分方程——两端连续两次积分即可 4． 差分方程。
《线性代数》第1讲-第1章第1-2节
Linear Algebra
王健 理学院 数学系 北京工商大学 我的邮箱：wangjian04@ 课程主页：/ 登录密码：110
第一章 1 第一章 2
线性代数
课程特点： 一个中心 —— 求解线性方程组 一种工具 —— 矩阵（行列式、向量） 关于教材： 内容基本、难度低 第3.6节、第4.4节、第5.4节选讲 成绩：平时40%（出勤+作业+测验等）+ 期末60% 作业：用作业纸做，单周二交作业, 批阅1/3 作业上交情况及时上传至课程主页 答疑：单周周二下午七八节，工三303（数学系办公室）
a11
即 a 21 a 31 行标
a31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
+ +
+
a11a 22 a 33 a12 a 23 a 31 a13 a 21a 32 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33 a13 a 22 a 31 .
第一章 13
例4 解
1 求解方程
方程左端为
1 3 9
1 x 0. x2
计算三阶行列式
1 D 2 3 2 2 4 4 1 2
D 2 3
2 4
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
1 2 (2) 2 1 ( 3) (4) ( 2) 4
由 1, 2 , 3 组成的 3级排列有： 123 , 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
由自然数 1 , 2 , , n 所构成的不同的 n 级排列 的总数为 n!. 通常用 Pn 表示 .
Pn n ( n 1) ( n 2 ) 3 2 1 n!.
线性代数
九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际 上就是一个简单的线性方程组求解的问题。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九 章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施 行初等变换，消去未知量的方法。
凯莱矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式 定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空 间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。
学术地位
线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。在计算机 广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基 础的一部分。线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的 逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。随着科学的发展，我们 不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性 化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。线性代 数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容。
所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符 号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统 一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系的线性算子f都有哪 几类，以及他们分别都有什么性质。
线性代数知识点总结第一章
线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，即结果为一个数。
同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。
即=二三阶行列式的计算：对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组设则，对三元方程组，设，，，，则，，。
（课本上没有）注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。
n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。
（课本P5）逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。
（课本P5）计算排列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。
（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2，… ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。
也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。
根据定义，有说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n个元素的乘积;4、的符号为，t的符号等于排列的逆序数5、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆。
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
经济数学基础线性代数部分重难点解析
第三部 线性代数 第1章 行列式1．了解或理解一些基本概念（1）了解n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念； （2）了解n 阶行列式性质，尤其是：性质1 行列式D 和其转置行列式T D 相等；性质2 若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号； 性质3 行列式一行（或列）元素的公因子可以提到行列式记号的外面；性质5 若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变．例1 设行列式211201231--=D ，则D 中元素223=a 的代数余子式23A = 。
解 由代数余子式的定义ij A ij ji M +-=)1(，其中ij M 为ij a 的余子式，可知 23A =11311131)1(32-=-+。
应该填写 1131-。
例2 下列等式成立的是（ ） ，其中d c b a ,,,为常数。
A ．acb d dc ba -= B ．111111c bd a d c b a +=++C ．d c b a d c ba 22222= D ．111111c b d a d c b a ⋅=⋅⋅ 解 因为 dc ba d cb acd a b a b c d a c b d ≠-==-=-，所以选项A 是错误的。
由行列式性质4可知，111111c b d a d c b a +=++，所以选项B 是正确的。
因为d c ba d cb a dc b a 242222≠=，所以选项C 是错误的。
因为1111,11c b d a cd ab d c b a ⋅-=⋅⋅=))((c b d a --，111111c b d a d c b a ⋅≠⋅⋅，所以选项D 是错误的。
例3 行列式4321100001000010=D = 。
解 按第1列展开行列式，得6300020001)1(432130000200001014-=-==+D故应该填写 –6。
2．掌握行列式的计算方法化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。
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a1n a 2 n . amn
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有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力
12
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n 矩阵， , 为数）
1 A A; kA Ak 2 A A A; 3 A B A B.
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B .
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四、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12 a21 a22 A A a m 1 a m 1
436 283 513 125 414 258
C 283 125 258
623 782 353
D 623 782 353
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2
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,, m; j 1,2,, n 排成的 m行 n 列的数表
mn 零 （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 矩阵记作 omn 或 o .
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0
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例如
13 6 2i 2 2 2 2 2 2
是一个3 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an ,
称为行矩阵(或行向量).
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5
只有一列的矩阵 a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n 不全为0
A 的负矩阵： 1 A 记为 A
A B A ( B)
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有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思
3 1 2 0 A 1 5 7 9 2 4 6 8 求满足 A 2 X B 的 X
10
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A; 2 A B C A B C .
a11 a 21 3 A a m1 a12 a 22 am1 a1 n a2n aij , a mn
1 0 （3）形如 0 2 0 O0 0 O 0 的方阵,称为对角 矩阵(或对角阵）. n
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6
记作
A diag 1 , 2 ,, n .
a1 n b1 n a 2 n b2 n a mn bmn
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9
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
例如
12 3 5 1 8 9 1 9 0 6 5 4 3 3 2 1 6 8
7
(5)方阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）. 同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同 型矩阵.
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12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4 . 6 3 3 6 2 8 9 81
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经济数学线性代数
第4讲
矩阵的概念及运算
教师：边文莉
有生命就会有希望，有信心就会有 成功，有思索就会有思路，有努力 1
一、矩阵概念的引入
1. 将某种产品从甲，已，丙三个产地运往四个销 地A,B,C,D；调运计划数见下表。
甲 已 丙
可表示为：
A 385 432 382
385 432 382
B 436 513 414
a11 a21 a12 a22 a1n a2 n
am 1 am 2 amn
称为 m n矩阵.简称 m n 矩阵.
下一步
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3
记作
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
第一行
第m行
简记为
A Amn aij mn aij .
aij 称为第i行j列的元素.
这m n个数称为A的元素.
下一步
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4
几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
8
三、矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n矩阵 A a ij , B bij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B，规定为
a11 b11 a 21 b21 A B a b m1 m1
a12 b12 a 22 b22 a m 2 bm 2