《经济数学基础》线性代数
经济数学基础线性代数
《经济数学基础》线性代数第2章 矩阵1.了解或理解一些基本概念 具体要求如下：(1) 了解矩阵和矩阵相等的概念；(2) 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质． (3) 理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件； (4) 了解矩阵秩的概念； (5) 理解矩阵初等行变换的概念．2．熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 3．熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足交换律，即AB BA =一般不成立（若矩阵A , B 满足AB BA =，则称A , B 为可交换的）．矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC BC =及矩阵C ≠0，不能推出A B =．但当C 可逆时，AC BC =⇒A B =． 矩阵A B ≠≠00,，可能有AB =0．例1 若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ ）．A ．000＝或＝，则＝若B A ABB ．2222)+(B B A A B A +⋅+＝ C ．若秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 则秩0)(≠AB D ．若秩,)(n A = 秩,)(n B =则秩n AB =)(解 选项A ： 00＝或＝B A 只是0＝AB 的充分条件，而不是必要条件，故A 错误；选项B ：222)+(B A B B A A B A +⋅+⋅+＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即A B B A ⋅≠⋅，故B 错误；选项C ：由秩,0)(≠A 秩,0)(≠B 说明A ，B 两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011,1010B A ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000AB ．故秩0)(≠AB 不一定成立，即C 错误；选项D ：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D 正确．例2 设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 解 因为 AB ＝[]021- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100112= [4 1] 所以，应该填写：[4 1]例3 矩阵13210011000010001000-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 因为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000000010000110012310010000100001100123100010001000011001231 对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确选项是：C例4 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是 ．解 根据乘法法则可知，矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行第1列的元素的值是A 的第3行元素与B 的第1列元素的乘积之和，即3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3应该填写：-3例5 设A 是m ⨯n 矩阵,B 是s ⨯n 矩阵, 则运算有意义的是( )． A ．TAB B ．AB C ．B A TD ．TTB A 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵TAB 有意义．正确选项是A ．例6 设方程XA －B =X ，如果A －I 可逆，则X = ．解 由XA －B = X ，得XA －X = B ，X (A －I ) = B 故X = B (A －I )－1． 所以，应该填写：B (A －I )－1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A －I )－1B ，它是错误的．例7． 设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1111032311A ，求矩阵A ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-100010001111103231][1I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340013790001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→101340211110001231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→943100211110632101→⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100113010237001349 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=943732311A 例8 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡367601012b b a a ，求常数a ，b ． 解 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡3676010122a abb a ab b b a a 所以 6,3==ab a ，得b = 2 ． 例9．设矩阵A ，B 满足矩阵方程AX ＝B ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0121A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2003B , 求X ．解法一：先求矩阵A 的逆矩阵．因为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10010121I A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡→11200121⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→2121101001所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-2121101A 且 B A X 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2003212110⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=1 2320 解法二： 因为 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20010321B A⎥⎦⎤⎢⎣⎡→23200321⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-→123102001 所以 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12320X例10 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=451001413101B A试计算A -1B ．解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100010001001413101][I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→101100013110001101→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1001010411001101 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1011141001A且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-51344511011141001B A例11 设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵． 证 因为 A ，B 是对称矩阵，即B B A A ==T T ，且 TTT)()()(BA AB BA AB +=+TTTTB A A B +=AB BA +=BA AB +=根据对称矩阵的性质可知，AB ＋BA 是对称矩阵．例12 设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 证 因为 ))((2A A I A I ++-=322A A A A A I ---++ =3A I -= I所以 21)(A A I A I ++=--。
《经济数学基础》课程说
运用数学手段探讨生产者在技术约束和市场环境下如何实现利润最 大化，从而得出供给函数。
宏观经济模型的构建与分析
国民收入决定模型
基于宏观经济学的理论框架，运用数学方法分析国民收入的决定 因素及其变动规律。
货币与财政政策效果模型
通过数学模型模拟和分析货币政策和财政政策对宏观经济变量的影 响及政策效果。
其他数学软件在经济数学中的应用
01
Mathematica软件
Mathematica是一款符号计算软件，可用于进行经济数学中的符号计
算、函数求解、极限运算等。
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Python编程语言
Python是一种通用的编程语言，具有丰富的数学库和强大的数据处理
能力，可用于进行经济数学中的数值计算、统计分析、机器学习等。
导数与微分
导数
掌握导数的概念、几何意义及运算法则，了解导数在经济分析中的应用（如弹性分析、最优化问题） 。
微分
理解微分的概念，掌握微分的基本公式和运算法则，了解其在经济模型中的应用。
积分学基础
不定积分
掌握不定积分的概念、性质及基本积 分公式，了解其在经济学中的应用。
定积分
理解定积分的概念、几何意义及性质 ，掌握定积分的计算方法，了解其在 经济分析中的应用（如总量分析、消 费者剩余等）。
教材与参考资料
教材
《经济数学基础》教材应选用内容全面、系统、深入浅出的优秀教材，如《经 济数学基础》（第二版）等。
参考资料
推荐学生阅读相关领域的经典著作和学术论文，如《微积分学教程》、《线性 代数及其应用》、《概率论与数理统计》等，以便更深入地了解和掌握相关知 识。
02 数学知识在经济中的应用
2022年经济数学基础学习材料第三篇及期末复习提要
第三篇 线性代数第1章 行列式 (不作为考试内容) 第2章 矩 阵§1 矩阵旳概念我们懂得，线性方程组⎩⎨⎧-=-=+1352y x y x 旳系数及常数项构成一张数表⎪⎪⎭⎫⎝⎛---131512，线性方程组旳解取决于这张数表。
定义 由n m ⨯个数ij a 排成m 行n 列旳矩形阵表，称为n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a .................212222111211，记为mn ij a A )(= 当n m =时，称为方阵，如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111110101等；当1=m 时，),(11211n a a a 称为行矩阵；当1=n 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛12111m a a a 称为列矩阵；当0=ij a 时，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0......00...............0.....000.....00称为零矩阵；记为o ，如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000000等。
矩阵只是一张数表，不是一种数，因此，不能展开，不能求值，也不能比较大小。
如 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011=1，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2012, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10113<等都是错误旳。
定义 设mn ij a A )(=，mn ij b B )(=是两个矩阵，若（1）、A 、B 同阶；（2）、ijij b a =则称B A =。
例 设=A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛232221131211a a a a a a ，=B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412503 若B A =，则311=a ，012=a ，513-=a ，221-=a ，122=a ，423=a 。
例 设=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-7321x，=B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛721x ，且B A =，则=x 。
§2 矩阵旳运算设mn ij a A )(=，mn ij b B )(=是两个同阶矩阵。
《经数》考试分析(线性代数)
ABT BT AT BA AB
所以，AB是对称矩阵
3、设A是 m n 矩阵，
试证明 AAT 是对称矩阵
证明：因为
AAT T AT T AT AAT
所以 AAT 是对称矩阵
三、矩阵的初等行变换 与矩阵 的秩、逆矩阵
矩阵的初等行变换是一种 很重要的运算方法，用这种方 法我们可以求矩阵的阶梯形、 矩阵的秩和逆矩阵等. 下一章讨 论线性方程组的问题，初等行 变换同样是重要的方法.
1 0 0
1 1 0
1 0 1
0
1 1
2
1
0 1
2
0
0
1
2
1 1 0 0 1 0
0 0 1
1
2 1 1
3 2 0
1
1
2 0
1
1 0 0
00 10 01
3
2 1 1
3 2 0
1
1
2 0
1
2 2 2
2 2 2
3
(A
B ) 1
2 1
1
3 2 0
1
1
2 0方程组
1、线性方程组 1 3
2 6
x1 x2
5 9
满足结论（ ）
(A) 有惟一解 (B) 有解
(C) 有无穷多解 (D) 无解
思路：
用方程组解的情况判定定理来判别
由
A
1 3
2 6
5 9
(2)(1)(3)10
2 0
5 6
知
r(A) r(A)
所以原方程无解 选项是D
2、若线性方程组的增广
矩阵为
1 2
《经济数学基础》线性代数
《经济数学基础》线性代数第1章 行列式一、n 阶行列式下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.定义2.9 对任一n 阶矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211用式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211表示一个与A 相联系的数，称为A 的行列式，记作A . 规定：当n = 1时，1111a a A ==； 当n = 2时，2112221122211211a a a a a a a a A -==；当n > 2时，∑==+++=nj j jn n A aA a A a A a A 1111112121111 ，其中j A 1=j jM 11)1(+-，称j M 1为A 中元素j a 1的余子式，它是A 中划去第一行、第j 列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；j A 1为A 中元素j a 1的代数余子式. （由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.） 行列式的性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 性质3 n 阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即其中 i = 1, 2, …, n ( j = 1, 2, …, n ) .性质4 n 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即当k i ≠时，有01=∑=nj kj ijA a.性质5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即性质6 若行列式的某一行（列）元素都是两数之和：（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）例1 计算 =A 2112123212230121313231-----解 首先按性质5，从第一行提出公因子31，再从第四行提出21，即 =A 12132122301231212131-----⨯⨯再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得12132122301231212131-----⨯⨯=505510013012312161---⨯再利用性质3按第3列展开，即505510013012312161---⨯=555101312)1(16131--⨯-⨯⨯+ 再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即55510131261--⨯=105500111261--⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯-⨯⨯+10511)1(16112 =65)510(61=+-⨯-例2 计算 =A 3351110243152113------解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得=A 3315112043512131------=72160112064802131-----首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得72160112064802131-----=1510001080011202131----再作“第四行加上第三行的45倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即1510001080011202131----=25001080011202131---=4025821=⨯⨯⨯（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A ，B ，总有B A AB =即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.。
《经济数学基础》综合练习(线性代数)
《经济数学基础》综合练习（线性代数）一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB = B . TT T )(A B AB = C . 1T 11T)()(---=B A AB D . T 111T )()(---=B A AB3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .TTT)(B A AB = C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B D .111)(---=A B AB4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）． A ．B AB = B ．BA AB = C ．I AA = D ．I A=-15．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A . B B . 1+B C . I B + D . ()I AB --16．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 08．设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）．A .kA -1B .11kA n- C . --kA 1D . 11k A - 9．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 11．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 12．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解．A ．12B ．0C ．1D ．2 13． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解14．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ ）． A ．有唯一解 B ．无解 C ．有非零解 D ．有无穷多解15．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ ）． A ．无解 B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .2．计算矩阵乘积[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡10211000321= ．3．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=．4．设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 ．5．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 时，A 是对称矩阵. 6．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 7．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X．8．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= ．9．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ．10．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b．11．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ．12．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．13．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为 .14．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.15．若线性方程组AX b b =≠()0有唯一解，则AX =0 .三、计算题1．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I )2(T -．2．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200010212B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=242216C ，计算C BA +T ．3．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613，求1-A ．4．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 5．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 6．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 7．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--214332X ．8．解矩阵方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡02115321X . 9．设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+bax x x x x x x x 321321312022讨论当a ，b 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解.10．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.11．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 12．求下列线性方程组的一般解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 13．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解.14．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解.15．已知线性方程组b AX =的增广矩阵经初等行变换化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→→300000331013611λ A问λ取何值时，方程组b AX =有解？当方程组有解时，求方程组b AX =的一般解.四、证明题1．试证：设A ，B ，AB 均为n 阶对称矩阵，则AB =BA ．2．试证：设A 是n 阶矩阵，若3A = 0，则21)(A A I A I ++=--． 3．已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B . 4. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，T AA I =，证明A 是对称矩阵.5．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，则AB ＋BA 也是对称矩阵．。
《经济数学基础》线性代数.doc
《经济数学基础》线性代数第3章 线性方程组1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．• 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ；AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )．• 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ；AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．例1 线性方程组⎩⎨⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．A ．2×3矩阵B ．3×2矩阵C ．3阶矩阵D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ．例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ．A ．可能有解B ．有无穷多解C ．无解D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．正确的选项是D ．例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．4C ．2D ．12解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ-λ→021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12． 正确的选项是D ．例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )．A ．秩(A ，B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ rC ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．例5 求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1232122023432143214321x x x x x x x x x x x x解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=001001301038001002001311001231131101311001231123211212101231A 因为 ，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，所以，方程组有解．一般解为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0318334241x x x x x (x 4是自由未知量)例6 设线性方程组212132123123123x x x x x x x x x c-+=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000515310535101A 所以，原方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=323153515153x x xx（x 3是自由未知量）。
经济数学基础(春)线性代数部分期末复习指导
经济数学基础（08春）线性代数部分期末复习指导线性代数部分第二章，矩阵考试要求：⑴ 了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念；⑵ 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶ 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷ 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．重点：矩阵概念，矩阵可逆与逆矩阵概念，矩阵可逆的条件，矩阵秩的概念及求法；矩阵的运算和矩阵的求逆，矩阵的初等行变换。
典型例题一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行. A ．AB B ．AB T C ．A +B D ．BA T 答案:A2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ） A . T T T )(B A AB =B .T T T )(A B AB =C .1T 11T )()(---=B A ABD .T 111T )()(---=B A AB 答案：B3．设B A ,为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（ ）． A . 若AB = I ，则必有A = I 或B = I B .T T T )(B A AB =C . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(BD .111)(---=A B AB 答案：D4．设B A ,均为n 阶方阵，在下列情况下能推出A 是单位矩阵的是（ ）．A ．B AB = B ．BA AB =C ．I AA =D ．I A =-1 答案D5．设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）. A .B B .1+B C .I B +D .()I AB --1 答案C6．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ ）．A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6231B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6321C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5322D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 答案D7．设下面矩阵A , B , C 能进行乘法运算，那么（ ）成立.A ．AB = AC ，A ≠ 0，则B = C B ．AB = AC ，A 可逆，则B = C C ．A 可逆，则AB = BAD ．AB = 0，则有A = 0，或B = 0 答案：B二、填空题1．两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 . 答案：同阶矩阵2．若矩阵A = []21-，B = []12-，则A T B=．答案⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2412 3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a =时，A 是对称矩阵. 答案：0=a4．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆. 答案：3-≠a5．设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X ．答案：A B I 1)(--6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=． 答案：n7．若矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212，则r (A ) = ． 答案：22.计算题（1）设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1． 解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 （2）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--------=843722310A ，I 是3阶单位矩阵，求1)(--A I ． 解：由矩阵减法运算得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-943732311843722310100010001A I 利用初等行变换得113100237010349001113100011210010301⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥ →----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥→----⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥113100011210001111110233010301001111 →---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥100132010301001111即 ()I A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1132301111 （3）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112,322121011B A ，求B A 1-． 解：利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--102340011110001011100322010121001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→146100135010001011146100011110001011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→146100135010134001 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1461351341A 由矩阵乘法得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-7641121461351341B A第三章 线性方程组考试要求：⑴ 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解；⑵ 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理．重点：线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示及求解非齐次线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下： AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ； AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；AX = b 无解的充分必要条件是秩(A )≠秩(A )． 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为： AX = 0只有零解的充分必要条件是秩(A ) = n ； AX = 0有非零解的充分必要条件是秩(A ) < n ．典型例题：一、单项选择题1．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．A ．1B ．1-C ．2D ．21 (答案D)2．若非齐次线性方程组A m ×n X =b 的( )，那么该方程组无解．A ．秩(A ) ＝ nB ．秩(A )＝mC ．秩(A ）≠ 秩 (A )D ．秩(A ）= 秩(A )(答案C)3．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ ）．A . 无解B . 只有0解C . 有唯一解D . 有无穷多解 答案 A4． 线性方程组AX =0只有零解，则AX b b =≠()0（ ）.A . 有唯一解B . 可能无解C . 有无穷多解D . 无解 答案B5．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（）．A ．有唯一解B ．无解C ．有非零解D ．有无穷多解 答案B6．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（）． A ．无解B ．有非零解 C ．只有零解 D ．解不能确定 答案C二、填空题1．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b ． 答案：无解2．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-02121x x x x λ有非零解，则=λ．答案：-1=λ3．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于．答案：r n -4．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般解为.5．线性方程组AX b =的增广矩阵A 化成阶梯形矩阵后为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→110000012401021d A 则当d 时，方程组AX b =有无穷多解.答案：1-=d三.计算题1．求解线性方程组的一般解⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=++-0232022023432143214321x x x x x x x x x x x x 解：将方程组的系数矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----010030101031020031101231311031101231232121211231 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→010********* 一般解为⎪⎩⎪⎨⎧===03834241x x x x x (4x 是自由未知量) 2．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=+++-=--+1479637222432143214321λx x x x x x x x x x x x有解，在有解的情况下求方程组的一般解． 解 将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---1000010511102121119102220105111021211114796371221211λλλ 所以，当1=λ时，方程组有解，且有无穷多解，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→00000105111084901 答案：⎩⎨⎧++-=--=43243151110498x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量．3．求当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-λ432143214321114724212x x x x x x x x x x x x 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---273503735024121114712412111112λλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→500003735024121λ 当5=λ时，方程组有解，且方程组的一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=432431575353565154x x x x x x 其中43,x x 为自由未知量．。
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《经济数学基础》线性代数
第3章 线性方程组
1．了解n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解的概念．
2. 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．
∙ 线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：
AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) = n ；
AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A ) = 秩(A ) < n ；
AX = b 无解的充分必要条件是秩(A ) ≠ 秩(A )．
∙ 相应的齐次线性方程组AX = 0的解的情况为：
AX = 0只有零解的充分必要条件是 秩(A ) = n ；
AX = 0有非零解的充分必要条件是 秩(A ) < n ．
例1 线性方程组⎩⎨
⎧=-=+0223221x x x x 的系数矩阵是( ) ．
A ．2×3矩阵
B ．3×2矩阵
C ．3阶矩阵
D ．2阶矩阵 解 此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵． 正确的选项是A ．
例2 线性方程组AX = B 有唯一解，那么AX = 0 ( ) ．
A ．可能有解
B ．有无穷多解
C ．无解
D ．有唯一解 解 线性方程组AX = B 有唯一解，说明秩,)(n A =故AX = 0只有唯一解（零解）．
正确的选项是D ．
例3 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=41221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组有无穷多解．
A ．1
B ．4
C ．2
D ．12
解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41221λA ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛λ-λ→021021
此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021=λ-，从而λ＝12
． 正确的选项是D ．
例4 若非齐次线性方程组A m ×n X = B 有唯一解,那么有 ( )．
A ．秩(A ，
B ) ＝ n B ．秩(A ) ＝ r
C ． 秩(A ) ＝ 秩(A ，B )
D ．秩(A ) ＝ 秩(A ，B ) ＝ n 解 根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D 是正确．
例5 求解线性方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-+-=++-1
2321220
23432143214321x x x x x x x x x x x x
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡
--→
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡----→
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=00100130103800100200131100123113
11013
11001
2
31123211212101231A 因为 ，秩(⎺A ) = 秩(A ) = 3，
所以，方程组有解．
一般解为
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=0
31833424
1x x x x x (x 4是自由未知量)
例6 设线性方程组
21
2132123123123x x x x x x x x x c
-+
=--+=--+=⎧⎨⎪⎩⎪
试问c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．
解 因为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=13501350112123111211112c c A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→c 00013501121 可见，当c = 0时，方程组有解．且
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-→000
0515
3
10535
1
01A 所以，原方程组的一般解为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=3
23
153
51
51
53x x x x （x 3是自由未知量）。