专题四-方程(组)、不等式(组)及其实际应用-(共34张)
七年级方程(组)、不等式(组)复习资料
7、甲、乙两件服装的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按 50﹪的利润定价， 乙服装按 40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共 获利 157 元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
(1)a+l
b+l； (2)a-5
b-5；
2-3x≤ 8 的解集是
1 x-1＜ 1 2
(3)-3a
-3b； (4)6-a
3、写出适合不等式 2x+3<9 的正整数解_____________________。
1-x≥ 0
4、不等式组
的整数解是
.
2x-1>-3
5 、 代 数 式 1 - k 的 值 大 于 - 1 而 又 不 大 于 3 ,则k的取值范围是
10、某玩具工厂广告称：“本厂工人工作时间：每天工作 8 小时，每月工作 25 天；待遇：熟练 工人按计件付工资，多劳多得，计件工资不少于 800 元，每月另加福利工资 100 元，按月结 算；……”该厂只生产两种玩具：小狗和小汽车。熟练工人晓云元月份领工资 900 多元，她记 录了如下表的一些数据：
2、 当 x取 什 么 值 时 ， 代 数 式 2x +1 -1的 值 不 小 于 3x − 8 +2的 值 ？
2
11. 为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过 140 度，按每度 0.43 元收费； 如果超过 140 度，超过部分按每度 0.57 元收费。若某用电户四月份的电费平均每度 0.5 元，问 该用户四月应交电费多少元？
部编九年级下数学专题四 方程(组)、不等式(组)的实际应用
专题四 方程(组)、不等式(组)的实际应用方程(组)的实际应用【例1】 (2016·济南)学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40千克，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：(1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？(2)这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？分析：(1)设采摘黄瓜x 千克，茄子y 千克，根据题中两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可；(2)根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，列式计算即可．解：(1)设采摘黄瓜x 千克，茄子y 千克．根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝40，x ＋1.2y ＝42，解得⎩⎨⎧x ＝30，y ＝10，则采摘的黄瓜和茄子分别为30千克、10千克(2)30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23(元)，则这些采摘的黄瓜和茄子可赚23元【例2】 (2016·淮安)王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？分析：设原计划每小时检修管道为x m ，根据题中等量关系列出分式方程进行求解．解：设原计划每小时检修管道x 米，由题意得600x －6001.2x＝2，解得x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意，则原计划每小时检修管道50米方程(组)与不等式(组)的综合应用【例3】 (2016·永州)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？分析：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，根据题中等量关系列出一元二次方程进行求解；(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，根据题中不等关系列出一元一次不等式进行求解．解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得400×(1－x%)2＝324，解得x ＝10，或x ＝190(舍去)，则该种商品每次降价的百分率为10%(2)设第一次降价后售出该种商品m 件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降价后的单件利润为400×(1－10%)－300＝60(元)，第二次降价后的单件利润为324－300＝24(元)．依题意得60m ＋24×(100－m)≥3210，即36m ＋2400≥3210，解得m ≥22.5，∴m ≥23，则第一次降价后至少要售出该种商品23件1．(2016·宜宾)2016年“母亲节”前夕，某花店用4 000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是第一批所购花的束数的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批花每束的进价是多少？解：设第一批花每束的进价是x 元，依题意得4 000x ×1.5＝4 500x －5，解得x ＝20.经检验x ＝20是原方程的解，且符合题意，则第一批花每束的进价是20元2．(2016·包头)如图，一幅长20 cm ，宽12 cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm ，图案中三条彩条所占面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度． 解：(1)根据题意可知横彩条的宽度为32x cm ，∴y ＝20×32x ＋2×12x －2×32x 2，即y ＝－3x 2＋54x(2)根据题意得－3x 2＋54x ＝25×20×12，整理得x 2－18x ＋32＝0，解得x 1＝2，x 2＝16(舍去)，∴32x ＝3，则横彩条的宽度为3 cm ，竖彩条的宽度为2 cm 3．(2016·沈阳)倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A ，B 两种型号的健身器材若干套，A ，B 两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A ，B 两种型号健身器材各购买多少套？(2)若购买A ，B 两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A 种型号健身器材至少要购买多少套？解：(1)设购买A 种型号健身器材x 套，B 型器材健身器材y 套，根据题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝50，310x ＋460y ＝20000，解得⎩⎨⎧x ＝20，y ＝30，则购买A 种型号健身器材20套，B 型器材健身器材30套(2)设购买A 型号健身器材m 套，根据题意得310m ＋460(50－m)≤18000，解得m ≥3313，∵m 为整数，∴m 的最小值为34，则A 种型号健身器材至少要购买34套1．(2015·深圳)下表为深圳市居民每月用水收费标准(单位：元/立方米)：用水量 单价x ≤22 a(1)某用户用水10立方米，(2)在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？解：(1)由题意得10a ＝23，解得a ＝2.3，则a 值为2.3(2)设该用户用水x 立方米，∵用水22立方米时，水费为22×2.3＝50.6＜71，∴x ＞22，∴22×2.3＋(x －22)×(2.3＋1.1)＝71，解得x ＝28，则该用户用水28立方米2．(2016·贵港)为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经费500万元，2016年投入科研经费720万元．(1)求2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率；(2)根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增长率不超过15%，假定该市计划2017年投入的科研经费为a 万元，请求出a 的取值范围．解：(1)设2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为x ，根据题意得500(1＋x)2＝720，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(舍去)，则2014至2016年该市投入科研经费的年平均增长率为20%(2)根据题意得a －720720×100%≤15%，解得a ≤828，又∵该市计划2017年投入的科研经费比2016年有所增加，∴a 的取值范围为720＜a ≤8283．(导学号 59042294)(2016·重庆)近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．(1)从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%.某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？(2)5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a 的值．解：(1)设今年年初猪肉价格为每千克x 元，根据题意得2.5×(1＋60%)x ≥100，解得x ≥25，则今年年初猪肉的最低价格为每千克25元(2)设5月20日两种猪肉总销量为1，根据题意得40(1－a%)×34(1＋a%)＋40×14(1＋a%)＝40(1＋110a%)，令a%＝y ，原方程化为40(1－y)×34(1＋y)＋40×14(1＋y)＝40(1＋110y)，整理得5y 2－y ＝0，解得y ＝0.2，或y ＝0(舍去)，则a%＝0.2，∴a ＝20，即a 的值为204．(导学号 59042295)(2016·日照)随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A 型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%.(1)A 型自行车去年每辆售价多少元？(2)该车行今年计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A 型车和B 型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？解：(1)设去年A 型车每辆售价x 元，则今年每辆售价为(x －200)元，由题意得80000x＝80000（1－10%）x －200，解得x ＝2000，经检验，x ＝2000是原方程的根，则去年A 型车每辆售价为2000元(2)设今年新进A 型车a 辆，则B 型车(60－a)辆，获利y 元，由题意得y ＝(1800－1500)a ＋(2400－1800)(60－a)，即y ＝－300a ＋36000.∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60－a ≤2a ，∴a ≥20.∵k ＝－300＜0，∴y 随a 的增大而减小，∴a ＝20时，y 最大＝30000元．此时B 型车的数量为60－20＝40(辆)，∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大。
专题03方程(组)、不等式(组)的解法(解析版)
专题03方程（组）、不等式（组）的解法一、选择题1、一元一次方程20x -=的解是（ ）A. 2x =B. 2x =-C. 0x =D. 1x =答案：A分析：直接利用一元一次方程的解法得出答案． 解答：20x -=， 解得：2x =． 选A ．2、以2和4为根的一元二次方程是（ ） A. 2680x x ++= B. 2680x x -+=C. 2680x x +-=D. 2680x x --=答案：B分析：根据已知两根确定出所求方程即可． 解答：以2和4为根的一元二次方程是x 2-6x +8=0， 选B ．3、已知点M （2m -1，1-m ）在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C.D.答案：A分析：根据第四象限内点的坐标特点列出关于m 的不等式组，求出m 的取值范围，并在数轴上表示出来即可．解答：解：∵点M （2m -1，1-m ）在第四象限，∴21010m m ->⎧⎨-<⎩①②由①得，m ＞0.5； 由②得，m ＞1， 在数轴上表示为：选A ．4、关于x 的分式方程2x a1x 1+=+的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A. a 1>B. a 1<C. a 1<且a 2≠-D. a 1>且a 2≠答案：D分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可确定出a 的范围． 解答：分式方程去分母得：x 12x a +=+，即x 1a =-， 因为分式方程解为负数，所以1a 0-<，且1a 1-≠-， 解得：a 1>且a 2≠， 选D.5、已知方程组2325x y x y +=⎧⎨-=⎩，则26x y +的值是（ ）A. -2B. 2C. -4D. 4答案：C分析：两式相减，得32x y +＝﹣，所以234x y +（）＝﹣，即264x y +＝﹣． 解答：解：两式相减，得32x y +＝﹣， ∴234x y +（）＝﹣， 即264x y +＝﹣， 选C ．6、小刚在解关于x 的方程ax ²+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝4，解出其中一个根是x ＝-1．他核对时发现所抄的c 比原方程的c 值小2．则原方程的根的情况是（ ） A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 有一个根是x ＝-1D. 有两个相等的实数根答案：A分析：直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程求出答案．解答：解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）时，只抄对了a =1，b =4，解出其中一个根是x =-1，∴（-1）2-4+c =0， 解得：c =3， 故原方程中c =5，则∆=b 2-4ac =16-4×1×5=-4＜0， 则原方程的根的情况是不存在实数根． 选A ．7、若不等式组11324x xx m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（ ）A. 2m ≤B. 2m <C. 2m ≥D. 2m >答案：A分析：求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得． 解答：解不等式1132x x+<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解， ∴4m ≤8， 解得m ≤2， 选A.8、由方程组43x m y m +=⎧⎨-=⎩，可得出x 与y 的关系是（ ）A. x y l?+=B. x y 1+=-C. x y 7+=-D.x y 7+= 答案：D分析：先把方程组化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩的形式，再把两式相加即可得到关于x 、y 的关系式．解答：原方程可化为43x m y m +=⎧⎨-=⎩①②①+②得，x +y =7． 选D.9、小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是11()1323x xx▲---+=-，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业．同学们，你能补出这个常数吗？它应该是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D分析：设这个数是a，把x=5代入方程得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．解答：设这个数是a，把x=5代入得：13（-2+5）=1-5a3-，∴1=1-5a3-，解得：a=5．选D.10、若x1是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝（ax1+1）2，N＝2-ac，则M与N的大小关系为（）A. M＞NB. M＝NC. M＜ND. 不能确定答案：C分析：把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．解答：∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．选C.11、如果解关于x 的分式方程2122m xx x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ）A. -2B. 2C. 4D. -4答案：D分析：本题考查了分式方程的增根． 解答：2122m xx x-=--，去分母，方程两边同时乘以（x -2），得： m +2x =x -2，由分母可知，分式方程的增根可能是2． 当x =2时，m +4=2-2，m =-4， 选D ． 二、填空题12、方程2x -4＝0的解也是关于x 的方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值为______． 答案：-3分析：先解一元一次方程，再把解代入一元二次方程求出m 的值即可． 解答：2x −4=0， 解得：x =2，把x =2代入方程x 2+mx +2=0得： 4+2m +2=0， 解得：m =−3． 故答案为−3．13、已知x ，y 满足方程组x 2y 5x 2y 3-=⎧⎨+=-⎩，则22x 4y -的值为______．答案：-15分析：观察所求的式子以及所给的方程组，可知利用平方差公式进行求解即可得．解答：∵x 2y 5x 2y 3-=⎧⎨+=-⎩，∴22x 4y -=（x +2y ）（x -2y ）=-3×5=-15， 故答案为：-15．14、已知一元二次方程2430x x -+=的两根1x ，2x ，则211124x x x x -+=______．答案：0分析：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系． 解答：∵12x x 、是方程24+30x x -=的两个根，∴211124303x x x x ，-+=⋅=， ∴21143x x -=-，∴211124330x x x x -+⋅=-+=．15、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2-2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是______． 答案：-2分析：本题考查了根的判别式．解答：解：根据题意得：a +1≠0且△=（-2）2-4×（a +1）×3≥0，解得a ≤23-且a ≠-1，所以整数a 的最大值为-2．故答案为-2． 16、关于x 的一元二次方程ax 2-x -14=0有实数根，则a 的取值范围为______． 答案：a ≥-1且a ≠0分析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠0且△=（-1）2-4a •（-14）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解答：根据题意得a ≠0且△=（-1）2-4a •（-14）≥0，解得：a ≥-1且a ≠0．故答案为a ≥-1且a ≠0．17、如果不等式组()2131x x x m ⎧->-⎨<⎩的解集是1x <，那么m 的值是______．答案：1分析：先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答即可．解答：()213x 1x x m ①②⎧->-⎨<⎩，解不等式①，x ＜2， 解不等式②，x ＜m ，∵不等式组的解集是x ＜1， ∴m =1， 故答案为：1．18、设1x 、2x 是方程2320x x -+=的两个根，则1212x x x x +-=______． 答案：1分析：根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得12x x +和12x x ．解答：如果方程()200++=≠ax bx c a 的两个实数根是12x x 、，那么12=b x x a+-，12=c x x a .可知：1212323,211x x x x -+=-=⋅==，所以1212321x x x x +-=-=． 19、若一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 答案：k ＜1分析：本题考查了根的判别式．解答：∵一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根， ∴△=24b ac -=4-4k ＞0， 解得：k ＜1，则k 的取值范围是：k ＜1． 故答案为k ＜1． 20、关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是______． 答案：a ＜5且a ≠3分析：直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案． 解答：去分母得：122a x -+=-， 解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意， 故5a <且3a ≠． 故答案为：5a <且3a ≠．21、已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足11αβ+=-1，则m 的值是______．答案：3分析：可以先由韦达定理得出两个关于α、β的式子，题目中的式子变形即可得出相应的与韦达定理相关的式子，即可求解． 解答：得α+β=-2m -3，αβ=m 2，又因为211+-2m-3+===-1mαβαβαβ，所以m 2-2m -3=0，得m =3或m =-1，因为一元二次方程()22230x m x m +++=的两个不相等的实数根，所以△＞0，得（2m +3）2-4×m 2=12m +9＞0，所以m ＞4-3，所以m =-1舍去，综上m =3． 三、解答题 22、（1）解方程：11322x x x--=---． （2）解不等式组：312215(1)x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩答案：（1）无解；（2）-1＜x ≤2．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 解答：（1）去分母得：1-x +1=-3x +6， 解得：x =2，经检验x =2是增根，分式方程无解；（2）()3122151x x x x -⎧<-⎪⎨⎪+≥-⎩①②， 由①得：x ＞-1， 由②得：x ≤2，则不等式组的解集为-1＜x ≤2．23、先化简，再求值：22221(1)11a a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2+x =6的一个根．答案：11a -，14-． 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到a 的值，代入计算即可求出值．解答：解：原式=()2(2)1211(1)1a a a a a a a ---+÷+-+ =()(2)1•1(1)(2)a a a a a a a -++--=11a -， 方程x 2+x =6，解得：x =-3或x =2（舍去）， 当a =x =-3时，原式=-14． 24、解方程（1）2250x x --=（2）1421x x =-+答案：（1）1211x x ==（2）3x =是方程的解． 分析：（1）利用配方法进行求解即可；（2）方程两边同时乘以（x -2）（x +1），化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得． 解答：（1）x 2-2x =5， x 2-2x +1=5+1， （x -1）2=6，x ，∴1211x x ==（2）方程两边同时乘以（x -2）（x +1），得 x +1=4（x -2）， 解得：x =3，检验：当x =3时，（x -2）（x +1）≠0， 所以x =3是原方程的解． 25、关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．答案：1m =，此时方程的根为121x x ==分析：直接利用根的判别式△≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案． 解答：解：∵关于x 的方程x 2-2x +2m -1=0有实数根， ∴b 2-4ac =4-4（2m -1）≥0， 解得：m ≤1， ∵m 为正整数， ∴m =1，∴此时二次方程为：x 2-2x +1=0，则（x -1）2=0，解得：x 1=x 2=1．26、己知关于x ，y 的二元一次方程组2352x y x y k-=⎧⎨-=⎩的解满足x y >，求k 的取值范围．答案：5k <．分析：先用加减法求得x y -的值（用含k 的式子表示），然后再列不等式求解即可． 解答：2352x y x y k -=⎧⎨-=⎩①②，①-②得：5x y k -=-，∵x y >，∴0x y ->．∴50k ->．解得：5k <．27、已知关于x 的方程22220x mx m m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 为正整数时，求方程的根．答案：（1）m ＜2；（2）x 1=0，x 2=2．分析：（1）利用判别式的意义得到=（-2m ）2-4（m 2+m -1）＞0，，然后解不等式即可；（2）利用m 的范围确定m 的正整数值为1，则方程化为x 2-2x =0，然后利用因式分解法解方程．解答：解：（1）()22442m m m ∆=-+-22444848m m m m =--+=-+∵方程有两个不相等的实数根，480m ∆=-+>．2m <．（2）∵m 为正整数，且2m <，1m =．原方程为220x x -=．∴()20x x -=．∴120,2x x ==．28、（1）解一元二次方程：x 2-4x +1=0（2）解分式方程：11322xx x -+=--答案：（1）1222x x ==（2）无解分析：（1）根据配方法或公式法即可求解一元二次方程；（2）先去分母化为整式方程，即可求解．解答：（1）2443x x -+=2(2)3x -=2x -=12x =22x =或1,4,1a b c ==-=，2416412b ac ∆=-=-=4222b x a -===±±±1222x x ==（2）13(2)(1)x x +-=--1361x x +-=-+24=x2x =检验2x =时，20x -=2x ∴=不是原方程的解∴原方程无解．29、先化简，再求值：231111x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中x 是不等式组11210x x x --⎧->⎪⎨⎪-+<⎩的整数解．答案：原式=44x -；原式=4分析：先化简式子为44x -，再求解不等式的整数解为2x =，最后将2x =代入化简的式子中即可求解． 解答：解：231111x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭ 131(+1)(1)=1x x x x x x ++--⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭ 4(+1)(1)=+1x x x xx -⨯ =44x - 解不等式组11210x x x --⎧->⎪⎨⎪-+<⎩解得31x x ⎧⎨⎩＜＞ ∴1＜x ＜3，∴不等式组的整数解是2x =，∴当2x =时，原式=42-4=4⨯．30、如果方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1、x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a 、b 满足a 2-15a -5＝0，b 2-15b -5＝0，求a b b a+的值； （3）已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值．答案：（1）nx 2＋mx ＋1＝0；（2）-47或2；（3）c 的最小值为4．分析：（1）设x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0）的两根为x 1、x 2，根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝-m ，x 1·x 2＝n ，将以上两式变形可得1211+x x 和1211x x ⋅，即可求出答案． （2）根据a 、b 满足a 2-15a -5=0，b 2-15b -5=0，得出a ，b 是x 2-15x -5=0的解，求出a +b 和ab 的值，即可求结果；（3）根据a +b +c =0，abc =16，得出a +b =-c ，ab =16c，a 、b 是方程x 2+cx +1211+x x =0的解，再根据c 2-4×1211+x x ≥0，即可求出c 的最小值． 解答：解：（1）设x 2＋mx ＋n ＝0（n ≠0）的两根为x 1、x 2.∴x 1＋x 2＝-m ，x 1·x 2＝n ∴1211+x x ＝1212x x x x +＝-m n ，1211x x ⋅＝1n∴所求一元二次方程为x2＋mnx＋1n＝0，即nx2＋mx＋1＝0；（2）①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2-15x-5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝-5∴ab＋ba＝22a bab+＝2()2a b abab+-＝2152(5)5-⨯--＝-47②当a＝b时，ab＋ba＝1＋1＝2综上，ab＋ba＝-47或2；（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝-c，ab＝16 c∴a、b是方程x2＋cx＋16c＝0的两根，∴Δ＝c2-416c⨯≥0∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，∴c的最小值为4．。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
2024年中考数学复习专题课件(共30张PPT)一元一次不等式(组)及其应用
解：设普通水稻的亩产量是 x kg，则杂交水稻的亩产量是 2x kg，依题 意得 7 200 9 600
x － 2x ＝4，解得 x＝600， 经检验，x＝600 是原分式方程的解，且符合题意，则 2x＝2×600＝1 200(kg)． 答：普通水稻的亩产量是 600 kg，杂交水稻的亩产量是 1 200 kg.
__00__.
6．[2023·贵州第 17(2)题 6 分]已知 A＝a－1，B＝－a＋3.若 A>B，求 a 的取值范围． 解：由 A>B 得 a－1>－a＋3， 解得 a>2， 即 a 的取值范围为 a>2.
7．[2021·贵阳第 17(1)题 6 分]有三个不等式 2x＋3＜－1，－5x＞15， 3(x－1)＞6，请在其中任选两个不等式， 组成一个不等式组，并求出它 的解集．
4．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞 ，该 大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过 30 t 的车辆禁止通行，现有一 辆自重 8 t 的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由 1 个 A 部件和 3 个 B 部件组成，这种设备必须成套运输，已知 1 个 A 部件和 2 个 B 部件 的总质量为 2.8 t，2 个 A 部件和 3 个 B 部件的质量相等． (1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
解：(1)设出售的竹篮 x 个，陶罐 y 个，依题意有 5x＋12y＝61， x＝5， 6x＋10y＝60，解得y＝3. 答：小钢出售的竹篮 5 个，陶罐 3 个．
(2)设购买鲜花 a 束，依题意有 0＜61－5a≤20， 解得 8.2≤a＜12.2， ∵a 为整数， ∴共有 4 种购买方案， 方案一：购买鲜花 9 束； 方案二：购买鲜花 10 束； 方案三：购买鲜花 11 束； 方案四：购买鲜花 12 束．
专题04 二元一次方程组(真题测试)(解析版)
专题04 二元一次方程组（真题测试）一、单选题1. (2019 湖南邵阳) 某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（）A. {x+7y=16x+13y=28 B. C. D.【答案】D【考点】二元一次方程组的解【解答】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，则所列方程组为，故答案为：D．【分析】设这种出租车的起步价为x元，超过2km后每千米收费y元，根据二人坐车产生的费用进行计算即可。
2. (2019 山东菏泽) 已知是方程组的解，则a+b的值是（）A. ﹣1B. 1C. ﹣5D. 5【答案】A【考点】二元一次方程组的解【解答】将代入，可得：，两式相加：a+b=−1，故答案为：A．【分析】将x、y的值代入方程组后方程组中两式相加即可得到a+b的值。
3. (2019 湖北荆门) 已知实数x,y满足方程组则的值为（）A. B. 1 C. 3 D.【答案】A【考点】二元一次方程的解【解答】解：,故答案为：A【分析】先解方程组，把x和y的值代入求值式即可。
4. (2018 北京) 方程组的解为（）A. B. C. D.【答案】D【考点】二元一次方程组的解【解答】解：将4组解分别代入原方程组，只有D选项同时满足两个方程，故答案为：D．【分析】根据方程组的解能使方程组中的每一个方程都成立，故将4组解分别代入原方程组，一一判断即可得出答案。
5. (2019 湖北孝感) 已知二元一次方程组{x+y=12x+4y=9，则的值是（）A. B. 5 C. D. 6【答案】C【考点】利用分式运算化简求值，解二元一次方程组【解答】，得，2y=7，解得y=72，把y=72代入①得，x+72=1，解得x=−52，① ，故答案为：C.【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解，再将代数式的分子分母进行因式分解，进行约分化简，然后代入求值。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
2023年广东中考数学二轮专题复习——方程(组)与不等式(组)(含答案)
2023年广东中考数学专题复习——方程(组)与不等式(组)(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( )A.{x＋y＝10y＝3x＋2B.{x＋y＝10y＝3x－2C.{x＋y＝10x＝3y＋2 D.{x＋y＝10x＝3y－22．若把不等式组{2－x≥－3，x－1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( )A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x＋1)2＝04．计算2x－2－xx－2的结果是( )A．0 B．1 C．x D．－15．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－26．不等式x≥2的解集在数轴上表示为( )A BC D7．已知方程组{2x＋y＝4，x＋2y＝5，则x＋y的值为( )A．－1 B．0 C．2 D．38．若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )A．k>－1 B．k<1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k>－1且k≠09．小朱要到距家1 500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是( )A .1 440x －100－1 440x ＝10B .1 440x ＝10＋1 440x ＋100C .1 440x ＝1 440x －100＋10D .1 440x ＋100－1 440x ＝1010．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为( )A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是 ．12．一元二次方程x 2－3x ＝0的根是 ．13．已知a|a |＋b|b |＝0，则ab|ab |的值为 ．14．如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝ ．15．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝{a 2－ab （a ≥b ），ab －b 2（a <b ）.例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝ ．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．解方程：x 2－10x ＋9＝0.17.解不等式组：{9x ＋5<8x ＋7，43x ＋2>1－23x ，并写出其整数解．18．解方程：2xx－2＝1－12－x.四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．先化简，再求值：x－2x－1÷(x＋1－3x－1)，其中x＝3－2.20．某条高速的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．某车队有载重为8吨和10吨的卡车共12辆，全部车辆一次能运输110吨沙石．(1)该车队载重为8吨和10吨的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．21.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？23．关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？2023年广东中考数学专题复习——方程(组)与不等式(组) 答案版(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是(C)A.{x＋y＝10y＝3x＋2B.{x＋y＝10y＝3x－2C.{x＋y＝10x＝3y＋2 D.{x＋y＝10x＝3y－22．若把不等式组{2－x≥－3，x－1≥－2的解集在数轴上表示出来，则其对应的图形为(B)A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线3．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为(A)A．(x－1)2＝2 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x＋1)2＝04．计算2x －2－xx －2的结果是(D )A ．0B ．1C ．xD ．－15．已知关于x 的方程x 2－kx －6＝0的一个根为x ＝3，则实数k 的值为(A )A ．1B ．－1C ．2D ．－26．不等式x≥2的解集在数轴上表示为(C )AB CD 7．已知方程组{2x ＋y ＝4，x ＋2y ＝5，则x ＋y 的值为(D )A ．－1 B ．0 C ．2 D ．38．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(D )A ．k>－1B ．k<1且k≠0C ．k≥－1且k≠0D ．k>－1且k≠09．小朱要到距家1 500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱的速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是(B )A .1 440x －100－1 440x＝10 B .1 440x ＝10＋1 440x ＋100C .1 440x ＝1 440x －100＋10 D .1 440x ＋100－1 440x ＝1010．设x 1，x 2是方程x 2＋3x －3＝0的两个实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为(B )A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是x≠1．12．一元二次方程x 2－3x ＝0的根是x 1＝0，x 2＝3．13．已知a|a |＋b|b |＝0，则ab|ab |的值为－1．14．如果4x a ＋2b －5－2y 3a －b －3＝8是二元一次方程，那么a －b ＝0．15．对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝{a 2－ab （a ≥b ），ab －b 2（a <b ）.例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，则x 1*x 2＝3或－3．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．解方程：x 2－10x ＋9＝0.解：方法一(配方法)：将方程x 2－10x ＋9＝0变形为x 2－10x ＝－9，配方，得x 2－10x ＋25＝－9＋25，整理，得(x －5)2＝16，解得x 1＝1，x 2＝9.方法二(求根公式法)：因为a ＝1，b ＝－10，c ＝9，Δ＝100－36＝64>0，由求根公式解得x 1＝1，x 2＝9.方法三(因式分解法)：将方程x 2－10x ＋9＝0变形为(x －1)(x －9)＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.17.解不等式组：{9x ＋5<8x ＋7，43x ＋2>1－23x ，并写出其整数解．解：{9x ＋5<8x ＋7， ①43x ＋2>1－23x ， ②解不等式①得x<2，解不等式②得x>－12.把①②的解集表示在数轴上，如图．故原不等式组的解集是－12<x<2.其整数解是0和1.18．解方程：2x x －2＝1－12－x.解：方程的两边同时乘(x －2)，得2x ＝x －2＋1，解得x ＝－1.检验：当x ＝－1时，x －2≠0，故x ＝－1是原方程的解．四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．先化简，再求值：x －2x －1÷(x ＋1－3x －1)，其中x ＝3－2.解：原式＝x －2x －1÷(x 2－1x －1－3x －1)＝x －2x －1×x －1（x ＋2）（x －2）＝1x ＋2.当x ＝3－2时，原式＝33.20．某条高速的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．某车队有载重为8吨和10吨的卡车共12辆，全部车辆一次能运输110吨沙石．(1)该车队载重为8吨和10吨的卡车各有多少辆？(2)随着工程的进展，该车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．解：(1)设该车队载重为8吨和10吨的卡车分别有x 辆、y 辆，根据题意得{x ＋y ＝12，8x ＋10y ＝110，解得{x ＝5，y ＝7.故该车队载重为8吨的卡车有5辆，载重为10吨的卡车有7辆；(2)设载重为8吨的卡车增加了z 辆，依题意得8(5＋z)＋10(7＋6－z)>165，解得z<52.∵z≥0且为整数，∴z ＝0，1，2；∴6－z ＝6，5，4，∴车队共有3种购车方案：①载重为8吨的卡车不购买，载重为10吨的卡车购买6辆；②载重为8吨的卡车购买1辆，载重为10吨的卡车购买5辆；③载重为8吨的卡车购买2辆，载重为10吨的卡车购买4辆．21.已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值．(1)证明：∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；(2)解：∵由x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得(x－k)[x－(k＋1)]＝0，∴x1＝k，x2＝k＋1.即AB，AC的长为k，k＋1，当AB＝BC时，即k＝5，满足三角形构成条件；当AC＝BC时，k＋1＝5，解得k＝4，满足三角形构成条件．综上所述，k＝4或k＝5.五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1 000元/辆，售价为1 300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程，得64(1＋x)2＝100，解得x1＝－225%(不合题意，舍去)，x2＝25%，100×(1＋25%)＝125(辆)．故该商城4月份卖出125辆自行车．(2)设购进B 型车x 辆，则购进A 型车30 000－1 000x 500辆，根据题意得不等式组2x≤30 000－1 000x 500≤2.8x ，解得12.5≤x≤15，因为自行车辆数为整数，所以13≤x≤15，销售利润W ＝(700－500)×30 000－1 000x 500＋(1 300－1 000)x.整理得W ＝－100x ＋12 000，因为W 随着x 的增大而减小，所以当x ＝13时，销售利润W 有最大值，此时，30 000－1 000×13500＝34，所以该商城应购进A 型车34辆，B 型车13辆．23．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)方法一：根据题意得m≠1.Δ＝(－2m)2－4(m －1)(m ＋1)＝4.∴x 1＝2m ＋22（m －1）＝m ＋1m －1，x 2＝2m －22（m －1）＝1.方法二：根据题意得m≠1.原方程可化为(x －1)[（m －1）x －（m ＋1）]＝0，∴x 1＝m ＋1m －1，x 2＝1.(2)由(1)知x 1＝m ＋1m －1＝1＋2m －1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m －1是正整数，∴m －1＝1或2.∴m ＝2或3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例 1】(1)(2017·黄冈)解方程：x＋3 1＋1＝x－x－2 1.
(1)求男式单车和女式单车的单价； (2)该社区要求男式单车比女式单车多4辆，两种单车至少需要22辆，购置 两种单车的费用不超过50 000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使 所需总费用最低，最低费用是多少？
【思路引导】(1)根据“购买3辆男式单车与4辆女式单车费用相同，购买5 辆男式单车与4辆女式单车共需16 000元”列方程组求解可得；(2)设购置女 式单车m辆，则购置男式单车(m＋4)辆，根据“两种单车至少需要22辆、购 置两种单车的费用不超过50 000元”列不等式组求解，即可确定购置方案； 再列出购置总费用关于m的函数解析式，利用一次函数的性质结合m的范围 可得其最值情况．
3x－1<x＋5， (2)(2017·淮安)解不等式组：x－2 3<x－1， 并写出它的整数解．
3．(2017·黄石)已知关于 x 的一元二次方程 x2－4x－m2＝0. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根 x1，x2 满足 x1＋2x2＝9，求 m 的值．
4．(导学号)(2017·哈尔滨)威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和 4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1 100元． (1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元； (2)由于需求量大，A，B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A，B 两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4 000元， 那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
方法归纳
1.判别式与根的关系： (1)当b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)当b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根； (3)当b2－4ac<0⇔方程没有实数根．
2．利用根与系数的关系解决求值问题，常见变形有： (1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； (2)x11＋x12＝xx1＋1x2x2； (3)|x1－x2|＝ （x1＋x2）2－4x1x2.Ｋ
1．解方程(组)： (1)(2017·宁夏)xx＋ －33－x＋4 3＝1；
x＋y＝2， (2)2x－13y＝53.
2．解不等式(组)： (1)(2017·长沙)解不等式组25xx≥ －－ 1>93－（xx，＋1）， 并把它的解集在数轴上表示出来；
解：25xx≥ －－ 1>93－（xx①＋，1）②，解不等式①，得 x≥－3，解不等式②， 得 x>2，所以不等式组的解集为 x＞2，将解集表示在数轴上如下：
解：(1)∵关于 x 的方程 x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0 有两个实数根 x1，x2， ∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得 k≤54.
∴实数 k 的取值范围为 k≤54.
(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝1 －2k，x1·x2＝k2－1.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1·x2，∴(1－2k)2－ 2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，解得k＝－2或k＝6(不符合题 意，舍去)．∴实数k的值为－2.
方法归纳
1.构建方程(组)或不等式解决实际问题，一般需要注意以下步骤：审题、设 未知数、列方程(组)或不等式(组)、解、检验、答．按照这样的程序，可以 避免出现失误． 2．解决这类问题的关键是从问题情境中找等量关系和不等关系，其中不等 关系有非常明显的标志语，如“大于”、“小于”、“不少于”、“不超 过”等等．
解：(1)设男式单车 x 元/辆，女式单车 y 元/辆，
根据题意，得35xx＝＋44yy，＝16
x＝2 000，解得y＝1
000， 500.
答：男式单车 2 000 元/辆，女式单车 1 500 元/辆．
(2)设购置女式单车 m 辆，则购置男式单车(m＋4)辆， 根据题意，得m2 0＋00m（＋m4＋≥42）2，＋1 500m≤50 000，解得 9≤m≤12. ∵m 为整数，∴m 的值可以是 9，10，11，12，即该社区有四种购置方案； 设购置总费用为 W，则 W＝2 000(m＋4)＋1 500m＝3 500m＋8 000. ∵W 随 m 的增大而增大，∴当 m＝9 时，W 取得最小值，最小值为 39 500. 答：该社区共有 4 种购置方案，其中购置男式单车 13 辆、女式单车 9 辆 时所需总费用最低，最低费用为 39 500 元．
【例 3】(2017·岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打
包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的23，结果 打了 16 个包还多 40 本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩 下的书一起，刚好又打了 9 个包，那么这批书共有多少本？
【例4】(2017·恩施州)为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召， 某社区决定购置一批共享单车．经市场调查得知，购买3辆男式单车与4辆女 式单车费用相同，购买5辆男式单车与4辆女式单车共需16 000元．
解：(1)设每件 A 种商品售出后所得利润为 x 元， 每件 B 种商品售出后所得利润为 y 元． 由题意，得x3＋ x＋4y5＝y＝60101，00，解得xy＝＝210000，. 答：每件 A 种商品售出后所得利润为 200 元，每件 B 种商品售出后所得 利润为 100Байду номын сангаас元．
(2)(2017·枣庄)x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3(x－1)与12x≤2－32x 都 成立？
【例2】(2017·十堰)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数 根x1，x2.
(1)求实数k的取值范围； (2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．