离散数学课件第一章(第1讲)
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设命题为Ｐ，则¬Ｐ读做“Ｐ的否定”或“非Ｐ” ２）否定运算真值表
P ¬P TF FT
３）举例： Ｐ： 北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ： 每一种生物是动物。 ¬Ｑ：有一些生物不是动物。 这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” 。
对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量词 也要加以否定。
以上两句均为不“可兼或”。
(４) 单条件联结词：（“蕴含”联结词、蕴含词） １) 符号“→”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ→Ｑ 读作：“如果Ｐ则Ｑ”， “Ｐ蕴含Ｑ”，“Ｐ仅当Ｑ”，“Ｑ当且Ｐ”， “Ｐ是Ｑ的充分条件” Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论
２) 蕴含运算真值表
P
Q
P→Q
F
F
④ Ｐ：2+2=4 Ｑ：雪是白色的
Ｐ↔Ｑ： ２＋２＝４当且仅当雪是白色的。
4) 单条件联结词与双条件联结词的表达
Ｐ当且仅当Ｑ
Ｐ↔Ｑ
Ｐ仅当Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ当且Ｑ
Ｑ→Ｐ
3．命题联结词的运算要求 (1)先括号内，后括号外 (2)运算时联结词的优先次序由高到低排序为：
¬ Λ∨→ ↔ (3)含有相同 联结词的命题公式，如果联结词满足结合律，
④ P: 王大和王二是亲兄弟。 注：这是原子命题。
(３)析取词（或运算） １)符号“∨”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的 “析取”，读作：“Ｐ或Ｑ”。
２)析取运算真值表：
P Q P∨ Q Q∨P
FF
F
F
FT
T
T
TF
T
T
TT
T
T
注： ① 当且仅当Ｐ、Ｑ均为 Ｆ 时， Ｐ∨Ｑ 为 Ｆ 。 否则，其真值为 Ｔ 。 ②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换,不会 影响Ｐ∨Ｑ的结果。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔Ｑ读作： Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ等价Ｑ Ｐ是Ｑ的充分必要条件
２) 等价运算真值表
P Q P↔Q Q↔P
FF T
T
FT F
F
TF F
F
TT T
T
注： ①每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，（Ｐ↔Ｑ）的真值为 “Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。 ②Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ交 换位置不会改变Ｐ↔Ｑ的
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
注:当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则（Ｐ→Ｑ）为“Ｆ”， 否则（Ｐ→Ｑ）都为“Ｔ”。
３) 举例： ① Pபைடு நூலகம்我拿起一本书
Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 ② P：月亮出来了
Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。
(5) 双条件联结词（“等价”词） １)符号“↔”
例：判断下列语句是否为命题，若是，请给出其真值。
（1）十是整数。
(T)
（2）上海是一个城市。
(T)
（3）加拿大是一个国家。
(T)
（4）２是偶数而３不是奇数。
(F)
（5）请勿闯红灯！
（6）你今天出差吗？
（7）x-y=6
2 命题联结词
下面先介绍五个常用的命题联结词。 (１)否定词：（否定运算、非运算） １）符号 ¬ ,读作“非”，“否定”
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
例：我是一位学生。 ⅱ) 复合命题：若干个原子命题使用适当的联结词所组
成的新命题。 例：我是一位老师和他是一位学生 (4)命题的表示：常用26个大写的英文字母表示命题。
注意： (1) 命令句，感叹句，疑问句都不是命题。如：
1）把门关上！ 2）你到哪里去？ (2) 语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的句 子称为“悖论”。 如：我正在说谎。 在命题逻辑中不讨论悖论问题。
则可省去括号，否则不可省去括号。 例：¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满 足结合律。 (4)命题公式最外层的括号可以省去 （Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换而不会 影响ＰΛＱ的结果。
3)举例： ① P：王华的成绩很好
Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 ② P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。
③ P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6 注：在日常生活中，合取词应用在二个有关系的命题 之间。由例② ，③ 可知，在逻辑学中，合取词可以用 在二个毫不相干的命题之间。
值。
３)举例： ① Ｐ：△ABC是等腰三角形
Ｑ：△ABC有两只角相等 Ｐ↔Ｑ：△ABC是等腰三角形当且仅当△ABC中有 两只角相等。 ② Ｐ：春天来了
Ｑ：燕子飞回来了 Ｐ↔Ｑ：春天来了当且仅当燕子飞回来了。
③ Ｐ：平面上两直线平行 Ｑ： 二直线不相交
Ｐ↔Ｑ：平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。
P ¬P TF FT
３）举例： Ｐ： 北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ： 每一种生物是动物。 ¬Ｑ：有一些生物不是动物。 这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” 。
对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量词 也要加以否定。
以上两句均为不“可兼或”。
(４) 单条件联结词：（“蕴含”联结词、蕴含词） １) 符号“→”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ→Ｑ 读作：“如果Ｐ则Ｑ”， “Ｐ蕴含Ｑ”，“Ｐ仅当Ｑ”，“Ｑ当且Ｐ”， “Ｐ是Ｑ的充分条件” Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论
２) 蕴含运算真值表
P
Q
P→Q
F
F
④ Ｐ：2+2=4 Ｑ：雪是白色的
Ｐ↔Ｑ： ２＋２＝４当且仅当雪是白色的。
4) 单条件联结词与双条件联结词的表达
Ｐ当且仅当Ｑ
Ｐ↔Ｑ
Ｐ仅当Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ当且Ｑ
Ｑ→Ｐ
3．命题联结词的运算要求 (1)先括号内，后括号外 (2)运算时联结词的优先次序由高到低排序为：
¬ Λ∨→ ↔ (3)含有相同 联结词的命题公式，如果联结词满足结合律，
④ P: 王大和王二是亲兄弟。 注：这是原子命题。
(３)析取词（或运算） １)符号“∨”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的 “析取”，读作：“Ｐ或Ｑ”。
２)析取运算真值表：
P Q P∨ Q Q∨P
FF
F
F
FT
T
T
TF
T
T
TT
T
T
注： ① 当且仅当Ｐ、Ｑ均为 Ｆ 时， Ｐ∨Ｑ 为 Ｆ 。 否则，其真值为 Ｔ 。 ②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换,不会 影响Ｐ∨Ｑ的结果。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔Ｑ读作： Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ等价Ｑ Ｐ是Ｑ的充分必要条件
２) 等价运算真值表
P Q P↔Q Q↔P
FF T
T
FT F
F
TF F
F
TT T
T
注： ①每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，（Ｐ↔Ｑ）的真值为 “Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。 ②Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ交 换位置不会改变Ｐ↔Ｑ的
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
注:当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则（Ｐ→Ｑ）为“Ｆ”， 否则（Ｐ→Ｑ）都为“Ｔ”。
３) 举例： ① Pபைடு நூலகம்我拿起一本书
Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 ② P：月亮出来了
Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。
(5) 双条件联结词（“等价”词） １)符号“↔”
例：判断下列语句是否为命题，若是，请给出其真值。
（1）十是整数。
(T)
（2）上海是一个城市。
(T)
（3）加拿大是一个国家。
(T)
（4）２是偶数而３不是奇数。
(F)
（5）请勿闯红灯！
（6）你今天出差吗？
（7）x-y=6
2 命题联结词
下面先介绍五个常用的命题联结词。 (１)否定词：（否定运算、非运算） １）符号 ¬ ,读作“非”，“否定”
3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
例：我是一位学生。 ⅱ) 复合命题：若干个原子命题使用适当的联结词所组
成的新命题。 例：我是一位老师和他是一位学生 (4)命题的表示：常用26个大写的英文字母表示命题。
注意： (1) 命令句，感叹句，疑问句都不是命题。如：
1）把门关上！ 2）你到哪里去？ (2) 语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的句 子称为“悖论”。 如：我正在说谎。 在命题逻辑中不讨论悖论问题。
则可省去括号，否则不可省去括号。 例：¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满 足结合律。 (4)命题公式最外层的括号可以省去 （Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换而不会 影响ＰΛＱ的结果。
3)举例： ① P：王华的成绩很好
Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 ② P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。
③ P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6 注：在日常生活中，合取词应用在二个有关系的命题 之间。由例② ，③ 可知，在逻辑学中，合取词可以用 在二个毫不相干的命题之间。
值。
３)举例： ① Ｐ：△ABC是等腰三角形
Ｑ：△ABC有两只角相等 Ｐ↔Ｑ：△ABC是等腰三角形当且仅当△ABC中有 两只角相等。 ② Ｐ：春天来了
Ｑ：燕子飞回来了 Ｐ↔Ｑ：春天来了当且仅当燕子飞回来了。
③ Ｐ：平面上两直线平行 Ｑ： 二直线不相交
Ｐ↔Ｑ：平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。