离散数学课件第一章(第1讲)
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离散数学第一章第一节
PQ PQ PQ PQ
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111源自(1.B,2.AD,3.AD)
6、本讲小结
1、命题是客观上能判明真假的陈述句。当命题为真 时，称命题的真值为“真”；否则，说命题的真值为 “假”。命题一般用大写英文字母表示。表示命题的符 号叫命题标识符。当命题标识符表示不确定命题时称为 命题变元。
7、 练习
1、设P：天热。Q：我去游泳。R：我在家读书。则 命题“如天热，我去游泳，否则在家读书。”的符号化 结果是（ ）。
A.(PQ)(PR) C.(PQ)(PR) B.(PQ)(PR) D.(PQ)(PR)
2、设X：我上街。Y：我有空闲时间。则命题“我上 街，仅当我有空闲时间。”的符号化结果是( )。
A.XY B.YX C.XY D.YX
3、设X:我上街。Y:我有空闲时间。则命题“除非我 有空闲时间,否则我不上街。”的符号化结果是（ ）。
A.XY B.YX C.XY D.YX
练习答案
第一讲 作业
P8 3，4c，5bf，6bdgh
定义5 双条件联结词
设Ｐ,Ｑ为二命题，复合命题“Ｐ当且仅 当Ｑ”称为Ｐ与Ｑ的双条件命题，记作 ＰＱ。叫双条件联结词，也记作iff 。 ＰＱ为真当且仅当Ｐ,Ｑ真值相同。
例如，2+2＝5当且仅当雪是黑的。 设Ｐ： 2+2＝5 。Ｑ：雪是黑的。
则原命题表示为：ＰＱ。
例5 分析下列各命题的真值： (1) 如果2+2＝4，当且仅当3是奇数。 (2) 如果2+2＝4，当且仅当3不是奇数。 (3) 如果2+2≠4，当且仅当3是奇数。 (4) 如果2+2≠4，当且仅当3不是奇数。
离散数学第一章命题逻辑PPT课件
P
Q
0
0
0
1
1
0
1
1
P→Q 1 1 0 1
如： P:雪是黑的。
Q:太阳从东方升起 。
P → Q:如果雪是黑的，则太阳从东方升起 。
命题P→Q是假, 当且仅当P是真而Q是假。
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chapter1
14
1.2 联结词
条件与汉语中“如果…，就…”相类似，但有所区别: (1)自然语言中，“如果P则Q”，往往P和Q有一定的因果 关系，而条件复合命题P→Q中 P和Q 可以完全不相关。 (2)自然语言中，“如果P则Q”，当P为0、Q为1时，整个 句子真值难以确定；而条件复合命题P→Q中，当P为0时， 复合命题的真值为1。 P则Q的逻辑含义:P是Q的充分条件,的表示 命题变元——常用P、Q、R、S等大写字母或加下标的大 写字母P1, Q2, R10, ……表示来表示一个命题，称为命题 变元。 如： P:巴黎在法国。
Q:煤是白色的。
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1.1 命题及其表示法
3、命题相关概念 简单命题（原子命题）——不能再分解的命题。 复合命题——由若干个简单命题复合而成的命题。 真值表——把组成复合命题的各命题变元的真值的所有 组合及其相对应的复合命题的真值列成表，称为真值表。
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1.1 命题及其表示法
【例3 】求公式 (P→R)∨(Q→R)的真值表。 解：∵公式含有３个命题变元P、Q、R,
∴真值表有２3=8行。其真值表如下表 所示：
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1.2 联结词
命题和原子命题常可通过一些联结词构成新命题, 这
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
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例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第一章PPT课件
R 0 1 0 1 0 1 0 1
Assignments（作业）
第30页: 4
1.3 公式分类与等价式
1.3.1 公式分类 1.3.2 等价公式（等值演算） 1.3.3 基本等价式----命题定律 1.3.4 代入规则和替换规则 1.3.5 证明命题公式等价的方法
1.3.1 公式分类
定义1.13 设A是一个命题公式，对A所有可能的解释： (1)若A都为真，称A为永真式或重言式。
(2)若A都为假，称A为永假式或矛盾式。
(3)若至少存在一个解释使得A为真，称A为可满足式。
例1 从上一节真值表可知，命题公式(PQ)(P∨Q)为 重言式，(PQ)∧Q为矛盾式，PQ)∧R为可满足式。
注： 1、 永真式必为可满足式，反之则不然；永真式的否定是永 假式，反之亦然； 2、 决定一个公式是否是一个永真式、永假式或可满足式有 三种方法：真值表法（适用于变元少而简单的公式）、求主范
1.否定词(negation connective )﹁
定义1.4 复合命题“非P”称为命题P的否定，记作
P，读作非P。 P为真当且仅当P为假。
例3 设 P：离散数学是计算机专业的核心课程， 则 P:离散数学不是计算机专业的核心课 程。
2.合取词(conjunction connective )∧
命题符号化的目的在于用五个联结词将日 常语言中的命题转化为数理逻辑中的形式命题， 其关键在于对自然语言中语句之间的逻辑关系 以及命题联结词的含义要有正确的理解，使用 适当的联结词： （1）确定语句是否是一个命题；
（2）找出句中连词，用适当的命题联结词表
示。
Assignments（作业）
第30页: 3（偶数小题）
定义1.12 设A是含有n个命题变元的命题 公式，将命题公式A在所有赋值之下取值的情 况汇列成表，称为A的真值表( truth table )。 为列出一个公式的真值表，我们约定： ①命题变元按字典序排列；②对公式的每个 解释，以二进制从小到大列出；③当公式较 复杂时，可先列出子公式的真值，最后列出 所给公式的真值。
离散数学课件 第一章
离 散 数 学
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
主讲教师 李红军 北京林业大学 理学院
BEIJING FOREST UNIVERSITY
教材及参考资料
教材：
1耿素云，屈婉玲，张立昂编著，离散数学，清华大学出版 社, 2008年3月（第4版） 2耿素云,屈婉玲编著.离散数学(修订版).高等教育出版社, 2004年
参考资料：
1 左孝凌编著，离散数学，上海科学技术出版社
1.1 命题与联结词 命题：能判断真假而不是可真可假的陈述句。 命题的真值：命题为真或者假的判断。 真命题：真值为真的命题。 假命题：真值为假的命题。 注：任何命题的真值都是惟一的；
用“1”表示真，用“0”表示假。
例 1.1 ：判断下列句子哪些是命题.
(1)
3 是有理数。
(2) 2是素数。 (3) X＋Y>10。
1 3
m z 1 r m 1
z m 1
1 2
1
3
比赛结束，三位观众各猜对了一半，并且没有并列名次.问：中 国、美国、日本的各排名第几？ 设z1:中国第一;z2 :中国第三；r1:日本第一； m1:美国第一；m2:美国第二； m3:美国第三.
例1的参考答案 m1 z3 1 r1 m3 1 z1 m2 1
对偶原理
A和A*是互为对偶式，P1， P2 ，……Pn是出现在A和A*的原子变元，则 A（P1，…，Pn） A*（ P1，…， Pn） A（ P1，…， Pn） A*（P1，…，Pn）
即公式的否定等值于其变元否定的对偶式。 例：A为PQ，则A*为PQ， 则（PQ） PQ
真值表
将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表
试考虑求公式A的真值表的步骤？ 例1 求下列公式的真值表，并求出成真赋值和成假赋值. 1) p(¬ r∧q) 2) (p∨q)(¬ p q)
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学第一章课件
表示“或者” “或者”有二义性，看下面两个例子： 例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 例1-2.4. 第一节课上数学或者上英语。 例3中的或者是可兼取的或。即析取“∨” 例4中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
28
1. 析取“∨”
例1-2.3. 灯泡或者线路有故障。 P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例中的复合命题可表示为：P∨Q P∨Q读成P析取Q，P或者Q。 P∨Q的真值为F，当且仅当P与Q均为F。
11
数理逻辑把推理符号化之二
设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜. 例2的推理过程表示为： 前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.) 前提:M(a) (铜是金属.) 结论:C(a) (铜能导电.) (其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二章 “谓词逻辑”中所讨论的内容.）
31
四.条件 (蕴涵)“”
表示“如果… 则 …”， 例1-2.5： P表示：缺少水分。 Q表示：植物会死亡。 PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。 PQ：也称之为蕴涵式，读成“P蕴涵Q”， “如果P则Q”。 也说成P是PQ 的前件，Q是PQ的后件。还 可以说P是Q的充分条件，Q是P的必要条件。
24
1-2 联结词
复合命题的构成：是用“联结词”将原子命题 联结起来构成的。 归纳自然语言中的联结词，定义了六个逻辑联 结词，分别是： (1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 异或“ ” (5) 蕴涵“” (6) 等价“”
25
一. 否定“” (Negation)
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3)区分“可兼或”与“不可兼或（异或，排斥或）” 析取联结词为可兼或 例如： 灯泡有故障或开关有故障。 今天下雨或打雷。 以上例句均为可兼或。
“不可兼或”表示为：▽ (异或),当P和Q均为“T”时， 则P异或Q为“F”。
P
Q
P▽Q
F
F
F
F
T
T
T
F
T
T
T
F
例： 他通过电视看杂技或到剧场看杂技。 他乘火车去北京或乘飞机去北京。
§1 命题与命题联结词
1 命题
《定义》： 具有唯一值的陈述句叫命题。 讨论定义：
(1)命题的值： 命题值可以是真的，也可以是假的，但不能同时 既为真又为假。
(2)命题的真假值表示： 命题中所有的“真”用“Ｔ ” 或“ 1”表示 命题中所有的“假”用“Ｆ ”或 “0 ”表示。
(3)命题分类： ⅰ)原子命题：一个命题，不能分解成为更简单的命题。
(2) 合取词（“合取”、 “与”运算） 1) 符号 “Λ” 设Ｐ，Ｑ为两个命题，则ＰΛＱ称Ｐ与Ｑ的合取， 读作： “Ｐ与Ｑ” “Ｐ与Ｑ的合取” “Ｐ并且Ｑ”
2) 合取运算真值表
P Q PΛ Q
FF
F
FT
F
TF
F
TT
T
QΛP F F F T
注： ①当且仅当Ｐ和Ｑ的真值均为 Ｔ ，则ＰΛＱ 的真值 为 Ｔ 。否则，其真值为 Ｆ 。
第一篇 数理逻辑
逻辑：通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推出合 理的结论的规律。 数理逻辑：用数学方法来研究推理的规律。包括命题逻辑 和谓词逻辑。 数理逻辑研究方法：采用一套数学的符号系统来描述和处 理思维的形式和规律。
第一章 命题逻辑
§1.命题与命题联结词 §2.命题公式与真值表 §3.命题公式的翻译 §4. 等价式与蕴含式 §5.对偶与范 式 §6.命题逻辑的推理理论 §7.其他联结词
例：判断下列语句是否为命题，若是，请给出其真值。
（1）十是整数。
(T)
（2）上海是一个城市。
(T)
（3）加拿大是一个国家。
(T)
（4）２是偶数而３不是奇数。
(F)
（5）请勿闯红灯！
（6）你今天出差吗？
（7）x-y=6
2 命题联结词
下面先介绍五个常用的命题联结词。 (１)否定词：（否定运算、非运算） １）符号 ¬ ,读作“非”，“否定”
则可省去括号，否则不可省去括号。 例：¬Ｐ∨（Ｑ∨Ｒ）可省去括号 而Ｐ→（Ｑ→Ｒ）中的括号不能省去，因为“→”不满 足结合律。 (4)命题公式最外层的括号可以省去 （Ｐ→Ｑ∨Ｒ）可写成Ｐ→Ｑ∨Ｒ
④ P: 王大和王二是亲兄弟。 注：这是原子命题。
(３)析取词（或运算） １)符号“∨”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则（Ｐ∨Ｑ）称作Ｐ与Ｑ的 “析取”，读作：“Ｐ或Ｑ”。
２)析取运算真值表：
P Q P∨ Q Q∨P
FF
F
F
FTTLeabharlann TTFTT
TT
T
T
注： ① 当且仅当Ｐ、Ｑ均为 Ｆ 时， Ｐ∨Ｑ 为 Ｆ 。 否则，其真值为 Ｔ 。 ②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换,不会 影响Ｐ∨Ｑ的结果。
设命题为Ｐ，则¬Ｐ读做“Ｐ的否定”或“非Ｐ” ２）否定运算真值表
P ¬P TF FT
３）举例： Ｐ： 北京是一座城市。 ¬Ｐ：北京不是一座城市。 Ｑ： 每一种生物是动物。 ¬Ｑ：有一些生物不是动物。 这里¬Ｑ不能讲成“每一种生物都不是动物” 。
对量化命题的否定，除对动词进行否定外，同时对量词 也要加以否定。
以上两句均为不“可兼或”。
(４) 单条件联结词：（“蕴含”联结词、蕴含词） １) 符号“→”
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ→Ｑ 读作：“如果Ｐ则Ｑ”， “Ｐ蕴含Ｑ”，“Ｐ仅当Ｑ”，“Ｑ当且Ｐ”， “Ｐ是Ｑ的充分条件” Ｐ：称为前件、条件、前提、假设 Ｑ：称为后件、结论
２) 蕴含运算真值表
P
Q
P→Q
F
F
④ Ｐ：2+2=4 Ｑ：雪是白色的
Ｐ↔Ｑ： ２＋２＝４当且仅当雪是白色的。
4) 单条件联结词与双条件联结词的表达
Ｐ当且仅当Ｑ
Ｐ↔Ｑ
Ｐ仅当Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ当且Ｑ
Ｑ→Ｐ
3．命题联结词的运算要求 (1)先括号内，后括号外 (2)运算时联结词的优先次序由高到低排序为：
¬ Λ∨→ ↔ (3)含有相同 联结词的命题公式，如果联结词满足结合律，
值。
３)举例： ① Ｐ：△ABC是等腰三角形
Ｑ：△ABC有两只角相等 Ｐ↔Ｑ：△ABC是等腰三角形当且仅当△ABC中有 两只角相等。 ② Ｐ：春天来了
Ｑ：燕子飞回来了 Ｐ↔Ｑ：春天来了当且仅当燕子飞回来了。
③ Ｐ：平面上两直线平行 Ｑ： 二直线不相交
Ｐ↔Ｑ：平面上二直线平行，当且仅当这二直线不相交。
②Ｐ和Ｑ地位是平等的，Ｐ和Ｑ的位置可以交换而不会 影响ＰΛＱ的结果。
3)举例： ① P：王华的成绩很好
Q：王华的品德很好。 则ＰΛＱ：王华的成绩很好并且品德很好。 ② P：我们去种树 Q：房间里有一台电视机 则ＰΛＱ：我们去种树与房间里有一台电视机。
③ P：今天下大雨 Q：3+3=6 则ＰΛＱ：今天下大雨和3+3=6 注：在日常生活中，合取词应用在二个有关系的命题 之间。由例② ，③ 可知，在逻辑学中，合取词可以用 在二个毫不相干的命题之间。
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
注:当Ｐ为“Ｔ”，Ｑ为“Ｆ”时，则（Ｐ→Ｑ）为“Ｆ”， 否则（Ｐ→Ｑ）都为“Ｔ”。
３) 举例： ① P：我拿起一本书
Q：我一口气读完了这本书 P→Q：如果我拿起一本书，则我一口气读完了这本书。 ② P：月亮出来了
Q：3×3=9 P→Q：如果月亮出来了，则3×3=9。
(5) 双条件联结词（“等价”词） １)符号“↔”
例：我是一位学生。 ⅱ) 复合命题：若干个原子命题使用适当的联结词所组
成的新命题。 例：我是一位老师和他是一位学生 (4)命题的表示：常用26个大写的英文字母表示命题。
注意： (1) 命令句，感叹句，疑问句都不是命题。如：
1）把门关上！ 2）你到哪里去？ (2) 语句既为真，同时又包含假的不是命题，这样的句 子称为“悖论”。 如：我正在说谎。 在命题逻辑中不讨论悖论问题。
设Ｐ、Ｑ为二个命题，则Ｐ↔Ｑ读作： Ｐ当且仅当Ｑ Ｐ等价Ｑ Ｐ是Ｑ的充分必要条件
２) 等价运算真值表
P Q P↔Q Q↔P
FF T
T
FT F
F
TF F
F
TT T
T
注： ①每当Ｐ和Ｑ的真值相同时，（Ｐ↔Ｑ）的真值为 “Ｔ”，否则（Ｐ↔Ｑ）的真值为“Ｆ”。 ②Ｐ、Ｑ的地位是平等的，Ｐ、Ｑ交 换位置不会改变Ｐ↔Ｑ的