离散数学第2章习题解答

离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答

离散数学（第五版）清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。

3°（2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 （2）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0，此命题在（a）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 ?xF(x) 这里，F(x):x呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里，F(x):x为人，且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 （1）令：F(x):x是大学生，G(x):x是文科生，H(x):x是理科生，命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) （2）令F(x):x是人，G(y):y是化，H(x):x喜欢，命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) （3）令F(x):x是人，G(x):x犯错误，命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)

离散数学 第2章 习题解答

习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：¬A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→¬A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))

离散数学第2版课后习题答案

离散数学第2版课后习题答案 离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介 绍了离散数学的基本概念、原理和方法。本文将为读者提供离散数学第2版课 后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。 第一章：基本概念和原理 1.1 命题逻辑 习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？ 答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。命题变量用字母 表示，代表一个命题。命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等， 分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。括号用于改变命题联结 词的优先级。 习题2：列举命题逻辑的基本定律。 答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律 和否定律等。 1.2 集合论 习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？ 答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。集合的 基本运算包括并、交、差和补等。 习题2：列举集合的基本定律。 答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根

定律等。 第二章：数理逻辑 2.1 命题逻辑的推理 习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。 答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。常用的推理规则包括假 言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。 习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则 A不成立。 答：假言推理规则可以用来证明该命题。根据假言推理规则，如果A成立，则 B成立。又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。 2.2 谓词逻辑 习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？ 答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。与命 题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。 习题2：给定谓词P(x)和命题Q，如何表示“对于所有的x，P(x)蕴含Q”？ 答：可以用量词∀x来表示“对于所有的x”，用蕴含符号→表示蕴含关系。所以，“对于所有的x，P(x)蕴含Q”可以表示为∀x(P(x)→Q)。 第三章：组合数学 3.1 排列与组合 习题1：什么是排列？什么是组合？它们有何区别？ 答：排列是从给定的元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。 组合是从给定的元素中取出一部分元素进行组合的方式。区别在于排列考虑了

离散数学(微课版) 第2章习题答案

离散数学（微课版）第2章习题答案 习题 2.1 1. 给出以下相关数集的定义： •人类：所有人类的集合。 •学生：具有在某所学校注册学籍的人的集合。 •男学生：具有在某所学校注册学籍且性别为男性的学生的集合。 2. 判断以下命题是否为真： •男学生集合是人类集合的子集。 •学生集合是男学生集合的子集。 答案： 1.人类集合和学生集合的关系可以表示为：学生集合是人类集合的子集。因为学生是人类的一个子集，但并不是全部人类都是学生。

2.男学生集合是人类集合的子集，因为男学生是学生的一个子集，而学生又是人类的一个子集。所以男学生集合也是人类集合的一个子集。 3.学生集合是男学生集合的超集，因为男学生是学生的一个子集，但并不是所有学生都是男学生。所以学生集合包含了男学生集合。 习题 2.2 1. 给出以下关系的定义： •R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}。 2. 判断以下命题是否为真： •R 是对称关系。 •R 是自反关系。 答案： 1.该关系 R 中的元素可以表示为有序对的形式，如 (1, 1) 表示元素 1 和元素 1 之间存在关系。根据 R 的定义，可以发现所有的对称元素都存在于 R 中。所以 R 是一个对称关系。

2.该关系 R 中包括了所有元素对 (x, x)，表示每个元素和它自己之间都存在关系。所以 R 是一个自反关系。 习题 2.3 1. 给出以下集合的定义： • A = {1, 2, 3, 4} • B = {2, 4, 6, 8} • C = {1, 3, 5, 7} 2. 判断以下命题是否为真： • A ∩ B = {2, 4} • A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7} 答案： 1. A ∩ B表示 A 和 B 的交集，即包含了同时属于 A 和 B 的元素。根据 A 和 B 的定义，可以发现共同元素为 {2, 4}。所以命题A ∩ B = {2, 4} 是真的。 2. A ∪ C 表示 A 和 C 的并集，即包含了属于 A 或 C 的 所有元素。根据 A 和 C 的定义，可以发现共同元素为 {1, 2,

离散数学练习题2 答案

1-1．都是命题： 1-2设 P：明天天气晴朗 Q：我们就去郊游 则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游 1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解 表1.15 例1.42真值表 则P → (P∧(Q →R )) ? (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨ ? (﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。用此方法，可以简写所求得的

给定公式的主析取范式。 P → (P∧(Q →R )) ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解P → (P∧(Q →R )) ?﹁P∨(P∧(﹁Q∨R )) ? (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) 1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ?S∨R。 证明（1）﹁P →Q P （2）﹁Q∨S P （3）Q →S T, (2), E16 （4）﹁P →S T, (1), (3), I13 （5）﹁S →P T, (4), E18 （6）P →R P （7）﹁S →R T, (5), (6), I13 （8）﹁﹁S∨R T, (7), E16 （9）S∨R T, (8), E1

离散数学(微课版) 第2章习题答案

离散数学（微课版）第2章习题答案 2.1 集合与运算 习题1 给定两个集合A={1，3，5，7，9}和B={2，4，6，8，10}，求A∪B和A∩B。 解答： 集合A和B的并集（A∪B）是包含了A和B中所有元素的集合。根据题目给出的集合A和B，可以得到并集A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。 集合A和B的交集（A∩B）是包含了A和B中共有的元素的集合。根据题目给出的集合A和B，可以得到交集A∩B={}，因为集合A和B中没有共有的元素。 习题2 给定两个集合A={奇数}和B={偶数}，求A和B的交集和并集。如果集合B改为B={2，4，6，8}，结果是否有变化？

解答： 集合A表示奇数，集合B表示偶数。 当集合A和B中元素的范围比较广泛时，它们的交集为{}，因为奇数和偶数没有共有的元素。 当集合B改为B={2，4，6，8}时，集合A和B中共有的 元素为{}，并集为A∪B=奇数∪{2，4，6，8}={奇数，2，4，6，8}。 2.2 命题与逻辑运算 习题3 给定两个命题p：“小明喜欢篮球”和q：“小明是篮球队的队长”。请判断以下复合命题是真还是假：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p→q。 解答： 命题p：“小明喜欢篮球” 是真命题。 命题q：“小明是篮球队的队长” 是假命题。

（1）p∧q：当p和q都为真时，命题p∧q才为真。根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∧q是假命题。 （2）p∨q：当p和q中至少一个为真时，命题p∨q就为真。根据题目中给出的p和q的真值，可以确定p∨q是真命题。 （3）p→q：当p为真时，命题p→q为真，否则为假。根 据题目中给出的p和q的真值，可以确定p→q是真命题。 习题4 给定一个命题p：“2是偶数”。请判断以下复合命题是真还是假：（1）¬p；（2）p∧¬p；（3）¬p∨p。 解答： 命题p：“2是偶数” 是真命题。 （1）¬p：取命题p的否定，即“2不是偶数”，根据命题p 的真值，可以确定¬p是假命题。 （2）p∧¬p：当p为真且¬p为真时，命题p∧¬p为真。根 据命题p的真值和¬p的真值，可以确定p∧¬p是假命题。

离散数学第四版课后答案(第2章)

离散数学课后答案 第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 F:) x (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F x→ ∀. )) G ( (x ) ( (2)令x (为人. x F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 G x F x→ ⌝∀ (x )) ( ) ( 或者 x F x⌝ ∧ ∃ (x G )) ( ( ) (3)令x F:) (为人. x G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ∃. G x∧ (x ( )) ) ( (4) x (为人. x F:) G:) (爱看电视. x x 命题符号化为 F x⌝ ⌝∃. x ∧ (x )) ( ) G ( 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个

休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。 2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 ))()((x G x F x ∧∀ 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ∀ 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ∃ 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。

自考离散数学第二章答案

习题2.1答案 (从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表) https://www.360docs.net/doc/2719392484.html, 1、用谓词表达式写出下列命题 a)小张不是研究生； 解：设A(x)：x是研究生； a:小张； |A(a)。 b)他是跳高或篮球运动员； 解： 设A(x):x是跳高运动员； B(x):x是篮球运动员； a: 他； A(a)∨B(a) 。 c)晓莉非常聪明和能干； 解：设 A(x):x非常聪明； B(x):x能干； l: 晓莉； A(l)∧B(l)

d)若m是奇数则2m是偶数 解：设 A(x): x是奇数 B(y):y是偶数 m:某数 A(m)→ B(2m) 2、将下列命题符号化并要分析到个体词及谓词 a)长江流经四川省； 解：B(x,y):x流经y； a:长江 b:四川省 B(a,b)。 个体词：长江、四川省谓词：流经 b)这架新式歼击机击沉了那艘老式快艇 解：设A(x,y):x击沉了y a:新式歼击机 b:老式快艇 A(a,b). 个体词：歼击机、快艇谓词：击沉 3、用谓词表达式符号化下列命题。 那位戴眼镜穿西服的大学生在看一本英文杂志。

解：设： A(x): x戴眼镜； B(x): x穿西服； C(x): x在看英文杂志； a: 那位大学生 A(a)∧B(a)∧C(a) 这个表达式的含义就是一个陈述句： 那位大学生戴眼镜且那位大学生穿西服且那位大学生在看英文杂志。 个体词是：那位大学生。谓词有：戴眼镜、穿西服、在看英文杂志。 2.2习题答案 (从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表) https://www.360docs.net/doc/2719392484.html, 题号：123456 1、对下列公式指出约束变元和自由变元，并指明量词的辖域。 a,(x)(P(x)—→Q(x))∧(x)R(x,y)； (x)的指导变元是x,其辖域是(P(x)—→Q(x)) (x)的指导变元是x,其辖域是R(x,y) 对于(x)来说，x是约束出现，y则是自由出现。

离散数学课后习题答案第二章

第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ∃，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ⌝ ⌝∃ F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ⌝∀ (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ∀ ∀ y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ⌝∃ ∧ ∀ x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.

离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案

离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答 案 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

第二章作业 评分要求： 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 3. 总得分在采分点1处正确设置. 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次): 说明 证 1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q) 解逻辑方程法 设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论: ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0 )()(1)1(q p q p p 或者 ⎩ ⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法 (p ∧q)∨(p ∧¬q) ⇔ p ∧(q ∨¬q) ∧对∨的分配率 ⇔ p ∧1 排中律 ⇔ p 同一律 真值表法

2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r) 等值演算法 (p→q)∧(p→r) ⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式 ⇔ ¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律 ⇔ p→(q∧r)蕴含等值式 3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q) 等值演算法 ¬(p↔q) ⇔ ¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 ⇔ ¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式 ⇔ ¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律 ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律 4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q) 等值演算法 (p∧¬q)∨(¬p∧q) ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律 说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式. 等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得. 二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次): 1. 2. 3. 4. 1. (¬p→q)→(¬q∨p) 解 (¬p→q)→(¬q∨p)

离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答

离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答 第二章谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 T(x):x是火车， C(x):x是汽车， F(x,y):x比y跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为?x(T(x)??y(C(y)?F(x,y)))。 (2) 取 论域为所有物质的集合。令 M(x):x是金属， L(x):x是液体， D(x,y):x可以溶解在y中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。(3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为 ?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 M(x):x是人， J(x):x是职业， L(x,y):x喜欢y。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为?x(M(x)??y(J(y)?L(x,y))) (5)论域 和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为 ?x(J(x)??y(M(y)?L(y,x)))。 2. 取论域为正整数集，用函数?（加法），?（乘法）和谓词?，?将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没 有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。解先引进一些谓词如下： D(x,y):x能被y整除，D(x,y)可表示为?v(v?y?x)。 J(x):x是奇数，J(x)可表示为??v(v?2?x)。 E(x):x是偶数，E(x)可表示为?v(v?2?x)。

离散数学 第二章练习题答案

一、 选择题 1．下列四个公式正确的是 ①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀ ③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃ A.①③ B.①④ C.③④ D.②④ 2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( ) (A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C ) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q 3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ） (A ) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式 4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( ) (A ) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y (C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x 5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( ) (A) ()()P x S x ∧ (B ) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨ (C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨ 6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( ) (A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B ) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃ (C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀ 7.下列各式不正确的是( ) (A ) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀ (B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀ (C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃ (D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧

离散数学答案解析(尹宝林版)第二章知识题解答

第二章谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解(1) 取论域为所有交通工具的集合。令 T(x): x是火车，C(x): x是汽车，F (x, y): x比y跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为x(T(x) y(C(y) F(x,y)))。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 M (x): x是金属，L(x): x是液体，D(x, y): x可以溶解在y中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为x(M (x) y(L(y) D(x,y))) 。 (3) 论域和谓词与(2) 同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中”可以符号化为 x(M (x) y(L(y) D(x,y))) 。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 M (x): x 是人，J(x):x 是职业，L(x, y): x 喜欢y。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为x(M(x) y(J(y) L(x,y))) (5) 论域和谓词与(4) 同。“ 有些职业是所有的人都喜欢的” 可以符号化为

x(J(x) y(M(y) L(y,x)))。

x)) 3. 取论域为实数集合，用函数 ，－(减法)和谓词 将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： (1) “没有既是奇数，又是偶数的正整数”可表示为 x(J(x) E(x))， 并可进一步符号化为 x( v(v?2 x) v(v?2 x)) 。 (2) “任何两个正整数都有最小公倍数”可表示为 x y z(D(z,x) D(z,y) u(D(u,x) D(u,y) 并可进一步符号化为 并可进一步符号化为 x( (x 1) y( (y 1) u( v(v?u u( v(v?u y) x) u u1u 1 u x) y) y x y (4) “并非所有的素数都不是偶数”可表示为 x(P(x) E(x)) ，并可进一步符号化为 x( (x 1) u( v(v?u x) u1u x) v(v?2 x)) 2. 取论域为正整数集，用函数 加法)， 乘法)和谓词 ， 将下列命题符号化： J(x):x 是奇数， J(x) 可表示为 v(v?2 E(x) x 是偶数， E(x) 可表示为 v(v?2 P(x) x 是素数， P(x) 可表示为 (x 1) v(v?y x) 。 x) 。 x) 。 u( v(v?u x) u 1 u x) 。 u z u)) ， x y z( v(v?x z) v(v?y z) u( v(v?x u) v(v?y u) z u z u)) (3) “没有最大的素数”可表示为 x(P(x) y(P(y) y x y x)) D(x, y):x 能被y 整除，D(x, y)可表示为

离散数学 第2章习题答案

第2章习题答案 1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。 (2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。 (3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。 (4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为： ∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。 (5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。 (6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。 (7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。 (8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。 (9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。 (10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。 2. 解 (1)符号化为：∀y(E(1，y)→∀x P(x，y，x))。 (2)符号化为：∀x∀y(⌝P(x，y，0)→(⌝E(x，0)∧⌝E(0，y)))。 (3)符号化为：∀x∀y(⌝P(x，y，0)→(E(x，0)∧E(0，y)))。 (4)符号化为：∀x∀y(((E(x，y)∨G(y，x))∧((E(x，y)∨G(x，y)))→ E(x，y))。 3. 解 (1)存在x，x是偶数，且x整除6。 (2)对任意x，如果x是奇数，则对任意y，若y是素数，则x不整除y。 (3)对任意x，如果x不是偶数，则2不整除x。 (4)对任意x，如果x是偶数，则对任意y，若x整除y，则y是偶数。 4.解 (1)在公式∀x(P(x)∧∃xQ(x))∨(∀x(P(x)→Q(x))中，第一次出现的∀x的辖域为P(x)∧∃xQ(x)，∃x的辖域为Q(x)，而第二次出现的∀x的辖域为P(x)→Q(x)。公式中只出现了变元x，所有x 都是约束变元。 (2)在公式∀x(P(x，y)∧∃yQ(y))∧(∀xR(x)→Q(x))中，第一次出现的∀x的辖域为P(x，y)∧∃yQ(y)，而第二次出现的∀x的辖域为R(x)，∃y的辖域为Q(y)。P(x，y)中的y是自由变元，x是约束变元。Q(y)

离散数学答案第二章习题解答

第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀ (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。