离散数学 第2章 习题解答
习题 2.1
1．将下列命题符号化。
(1) 4不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。a：4。
“4不是奇数。”符号化为：¬A(a)
(2) 2是偶数且是质数。
解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。
“2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a)
(3) 老王是山东人或河北人。
解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。
“老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a)
(4) 2与3都是偶数。
解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。
“2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b)
(5) 5大于3。
解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。
“5大于3。”符号化为：G(a,b)
(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。
解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。
“若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b)
(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。
解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。
“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y)
(8) 小王既聪明又用功，但身体不好。
解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。
“小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a)
(9) 秦岭隔开了渭水和汉水。
解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。
“秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c)
(10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。
解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。
“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→¬A(a)
2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))
它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))
它的真值为：真。
(3) 每个自然数都有比它大的自然数。
解：设N(x)：x是自然数。G(x,y)：x比y大。
“每个自然数都有比它大的自然数。”符号化为：(∀x)(N(x)→(∃y)(N(y)∧G(y,x)))
它的真值为：真。
(4) 乌鸦都是黑的。
解：设A(x)：x是乌鸦。B(x)：是黑的。
“乌鸦都是黑的。”符号化为：(∀x)(A(x)→B(x))
它的真值为：真。
(5) 不存在比所有火车都快的汽车。
解：设A(x)：x是汽车。B(x)：是火车。K(x,y)：x比y快。
“不存在比所有火车都快的汽车。”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧(∀y)(B(y)→K(x,y)))
它的真值为：真。
(6) 有些大学生不佩服运动员。
解：设S(x)：x是大学生。L(x)：是运动员。B(x,y)：x佩服y。
“有些大学生不佩服运动员。”符号化为：(∃x)(S(x)∧L(y)∧¬B(x,y))
它的真值为：真。
(7) 有些女同志既是教练员又是运动员。
解：设W(x)：x是女同志。J(x)：x是教练员。L(x)：x是运动员。
“有些女同志既是教练员又是运动员。”符号化为：(∃x)(W(x)∧J(x)∧L(x))
它的真值为：真。
(8) 除2以外的所有质数都是奇数。
解：设A(x)：x是质数。B(x)：x是奇数。C(x,y)：x不等于y。
“除2以外的所有质数都是奇数。”符号化为：(∀x)(A(x)∧C(x,2)→B(x))
它的真值为：真。
3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。在以下各题中，A(x)表示：x＞0，B(x)表示：x=5，C(x,y) 表示：x＋y=0
(1) (∀x)A(x)
解：正整数集合Z+。
(2) (∃x)A(x)
解：整数集合Z。
(3) (∀x)B(x)
解：集合｛5｝。
(4) (∃x)B(x)
解：整数集合Z。
(5) (∀x)(∃y)C(x,y)
解：整数集合Z。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0
解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)
在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y))) (2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0
解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)
在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y))) (3) 对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x
解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x=y。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∀y)B(x+y,y+x)
在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∀y)(R(y)→B(x+y,y+x))) (4) 存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100
解：设R(x)：x是实数。B(x,y)：x＋y=100。
在实数个体域符号化为：(∃x)( ∃y)B(x,y)
在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∃y)(R(y)∧B(x,y)))
习题 2.2
1. 指出下列公式中的约束变元和自由变元。
(1) (∀x)(P(x)→Q(y))
解：约束变元：x，自由变元：y
(2) (∀x)(P(x)∧R(x))→((∃x)P(x)∧Q(x))
解：约束变元：x，自由变元：x
(3) (∀x)(P(x)∧(∃x)Q(x))∨((∀x)R(x,y)∧Q(z))
解：约束变元：x，自由变元：y，z
(4) (∃x)(∀y) (R(x,y)∧Q(z))
解：约束变元：x，y，自由变元：z
(5) (∀z) (P(x)∧(∃x)R(x,z)→(∃y)Q(x,y))∨R(x,y)
解：约束变元：x，y，z，自由变元：x，y
2. 对下列谓词公式中的约束变元进行换名。
(1) (∃x)(∀y)(P(x,z)→Q(x,y))∧R(x,y)
解：将约束变元x换成u：(∃u)(∀y)(P(u,z)→Q(u,y))∧R(x,y) 将约束变元y换成v：(∃x)(∀v)(P(x,z)→Q(x,v))∧R(x,y)
(2) (∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀z)S(x,z)
解：将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：
(∀u)(P(u)→(R(u)∨Q(u,y)))∧(∃v)R(v)→(∀z)S(x,z)
将约束变元z换成w：(∀x)(P(x)→(R(x)∨Q(x,y)))∧(∃x)R(x)→(∀w)S(x,w)
3. 对下列谓词公式中的自由变元进行代入。
(1) ((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解：将自由变元z用u代入：((∃y)Q(u,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,u)
将自由变元y用v代入：((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,v))∨(∃x)S(x,v,z)
(2) (∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,y)
解：将自由变元x用u代入：(∀y)P(u,y)∧(∃z)Q(u,z)↔(∃x)R(x,y)
将自由变元y用v代入：(∀y)P(x,y)∧(∃z)Q(x,z)↔(∃x)R(x,v)
4. 利用谓词公式对下列命题符号化。
(1) 每列火车都比某些汽车快。
解：设A(x)：x是火车。B(x)：x是汽车。C(x,y)：x比y快。
“每列火车都比某些汽车快。”符号化为：(∀x)(A(x)→(∃y)(B(y)∧C(x,y)))
(2) 某些汽车比所有火车慢。
解：设A(x)：x是火车。B(x)：x是汽车。C(x,y)：x比y快。
“某些汽车比所有火车慢。”符号化为：(∃x)(B(x)∧(∀y)(A(y)→C(y,x)))
(3) 对每一个实数x，存在一个更大的实数y。
解：设R(x)：x是实数。G(x,y)：x比y大。
“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。”符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧G(y,x)))
(4) 存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。
解：设R(x)：x是实数。G(x,y)：x比y大。
“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。”符号化为：
(∃x)(∃y)(∃z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,xz))
(5) 所有的人都不一样高。
解：设R(x)：x是人。G(x,y)：x和y一样高。
“所有的人都不一样高。”符号化为：(∀x)(∀y)(R(x)∧R(y)→¬G(x,y))
5. 自然数一共有下述三条公理：
a) 每个数都有惟一的一个数是它的后继数。
b) 没有一个数使数1是它的后继数。
c) 每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。
用两个谓词表达上述三条公理。
注：设n是不等于1的自然数，则n＋1是n的后继数，n－1是n的先驱数。
解：设A(x)：x是数。B(x,y)：x是y后继数(根据定义，也可理解为y是x先驱数)。
a) “每个数都有惟一的一个数是它的后继数。”符号化为：
(∀x)(A(x)→(∃y)(A(y)∧B(y,x))∧((∃z)(A(z)∧B(z,x))→(z=y)))
b) “没有一个数使数1是它的后继数。”符号化为：¬(∃x)(A(x)∧B(1,x))
c) “每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。”符号化为：
(∀x)(A(x)∧¬(x=1)→(∃y)(A(y)∧B(x,y))∧((∃z)(A(z)∧B(x,z))→(z=y)))
6. 取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：对每个ε＞0，存在一个δ＞0，使得
对所有x，若|x－a|＜δ，则|f(x)－f(a)|＜ε。试把此定义用符号化的形式表达出来。
解：(∀ε) ((ε＞0)→(∃δ)( (δ＞0)∧(∀x) ((|x－a|＜δ)→(|f(x)－f(a)|＜ε))))
7.若定义惟一性量词(∃!x)为“存在惟一的一个x”，则(∃!x)P(x)表示“存在惟一的一个x使P(x)为真”。试用量词，谓词及逻辑运算符表示(∃!x)P(x)。
解：(∃!x)P(x)⇔(∃x)P(x)∧((∃y)P(y)→(y=x))
习题 2.3
1. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)
解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)
(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)
解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))
(3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)
解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))
(4) (∀x)(P(x)↔Q(x))
解：(∀x)(P(x)↔Q(x))⇔(P(1)↔Q(1))∧(P(2)↔Q(2))∧(P(3)↔Q(3))
(5) (∀x)⌝P(x)∨(∀y)Q(y)
解：(∀x)¬P(x)∨(∀y)Q(y)⇔ (¬P(1)∧¬P(2)∧¬P(3))∨(Q(1)∧Q(2)∧Q(3))
2. 求下列各式的真值。
(1) (∀x)(∃y)H(x,y) 其中H(x,y)：x＞y，个体域为D=⎨4,2⎬
解：(∀x)(∃y)H(x,y)⇔(∃y)H(2,y)∧(∃y)H(4,y)
⇔(H(2,2)∨H(2,4))∧(H(4,2)∨H(4,4))
⇔(0∨0)∧(1∨0)⇔0∧1⇔0
(2) (∃x)(S(x)→Q(a))∧p其中S(x)：x＞3，Q(x)：x=5，a：3，p：5＞3，个体域为D=⎨-1,3,6⎬
解：(∃x)(S(x)→Q(a))∧p⇔((S(-1)→Q(3))∨(S(3)→Q(3))∨(S(6)→Q(3)))∧(5＞3)
⇔((0→0)∨(0→0)∨(1→0))∧1
⇔(1∨1∨0)∧1⇔1∧1⇔1
(3) (∃x)(x2-2x+1=0) 其中个体域为D=⎨-1,2⎬
解：(∃x)(x2-2x+1=0)⇔(((－1)2－2×(－1)＋1=0)∨(22－2×2＋1=0)
⇔((4=0)∨(1=0)⇔0∨0⇔0
3. 证明下列各式。其中：B是不含变元x的谓词公式。
(1) (∃x)(S(x)→R(x))⇔(∀x)S(x)→(∃x)R(x)
证明：(∃x)(S(x)→R(x))⇔(∃x)(¬S(x)∨R(x))
⇔(∃x)¬S(x)∨(∃x)R(x)
⇔¬(∀x)S(x)∨(∃x R(x)
⇔(∀x)S(x)→(∃x)R(x)
(2) (∀x)(∀y)(S(x)→R(y))⇔(∃x)S(x)→(∀y)R(y)
证明：(∀x)(∀y)(S(x)→R(y))⇔(∀x)(∀y)(¬S(x)∨R(y))
⇔(∀x)¬S(x)∨(∀y)R(y)
⇔¬(∃x)S(x)∨(∀y)R(y)
⇔(∃x)S(x)→(∀y)R(y)
(3) (∃x)(A(x)→B)⇔(∀x)A(x)→B
证明：(∃x)(A(x)→B)⇔(∃x)(¬A(x)∨B)⇔(∃x)¬A(x)∨B
⇔¬(∀x)A(x)∨B⇔(∀x)A(x)→B
(4) (∀x)(B→A(x))⇔B→(∀x)A(x)
证明：(∀x)(B→A(x))⇔(∀x)(¬B∨A(x))⇔¬B∨(∀x)A(x)⇔B→(∀x)A(x)
(5) (∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)
证明：因为(∀x)(A(x)→B(x))，所以对于任意个体c，A(c)→B(c)和A(c)，从而有B(c)，由c 的任意性有(∀x)B(x)，根据CP规则，(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x)
(6) (∀x)(A(x)↔B(x))⇒(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
证明：(∀x)(A(x)↔B(x))⇔(∀x)((A(x)→B(x))∧(B(x)→A(x)))
⇔(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))
(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒(∀x)(A(x)→B(x))⇒(∀x)A(x)→(∀x)B(x) 同理，(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒(∀x)B(x)→(∀x)A(x)
所以，(∀x)(A(x)→B(x))∧(∀x)(B(x)→A(x))⇒((∀x)A(x)→(∀x)B(x))∧((∀x)B(x)→(∀x)A(x)) 而((∀x)A(x)→(∀x)B(x))∧((∀x)B(x)→(∀x)A(x))⇔(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
故有(∀x)(A(x)↔B(x))⇒(∀x)A(x)↔(∀x)B(x)
4. 判断下列证明是否正确。
(∀x) (A(x)→B(x))⇔(∀x) (¬A(x)∨B(x))⇔(∀x)⌝(A(x)∧¬B(x))
⇔¬(∃x) (A(x)∧¬B(x))⇔¬((∃x) A(x)∧(∃x)¬B(x))
⇔¬((∃x) A(x)∧¬(∀x)B(x))⇔¬(∃x) A(x)∨(∀x)B(x))
⇔(∃x) A(x)→(∀x)B(x))
解：下列的推理是错的：¬(∃x) (A(x)∧¬B(x))⇔¬((∃x)A(x)∧(∃x)¬B(x))
习题 2.4
1. 求下列各式的前束范式。
(1) (∀x)P(x)∧⌝(∃x)Q(x)
解：(∀x)P(x)∧⌝(∃x)Q(x)⇔(∀x)P(x)∧(∀x)⌝Q(x)⇔(∀x)(P(x)∧⌝Q(x))
(2) (∀x)P(x)∨⌝(∃x)Q(x)
解：(∀x)P(x)∨⌝(∃x)Q(x)⇔(∀x)P(x)∨(∀x)⌝Q(x)
⇔(∀x)P(x)∨(∀y)⌝Q(y)
⇔(∀x)(∀y) (P(x)∧⌝Q(y))
(3) (∀x)(∀y)(((∃z)A(x,y,z)∧(∃u)B(x,u))→(∃v)B(x,v))
解：(∀x)(∀y)(((∃z)A(x,y,z)∧(∃u)B(x,u))→(∃v)B(x,v))
⇔(∀x)(∀y)((∃z)(∃u)(A(x,y,z)∧B(x,u))→(∃v)B(x,v))
⇔(∀x)(∀y)(∀z)(∀u)(∃v)((A(x,y,z)∧B(x,u))→B(x,v))
(4) (∀x)(∀y)((∃z)(A(x,z)∧B(x,z))→(∃u)R(x,y,u))
解：(∀x)(∀y)((∃z)(A(x,z)∧B(x,z))→(∃u)R(x,y,u))
⇔(∀x)(∀y)(∀z)(∃u)((A(x,z)∧B(x,z))→R(x,y,u))
(5) ⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀y)(A(y, x)→B(x,y))))
解：⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀y)(A(y, x)→B(x,y))))
⇔⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(∀y)(B(x,y)∧(∀z)(A(z,x)→B(x,z))))
⇔⌝(∀x)((∃y)A(x,y)→(∃u)(∀v)(∀z)(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
⇔⌝(∀x)(∀y)(∃u)(∀v)(∀z)(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z))))
⇔(∃x)(∃y)(∀u)(∃v)(∃z)⌝(A(x,y)→(B(u,v)∧(A(z,u)→B(u,z)))) 2. 求下列各式的前束合取范式。
(1) (∀x)(P(x)∨(∀z)Q(z,y)→⌝(∀y)R(x,y))
解：(∀x)(P(x)∨(∀z)Q(z,y)→⌝(∀y)R(x,y))
⇔(∀x)((∀z)(P(x)∨Q(z,y))→(∃y)⌝R(x,y))
⇔(∀x)((∀z)(P(x)∨Q(z,y))→(∃u)⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((P(x)∨Q(z,y))→⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)(⌝(P(x)∨Q(z,y))∨⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((⌝P(x)∧⌝Q(z,y))∨⌝R(x,u))
⇔(∀x)(∃z)(∃u)((⌝P(x)∨⌝R(x,u))∧(⌝Q(z,y))∨⌝R(x,u))) (2) (∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(∀x) R(x,y)
解：(∃x)(∀y)(P(x,y)∧Q(y,z))∨(∀x) R(x,y)
⇔(∃x)(∀u)(P(x,u)∧Q(u,z))∨(∀v)R(v,y)
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∧Q(u,z))∨R(v,y))
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∨R(v,y))∧(Q(u,z))∨R(v,y)))
(3) ((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解：((∃y)Q(z,y)→(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔((∃u)Q(z,u)→(∀x)R(x,y))∨(∃v)S(v,y,z)
⇔(∀u)(∀x)(∃v)((Q(z,u)→R(x,y))∨S(v,y,z))
⇔(∀u)(∀x)(∃v)(⌝Q(z,u)∨R(x,y)∨S(v,y,z))
3. 求下列各式的前束析取范式。
(1) (∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→⌝(∀z)R(x,y,z)))
解：(∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→⌝(∀z)R(x,y,z)))
⇔(∀x)(P(x)→(∀y)((∀x)Q(x,y)→(∃z)⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(P(x)→(∀y)(∃u)(∃z)(Q(u,y)→⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(∀y)(∃u)(∃z)(P(x)→(Q(u,y)→⌝R(x,y,z)))
⇔(∀x)(∀y)(∃u)(∃z)(⌝P(x)∨⌝Q(u,y)∨⌝R(x,y,z))
(2) (∃x)(∀y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(∀x)R(x,y)
解：(∃x)(∀y)(P(x,y)∨Q(y,z))∧(∀x)R(x,y)
⇔(∃x)(∀u)(P(x,u)∨Q(u,z))∧(∀v)R(v,y)
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∨Q(u,z))∧R(v,y))
⇔(∃x)(∀u)(∀v)((P(x,u)∧R(v,y))∨(Q(u,z))∧R(v,y))) (3) ((∃y)Q(z,y)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
解：((∃y)Q(z,y)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔((∃u)Q(z,u)∧(∀x)R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨(∃x)S(x,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(Q(z,u)∧R(x,y))∨(∃v)S(v,y,z)
⇔(∃u)(∀x)(∃v)((Q(z,u)∧R(x,y))∨S(v,y,z))
习题 2.5
1．证明下列各式。
(1) (∀x)(F(x)→(G(y)∧R(x)))，(∃x)F(x)⇒(∃x)(F(x)∧R(x))
证明：
⑴(∃x)F(x) P
⑵F(c) ES⑴
⑶(∀x)(F(x)→(G(y)∧R(x))) P
⑷F(c)→(G(y)∧R(c)) US⑶
⑸G(y)∧R(c) T⑵⑷假言推理
⑹R(c) T⑸化简律
⑺F(c)∧R(c) T⑵⑹合取引入
⑻(∃x)(F(x)∧R(x)) EG⑺
(2) (∀x)(F(x)→G(x))，(∀x)(R(x)→⌝G(x))⇒(∀x)(R(x)→⌝F(x))
证明：⑴(∀x)(R(x)→⌝G(x)) P
⑵R(c)→⌝G(c) US⑴
⑶(∀x)(F(x)→G(x)) P
⑷F(c)→G(c) US⑶
⑸⌝G(c)→⌝F(c) T⑷假言易位式
⑹R(c)→⌝F(c) T⑵⑸假言三段论
⑺(∀x)(R(x)→⌝F(x)) UG⑹
(3) (∀x)(F(x)∨G(x))，(∀x)(G(x)→⌝R (x))，(∀x)R(x)⇒(∀x)F(x) 证明：
⑴(∀x)R(x) P
⑵R(c) US⑴
⑶(∀x)(G(x)→⌝R(x)) P
⑷G(c)→⌝R(c) US⑶
⑸⌝G(c) T⑵⑷拒取式
⑹(∀x)(F(x)∨G(x)) P
⑺F(c)∨G(c) US⑹
⑻F(c) T⑸⑺析取三段论
⑼(∀x)F(x) UG⑻
(4) (∃x)F(x)→(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y))，(∃x)F(x)⇒(∃x)R(x)
证明：
⑴(∃x)F(x) P
⑵F(c) ES⑴
⑶(∃x)F(x)→(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y)) P
⑷(∀y)((F(y)∨G(y))→R(y)) T⑴⑶假言推理
⑸(F(c)∨G(c))→R(c) US⑷
⑹F(c)∨G(c) T⑵附加律
⑺R(c) T⑸⑹假言推理
⑻(∀x)R(x) UG⑺
2．用CP规则证明下列各式。
(1) (∀x)(F(x)→R(x))⇒(∀x)F(x)→(∀x)R(x)
证明：
⑴(∀x)F(x) P(附加前提)
⑵F(c) US⑴
⑶(∀x)(F(x)→R(x)) P
⑷F(c)→R(c) US⑶
⑸R(c) T⑵⑷假言推理
⑹(∀x)R(x) UG⑸
⑺(∀x)F(x)→(∀x)R(x) CP
(2) (∀x)(F(x)∨G(x))，⌝(∃x)(G(x)∧R(x))⇒(∀x)R(x)→(∀x)F(x)
证明：
⑴(∀x)R(x) P(附加前提)
⑵R(c) US⑴
⑶⌝(∃x)(G(x)∧R(x)) P
⑷(∀x)⌝(G(x)∧R(x)) T⑶量词否定等价式
⑸⌝(G(c)∧R(c)) US⑷
⑹⌝G(c)∨⌝R(c) T⑸德摩根律
⑺⌝G(c) T⑵⑹析取三段论
⑻(∀x)(F(x)∨G(x)) P
⑼F(c)∨G(c) US⑻
⑽F(c) T⑺⑼析取三段论
⑾(∀x)F(x) UG⑽
⑿(∀x)R(x)→(∀x)F(x) CP
(3) (∀x)(F(x)→⌝G(x))，(∀x)(G(x)∨R(x)) ⇒⌝(∀x)R(x)→(∃x)⌝F(x) 证明：
⑴⌝(∀x)R(x) P(附加前提)
⑵(∃x)⌝R(x) T⑴量词否定等价式
⑶⌝R(c) ES⑵
⑷(∀x)(G(x)∨R(x)) P
⑸G(c)∨R(c) US⑷
⑹G(c) T⑶⑸析取三段论
⑺(∀x)(F(x)→⌝G(x)) P
⑻F(c)→⌝G(c) US⑺
⑼⌝F(c) T⑹⑻拒取式
⑽(∃x)⌝F(x) EG⑼
⑾⌝(∀x)R(x)→(∃x)⌝F(x) CP
3．用归谬法证明下列各式。
(1) (∀x)(F(x)∨G(x))⇒(∀x)F(x)∨(∃x)G (x)
证明：
⑴⌝((∀x)F(x)∨(∃x)G (x)) P(附加前提)
⑵⌝(∀x)F(x)∧⌝(∃x)G (x)) T⑴德摩根律
⑶(∃x)⌝F(x)∧(∀x)⌝G (x)) T⑵量词否定等价式
⑷(∃x)⌝F(x) T⑶化简律
⑸⌝F(c) ES⑷
⑹(∀x)⌝G(x)) T⑶化简律
⑺⌝G(c) US⑹
⑻(∀x)(F(x)∨G(x)) P
⑼F(c)∨G(c) US⑻
⑽F(c) T⑺⑼析取三段论
⑾F(c)∧⌝F(c)(矛盾) T⑸⑽合取引入
(2) (∀x)(F(x)∨G(x))，(∀x)(G(x)→⌝R (x))，(∀x)R(x)⇒(∀x)F(x)
证明：
⑴⌝(∀x)F(x) P(附加前提)
⑵(∃x)⌝F(x) T⑴量词否定等价式
⑶⌝F(c) ES⑵
⑷(∀x)(F(x)∨G(x)) P
⑸F(c)∨G(c) US⑷
⑹G(c) T⑶⑸析取三段论
⑺(∀x)(G(x)→⌝R(x)) P
⑻G(c)→⌝R(c) US⑺
⑼⌝R(c) T⑹⑻假言推理
⑽(∀x)R(x) P
⑾R(c) US⑽
⑿R(c)∧⌝R(c)(矛盾) T⑼⑾合取引入
(3) (∀x)(F(x)→⌝G(x))，(∀x)(G(x)∨R(x))，(∃x)⌝R(x) ⇒(∃x)⌝F(x) 证明：
⑴(∃x)⌝R(x) P
⑵⌝R(c) ES⑴
⑶⌝(∃x)⌝F(x) P(附加前提)
⑷(∀x)F(x) T⑶量词否定等价式
⑸F(c) US⑷
⑹(∀x)(F(x)→⌝G(x)) P
⑺F(c)→⌝G(c) US⑹
⑻⌝G(c) T⑸⑺假言推理
⑼(∀x)(G(x)∨R(x)) P
⑽G(c)∨R(c) US⑼
⑾R(c) T⑻⑽析取三段论
⑿R(c)∧⌝R(c)(矛盾) T⑵⑾合取引入
4．证明下面推理。
(1) 每个有理数都是实数。有的有理数是整数。因此，有的实数是整数。
解：首先将命题符号化：
Q(x)：x是有理数。R(x)：x是实数。
Z(x)：x是整数。
本题要证明：(∀x)(Q(x)→R(x)), (∃x)(Q(x)∧Z(x))⇒(∃x)(R(x)∧Z(x))
证明：
⑴(∃x)(Q(x)∧Z(x)) P
⑵Q(c)∧Z(c) ES⑴
⑶Q(c) T⑵化简律
⑷Z(c) T⑵化简律
⑸(∀x)(Q(x)→R(x)) P
⑹Q(c)→R(c) US⑸
⑺R(c) T⑶⑹假言推理
⑻R(c)∧Z(c) T⑷⑺合取引入
⑼(∃x)(R(x)∧Z(x)) EG⑻
(2) 有理数，无理数都是实数。虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。解：首先将命题符号化：
Q(x)：x是有理数。R(x)：x是实数。
W(x)：x是无理数。X(x)：x是虚数。
本题要证明：(∀x)(Q(x)→R(x)), (∀x)(W(x)→R(x))，(∀x)(X(x)→⌝R(x))
⇒ (∀x)(X(x)→⌝Q(x))∧(∀x)(X(x)→⌝W(x))
证明：
⑴(∀x)(X(x)→⌝R(x)) P
⑵X(c)→⌝R(c) US⑴
⑶R(c)→⌝X(c) T⑵假言易位式
⑷(∀x)(W(x)→R(x)) P
⑸W(c)→R(c) US⑷
⑹W(c)→⌝X(c) T⑶⑸假言三段论
⑺X(c)→⌝W(c) T⑹假言易位式
⑻(∀x)(X(c)→⌝W(c)) UG⑺
⑼(∀x)(Q(x)→R(x)) P
⑽Q(c)→R(c) US⑼
⑾Q(c)→⌝X(c) T⑶⑽假言三段论
⑿X(c)→⌝Q(c) T⑾假言易位式
⒀(∀x)(X(x)→⌝Q(x)) UG⑿
⒁(∀x)(X(x)→⌝Q(x))∧(∀x)(X(x)→⌝W(x)) T⑻⒀合取引入
(3) 不存在能表示成分数的无理数。有理数都能表示成分数。因此，有理数都不是无理数。
解：首先将命题符号化：
Q(x)：x是有理数。W(x)：x是无理数。
F(x)：x能表示成分数。
本题要证明：⌝(∃x)(W(x)∧F(x)), (∀x)(Q(x)→F(x))⇒(∀x)(Q(x)→⌝W(x))
证明：
⑴⌝(∃x)(W(x)∧F(x)) P
⑵(∀x)⌝(W(x)∧F(x)) T⑴量词否定等价式
⑶⌝(W(c)∧F(c)) US⑵
⑷⌝W(c)∨⌝F(c) T⑶德摩根律
⑸F(c)→⌝W(c) T⑷条件等价式
⑹(∀x)(Q(x)→F(x)) P
⑺Q(c)→F(c) US⑹
⑻Q(c)→⌝W(c) T⑸⑺假言三段论
⑼(∀x)( Q(x)→⌝W(x)) UG⑻
(4) 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车。每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。(个体域为人类集合)
解：首先将命题符号化：
P(x)：x喜欢步行。Q(x)：x喜欢骑自行车。
R(x)：x喜欢乘汽车。
以全体人类为个体域(全总个体域也可类似证明)本题要证明：
(∀x)(P(x)→⌝Q(x))，(∀x)(Q(x)∨R(x))，(∃x)⌝R(x)⇒(∃x)⌝P(x)
证明：
⑴(∃x)⌝R(x) P
⑵⌝R(c) ES⑴
⑶(∀x)(Q(x)∨R(x)) P
⑷Q(c)∨R(c) US⑶
⑸Q(c) T⑷析取三段论
⑹(∀x)(P(x)→⌝Q(x)) P
⑺P(c)→⌝Q(c) US⑹
⑻⌝P(c) T⑸⑺拒取式
⑼(∀x)⌝P(x) UG⑻
离散数学 第2章 习题解答
习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：¬A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)↔¬D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧¬C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→¬A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))
离散数学 第2章 习题解答
第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x
即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案 离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介 绍了离散数学的基本概念、原理和方法。本文将为读者提供离散数学第2版课 后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。 第一章：基本概念和原理 1.1 命题逻辑 习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？ 答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。命题变量用字母 表示，代表一个命题。命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等， 分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。括号用于改变命题联结 词的优先级。 习题2：列举命题逻辑的基本定律。 答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律 和否定律等。 1.2 集合论 习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？ 答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。集合的 基本运算包括并、交、差和补等。 习题2：列举集合的基本定律。 答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根
定律等。 第二章：数理逻辑 2.1 命题逻辑的推理 习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。 答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。常用的推理规则包括假 言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。 习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则 A不成立。 答：假言推理规则可以用来证明该命题。根据假言推理规则，如果A成立，则 B成立。又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。 2.2 谓词逻辑 习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？ 答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。与命 题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。 习题2：给定谓词P(x)和命题Q，如何表示“对于所有的x，P(x)蕴含Q”？ 答：可以用量词∀x来表示“对于所有的x”，用蕴含符号→表示蕴含关系。所以，“对于所有的x，P(x)蕴含Q”可以表示为∀x(P(x)→Q)。 第三章：组合数学 3.1 排列与组合 习题1：什么是排列？什么是组合？它们有何区别？ 答：排列是从给定的元素中取出一部分元素按照一定的顺序进行排列的方式。 组合是从给定的元素中取出一部分元素进行组合的方式。区别在于排列考虑了
离散数学练习题2 答案
1-1．都是命题： 1-2设 P：明天天气晴朗 Q：我们就去郊游 则P →Q：如果明天天气晴朗，我们就去郊游 1-3根据真值表求公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解 表1.15 例1.42真值表 则P → (P∧(Q →R )) ? (﹁P∧Q∧R )∨(﹁P∧Q∧﹁R )∨(﹁P∧﹁Q∧R )∨ ? (﹁P∧Q∧﹁R )∨(P∧﹁Q∧R )∨(P∧﹁Q∧﹁R )∨(P∧Q∧R ) ■由于任意一组命题变元P1, P2, …, P n的真值指派和它的极小项之间是一一对应的，故可以对极小项进行编码。首先需要规定变元在极小项中的排列次序，假设为P1, P2, …, P n，用m表示极小项，若P i出现在极小项中，则编码的第i个位置上的值为1，否则为0。比如变元P, Q, R（规定次序为P, Q, R）的极小项P∧﹁Q∧﹁R的编码为100，将此极小项记为m100。若将编码看作是一个二进制数，又可将例中的极小项记为m4。用此方法，可以简写所求得的
给定公式的主析取范式。 P → (P∧(Q →R )) ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7（规定P, Q, R的次序为P, Q, R）公式P → (P∧(Q →R ))的主析取范式。 解P → (P∧(Q →R )) ?﹁P∨(P∧(﹁Q∨R )) ? (﹁P∨P)∧(﹁P∨﹁Q∨R) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) ? (﹁P∨﹁Q∨R ) 1-4试证明(﹁P →Q )∧(P →R )∧(﹁Q∨S ) ?S∨R。 证明（1）﹁P →Q P （2）﹁Q∨S P （3）Q →S T, (2), E16 （4）﹁P →S T, (1), (3), I13 （5）﹁S →P T, (4), E18 （6）P →R P （7）﹁S →R T, (5), (6), I13 （8）﹁﹁S∨R T, (7), E16 （9）S∨R T, (8), E1
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)⇔ 0∨(0∧1) ⇔0 （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0. （3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数 0 r: 2是无理数 1 s: 6能被2整除 1 t: 6能被4整除 0 命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(⌝q→⌝p) （5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ⌝(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r)) (4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r) ⇔⌝p∨(q∧r)) ⇔p→(q∧r) （4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q) ⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1 ⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(⌝p→q)→(⌝q∨p) (2)⌝(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
离散数学课后习题答案第二章
第四章部分课后习题参考答案 3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+)(x). (2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解： F(x): 2=(x+)(x). G(x): x+5=9. (1)在两个个体域中都解释为) ∀，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (x xF (2)在两个个体域中都解释为) (x ∃，在（a）(b)中均为真命题。 xG 4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数 命题符号化为: )) x x∧ ⌝ ⌝∃ F ( ) ( (x H (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人 命题符号化为: )) x F H x→ ⌝∀ (x ) ( ( 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快. (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: )) F x G y x→ ∀ ∀ y ∧ )) ( , ( ) x ((y ( H (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ))) y x F G y→ ⌝∃ ∧ ∀ x ( ) ( , H ( x ) (y ( 9.给定解释I如下: (a) 个体域D为实数集合R.
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答案
离散数学-第二章命题逻辑等值演算习题及答 案 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
第二章作业 评分要求： 1. 每小题6分: 结果正确1分; 方法格式正确3分; 计算过程2分. 合计48分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由) 3. 总得分在采分点1处正确设置. 一. 证明下面等值式(真值表法, 解逻辑方程法, 等值演算法, 三种方法每种方法至少使用一次): 说明 证 1. p ⇔(p ∧q)∨(p ∧¬q) 解逻辑方程法 设 p ↔((p ∧q)∨(p ∧¬q)) =0, 分两种情况讨论: ⎩⎨⎧=⌝∧∨∧=0 )()(1)1(q p q p p 或者 ⎩ ⎨⎧=⌝∧∨∧=1)()(0)2(q p q p p (1)(2)两种情况均无解, 从而, p ↔(p ∧q)∨(p ∧¬q)无成假赋值, 为永真式. 等值演算法 (p ∧q)∨(p ∧¬q) ⇔ p ∧(q ∨¬q) ∧对∨的分配率 ⇔ p ∧1 排中律 ⇔ p 同一律 真值表法
2. (p→q)∧(p→r)⇔p→(q∧r) 等值演算法 (p→q)∧(p→r) ⇔ (¬p∨q)∧(¬p∨r)蕴含等值式 ⇔ ¬p∨(q∧r)析取对合取的分配律 ⇔ p→(q∧r)蕴含等值式 3. ¬(p↔q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q) 等值演算法 ¬(p↔q) ⇔ ¬( (p→q)∧(q→p) )等价等值式 ⇔ ¬( (¬p∨q)∧(¬q∨p) )蕴含等值式 ⇔ ¬( (¬p∧¬q)∨(p∧q) )合取对析取分配律, 矛盾律, 同一律 ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)德摩根律 4. (p∧¬q)∨(¬p∧q)⇔(p∨q)∧¬(p∧q) 等值演算法 (p∧¬q)∨(¬p∧q) ⇔ (p∨q)∧¬(p∧q)析取对合取分配律, 排中律, 同一律 说明: 用真值表法和解逻辑方程法证明相当于证明为永真式. 等值演算法证明时每一步后面最好注明理由以加深印象, 熟练后可以不写. 由于等值演算法证明具有较强的技巧性, 平时应注意总结心得. 二. 求下列公式的主析取范式与主合取范式(等值演算法与用成真赋值或成假赋值求解都至少使用一次): 1. 2. 3. 4. 1. (¬p→q)→(¬q∨p) 解 (¬p→q)→(¬q∨p)
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答 第二章谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 T(x):x是火车， C(x):x是汽车， F(x,y):x比y跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为?x(T(x)??y(C(y)?F(x,y)))。 (2) 取 论域为所有物质的集合。令 M(x):x是金属， L(x):x是液体， D(x,y):x可以溶解在y中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。(3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为 ?x(M(x)??y(L(y)?D(x,y)))。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 M(x):x是人， J(x):x是职业， L(x,y):x喜欢y。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为?x(M(x)??y(J(y)?L(x,y))) (5)论域 和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为 ?x(J(x)??y(M(y)?L(y,x)))。 2. 取论域为正整数集，用函数?（加法），?（乘法）和谓词?，?将下列命题符号化：(1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没 有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。解先引进一些谓词如下： D(x,y):x能被y整除，D(x,y)可表示为?v(v?y?x)。 J(x):x是奇数，J(x)可表示为??v(v?2?x)。 E(x):x是偶数，E(x)可表示为?v(v?2?x)。
离散数学 第二章练习题答案
一、 选择题 1．下列四个公式正确的是 ①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀ ③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃ A.①③ B.①④ C.③④ D.②④ 2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( ) (A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C ) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q 3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ） (A ) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式 4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( ) (A ) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y (C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x 5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( ) (A) ()()P x S x ∧ (B ) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨ (C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨ 6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( ) (A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B ) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃ (C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀ 7.下列各式不正确的是( ) (A ) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀ (B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀ (C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃ (D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧
离散数学 第2章习题答案
第2章习题答案 1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。 (2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。 (3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。 (4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为： ∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。 (5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。 (6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。 (7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。 (8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。 (9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。 (10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。 2. 解 (1)符号化为：∀y(E(1，y)→∀x P(x，y，x))。 (2)符号化为：∀x∀y(⌝P(x，y，0)→(⌝E(x，0)∧⌝E(0，y)))。 (3)符号化为：∀x∀y(⌝P(x，y，0)→(E(x，0)∧E(0，y)))。 (4)符号化为：∀x∀y(((E(x，y)∨G(y，x))∧((E(x，y)∨G(x，y)))→ E(x，y))。 3. 解 (1)存在x，x是偶数，且x整除6。 (2)对任意x，如果x是奇数，则对任意y，若y是素数，则x不整除y。 (3)对任意x，如果x不是偶数，则2不整除x。 (4)对任意x，如果x是偶数，则对任意y，若x整除y，则y是偶数。 4.解 (1)在公式∀x(P(x)∧∃xQ(x))∨(∀x(P(x)→Q(x))中，第一次出现的∀x的辖域为P(x)∧∃xQ(x)，∃x的辖域为Q(x)，而第二次出现的∀x的辖域为P(x)→Q(x)。公式中只出现了变元x，所有x 都是约束变元。 (2)在公式∀x(P(x，y)∧∃yQ(y))∧(∀xR(x)→Q(x))中，第一次出现的∀x的辖域为P(x，y)∧∃yQ(y)，而第二次出现的∀x的辖域为R(x)，∃y的辖域为Q(y)。P(x，y)中的y是自由变元，x是约束变元。Q(y)
离散数学第四版课后答案(第2章)
离散数学课后答案 第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 F:) x (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F x→ ∀. )) G ( (x ) ( (2)令x (为人. x F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 G x F x→ ⌝∀ (x )) ( ) ( 或者 x F x⌝ ∧ ∃ (x G )) ( ( ) (3)令x F:) (为人. x G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ∃. G x∧ (x ( )) ) ( (4) x (为人. x F:) G:) (爱看电视. x x 命题符号化为 F x⌝ ⌝∃. x ∧ (x )) ( ) G ( 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个
休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的)(x F 都是特性谓词。 2° 初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 ))()((x G x F x ∧∀ 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ∀ 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ∃ 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。
自考离散数学第二章答案
习题2.1答案 (从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表) https://www.360docs.net/doc/0319505006.html, 1、用谓词表达式写出下列命题 a)小张不是研究生； 解：设A(x)：x是研究生； a:小张； |A(a)。 b)他是跳高或篮球运动员； 解： 设A(x):x是跳高运动员； B(x):x是篮球运动员； a: 他； A(a)∨B(a) 。 c)晓莉非常聪明和能干； 解：设 A(x):x非常聪明； B(x):x能干； l: 晓莉； A(l)∧B(l)
d)若m是奇数则2m是偶数 解：设 A(x): x是奇数 B(y):y是偶数 m:某数 A(m)→ B(2m) 2、将下列命题符号化并要分析到个体词及谓词 a)长江流经四川省； 解：B(x,y):x流经y； a:长江 b:四川省 B(a,b)。 个体词：长江、四川省谓词：流经 b)这架新式歼击机击沉了那艘老式快艇 解：设A(x,y):x击沉了y a:新式歼击机 b:老式快艇 A(a,b). 个体词：歼击机、快艇谓词：击沉 3、用谓词表达式符号化下列命题。 那位戴眼镜穿西服的大学生在看一本英文杂志。
解：设： A(x): x戴眼镜； B(x): x穿西服； C(x): x在看英文杂志； a: 那位大学生 A(a)∧B(a)∧C(a) 这个表达式的含义就是一个陈述句： 那位大学生戴眼镜且那位大学生穿西服且那位大学生在看英文杂志。 个体词是：那位大学生。谓词有：戴眼镜、穿西服、在看英文杂志。 2.2习题答案 (从本章起，习题答案由jhju提供，晓津补充。如有问题或不同意见，欢迎到分课论坛发表) https://www.360docs.net/doc/0319505006.html, 题号：123456 1、对下列公式指出约束变元和自由变元，并指明量词的辖域。 a,(x)(P(x)—→Q(x))∧(x)R(x,y)； (x)的指导变元是x,其辖域是(P(x)—→Q(x)) (x)的指导变元是x,其辖域是R(x,y) 对于(x)来说，x是约束出现，y则是自由出现。
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
第二章谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： <1>所有的火车都比某些汽车快. <2>任何金属都可以溶解在某种液体中. <3>至少有一种金属可以溶解在所有液体中. <4>每个人都有自己喜欢的职业. <5>有些职业是所有的人都喜欢的. 解<1>取论域为所有交通工具的集合.令 x x T :)(是火车,x x C :)(是汽车,x y x F :),(比y 跑得快. "所有的火车都比某些汽车快〞可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀. <2>取论域为所有物质的集合.令 x x M :)(是金属,x x L :)(是液体,x y x D :),(可以溶解在y 中. "任何金属都可以溶解在某种液体中〞可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀. <3>论域和谓词与<2>同."至少有一种金属可以溶解在所有液体中〞可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃. <4>取论域为所有事物的集合.令 x x M :)(是人,x x J :)(是职业,x y x L :),(喜欢y . "每个人都有自己喜欢的职业〞可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀ <5>论域和谓词与<4>同."有些职业是所有的人都喜欢的〞可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃. 2.取论域为正整数集,用函数+〔加法〕,•〔乘法〕和谓词<,=将下列命题符号化： <1>没有既是奇数,又是偶数的正整数. <2>任何两个正整数都有最小公倍数. <3>没有最大的素数. <4>并非所有的素数都不是偶数. 解先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除,),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃. x x J :)(是奇数,)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃. x x E :)(是偶数,)(x E 可表示为)2(x v v =•∃.
离散数学答案第二版-高等教育出版社课后答案
第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0 （2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0. （3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0 (4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(⌝q→⌝p) （5）(p∧r) ↔(⌝p∧⌝q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p (p→q)→(⌝q→⌝p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案
3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ⌝(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)⇔(⌝p∨(p∨q))∨(⌝p∨r)⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)⇔(p→(q∧r)) (4)(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨q) ∧⌝(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ⇔ (⌝p∨q)∧(⌝p∨r) ⇔⌝p∨(q∧r)) ⇔p→(q∧r) （4）(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)⇔(p∨(⌝p∧q)) ∧(⌝q∨(⌝p∧q) ⇔(p∨⌝p)∧(p∨q)∧(⌝q∨⌝p) ∧(⌝q∨q) ⇔1∧(p∨q)∧⌝(p∧q)∧1 ⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(⌝p→q)→(⌝q∨p) (2)⌝(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)
湖南大学离散数学第二章习题一解答
第二章习题一 1、指出下列公式∀x∃y(F(x,y)∧G(y,z)) ∨∃xH(x,y,z) 中的指导变元，量词的辖域，各个体变项的自由出现和约束出现。 解：全称量词的指导变元为x，第一个存在量词的指导变元为y，第二个存在量词的指导变元为x。前两量词的辖域到析取符前，第三个量词从析取符到最后为止。 在∀x∃y(F(x,y) ∧G(y,z)) 中约束变元为x 与y，自由变元为z。 在∃xH(x,y,z) 中的约束变元为x，自由变元为y,z 。 2、给定解释I 如下： (a) 个体域为实数集R； (b) 特定元素a=0； (c) 函数f(x,y)=x-y，x 与y 为实数。 (d) 谓词F(x,y)为x=y，G(x,y)为x 第二章 命题逻辑 习题2.11．解 ⑪不是陈述句，所以不是命题。 ⑫x 取值不确定，所以不是命题。 ⑬问句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑭惊叹句，不是陈述句，所以不是命题。 ⑮是命题，真值由具体情况确定。 ⑯是命题，真值由具体情况确定。 ⑰是真命题。 ⑱是悖论，所以不是命题。 ⑲是假命题。 2．解 ⑪是复合命题。设p ：他们明天去百货公司；q ：他们后天去百货公司。命题符号化为q p ∨。 ⑫是疑问句，所以不是命题。 ⑬是悖论，所以不是命题。 ⑭是原子命题。 ⑮是复合命题。设p ：王海在学习；q ：李春在学习。命题符号化为p ∧q 。 ⑯是复合命题。设p ：你努力学习；q ：你一定能取得优异成绩。p →q 。 ⑰不是命题。 ⑱不是命题 ⑲。是复合命题。设p ：王海是女孩子。命题符号化为：⌝p 。 3．解 ⑪如果李春迟到了，那么他错过考试。 ⑫要么李春迟到了，要么李春错过了考试，要么李春通过了考试。 ⑬李春错过考试当且仅当他迟到了。 ⑭如果李春迟到了并且错过了考试，那么他没有通过考试。 4．解 ⑪⌝p →(q ∨r )。⑫p →q 。⑬q →p 。⑭q → p 。 习题2.2 1．解 ⑪是1层公式。 ⑫不是公式。 ⑬一层： p ∨q ，⌝p 二层：⌝p ↔q 所以，)()(q p q p ↔⌝→∨是3层公式。 ⑭不是公式。 ⑮(p →q )∧⌝(⌝q ↔( q →⌝r ))是5层公式，这是因为 一层：p →q ，⌝q ，⌝r 二层：q →⌝r 三层：⌝q ↔( q →⌝r ) 四层：⌝(⌝q ↔( q →⌝r )) 2．解 ⑪A =(p ∨q )∧q 是2层公式。真值表如表2-1所示： 表2-1 ⑫p q p q A →→∧=)(是3层公式。真值表如表2-2所示： 第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧∃→∀。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧∃→∀。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →∀∧∃。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧∃→∀ (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →∀∧∃。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），•（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =•∃。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =•⌝∃。离散数学答案 第二章 命题逻辑
离散数学答案第二章习题解答