离散数学课件第二章后三节
合集下载
离散数学教程PPT课件
A＝B C或A＝B C或A＝B C，则公式A是n＋1层公式， n max( i, j)。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
例（1）p q r (2)r q p q p
第23页/共292页
1.2 命题公式及其赋值
( p q) r
p：2是素数，q：3是偶数，r：2是有理数 p：2是素数，q：3是偶数，r：2是无理数
例2.等值等价式p q p q q p
等值演算的应用： 1.验证等值式 ( p q) ( p r) p (q r) 2.判定公式的类型 ( p q) p q,( p ( p q)) r, p ((( p q) p) q) 3.解决工作生活中的判断问题
甲、已、丙3人根据口音对王教授是哪人进行了判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人 已说：王教授不是上海人，是苏州人 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人
例：1.如果3＋3＝6，那么雪是白的。 2.除非我能工作完成了，我才去看电影。 3.只要天下雨，我就回家。 4.我回家仅当天下雨。 p→q的逻辑关系为q是p的必要条件或p是q的充分条件。
第15页/共292页
1.1 命题和命题联结词
5).等价词 由命题p、q和 组成的复合命题记作p q,读作“p当且仅当q”。 是自然语言中的“充要条件”，“当且仅当”的逻辑抽象。
1.3 命题公式的等值式
定义1.设A和B是两个命题公式，若A B为重言式， 则称公式A, B是等值的公式，记作A B。
例1.证明（p q) (q p); p p p.
注意： 和 的区别 是公式间的关系符号，如：p q 是命题联结词.p q
第28页/共292页
1.3 命题公式的等值式
1.1 命题和命题联结词
例：1）海洋的面积比陆地的面积大。 例 q2:）： 22p6:6海 9洋 9。 。的面积比陆地的面积大。 r3:）火火星星上上有有生生命命。。 s4:）三三角角形形的的内内角角和和等等于 于118800。 。 55））你你喜 喜欢 欢数学吗吗？？ 66））我我们 们要 要努 努力力学学习习。。 77））啊啊， ，我 我的 的天天哪哪！！ 88））我我正 正在 在说 说谎 谎。。
离散数学PPT课件
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
《离散数学课件》谓词逻辑
A(a, H(b)) →F(a,b)
非一阶谓词 26/44
例3 符号化：我送他这本书。
解：令 A(e1，e2，e3)表示“e1送e3给e2”； B(e)表示“e为书”； a表示“我”； b表示“他”； c表示“这”；
则原句译为： A(a，b，c) B(c)
27/44
例4 符号化：这只大红书柜摆满了那些古书。
32/66
例 计算机学院的有些老师是青年教师
解： 设 C(e)表示e为计算机学院的人； T(e)表示e为教师; Y(e)表示e为青年.
则原句译为：
x(C(x)T(x) Y(x))
此例中：x就取值于全总个体域U， 谓词C(x)限定x取值范围。
33/66
例 个体域I为人类集合,将下列命题符号化:
(1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。
21/44
一元谓词变元
A(x)
其中x为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x具有性质A。 注意：x，A分别在两个域上变化。
22/44
二元谓词变元
A(x，y)
其中x, y为变量符号项、A为谓词变元。 此式表示x和y具有关系A。 注意：x，y，A分别在三个域上变化。
23/44
二、谓词语句的符号化
例1 将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶
1A(e)如下图所示: e A1 A2 a TF
2 谓词数目：
14/44
个体域{a，b}上的一元谓词
A(e)如下图所示: e A1 A2 A3 A4 a TFTF b TTFF
22
谓词数目：
15/44
个体域{a，b，c}上的一元谓词
A(e)如下图所示:
e A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
广东工业大学《离散数学》课件 PPT 第2章 计数问题
设A1, A2, …, An是任意n个有限集合，
n
An Ai Ai A j Ai A j A k
i 1
i j
i jk
(1)n1 A1 A 2
An 。
推论2.4.6 设U为全集，A1, A2, …, An是任意n个 有限集合，则
m
A1 A 2 A n S A i A i A j A i A j A k
i 1
i j
i j k
(1)n A1 A 2 A n 。
2021/5/4
习题
第37页 22.
2021/5/4
http://202.115.21.136:8080/lssx/
2021/5/4
例2.4.2 解
设A、B、C分别表示选修数学课程，计算机课程 和商贸课程的人构成的集合，
则三种课程都不选的学生集合为 A B C，只选修计 算机科学课程学生的集合为 A B C 。
2021/5/4
U B
A C
图2.4.2
例2.4.2 解（续）
（1）∵|U|=260, |A|=64, |B|=94, |C|=58,| A∩C|=28 ,|A∩B|=26 ,|B∩C|=22,
|A∩B ∩ C|=14，所以利用容斥原理得 A B C U ( A B C) ( A B A C B C) A B C =106;
（2）A B C B A B B C A B C 94 26 22 14 60
2021/5/4
容斥原理的推广
定理2.4.5 则
A1 A2
离散数学
Discrete mathematics
任课教师：朱鉴 计算机学院 广东工业大学
2021年5月4日星期二
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对，主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法：列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题：可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词：与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章：图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章：组合数学4.1 排列与组合排列：从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合：从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数：求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理：解决计数问题时，通过加减来排除某些情况。
第五章：命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算：联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广，引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构：个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章：组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素，构成满足特定条件的组合。
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(5) 个量词的等值式
公式中多个量词的出现次序关系到命题的含义,不能随意交换.
例如 ∀x∃y A(x,y): 对任意x ,都存在y, 使得A成立. y 的值依赖于x .
∃y∀xA (x,y) : 存在着y, 对所有的x 都有A成立. y 的值独立于x .
例 (∀x) (∃y)(x+y=0) 为真命题 , (∃y) (∀x)(x+y=0) 为假命题
(1). ¬∀xP(x) (2). ∃x¬P(x) (3). ¬ P(c))
附加前提证明法 也可用归谬法
(4). ∀x(P(x)∨Q(x))
(5). P(c)∨Q(c)
(6). Q(c))
(7). ∃xQ(x)
5
四、几个推理定律
1、∀xA(x)∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x)∨B(x)) 2、∃x(A(x)∧B(x)) ⇒∃xA(x)∧ ∃xB(x) 3、∀x(A(x) → B(x)) ⇒ ∀xA(x) → ∀xB(x) 4、 ∀x(A(x) → B(x)) ⇒ ∃xA(x) → ∃ xB(x) 5、∃ y∀xP(x, y) ⇒ ∀x∃yP(x, y)
结论： ∀x（S(x)→¬ Q(x) ∧ ¬ P(x) ）
• 例6：每个一年级学生至少有一个高年级 学生作他的辅导员。凡理科生的辅导员皆 是理科生。小王是理科一年级学生。因 此，至少有一个理科高年级学生。 设: F(x): x是一年级学生 H(x): x是高年级学生 L(x): x是理科生 G(x,y): x是y 的辅导员 a:小王
2、全称量词引入规则（UG）
A(y) ⇒ ∀xA(x) 1）y在A(y)中自由出现，y取个体域中任何值A(y)均真
2）x不能在A(y)中约束出现
3、存在量词消去规则（EI） ∃xA(x) ⇒ A(c)
1）A(x)中除了x 之外，不能含有其他的自由变元。
2）c 是特定的新常元
4
4、存在量词引入规则（EG） A(c) ⇒ ∃xA(x) 1）x不能已在A(c)中出现过
(3)F(a)
UG
(4)F(a) →G(a) ES
(5)G(a)
EG
(6)(∃x)G(x)
EG
(2) 前提： ∀x∃yP(x, y)
结论： ∃ y∀xP(x, y)
1） ∀x∃yP(x, y) 2） ∃yP(x, y)
∃yA(y) ⇒ A(c) A(y)中除了y 之外，不能含
有其他的自由变元
3） P(x, a) × 4） ∀xP(x, a)
∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x) ∃对∨满足分配律
× ∀x(A(x)∨B(x)) ⇔ ∀xA(x)∨ ∀xB(x) ? × ∃x(A(x)∧B(x)) ⇔ ∃xA(x)∧ ∃xB(x) ?
例 D:整数集合, A(x): x是偶数, B(x): x是奇数
∃xA(x)∧∃xB(x) (1) ∃x(A(x)∧B(x)) (0) ∀x(A(x)∨B(x)) (1) ∀xA(x)∨ ∀xB(x) (0) ∀xA(x)∨ ∀xB(x) ⇒ ∀x(A(x)∨B(x)) ∃x(A(x)∧B(x)) ⇒ ∃xA(x)∧ ∃xB(x) （后祥）
结论：∃x(L(x) ∧F(x))
1) L(a) ∧F(a)
2) L(a) 3) ∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y))) 4) L(a)→ ∀y(G(y, a) →L(y)) 5) ∀y(G(y, a) →L(y)) 6) F(a) 7) ∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x))) 8) F(a)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, a))
前提：∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x))) ∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y)))
L(a) ∧F(a)
结论： ∃x(L(x) ∧F(x))
前提：∀x(F(x)→ ∃y(H(y) ∧ G(y, x)))
∀x(L(x)→ ∀y(G(y, x) →L(y))) , L(a) ∧F(a)
例2
证明 ∀x (¬F(x) ∧G(x)) ⇔ ¬ (∀x G(x)→ ∃ x F(x))
右式⇔ ¬ (¬ ∀x G(x) ∨∃ x F(x)) ⇔ ¬ (¬ ∀x G(x) ∨∃ x F(x)) ⇔ ∀x G(x) ∧ ¬ ∃ x F(x) ⇔ ∀x G(x) ∧ ∀ x ¬ F(x) ⇔ ∀x (¬ F(x) ∧ G(x))
2
例3
证明 ∃x ∃y(A(x)→B(y)) ⇔ ∀xA(x)→∃yB(y) 左边 ⇔ ∃x (A(x)→ ∃ yB(y)) ⇔ ∀ x A(x)→ ∃ yB(y)
练习
证明 ∀x ∃y(P(x)→Q(y)) ⇔ ∃y∀x(P(x) →Q(y))
2.4 前束范式
定义 一个公式,如果量词均在全式的开头,它们的作用域, 延伸到整个公式的末尾,则该公式叫做前束范式。 前束范式简记为:
5） ∃ y∀xP(x, y)
∃ y∀xP(x, y) ⇒ ∀x∃yP(x, y)
例证3 明 ∀x(C(x)→W(x)∧R(x) ) ∧ ∃x(C(x)∧ Q(x)) ⇒ ∃x(Q(x) ∧R(x))
证明
(1). ∃x(C(x)∧Q(x))
(2). C(a) ∧ Q(a )
(3). C(a)
(4). Q(a)
• 构造实际问题的推理 例5：所有的有理数都是实数。所有的无理数 也都是实数。虚数不是实数，因此虚数既不 是有理数也不是无理数。
设: R(x): x是实数 Q(x): x是有理数 P(x): x是无理数 S(x): x是虚数
前提：∀x（Q(x)→ R(x)）， ∀x（P(x)→ R(x)）
∀x（S(x)→¬ R(x)）
(3) 量词辖域的扩张与收缩等值式
∀x (A(x) → B) ⇔ ∃xA(x) →B ∀x( B →A(x) )⇔ B→ ∀xA(x) ∃x(A(x) → B) ⇔ ∀xA(x)→B ∃x(B →A(x)) ⇔ B → ∃ x A(x)
1
(4) 量词分配等值式
∀对∧满足分配律
∀x(A(x) ∧B(x)) ⇔∀xA(x) ∧ ∀xB(x)
y = -x
全称量词之间可交换,存在量词之间可交换.
∀x∀yA(x,y) ⇔∀ y∀ xA(x,y) ∃x∃ yA(x,y) ⇔ ∃ y∃xA(x,y)
例1 证明 ∃x(A(x)→B(x)) ⇔ ∀xA(x)→∃xB(x)
右式 ⇔¬∀xA(x)∨ ∃xB(x) ⇔∃x¬A(x) ∨ ∃xB(x) ⇔∃x(¬A(x) ∨ B(x) ) ⇔∃x (A(x) → B(x) )
(2) 量词否定等值式
¬∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x)
¬∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x)
例 设 P(x) : x今天来校上课, DI:学生 则 ¬P(x)表示: x今天没来校上课 “并非所有人今天来校上课” ¬∀xP(x) 等价 “有人今天没来校上课” ∃x¬P(x) “ 没有人今天来校上课” ¬∃x P(x) 等价 “所有人今天都没来校上课” ∀x¬P(x)
练习 前提: ∀x (F(x)→G(x) ), ∃xF(x) 结论: ∃xG(x)
(1)(∀x) (F(x)→G(x) ) (2)(∃x)F(x) (3)F(a) →G(a), (4)F(a)
不是新常元
(5)G(a)
(6)(∃x)G(x)
(1)(∀x) (F(x)→G(x) )
(2)(∃x)F(x)
二、每个等值式可生成两个推理定律 三、量词的填加和消去
1、全称量词消去规则（UI）
∀xA(x) ⇒ A(c) ∀xA(x) ⇒ A(y)
A(x) : 任意以x为自由变元的一阶公式 c : 任意个体常元
y : 个体变元，但在A(x)中不能约束出现
例1
证明苏格拉底三段论 : 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的
(3) 量词辖域的扩张与收缩等值式 ∀x ( A(x) ∨ B) ⇔ ∀xA(x) ∨ B ∀x ( A(x) ∧ B) ⇔ ∀xA(x) ∧ B ∃ x ( A(x) ∨ B) ⇔ ∃ xA(x) ∨ B ∃ x ( A(x) ∧ B) ⇔ ∃ xA(x) ∧ B
注：A(x) :任意以x为自由变元的一阶公式。 B：不含x为自由变元的一阶公式
(□x1)(□x2)...(□xn) A
∀或∃ 指导变元 母式(不含量词)
例如 ∀x∀y∃z(Q(x,y)→ R(z)) √
Q(x,y)→ R(z)
√
∀xP(x)∨ Q(x)
×
注 任一谓词公式,均有前束范式与之等值.（不唯一）
化前束范式的方法
(1).将公式中的连接词化为∧,∨,¬.(非必须) (2).利用否定律,德.摩根律,及量词转化律,将否
2.3 等值演算
一.等值与推出 定义 设A,B是公式,若A↔B是永真式,则称 A,B等价.记作A⇔B.
定义 设A,B是公式,若A→B是永真式,则称 A蕴含B.记作A⇒B. A⇔B 当且仅当 A ⇒ B且B ⇒ A
二.常用等值式 1 命题公式的推广 命题逻辑等值式的代换实例是一阶逻辑等值式
例如 P→Q ⇔ ¬P∨Q 用 ∀xP(x) 代替 P; ∃xQ(x) 代替 Q 得到: ∀xP(x)→∃xQ(x)⇔¬∀xP(x)∨∃xQ(x) ∀x(P(x)∧Q(x))→∃xR(x)
10) H(b) ∧ G(b, a) 11) G(b, a)
12) G(b, a) →L(b)
13) L(b) 14) H(b)
15) H(b) ∧ L(b)
16) ∃x(L(x) ∧F(x))
9) ∃y(H(y) ∧ G(y, a))
6
(5). ∀x(C(x)→W(x)∧R(x) )
(6). C(a)→W(a)∧R(a)