复数的加法与减法
复数的运算法则
复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。
下面将详细介绍复数的运算法则。
一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。
则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。
这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。
了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
复数的四则运算公式
复数的四则运算公式复数是数学中的一个概念，它可以表示为实部与虚部的和。
在复数的四则运算中，包括加法、减法、乘法和除法。
下面将分别介绍这四种运算。
一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的加法可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。
二、复数的减法复数的减法是指将两个复数相减的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的减法可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。
三、复数的乘法复数的乘法是指将两个复数相乘的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的乘法可以表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即实部相乘减虚部相乘，并将结果相加。
四、复数的除法复数的除法是指将两个复数相除的操作。
假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。
则两个复数的除法可以表示为：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)÷(c^2+d^2)] + [(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i即将实部和虚部分别除以除数的实部和虚部的平方和。
通过以上介绍，我们了解了复数的四则运算公式。
在实际应用中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理等领域。
对于复数的运算要求掌握加减法的运算规则，以及乘法和除法的计算方法。
复数的四则运算在解决实际问题中起到了重要的作用，对于深入理解复数的概念和应用具有重要意义。
因此，掌握复数的四则运算公式对于数学学习和实际应用都是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者能够对复数的四则运算有更深入的了解，并能够熟练运用于实际问题的解决中。
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的加减法运算
例：已知复数 z = x + yi ( x , y ∈ R )满足 | z − ( −1 + 3 i ) |= 1, y (1)求 | z | 的范围 （2)求 的范围 x (1 ) z 对应的点表示以 ( − 1, 3 )为圆心， 为半径的圆 为圆心， 1
| z | 表示该圆上一点与原点 的距离
∴ 整理得：( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 整理得：
∴ 轨迹是以 (1, − 1)为圆心， 2为半径的圆 为圆心，
复数的减法运算： 复数的减法运算：
如果两个复数 z1 = a + bi ， z 2 = c + di (a , b, c , d ∈ R )
则定义： 则定义： z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
∴ Re( x ) = ± 1
且 xy = | x | ⇒ Im( x ) = ± | x | − (Re( x )) = ± 1
2 2 2
∴ x = 1 + i , y = 1 − i或 x = 1 − i , y = 1 + i 或 x = − 1 + i , y = − 1 − i或 x = − 1 − i , y = − 1 + i
5 − 4 a ∈ [1 , 3 ]
5 − 4a
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
∵ a ∈ [ − 1,1] ⇒
法二： 法二：几何法
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
( 2,0 )
法三： 法三：利用 | z 1 | − | z 2 |≤ | z 1 ± z 2 |≤ | z 1 | + | z 2 | ∴|| z | − 2 |≤ | z − 2 |≤ | z | + 2 ∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
复数的加减法及其几何意义
复数的加减法及其几何意义一、复数的加减法1. 复数的定义- 设z = a+bi，其中a,b∈ R，a称为复数z的实部，记作Re(z)=a；b称为复数z的虚部，记作Im(z) = b。
- 例如，z = 3 + 2i，实部a = 3，虚部b=2。
2. 复数的加法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}+z_{2}=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1 - 2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3-2)i=3 + i。
3. 复数的减法法则- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，则z_{1}-z_{2}=(a_{1}-a_{2})+(b_{1}-b_{2})i。
- 例如，若z_{1}=4+5i，z_{2}=2 + 3i，则z_{1}-z_{2}=(4 - 2)+(5 -3)i=2+2i。
二、复数加减法的几何意义1. 复数的几何表示- 在复平面内，复数z = a+bi可以用点Z(a,b)来表示，也可以用向量→OZ来表示，其中O为坐标原点。
- 例如，复数z = 3+2i对应的点为(3,2)，对应的向量→OZ，起点为O(0,0)，终点为Z(3,2)。
2. 复数加法的几何意义- 设z_{1}=a_{1}+b_{1}i，z_{2}=a_{2}+b_{2}i，它们对应的向量分别为→OZ_{1}和→OZ_{2}。
- 那么z_{1}+z_{2}对应的向量为→OZ_{1}+→OZ_{2}，即平行四边形法则：以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边作平行四边形，则对角线→OZ对应的复数就是z_{1}+z_{2}。
- 例如，z_{1}=2 + i，z_{2}=1+2i，→OZ_{1}=(2,1)，→OZ_{2}=(1,2)，以→OZ_{1}和→OZ_{2}为邻边的平行四边形的对角线向量→OZ=→OZ_{1}+→OZ_{2}=(3,3)，对应的复数z_{1}+z_{2}=3 + 3i。
复数的加法与减法
的取值范围是[0,2].
二、复数加减法的几何意义：
1.复数的加法可以按向量的加法法则进行, 即遵循平行四边形法则. 2.两个复数的差z1-z2(即OZ1-OZ2)与连结 两个向量终点并指向被减数的向量对应. 3.两点间的距离公式 (1)设复数z1、z2在复平面内对应的点分别为Z1、Z2, 则Z1、Z2两点间的距离公式为d=|z1-z2|. (2)以复数p的对应点为圆心,r为半径的圆的方程为: |z-p|=r.
故z+3-4i的对应点的轨迹是以3-4i的对应点为圆心, 2为半径的圆.
三、小结：
1.复数加、减法的运算法则是复数集中最基本的运算, 可结合多项式运算记忆法则,运算过程中应善于利用 共轭复数及模的概念与性质,以达到化繁为简的目的. 2.复数的模及其运算的几何意义是复数问题几何化的 保证,必须熟练把握. 3.复数轨迹问题的求法有二: (1)设轨迹上任一点,对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),把 问题转化为解析几何中的求轨迹问题. (2)直接建立轨迹上的点Z对应的复数z的方程,据方程 所呈现的几何特征给出轨迹形状.
(3)以复数z1、z2的对应点为端点的线段的垂直平分线 方程为:|z-z1|=|z-z2|.
(4)方程|z-z1|+|z-z2|=2a,当|z1-z2|<2a时表示以z1、z2 的对应点为焦点,2a为长轴长的椭圆; 若|z1-z2|=2a,则以z1、z2的对应点为端点的线段. (5)方程|z-z1|-|z-z2|= 2a,当|z1-z2|>2a时表示以z1、 z2的对应点为焦点,2a为实轴长的双曲线.若|z1-z2| =2a,则表示两条射线. 4.复数模的两个重要性质:
4.根据复数差及模的几何意义可知,两复数差的模即为 其在复平面内对应的两点间距离,所以解析几何中,凡 是用距离定义的曲线,其方程都可用复数的形式来表 示,如圆、椭圆、双曲线、线段及其垂直平分线等.
复数的运算法则
复数的运算法则（加减乘除)加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1,z2,z3,有：z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).减法法则复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
乘除法乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得: ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i分母有理化②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
复数的运算公式
复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。
一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。
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一、复习提问： 复习提问： ， ∈ 1、复数的概念：形如______________的数叫做复 、复数的概念：形如 a+bi (a，b∈R)的数叫做复 数，a，b分别叫做它的 实部和虚部 。 ， 分别叫做它的_____________。 分别叫做它的
2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)， b=0时 2、复数的分类：复数a+bi (a，b∈R)，当b=0时， 就是________;当b≠0时，叫做 虚数 当a=0， 就是 实数 当 时 叫做_______; ， b≠0时，叫做_______; 时 叫做 纯虚数
结论：两个复数相加（ 结论：两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚 就是把实部与实部、 部与虚部分别相加（ 部与虚部分别相加（减）。 即：（a+bi）±（c+di）=（a ±c ）+(b ±d)i ） ） （ 例1、计算（5-6i）+（ － 2 － i） － （3+4i） 、计算（ ） （ ） ） 分析：先求第1个复数与第 个复数的和， 个复数与第2个复数的和 分析：先求第 个复数与第 个复数的和，再求和 与第3个复数的差 个复数的差。 与第 个复数的差。 原式=[5+(-2)]+[(-6) + (-1)]i －(3+4i) 解：原式 = =（3-7i） － （3+4i） (3-3)+(-7-4)i = － 11i 原式=（ 又 原式 （5 －2 －3）+ (－6 －1 －4)i = － 11i ） 点评：几个复数相加（ ），可将它们的实部与实 点评：几个复数相加（减），可将它们的实部与实 虚部与虚部分别相加（ 部、虚部与虚部分别相加（减）。
点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集 点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C 中依然成立； 中依然成立；当b=0，d=0时与实数加法法则保持一 ， 时与实数加法法则保持一 体现了复数加法法则的合理性。 致，体现了复数加法法则的合理性。
2、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足 、复数的减法规定是加法的逆运算， 的复数x+yi叫做复数 叫做复数a+bi （c+di）+（x+yi）=a+bi的复数 ） （ ） 的复数 叫做复数 减去复数c+di的差，记作 （a+bi） － （c+di） 的差， 减去复数 的差 ） ） 请同学们推导复数的减法法则。 请同学们推导复数的减法法则。 事实上，由复数相等的定义， 事实上，由复数相等的定义，有： c+x=a， d+y=b ， 由此， c， 由此，得 x=a － c， y=b － d 所以 x+yi=(a － c)+(b － d)i 即：（a+bi） － （c+di）= (a － c)+(b － d)i ） ） 点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法 法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。
m2 + m 选做题：设m ∈ R, 复数z1 = + (m − 15)i, z 2 = −2 + m(m − 3)i, m+2
若z1 + z 2是虚数，求m的取值范围。
），Z 例2、已知 1=a+bi（a，b∈R）， 2=3－i，且Z1－ 、已知Z （ ， ∈ ）， ， Z2与Z3=－2+i在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称， 在复平面内对应的点关于原点对称 试求a，b的值。 试求 ， 的值。 的值 思考：1、两个复数Z1 －Z2、Z3在复平面对应的点 思考： 、两个复数 分别是什么？ 分别是什么？ 2、这两点的坐标有什么关系？ 、这两点的坐标有什么关系？ 分析：先求出Z 分析：先求出Z1 －Z2=(a+bi) －(3－i)=(a －3)+(b+1)i 可用点（ 所以 Z1 －Z2可用点（ a －3，b+1）表示，又Z3可 ， ）表示， 用点（ －2，1）表示，这两点关于原点对称， 用点（ ， ）表示，这两点关于原点对称， a－3=2 a=5 ∴ b+1= －1 b= －2
3 4i － 则x=_______ y=_______ 2
8.设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,y∈R),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2 解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i ∴(3+x)+(2-y)i=5-6i 3+x=5, ∴ 2-y=-6. x=2 ∴ y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
三、练习： 1 .(2+4i)+(3-4i) =(2+3)+(4-4)i =5 2. 5-(3+2i) =(5-3)+(0-2)i =2-2i 3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i) =(-3+2-1)+(-4+1+5)i = -2+2i 4.(2-i)-(2+3i)+4i =(2-2+0)+(-1-3+4)i =0 5.(3+5i)+(3-4i) =(3+3)+(5-4)i=6+i 6.(-3+2i)-(4-5i) =(-3-4)+[2-(-5)]i= -7+7i 7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i) =(5-2-3)+设Z1，Z2，Z3∈C，试验证：Z1+Z2=Z2+Z1 思考： ，试验证： (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)是否成立？ 是否成立？ 是否成立 验证： 验证：设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1， ， ， ， a2，a3，b1，b2，b3∈R) ， 则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i （ ， （ 显然 同理可得 Z1+Z2=Z2+Z1 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)
四、归纳小结： 归纳小结： 1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚 、若干个复数相加（ ），可以将它们的实部与虚 部分别相加（ ），复数的加 复数的加（ 部分别相加（减），复数的加（减）与多项式加 法是类似的。 （减）法是类似的。 2、复数的减法法则的推导是利用两复数相等来完 、 成的，渗透了转化的数学思想。 成的，渗透了转化的数学思想。
三、课堂练习 －2+2i 1、计算：（ ）(－ 3 －4i)+(2+i) －(1 －5i)=___________ ：（1） 、计算：（ （2） ( 3 －2i) －(2+i) －(________)=1+6i ） －9i 2、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x －1)+i=y －(3 －y)i 、已知 ∈ ， 为纯虚数 为纯虚数， 分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（ 分析：依题意设 （ ∈ ），则原式变为：（ 3、已知复数Z1= －2+i，Z2=4），则原式变为2对应 、已知复数 ， ，试求 －2i，试求Z1+Z：（2x 3 －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a。 3)i 的点关于虚轴对称点的复数。 的点关于虚轴对称点的复数 － x=－ 2x －1= －a 2 分析：先求出Z 分析：先求出 1+Z2=2 －i，所以 1+Z2在复平面内对应 ，所以Z 4、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为 1， 、复平面内关于原点对称的两点对应的复数为Z 由复数相等得 的点是(2， 1+i=Z2a －3=1 Z1和Z2。 y=4i ， 的点是 ， －1)，其关于虚轴的对称点为 －2， －1)， ， 且满足Z Z2，且满足 ，其关于虚轴的对称点为( －2，求 ， 故所求复数是－2 分析：依题意设Z1 i 分析：依题意设 －=x+yi（x，y∈R）则Z2= －x －yi， （ ， ∈ ） ， 由Z1+i=Z2 －2得：x+(y+1)i= －(x －2)+(－y)i，由复数相 得 ， 等可求得x= ， 等可求得 －1，y= －1/2
3、复数Z1=a1+b1i与Z2=a2+b2i 相等的充要条件是 、复数 与 a1=a2，b1=b2 。 _____________。
二、讲授新课： 讲授新课： 1、复数的加法法则：设Z1=a+bi，Z2=c+di 、复数的加法法则： ， (a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它 是任意两个复数， 、 、 、 ∈ 是任意两个复数 （ 们的和： a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 点评:（1）复数的加法运算法则是一种规定，规 复数的加法运算法则是一种规定， 复数的加法运算法则是一种规定 定以后就按规定进行运算。 定以后就按规定进行运算。 （2）复数的加法中规定：是实部与实部 相 ）复数的加法中规定： 加，虚部与虚部相加。很明显，两个复 虚部与虚部相加。很明显， 数的和仍 然是一个复数。对于复数的加 法可以推广到多个复数相加的情形。 法可以推广到多个复数相加的情形。