布里渊区

下面我们来说明它与布拉格定律是等价的：
由倒格子的性质我们已知，以密勒指数（hkl）为系数构成倒格矢
G hb1 kb2 lb3
垂直于密勒指数（hkl）的晶面族，而且这个晶面族的面间距为
2 d G
因此 2k G 2 可以写为 G
或者
2(2 / )sin 2 / d
一维晶格点阵的基矢为 a ai 对应的倒格子基矢为 2 b i a
离原点最近的倒格矢为 b

和 b
这些矢量的垂直平分面构成第一布里渊区，其边界为 如图2.5所示。


a
(2)二维正方格子的布里渊区 设方格子的原胞基矢为 倒格子的原胞基矢为
a1 ai
2 b1 i a
2 Gh h1b1 h2b2 (h1i h2 j ) a h1 , h2 为整数。离原点最近的四个倒格点的倒格矢分别为
2 a
b1 (h1 1, h2 0), b2 (h1 0, h2 1)
1 b1 i , 2 a
* b1 (b2 b3 ) 2(2 / a)3
。
可见，体心立方结构的倒格子是面心立方结构.
离原点最近的倒格点有12个，它们是：
2 2 i j a a
2 2 j k a a
2 2 k i a a
这十二个倒格矢的中垂面围成的 区域就是第一布里渊区， 如图2.7所示是一个十二面体。
本节思路：在分析散射振幅的基础上，介绍原子的结构因子和形状因 子，给出几种晶体衍射消光的条件。
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
1、振幅的表示 （express of amplitude）
考虑如图所示的X射线被固体散射的情况，入射平面波 波矢为
k
，散射平面波
e
ik ' r ，波矢为
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude） 二、结构基元的傅立叶分析 （Scattering from a lattice with basis） 三、原子形状因子（atomic form factor）
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域 数目是多少，各布区的面积是相等的。
（3）简单立方格子的布里渊区 简单立方格子的倒格子仍然是简立方，离原点最近 的有六个倒格点，第一布里渊区就是原点和这六个近邻 的格点连线的垂直平分面围成的立方体。
由
有
k G
2 2 2 k ' (G k ) 0 G 2k G
也应是一个倒格矢，
（2.3.1）
因为 G 是一个倒格矢， G 用 G 替代 G ， 有
2 2k G G
（2.3.2）
（2.3.2）式就是散射条件，它是布拉格定律的另一种表 示形式。
原胞体积为
a a3 (i j ) 2
a1 (a2 பைடு நூலகம்3 ) a 3 / 4
2 2 b1 (a2 a3 ) (i j k ) a
倒格子原胞基矢为：
2 2 b2 (a3 a1 ) (i j k ) a
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区 对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a a1 (i j k ) 2
原胞体积为
a1 (a2 a3 ) a 3 / 2
a a2 (i j k ) 2
a a3 (i j k ) 2
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价
我们再来看劳厄衍射条件 k R 2 m
或者
GR 2 m
提供相长干涉的散射波矢实际上就是一个倒格矢。
在实际应用中，用另外一种散射条件表示劳厄衍射条件会 更方便一些。在弹性散射中，光子的能量是守恒的， k 和 k’ 的大小相等，且有，
k 2 k '2
则三个倒格子基矢为：
2 2 b1 (a2 a3 ) ( j k) a
2 2 b2 (a3 a1 ) (k i ) a
倒格子原胞体积为
2 2 b3 (a1 a2 ) (i j ) a

a
2 ( j ) a
2 ( k ) a
它们的中垂面截去了正八面体的 6 个顶角，形成一个截角八面体， 它有八个正六边形和六个正方形，即十四面体。而截去的体积恰好是
1 2 3 ( ) 2 a
可见，这个截角以后的八面体是第一布里渊区，如图2.8所示。
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
summary Brillouin zone
The central cell in the reciprocal lattice is of special importance in the theory of solids. It is the first Brillouin zone. The first Brillouin zone is the smallest volume entirely enclosed by the planes that are perpendicular bisectors of the reciprocal lattice vectors. The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
对于三维简立方结构晶格点阵来说，其正格子基矢为
a1 ai
a2 aj
a3
a3 ak
2 b2 j a
原胞体积为
对应的倒格子基矢为
2 2 b1 (a2 a3 ) i a
2 b3 k a
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
a2 aj
2 b2 j a
离原点最近的的倒格点有四个: b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里 渊区.显然,第一布里渊区是一个 正方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 倒格矢表示为
六面体作为倒格子的周期性结构单元。 倒格子的W-S 原胞被称为第一布里渊区，它的价值和意义在
于它为方程（2.3.2）的衍射条件
2 2k G G
提供了一个生动而清晰的几何诠释，它包括了所有能在晶体上 发生布拉格反射的波的波矢 。
k
G
1 G 2
第一布里渊区
根据上面的分析，对布里渊区的每个界面，当入射波矢的端 点落在这些面上时，也必然产生反射。 下面举例说明一维、二维、三维晶格点阵的布里渊区。 （1）一维晶格的布里渊区
2 2 b3 (a1 a2 ) (i j k ) a
原胞体积为
2 a1 (a2 a3 ) 4( )3 a
因为面心立方结构的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格点有8个，它们是
b1 , b2 , b3 , (b1 b2 b3 )
第一布里渊区种典型 对称点的坐标为：
2 : (0, 0, 0) a
N: 2 1 1 ( , , 0) a 2 2
H:
2 (1, 0, 0) a
P:
2 1 1 1 ( , , ) a 2 2 2
图2.7 体心立方正格子的第一布里渊区
（5）面心立方结构晶体点阵的布里渊区 取面心立方的原胞基矢为： a a a1 ( j k ) a2 (k i ) 2 2
:
2 (0, 0, 0) a
2 X: (1, 0, 0) a
2 3 3 K: ( , , 0) a 4 4
2 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2
图2.8 面心立方正格子的第一布里渊区
3、布里渊区的性质 从上面的例子可以看出布里渊区有如下性质： （1）布里渊区的形状与晶体结构有关； （2）布里渊区的边界由倒格矢的垂直平分面构成； （3）对于给定的晶体结构，各布里渊区的形状不同，但体积都 相同，都等于倒格子的原胞体积。 其实，第一布里渊区就是倒格子空间的维格纳-赛茨原胞， 它的体积就是倒格子原胞体积。
2 其倒格矢为 (i j k ) a 它们的中垂面构成一个八面体，每一个面离原点的距离为
9 2 3 ( ) 正八面体的体积是 2 a
3 a
比倒格子的原胞体积大
1 2 3 ( ) 2 a
可见这个八面体不是第一布里渊区。
必须再考虑次紧邻的六个倒格点，倒格矢为：2 (2i )
§2.3布里渊区（Brillouin zone）
一、劳厄衍射条件和布拉格定律等价 二、布里渊区散射条件和布里渊区（Brillouin zone） 1、布里渊散射条件（Brillouin’s diffraction condition ） 2、布里渊区（Brillouin zone） 3、布里渊区的性质（properties of Brillouin zone）
2d sin
其中θ是入射光与晶面之间的夹角。
其实，定义倒格矢的整数 hkl 未必就代表实际的晶面，因为 hkl 可能包含一个公因数m ，在用 hkl 作为晶面的密勒指数时，公