2020届雅礼中学高三第3次月考试卷答案(理科数学)
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湖南省长沙市雅礼中学2020届高三数学上学期月考试题（一）理（含解析）
的 故选C.
点睛：类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理 .通过类比 推理考核研究问题的深度、思维散发情况和观察的仔细程度 .
6
5.
1 x2
x 1 x
展开式中的常数项为（
A. 35
B. 5
）
C. 5
D. 35
【答案】A
【解析】 【分析】
将二项式
1 x2
B. , 2
C. 2
【答案】A
D.
2 2
,
【解析】
【分析】
设轴截面的中心角为 ，过圆锥顶点的截面的顶角为 β ，且 β α ，由过圆锥顶点的截面中，
面积的最大值为 2 ，明确 β
能取到
，从而明确轴截面的中心角为
的范围，进而得到结
2
果.
【详解】设轴截面的中心角为 ，过圆锥顶点的截面的顶角为 β ，且 β α
即 VABC 的形状一定是直角三角形.
C 本题选择 选项.
4.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在
2 2 2 中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值 x ，这可以通过方程
即
2 1
2 2
22 21
2
a12 1 cos2
a2 2
1 cos2
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即
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sin
2
2a2 2
cos
2
2c
2
，
a2 1
sin c2
2
a 2 cos2 2 c2
sin2
1 ，因此， e2 1
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第三次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期第3次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．5【答案】A【解析】对复数进行化简变形11iz i i-==-+，11z i +=-即可得解. 由题：()11i z i +=-，()()()()11121112i i i i z i i i i ----====-++-，112z i +=-=.故选：A此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．00,0x x R e∃∈≤B ．0a b +=的充要条件是0a b ==C ．若,0x R x ∀∈>D ．若,x y R ∈，且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1 【答案】D【解析】试题分析：00,x e >∴Q A 假；0,,a b a b +=∴=-∴Q C 假；无意义，C 假，故选D. 【考点】命题的真假．3．已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较. 由题：22log 0.8log 10a =<=，0.80221b =>=，2000.80.81c <=<=，所以a c b <<. 故选：C此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4．中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c c a a >.其中正确的式子的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】D【解析】根据图形关系分析1212,a a c c >>，1122a c PF a c -==-，辨析为1221a c a c +=+平方处理，结合2212b b >即可得到离心率的关系.由图可知：1212,a a c c >>所以1122a c a c +>+，所以①不正确；在椭圆轨道Ⅰ中可得：11a c PF -=，椭圆轨道Ⅱ中可得：22PF a c =-， 所以1122a c a c -=-，所以②正确；1221a c a c +=+，同时平方得：22221212212122a c a c a c a c ++=++，所以22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即2211222122b a c b a c +=+，由图可得：2212b b >，所以122122a c a c <，2121c c a a <，所以③错误，④正确. 故选：D此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a ，b ，c 的基本关系，涉及等价变形处理离心率关系.5．函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算()221s 202in 1e ef -=⋅<+即可得出选项. ()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e ----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．168B ．98C ．108D ．88【答案】D【解析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形的面积公式计算可得答案．由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4， 底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4， ∴腰长为5，∴底面三角形的周长为5+5+6＝16， ∴几何体的表面积S ＝2×12×6×4+（5+5+6）×4＝24+64＝88． 故选：D ．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7．在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．-2 B ．-1C ．23-D ．83-【答案】B【解析】根据平面向量线性关系表示出()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，23BE AC AB =-u u u r u u u r u u u r，结合数量积的运算量即可求解.边长为2的正ABC ∆中，22cos602AB AC ︒⋅=⨯⨯=u u u r u u u r设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r23BE AE AB AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BE ⋅=u u u r u u u r ()1223AB AC AC AB ⎛⎫+- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 22121233AB AC AB AC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r 1824233⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1=-故选：B此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin C A =，则（ ）A ．a b =B ．a b <C ．a b >D ．a 与b 的大小关系不能确定【答案】C【解析】根据120C =︒，sin C A =求出sin A A ==<=30A ︒>，则30B ︒<，结合正弦定理即可得解.由题：在ABC ∆中，120C =︒，A为锐角，sin C A =，A =，sin A A ==<=所以30A ︒>，则30B ︒<， 所以,sin sin A B A B >>， 根据正弦定理a b >. 故选：C此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【解析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1， 可以表示的信息一共6264=个，该信息恰有3个0：共有3620C =个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是2056416=. 故选：A此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，根据正态分布密度曲线特征则()10.682640.15872P X ->==，所以④正确. 故选：B此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11．关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．①②D ．①③【答案】C【解析】根据()f x -判断奇偶性，结合复合函数单调性判断②，利用反证法排除③④.()()()sin cos cos sin f x x x =+，()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x -=-+-=+- ()()()sin cos cos sin x x f x =+=，所以()f x 为偶函数，①正确；()()0,,sin 0,1,cos 0,12x x x π⎛⎫∈∈∈ ⎪⎝⎭，0,,sin 2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，cos x 单调递减，()0,1,sin t t ∈单调递增，cos t 单调递减，根据复合函数单调性判断法则，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos ,cos sin y x y x ==均为减函数，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，所以②正确；假设()f x 的周期是π，必有()()0ff π=()()()0sin cos0cos sin0sin111f =+=+>， ()()()sin cos cos sin sin1cos11f πππ=+=-+<，所以()()0ff π≠，所以()f x 的周期不可能是π，所以③错误；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()()sin cos 1,cos sin 1a a ==， 则cos 2,2a k k Z ππ=+∈与[]cos 1,1a ∈-矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．30x y ±=B ．0y ±=C ．)10x y ±=D ．)10x y ±=【答案】C【解析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=， 整理得22220b ab a --=.解得1ba=所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±+.故选：C此题考查双曲线的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.二、填空题13．根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.【答案】33【解析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值. 由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值， 当50x ≤时，0.5y x =，当50x >，()150.650y x =+-，所以当输入x 为80时，输出()150.6805033y =+-=. 故答案为：33此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思. 14．已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______. 【答案】4【解析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解. 由题：()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，由二项式定理可得：012012,,n n n a C a C a C ===，()*2,n N n ∈≥02a ，1a ，2a 成等差数列，所以10222a a a =+，即10222n n n C C C =+，()1222n n n -=+， 2540n n -+=解得：4n =或1n =（舍去）， 所以4n =. 故答案为：4此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解. 15．已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 【答案】512【解析】根据非负实数a ，b 满足2a b +≤，可得有序数对(),a b 表示的区域面积，根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解. 记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为12312001115112326S x dx x=+⨯⨯=+=⎰， 因此21512S p S ==. 故答案为：512此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于x 的方程220x ax b ++=有实根得出限制条件，利用定积分准确计算面积.16．在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______.【解析】以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.根据该锥体的几何特征，考虑平面ABC 与平面BCD 绕BC 旋转而成的几何体， 其体积等价于考虑平面ABD 与平面ACD 绕AD 旋转而成的几何体， 以平面BCD 作为锥体底面，要使体积最大，平面ABC ⊥平面BCD ，设,04BC x x =<<，取BC 中点E ，连接,AE DE ，有,AE BC DE BC ⊥⊥，244x AE DE ==-根据面面垂直的性质，AE ⊥平面BCD ， 所以锥体体积()222311444164464241132A BCD x x x x x x x V -⎛⎫--=-=-+ ⎪⎝⎭=⨯ 考虑函数()()3116,0424f x x x x =-+<< ()()()()21131643432424f x x x x '=-+=+，43x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x ¢>，函数单调递增，434x ⎫∈⎪⎪⎝⎭，()0f x ¢<，函数单调递减，所以()3max4314343163163243327f x f ⎛⎛⎛ ==-+⋅= ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭163. 故答案为：327此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题17．已知正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*11n n a a S S n N =+∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L ． 【答案】（1）()*2nn a n N =∈；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >⇒12a =；当2n ≥时()122n n n n a S S a -=-=--()122n a --⇒12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列⇒()*2n n a n N =∈；（2）令12231232222n n n nT b b b L L =+++=++++，利用错位相减法求得()12222nn T n ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭．试题解析： （1）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，因此{}n a 是以12a =为首项为公比的等比数列，故()*2n n a n N =∈．（2）令12231232222n n n n T b b b L L =+++=++++， 则234111*********n n n n nT +-=+++++L ， 两式相减得23111111222222n n n nT +=++++-L ，所以()231111111222222222nn n n n T n -⎛⎫=+++++-=-+< ⎪⎝⎭L 【考点】1、数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、错位相减法. 18．如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，,P D 为球面上的两点且060DAB PAB ∠=∠=，6PD =（1）求证：平面PAB⊥平面DAB；（2）求二面角B AP D--的余弦值．【答案】（1）见解析（2）5【解析】试题分析：（1）P作PH AB⊥于点H，连HD，由勾股定理及三角形全等得PH HD⊥，根据线面垂直的判定定理得PH⊥平面ABD，进而可得结果；（2）以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APD与平面的APB一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 试题解析：（1）在PAB∆中，过P作PH AB⊥于点H，连HD．由Rt APB Rt ADB∆≅∆可知DH AB⊥，且3,1PH DH AH===，又222336PH HD PD+=+==，∴PH HD⊥．又AB HD H⋂=，∴PH⊥平面ABD，又PH⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABD．（2）由（1）可知,,HB HD HP两两垂直，故以H为原点，,,HB HD HP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，可知()()()()1,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3A B D P-．设平面APD的法向量为(),,m x y z=r，则·0·0m ADm AP⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rru u u rr，即()()()(,,3,00,,30x y zx y z⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴3030xx z⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令3x=1y z==，∴()3,1,1m=-，又平面APB 的法向量()0,1,0n r=， ∴·cos ,m n m n m n 〈〉===r r r r r r， 而二面角B AP D --与,m n 的夹角相等，因此所求的二面角B AP D --的余弦值为【方法点晴】本题主要考查利用面面垂直的判定定理以及空间向量求法向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19．已知函数()sin 1f x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （2）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.【答案】（1）10x y --=（2）()f x 在()0,π内有且仅有两个零点，证明见解析 【解析】（1）求出导函数，根据在某点处的切线方程即可得解； （2）结合函数的单调性和取值范围依据根的存在性定理讨论零点个数. （1）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（2）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<，1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x .②当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .此题考查导数的综合应用，涉及导数的几何意义，求在某点处的切线，根据导函数讨论函数单调性处理零点个数问题，综合性比较强.20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W (单位：吨)是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z (单位：元)是一个随机变量. (I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.【答案】（Ⅰ）Z 的分布列见解析，()9708E Z =；（Ⅱ）0．973．【解析】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512,{?20,0,? 0.x y W x y x y x y +≤+≤-≥≥≥（1）目标函数为10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0,?0),?(2.4,?4.8),?(6,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当 2.4,?4.8x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(7.5,?0)A B C ．将10001200z x y =+变形为，当3,?6x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=． 当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0,?0),?(3,?6),?(6,?4),?(9,?0)A B C D ． 将10001200z x y =+变形为，当6,4x y ==时，直线l ：在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=． 故最大获利y 的分布列为y8160 10200 10800 Z0．30．50．2因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-=【考点】线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布．21．已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （1）求1C ，2C 的方程；（2）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥； （ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.【答案】（1）1C 的方程为22134x y +=，2C 的方程为24x y =（2）（i ）证明见解析（ii ）7【解析】（1）根据几何特征列方程即可求解曲线方程；（2）联立直线与曲线方程，结合韦达定理处理，（i ）证明斜率之积为-1，（ii ）化简代数式根据基本不等式求解最值.（1）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=. 故1C 的方程为22134x y +=，()0,1F 为抛物线的焦点，设其方程22x py =，1,22pp == 易知2C 的方程为24x y =.（2）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k =-+，代入22134x y +=得()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t-=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增， 因此139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ， 当且仅当3t =即0k =等号成立. 故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.此题考查求曲线轨迹方程，直线与曲线的综合问题，将几何关系转化成代数关系，利用韦达定理处理与根有关的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221x y +=；直线l 的直角坐标方程为30x y -+=（2）12+ 【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化关系，极坐标方程与直角坐标方程的转化关系求解；（2）结合圆的参数方程设点的坐标和点到直线距离公式求解最值.（1）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（2）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==1≤. 等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即P ⎝⎭. 因此点P 到直线l1+. 此题考查坐标系与参数方程相关知识，涉及极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解决点到直线距离问题. 23．（1）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （2）解关于x 不等式：2323x x x x <-<. 【答案】（1）证明见解析；（2）1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据柯西不等式处理()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭即可得证； （2）根据不等式形式分析出0x <，再去绝对值解不等式. （1）a ，b ，c 均为正数，由柯西不等式有()2111a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭）（2）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.即22123231x x x x ⎧>-⎪⎨->-⎪⎩，2221032031x x x x -+>--<⎧⎪⎨⎪⎩， 23210x x -+>恒成立，只需解23210x x --<且0x <解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.此题考查不等式的证明和解不等式，考查对柯西不等式的应用，也可对乘积拆开用基本不等式求解，解含绝对值不等式，先结合题意分析绝对值内部符号，避免分类讨论.。
2020届雅礼中学高三第3次月考试卷(理科数学)含答案
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2020年湖南省雅礼中学高三1-6次月考 理科数学、文科数学(含答案)
预计去年消费金额在!$$!'$$(内的消费者今年都将会申请办理普通 会员$消费金额在 !!'$$$1#$$(内的消费 者都将会 申 请办 理银 卡会 员$消费金额在!1#$$$2"$$(内 的 消 费 者 都 将 会 申 请 办 理 金 卡 会 员! 消费者在申请办理会员时$需一次性缴清相应等级的消费金额! 该健身机构在今年 底 将 针 对 这 些 消 费 者 举 办 消 费 返 利 活 动$现 有 如 下两种预设方案# 方案!#按分层抽样 从 普 通 会 员$银 卡 会 员$金 卡 会 员 中 总 共 抽 取 #& 位-幸运之星.给予奖励#普通会员中的-幸运之星.每人奖励&$$元1 银卡会员中的-幸运之星.每人奖励'$$元1金卡会员 中的 -幸 运之 星.每人奖励"$$元! 方案##每位会员均可参加摸奖游戏$游戏规则如下#从一个装有1个 白球%#个红球!球只有颜色不同"的箱子中$有放回地摸三次球$每次 只能摸一个球!若摸到红球的总数为#$则可获得#$$元奖励金1若摸 到红球的总数为1$则可获得1$$元奖励金1其他情况不给予奖励!规 定每位普通会员均可参加!次摸奖游戏1每位银卡会员均可参加#次 摸奖游戏1每位金卡会员均可参加1次摸奖游戏!每次摸奖的结果相 互独立"! 以方案#的奖励金 的 数 学 期 望 为 依 据$请 你 预 测 哪 一 种 方 案 投 资 较 少0 并说明理由!
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2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学试题(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“存在x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是( )A. 存在x∈Z，x2+2x+m>0B. 不存在x∈Z，x2+2x+m>0C. 任意x∈Z，x2+2x+m≤0D. 任意x∈Z，x2+2x+m>02.已知集合A={ i , i2 , i3 ,i4 }(i是虚数单位)，B={ 1 , −1 }，则A∩B=( )A. { −1 }B. { 1 }C. { 1 , −1 }D. ⌀3.已知奇函数f(x)=(2x+m⋅2−x)cos x，则m=( )A. −1B. 0C. 1D. 124.已知m，l是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列可以推出α⊥β的是( )A. m⊥l,m⊂β,l⊥αB. m⊥l,α∩β=l,m⊂αC. m//l,m⊥α,l⊥βD. l⊥α,m//l,m//β5.已知函数f(x)=4cos(ωx+φ)(ω>0)图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f(−6φπ)=( )A. 0B. 2φC. 4D. φ26.已知M是圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx−ny−3m+n=0与直线l2:nx+my−3m−n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A. [3−1,23+1]B. [2−1,32+1]C. [2−1,22+1]D. [2−1,33+1]7.P是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2是C的两个焦点，PF1⋅PF2=0;点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ//PF1，且|OQ|=b.则C的离心率为( )A. 12B. 33C. 63D. 328.设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|x i∈{−1,0,1},i=1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )A. 60B. 90C. 120D. 130二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考(三)数学试题(含解析)
雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=--+⎣⎦()()()212222212221221112,4,,4k k k k k k P P x x y y k x y x y k PP ++++++⎡⎤=--=-=⎣⎦22212(sin 2cos )(cos 2sin )58sin cos 54sin21PP x x x x x x x =--+--=+=+ …()4x t t ππ=-∈Z 10151016min1014420282P P =⨯=。
2023届炎德英才大联考雅礼中学高三月考试卷(三)参考答案
炎德·英才大联考雅礼中学2023届高三月考试卷(三)数学参考答案一、单项选择题二、多项选择题三、填空题13.14 14.1.5 15.π16.2四、解答题17.【解析】(1)27sin 2cos 22cos 1249ππβββ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)∵02παβπ<<<<， ∴3444πππβ<-<，322ππαβ<+<.∴sin 04πβ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()cos 0αβ+<，∵1cos 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()4sin 5αβ+=，∴sin 43πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()3cos 5αβ+=-.∴()3143cos cos 44535315ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+--=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.18.【解析】(1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建系，则()0,0,0A ，()B ，()C ，()0,2,0D ，()0,0,3P ，∴()0,0,3AP =，()23,6,0AC =，()BD =-，∴0BD AP ⋅=，0BD AC ⋅=，∴BD AP ⊥，BD AC ⊥，PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC .(2)设平面ABD 的法向量为()0,0,1=m ，平面PBD 的法向量为(),,1x y =n ，由0BP ⋅=n ，0BD ⋅=n ，∴30,320,2x y y ⎧⎧=⎪⎪-+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩∴3,12⎫=⎪⎪⎝⎭n ， ∴1cos ,2=m n ， ∴二面角P BD A --的大小为60︒19.【解析】(1)设前三个小组的频率分别为1p ，2p ，3p ， 由条件得()21311233,22,10.0050.02010,p p p p p p p ⎧=⎪⎪⎨=⎪++=-+⨯⎪⎩ 解得：116p =，214p =，313p =， 由2115604p n n ==⇒=. (2)由(1)知一个高中生身高超过160厘米的概率为()370.0050.0201012p p =++⨯=， 由于高中生人数很多，所以X 服从二项分布，7~3,12X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3375C 1212k k k P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =，773124EX =⨯=. (3)将表中的数据代入公式()()()()()22p ad bc a b c d a c b d χ-=++++， 得到()2250181589 5.059>5.024********χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表知()2 5.0240.025P χ≥=，即说明在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.20.【解析】(1)1(0)2f =，1211224a -==+，()()()11020010n n f f f f +⎡⎤==⎣⎦+， ∴()()()()()()()()1112101101001120242020221012n n n n n n n n n n f f f f a a f f f f +++--+-====-⋅=-+++-++， ∴112n n a a +=-， ∴数列{}n a 是首项为14，公比为12-的等比数列，11142n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)21232232n n T a a a na +=+++，212321111123222222n n T a a a na ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 两式相减得：221211142311124212n n n T n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯- ⎪⎝⎭+， 22131192n n n T +⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 21.【解析】(1)设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>， 则(),0B c -，(),0D a ，(),0C c .由3BD DC =，得()3c a c a +=-，即2c a =.∴22216,124,2.AB AC a AB AC a AB AC a ⎧-=⎪+=-⎨⎪-=⎩解得1a =，∴2c =，b .∴双曲线E 的方程为2213y x -=. (2)设在x 轴上存在定点(),0G t ，使()BC GM GN λ⊥-.设直线的方程为x m ky -=，()11,M x y ，()22,N x y .由MP PN λ=，得120y y λ+=， 即12y y λ=-.① ∵()4,0BC =，()1212,GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-，∴()()12BC GM GN x t x t λλ⊥-⇔-=-.即()12ky m t ky m t λ+-=+-.②把①代入②，得 ()()121220ky y m t y y +-+=.③把x m ky -=代入2213y x -=，并整理得()()222316310k y kmy m -++-=. 其中2310k -≠且0∆>， 即213k ≠，且2231k m +>. 122631km y y k -+=-，()21223131m y y k -=-. 代入③，得()()22261603131k m km m t k k ---=--，化简得kmt k =，当1t m =时，上式恒成立. 因此，在x 轴上存在定点1,0G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使()BC GM GN λ⊥-. 22.【解析】(1)()121f x x x a'=--+， ∵0x =时，()f x 取得极值，∴()00f '=，故120100a-⨯-=+， 解得1a =.经检验1a =符合题意.(2)由1a =知()()2ln 1f x x x x =+--， 由()52f x x b =-+， 得()23ln 102x x x b +-+-=， 令()()23ln 12x x x x b ϕ=+-+-， 则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=，在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.或()()()()4511321221x x x x x x ϕ-+-'=-+=++， 当[]0,1x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在[]0,1上单调递增；当(]1,2x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()00,31ln 1110,22ln 12430,b b b ϕϕϕ⎧=-≤⎪⎪=+-+->⎨⎪=+-+-≤⎪⎩ 解得，1ln 31ln 22b -≤<+. (3)()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-， 由(1)知()()231x x f x x -+'=+.令()0f x '=得，0x =或32x =-(舍去)， ∴当10x -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.∴()0f 为()f x 在()1,-+∞上的最大值.∴()()0f x f ≤，故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时，等号成立)，对任意正整数n ，取10x n =>，得2111ln 1n n n ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭， ∴211ln n n n n ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n ++++++>++++=+.。
湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷(一)理科数学试题
雅礼中学2020届高三月考试卷（一）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量 120分钟,满分150分.第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 的共辄复数z 满足(1)2i z i -=，则复数z 等于 A. 1i + B.1i -+C.1i -D.1i --2. 已知集合{10},{}Ax x B x x a =-<<=≤，若A B ⊆，则的取值范围为 A.（-∞,0] B, [0,+∞）C. (-∞,0）)D. (0,+∞)）3. 在ABC 中，2()BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形4. 我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细，所失弥少,割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有中“…"即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程确定出来2x =x 、类似地不难得到连分数11111+++⋅⋅⋅等于A. B. C. D.5.261(1)()x x x --展开式中的常数项为A. - 35B. - 5C. 5D. 356. 给出三个命题：①线上有两点到平面的距离相等，则直线平行平面， ②在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面，③ 空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是 A.②③B.①②C.①②③D.②7.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8,则判断框内可填入的条件是A.3?4s ≤B.5?6s ≤C.11?12s ≤D.25?24s ≤8.若01[,2]2x ∃∈，使得20210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是A.B.. CD.9.圆锥的母线长为2,其侧面展开图的中心角为弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是 A.B.C.D.10.已知()f x 是定义在实数集上的奇函数，为非正的常数，且当时，,若存在实数，使得()f x 的定义域与值域都为，则实数a 的取值范围是 A.B.C. D.11.椭圆与双曲线共焦点12,F F ，它们的交点对两公共焦点12,F F 张的角为，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则A.222212cos sin 1e e θθ+=B.222212sin cos 1e e θθ+= C.2212221cos sin e e θθ+= D.2212221sin cos e e θθ+= 12. 在ABC 中,的最大值为A.122+ B. 2C.D.第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考 生都必须作答。
2020年湖南省雅礼中学高三第3次月考 理科数学(含答案)
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选择题答题卡
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第卷
本卷包括必考题 和 选 考 题 两 部 分!第 !.#! 题 为 必 考 题$每 个 试 题 考 生都必须作答!第##&#.题为选考题$考生根据要求作答! 二&填空题#本大题共5小题$每小题%分$共#$分! !.!根据下列算法语句$当输入# 为"$时$输出& 的值为!!!!!
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该厂每天根据获取 的 鲜 牛 奶 数 量 安 排 生 产$使 其 获 利 最 大$因 此 每 天 的
最大获利6!单位#元"是一个随机变量! !"求6 的分布列和均值, !"若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立$求.天中至少有!天的最大
获利超过!$$$$元的概率!
"
"
月球附近一点( 变轨进入以月球球心) 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞
" "
行$之后卫星在( 点第二次变轨进入仍以) 为一个焦点的椭圆轨道绕
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月飞行!若用#'! 和#'# 分别表示椭圆轨道和的焦距$用#$! 和#$# 分
"
别表示椭圆轨道和的长轴长$给出下列式子#
"
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湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第3次月考数学(理科)试题(含解析)
雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）得分： ____________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()11i z i +=-（其中i 是虚数单位），则1z +=（ ）A.B.C. 2D.2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 0x R ∃∈，00xe ≤B. 0a b +=的充要条件是0a b ==C. x R ∀∈0>D. 若,x y R ∈，且2x y +>，则x ，y 至少有一个大于1 3. 已知2log 0.8a =，0.82b =，20.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c a b <<4. 中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212a c c a <；④1212c ca a >. 其中正确的式子的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5. 函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A. B.C. D.6. 一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 987. 在边长为2的正ABC ∆中，设2BC BD =u u u r u u u r ，3CA CE =u u u r u u u r ，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（ ）A. -2B. -1C. 23-D. 83-8. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若120C =︒，sin 2C A =，则（ ）A. a b =B. a b <C. a b >D. a 与b 的大小关系不能确定9. 在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（ ） A.516B.1132C.2132D.111610. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法； ④已知随机变量X 服从正态分布()3,1N ，且()240.6826P X ≤≤=，则()40.1587P X >=. A. 1B. 2C. 3D. 411. 关于函数()()()sin cos cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减； ③()f x 的周期是π；④()f x 的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①②③B. ②④C. ①②D. ①③12. 已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切且分别交双曲线的左、右两支于A 、B 两点，若2AB BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 30x y ±=B. 0y ±=C.)10x y ±=D.)10x y ±=第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 根据下列算法语句，当输入x 为80时，输出y 的值为______.14. 已知()()2*0121,2nnn x a a x a x a xn N n +=++++∈≥L ，若02a ，1a ，2a 成等差数列，则n =______.15. 已知非负实数a ，b 满足2a b +≤，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是______. 16. 在四面体ABCD 中，已知2AB BD DC CA ====，则此四面体体积的最大值是______. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知正数数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*11n n a a S S n N =+∈. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n nnb a =，求证：122n b b b +++<L . 18. 如图，已知AB 是半径为2的半球O 的直径，P ，D 为球面上的两点且60DAB PAB ∠=∠=︒，6PD =.（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面DAB ； （Ⅱ）求二面角B AP D --的余弦值. 19. 已知函数()sin 1f x x x =-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； （Ⅱ）判断()f x 在()0,π内的零点个数，并加以证明.20. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A ，B 两种奶制品.生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元.要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产A ，B 两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量.（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率. 21. 已知曲线1C 上任意一点M 到直线l ：4y =的距离是它到点()0,1F 距离的2倍；曲线2C 是以原点为顶点，F 为焦点的抛物线. （Ⅰ）求1C ，2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 的动直线与曲线2C 相交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点引曲线2C 的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 相交于点P .连接PF 的直线交曲线1C 于C ，D 两点. （i ）求证：CD AB ⊥；（ii ）求AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222111t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线的方程为sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设P 是曲线C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值. 23. 选修4—5：不等式选讲（Ⅰ）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：1119a b c++≥； （Ⅱ）解关于x 不等式：2323x x x x <-<.雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1-5：ADCDA6-10：DBCAB11-12：CC11. C 【解析】易知①正确，③错误，因此选C.12. C 【解析】由双曲线的定义可知12112a BF BF BF AB AF =-=-=，2124AF a AF a =+=，在12AF F ∆中，()()()()()22212224cos 222a c a bAF F c a c +-=∠=，整理得22220b ab a --=.解得1ba=，所以双曲线的渐近线方程为(1y x =±. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 33 14. 4 15.51216.15. 512 【解析】记区域0,02a b a b ≥≥⎧⎨+≤⎩的面积为12S =，区域20,02a b a b b a ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩的面积为1220151126S x dx =+⨯⨯=⎰，因此21512S p S ==.16.【解析】法1：设BC x =，DA y =，则111212V =≤12=.令xy t =，()f t =由()0'f t ==得163t =.故max 1639f f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以max V =.（此时x y ==法2：设BC x =，DA y =，则112V ==≤=（等号成立当且仅当3x y ==）. 三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）当1n =时，2111a a a =+，又0n a >，所以12a =；当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=. 因此{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列.故()*2n n a n N =∈.（Ⅱ）令12231232222n n n nT b b b =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，① 则234111*********n n n n nT +-=+++⋅⋅⋅++，② ①－②得23111111222222n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-，所以2311111122222n n n n T -=++++⋅⋅⋅+-()12222nn ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭.18.【解析】（Ⅰ）在PAB ∆中，过P 作PH AB ⊥于点H ，连接HD .则由Rt APB Rt ADB ∆≅∆，可知DH AB ⊥，且PH DH ==1AH =.又222336PH HD PD +=+==，所以PH HD ⊥，又AB HD H =I ，所以PH ⊥平面ABD ，又PH ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABD .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知HB 、HD 、HP 两两垂直，故以H 为原点，HB 、HD 、HP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴所示的空间直角坐标系，则()0,0,0H ，()1,0,0A -，()3,0,0B ，()D ，(P ，()AD =u u u r ，(AP =u u u r.设平面APD 的法向量为(),,m x y z =u r ，则由0m AD m AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u u u r，得()3,1,1m =-u r ；又平面APB 的法向量为()0,1,0n =r .所以5cos ,551m n m n m n⋅===⨯⋅u r ru r r u r r . 又二面角B AP D --与m u r 、n r的夹角相等，因此，二面角B AP D --的余弦值为55.19.【解析】（Ⅰ）()'sin cos f x x x x =+，所以切线方程为'222y f f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1y x =-，亦即10x y --=.（Ⅱ）①当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'sin cos 0f x x x x =+>，所以()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，且()010f =-<， 1022f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦内有唯一的零点1x . ②当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()()'g x f x =，则()'2cos sin 0g x x x x =-<，所以 ()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()0g ππ=-<，所以存在,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g α=，所以当,2x πα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()'0f x g x =>，即()f x 在,2πα⎛⎫⎪⎝⎭递增， 当(),x απ∈时，()()'0f x g x =<，即()f x 在(),απ递减. 又()1022f f ππα⎛⎫>=->⎪⎝⎭，()10f π=-<. 故()f x 在(),απ内有唯一的零点2x .综上，()f x 在()0,π内有且仅有两个零点1x ，2x .20.【解析】（Ⅰ）设每天A ，B 两种产品的生产数量分别为x ，y ，相应的获利为z ，则有()2 1.51.512*200,0x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩， 目标函数为10001200z x y =+.当12W =时，应用线性规划知识由()*可求得 最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=.同理，当15W =时，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=； 当18W =时，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=. 故最大获利Z 的分布列为()81600.3102000.5108000.29708E Z =⨯+⨯+⨯=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率()1100000.50.20.7p P Z =>=+=， 由二项分布，3天中至少有一天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=.21.【解析】（Ⅰ）设(),M x y ，则由题意有4y =-，化简得：22134x y +=.故1C 的方程为22134x y +=，易知2C 的方程为24x y =. （Ⅱ）（i ）由题意可设AB 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，由214y x =有1'2y x =，所以1l ，2l 的方程分别为2111124y x x x =-，2221124y x x x =-.故1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -，1PF k k=-，从而CD AB ⊥. （ii ）可设CD 的方程为11y x k=-+，代入22134x y +=得 ()22224384120ky k y k +-+-=，设()33,C x y ，()44,D x y ，则2342234284341243k y y k k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以()()AD CB AF FD CF FB ⋅=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF CF FD CF F FB F D A FB +=⋅+⋅⋅⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAF FB FD CF =+u u u r u u u r u u u r u u u r ()()123411114422y y y y =+++-⋅-()()()()1234122444kx kx y y =+++--()()21212343412444k x x k x x y y y y =++++-++()()22291139414344k k t k t +⎛⎫=++=++ ⎪+⎝⎭（其中2433t k =+≥）. 设()()934t t f t t =+≥，则()2229491044'f t t t t -=-=>，故()f t 在[)3,+∞单调递增，因此 139133374444t A B t D C ⎛⎫=++≥++= ⎪⎭⋅⎝=u u u r u u u r ，当且仅当3t =即0k =等号成立.故AD CB ⋅u u u r u u u r的最小值为7.22.【解析】（Ⅰ）因为222222221111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为221x y +=.sin 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭展开得sin cos 3ρθρθ-=，即3y x -=，因此直线l 的直角坐标方程为30x y -+=.（Ⅱ）设()cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为d ==12≤+.等号成立当且仅当sin 14πθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()724k k Z πθπ=+∈，即22P ⎛- ⎝⎭.因此点P 到直线l 的距离的最大值为12+. 23.【解析】（Ⅰ）由柯西不等式有()2111a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭9=， 所以有1119a b c++≥. （另解()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 332229b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭） （Ⅱ）由2323x x x x <-<有x x <可知0x <.因此原不等式等价于 2323x x x x <-<-，即21231x x >->-.解之得103x -<<. 因此原不等式的解集为1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.。