种群数量增长模型概要
种群增长的三个模型
种群增长的三个模型一、引言种群增长是生态学中的重要研究领域，对于了解生物群体的数量和结构变化、探究物种在自然环境中的适应性和竞争性等具有重要意义。
在研究种群增长过程中，学者们提出了多个模型，以便更好地解释和预测种群数量变化。
本文将介绍三个经典的种群增长模型：指数增长模型、对数增长模型和S形曲线增长模型，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、指数增长模型的概述指数增长模型作为一种基础的种群增长模型，其基本假设在于环境资源充足、个体间无竞争、出生率和死亡率保持恒定。
在这种理想条件下，一个物种的数量会以指数级速度增长。
然而，在现实的自然环境中，这种理想条件往往难以实现。
因此，指数增长模型在实际应用中，更多地被用于描述短期内资源丰富、无竞争压力下物种数量变化的情况，如某些繁殖周期短、繁殖率高的昆虫。
二、对数增长模型的提出对数增长模型是对指数增长模型的一种修正和拓展。
它考虑到了资源有限和种群间的竞争因素。
在對数增长模型中，种群数量的增长速率随着数量的增加而逐渐减缓，最终趋于稳定。
相较于指数增长模型，对数增长模型在描述实际种群数量变化时更为准确。
例如，在资源有限且个体间存在竞争压力的情况下，种群数量会逐渐达到一个稳定值，这个稳定值被称为种群的容量极限。
三、S形曲线增长模型的综合特点S形曲线增长模型是一种更复杂且更符合实际情况下种群增长规律的模型。
它融合了指数增长模型和对数增长模型的特点，同时考虑了环境因素、竞争压力以及其他影响因素。
S形曲线增长模型最早由人口学家托马斯·马尔萨斯提出，后在生态学领域得到广泛应用。
四、S形曲线增长模型的应用价值S形曲线增长模型描述了一个物种在资源有限且存在竞争时，从指数生长逐渐过渡到饱和状态，并最终趋于稳定的过程。
这种增长模型在描述人类和其他大型哺乳动物种群的数量变化时非常有用。
通过对S 形曲线增长模型的研究，我们可以更好地了解生物种群在自然界中的生长规律，为生态环境保护、资源利用和人口管理等领域提供理论依据。
种群数量变化与模型分析
⑶坐标式（曲线图、柱状图）
种群数量的变化和模型分析
⑶坐标式（曲线图、柱状图）
曲线图——直观 方程式——精确
种群数量的变化和模型分析
细菌的数量／个
理想条件下细 菌数量增长的特 点，在自然界中 有此类型吗？
种群数量的变化和模型分析
实例1：澳大利亚野兔
1859年，24只野兔 近100年后 6亿只以上的野兔
通过进一步实验或观察等， 对模型进行检验或修正
修正
种群数量的变化和模型分析
在理想状态下，细菌每20分钟分裂一次。请填 下表，并根据表中数据，绘出细菌种群的增长 曲线。
时 间 20 40 60 80 100 120 140 160 180 细菌数量 2 4 8 16 32 64 128 256 512
种群数量的变化和模型分析
研究实例
细菌每20min分裂一次
在资源和空间无限多的环 境中，细菌种群的增长不 会受种群密度增加的影响
Nn=2n ， N代表细菌数量，
n表示第几代
研究方法
观察研究对象，提出问题
提出合理的假设
根据实验数据，用适当的
数学形式对事物的性质进
行表达
观察、统计细菌数量，对自 己所建立的模型进行检验或
• 用液体培养基培养酵母菌，种群的增长受 培养基的成分，空气，温度，酸碱度等因
素的影响。
• 在理想的环境中，酵母菌种群的增长呈“J” 型曲线；
• 在有限的环境下，酵母菌的种群呈“S”型
曲线。
种群数量的变化和模型分析
血球计数板，通常是一块特制的载玻片，其上由四 条槽构成三个平台。中间的平台又被一短横槽隔成 两半，每一边的平台上各刻有一个方格网，每个方 格网共分九个大方格，中间的大方格即为计数室， 微生物的计数就在计数室中进行。
2-种群的增长 Malthus模型与Logistic模型概要
间的年代：
真正的年代＝
c
14
年 1.4 900
考古年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古 代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把 它带到实验室，作碳14年代测定，分析表 明， c 与 c 的比例仅仅是活组织内的 6.24%，能否判断此人生活在多少年前？
14 12
模型检验 模型预测 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况 假如人口数真能保持每 34.6年增加一倍，那么人口数将 与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如， 以几何级数的方式增长。例如，到 2510年，人口达 19612 年世界人 ×1014个， 口数为30.6亿（即3.06×109），人口增长率约为 即使海洋全部变成陆地，每人也只有 9.3平方英尺的活动范围， 2%，人口数 Malthus模型实际上只有在群体总 大约每 而到 2670 35年，人口达 年增加一倍。检查 36×1015 1700 个，只好一个人站在另一人的 年至1961的260年人口实际 数不太大时才合理，到总数增大时， 数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数 肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 所以 Malthus 模型假设的人口 生物群体的各成员之间由于有限的 量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 增长率不可能始终保持常数， 生存空间，有限的自然资源及食物 它应当与人口数量有关。 等原因，就可能发生生存竞争等现
其解为: N (t ) N0e
(t t0 )
与负增长的Malthus模 ln 2 型完全一样 则有 : T t t
0
背景
c
14
年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性
同位素
c
14
，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层
3—4—2 种群数量的增长方式
2、特点？ 1、前提条件：
种群增长速率会越来越大 3、出现“J”型情况：
实验条件下； 一个种群刚迁移到一个新的适宜环境中。
高斯，把5个大草履虫置于0.5mL的培养液中，每隔24小时 统计一次数据，经过反复实验，结果如下：
讨论：大草履虫 的增长呈“S”型 曲线的原因有哪 些？
大草履虫种群的增长曲线
三、种群增长的 “S”型曲线—逻辑斯谛增长
N0表示t年 （代）后该种群的数量，
λ为年均增长率
二、种群增长的“J”型曲线—指数增长
无环境阻力 1、前提条件 ？
理想状态—— 资源无限，空间无限， 气候适宜，没有敌害等；
2、特点？ 1、前提条件：
种群增长速率会越来越大 3、出现“J”型情况：
实验条件下；
实例1：澳大利亚兔子
澳大利亚原本是没有兔子的，殖民者在开发澳大 利亚的初期，引进了欧洲的兔子：澳大利亚温暖 的气候、丰富的牧草，为兔子提供了良好的生存 条件。加上澳大利亚缺少兔子的天敌，兔子就开 始以惊人的速度繁殖起来。几年过后，在澳大利 亚的草原上到处都可以找到野兔的踪迹。 1859年，24只野兔
数学形式
一、建构种群增长模型
1、在营养和生存空间没有限制的情况下，1个细菌每20 分钟分裂繁殖一代。找出细菌种群数量变化的规律 2、假设其处于资源，空间无限，没有天敌的条件下， 一对野鸭一年能繁殖8只鸭。找出野鸭种群数量变化的规 律
Nt=1×2 Nt=2×5
Nt=N0 λ
t
t t
N0为起始数量， t为时间，
（在理想状态下的种群增长） （在有限环境下的种群增长）
• “J”型与“S”型增长曲线的关系
环境阻力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK/2
第五章种群增长
dN/dt=rN
种群个体数量
Nt=N0ert
时间t处的种 群个体数 间隔或世 代长度
瞬时增长率r与周限增长率λ之间的关系
r=lnλ λ=er
模型的行为：
r r>0 r=0 r<0 r = －∞ λ λ> 1 λ= 1 0 <λ< 1 λ= 0 种群变化 种群上升 种群稳定 种群下降 种群灭亡
增长率随种群大小而变化的连续增长模型
增长率不变的连续增长模型
增长率随种群大小而变化的连续增长模型
增长率不变的连续增长模型
模型的假设：
1）种群增长是无界的；
2）世代有重叠，种群数量以连续的方式改变；
3）没有迁入、迁出；
4）没有年龄结构。
种群的指数增长模型
种群 变化率
瞬时增长率 初始时的种 群个体数量
瞬时增长率 (每员增长率)
——逻辑斯谛模型（Logistic model）
模型的假设： 存在一个环境条件所允许的最大种群值，称为环境容纳量
(K) 。
使种群增长率降低的影响是最简单的，即其影响随着密度 上升而逐渐地、按比例地增加。即，种群中每增加一个个 体就对增长率降低产生1/K的影响，或者说，每一个个体 利用了l/K的空间，若种群中有N个个体，就利用了N/K
生长激素减少
→生长代谢障碍→低血糖休克病 /抗体减少， 对疾病及外界刺激抵抗力降低 → 死亡率增加 ； 减少→ 对疾病及外界刺激抵抗力降低 →死亡 率增加 ；
λ=
（二）增长率随种群大小而变化的离散增长模型
模型的假设： 种群在有界的环境中增长，存 种 群 在一个平衡点(Neq)
种群增长数学模型分析及其教学
种群增长数学模型分析及其教学种群增长数学模型分析及其教学一、教材分析种群的数量变化是学习种群的核心内容，重点是掌握种群数量增长的“J”型曲线和“S”型曲线的含义和变化规律，并借此学习掌握构建数学模型的一般方法。
本节教学涉及数学知识，同时不同环境下的种群增长各具特点，所以本节内容抽象复杂，学生很难准确深入理解曲线变化规律和原因。
通过分析不同条件下种群增长模型、种群的动态规律及其调节机制，能帮助学生深刻理解种群数量的变化规律、影响因素及其应用，在此基础上掌握构建数学模型的方法。
二、种群数量增长模型的多样性（一）理想情况下种群离散增长模型这是世代不相重叠种群的增长模型，是种群在无限的环境中，拥有充足的空间和资源，气候适宜、没有天敌的理想条件下种群的增长模型，该模型在自然界中是不存在的。
该模型的假设是：1.种群在无限的环境中增长，种群增长不受种群密度的制约，出生率和死亡率为常数；2.世代不重叠，种群呈离散增长；3.种群空间分布均匀，没有迁入和迁出；4.种群没有年龄结构。
如细菌的繁殖、一年生的植物或一年生殖一次的昆虫等都属于此类种群，其增长模型如下：Nt+1=Ntλ或Nt=N0λtNt表示第t年种群的数量，N0为初始种群数量，λ为种群的年周限增长率数，t为时间。
当λ大于1时，种群数量上升；当λ等于1时，种群数量稳定；当λ小于1时，种群数量下降。
理想情况下，种群呈指数式增长，增长率始终保持不变，增长速度逐渐增加，曲线呈“J”型，所以称为“J”型增长曲线。
（二）理想情况下种群连续增长模型该种群有世代重叠现象，表现为连续增长。
该模型的假设是：1.种群在资源无限的环境中增长，出生率和死亡率是常数；2.世代有重叠，种群呈连续增长；3.种群在空间上分布均匀，没有迁入和迁出；4.种群有年龄结构。
如多年生植物、人或兽类等动物种群都属于该种群，其增长模型如下： dN/dt=rN或Nt=N0ert（积分式）Nt表示第t年种群的数量，N0为初始种群数量，e表示自然常数，r为种群的瞬时增长率。
种群logistic增长模型
种群logistic 增长模型生命科学院 09科五 卢春燕 20092501092一、实验原理logistic 增长模型 ：种群在有限环境下的“S ”型增长曲线拟合的方程称为logistic 方程：其积分式为：K ——环境容纳量；N ——种群的数量； r ——种群的瞬时增长率；t ——时间。
二、实验步骤1、制备草履虫培养液；2、确定培养液中草履虫的初始密度；3、定期观测和记录；4、方程参数的估计（1）K 值的估计（均值法） K=111（2）a 、r 的估计求出K 值后，将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为： 设 , b=-r ，x=t ，则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） (3) 曲线的拟合1） 将求得的K 、a 和 r 代入logistic 方程，建立logistic 增长模型。
2） 计算得到各个增长时间种群大小的理论估计值，依照理论估计值绘制logistic 方程的理论曲线。
3）可以进一步将理论估计值与实验观测值进行显著性检验，确定无显著性差异。
三、实验结果与讨论rt a e K N -+=1rt a N N K e--=)(rta NN K -=-)ln()ln(N NK y -=rt a N NK -=-)ln(表1 草履虫在培养液中增长实验数据统计分析表天数重复1(只 /mL)重复2 (只/mL)重复3 (只/mL)平均值(只/mL)(K-N)/N ln[(K-N)/N)] a-rt exp logistic0 3 3 3 3 36 3.583519 1.346 3.8 22.92429 1 10 7 10 911.333332.427748 1.29813.7 23.80783 2 19 11 28 19.333334.741379 1.556328 1.2502 3.5 24.71587 3 27 16 31 24.66667 3.5 1.252763 1.2023 3.3 25.64836 4 5 61 81 49 1.265306 0.235314 1.1544 3.2 26.60518 5 66 179 87 110.6667 0.003012 -5.80513 1.1065 3.0 27.58616 6 35 40 15 302.70.993252 1.0586 2.9 28.59106 7 12 13 28 17.66667 5.283019 1.664498 1.0107 2.7 29.61956 8 11 10 19 13.33333 7.325 1.991293 0.9628 2.6 30.67129 9 13 8 23 14.66667 6.568182 1.882237 0.9149 2.5 31.7458 10 73189.333333 10.892862.3881070.8672.432.84256K 的估计值为111(只/mL)将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为：设 , b=-r ，x=t ， 则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） 求得a=1.3460 ,b=-0.0479,代入逻辑斯蒂方程111求得 N = 1+e 1.3460-0.0479r)ln(N NK y -=rta NN K e --=)(rt a N NK -=-)ln(rta e KN -+=1图1 草履虫观察值散点图及拟合增长曲线图表2 草履虫实验数据理论估计值与实验观测值显著性检验分析表天数观察值（只/mL）理论值（只/mL) X2X21，0.01显著性0 3 23 16.45865 6.63 极显著差异1 9 24 8.5986 6.63 极显著差异2 19 25 0.96453 6.63 无差异3 25 26 0.009047 6.63 无差异4 49 27 18.01841 6.63 极显著差异5 111 28 247.2087 6.63 极显著差异6 30 29 0.028896 6.63 无差异7 18 30 4.428451 6.63 显著差异8 13 31 9.24372 6.63 极显著差异9 15 32 8.658394 6.63 极显著差异10 9 33 16.12007 6.63 极显著差异根据表2可知本次试验拟合曲线不成功。
举例说明种群增长的3种模式及对物种未来的影响
举例说明种群增长的3种模式及对物种未来的影响
种群增长的三种模式为指数增长、对数增长和S形增长。
1. 指数增长：指数增长是种群数量以固定比例不断增加的过程。
这种增长模式在初始阶段增长速度很慢,但是到达一定阈值后,种群数量会飞速增长。
如果这种情况持续下去,种群数量会迅速超出环境承载力,导致资源的短缺和环境破坏。
举个例子,某个鹿种在一个没有天敌的草原上生活,它们的数量会迅速增加,但是随着鹿数量的增加,食物供应和空间等环境资源会变得越来越紧张,因此会导致种群数量的崩溃。
2. 对数增长：对数增长是指种群数量增加的速度渐渐变慢,到达特定的阈值后种群数量基本上不再增加。
这种增长模式常常发生在人工干预下的自然或人工种群中。
例如,一个人工喂养的鹿种群,由于食物和环境的限制,最终会达到一个平衡点,鹿的数量会趋于稳定不再繁殖。
3. S形增长：S形增长是指种群数量开始以指数方式增长,然后逐渐减缓,直到达到一个上限。
这种模式通常发生在相对稳定的环境下。
例如,一只蝴蝶物种在一个稳定的栖息地区,当初始种群数量较低的时候,会以指数方式增加,但当达到环境资源负荷极限时,它们的种群数量会趋于稳定。
这种增长模式不会导致物种数量的崩溃,但是会限制其数量。
综上所述,种群增长的三种模式都与环境因素密切相关。
种群数量的增加会对环境资源造成很大压力,可能导致生态系统的破坏,影响物种生存繁衍。
只有了解与控制物种数量的增长模式,才能更好地维护生态系统的平衡。
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1.表格：记录一个细菌在不同时间 （单位为min）产生后代的数量。
时间（min) 20 40 60 80 100 120 140 160 180
分裂次数
细菌数量 （个）
12 24
34 5 8 16 32
6 78 9 64 128 256 512
种
K
群
数
量
“S”
K/2
型
增
长
曲
线
种
群
数
量
。
增
长
率
时间
种群增长的“Ｓ”型曲线 在生产中的应用——K值 ①有害动物的防治，应通过 降低其环境容纳量
②受保护动物的拯救和恢复， 应通过改善其栖息环境，提高K 值。
种群增长的“Ｓ”型曲线 在生产中的应用——K/2值
③生产上的捕获期应确定 在种群数量略比K/2多时 最好；而杀虫效果最好 的时期在潜伏期（ K/2以下）。
“Ｊ”型曲线与“S”型曲线的比 较
比较种群增长两种曲线的联系与区别
前提条件 种群增长率
有无K值
J型曲线 环境资源无限
保持稳定 无，
持续保持增长
S型曲线 环境资源有限
先升后降
有K值
曲线
K值：环境容纳量 环境阻力
Байду номын сангаас
食物不足 空间有限 种内斗争 天敌捕食 气候不适
寄生虫 传染病等
本节小结
细菌的数量／个
时间（min) 20 40 60 80 100 120 140 160 180
分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9
细菌数量
（个）
2 4 8 16 32 64 128 256 512
J型：理想条件下的种群增长模型
食物充足 空间充裕 环境适宜 没有天敌
资源无限 指数生长
资料二：1859年，一位英国人来到澳大利亚定居， 他带来了24只野兔。让他没有想到的是，一个世 纪之后，这24只野兔的后代竟达到6亿只以上。漫 山遍野的野兔与牛羊争食牧草，啃啮树皮，造成植 被破坏，导致水土流失。后来，人们引入了黏液瘤 病毒才使野兔的数量得到控制。
稳定期，增
K值：环境容纳量 长速率为零
减速期，增长缓慢
K/2·
转折期，增 长速率最快
加速期，个体数量增加，增长加速 调整期，个体数量较少增长缓慢
增长率如 何用曲线 表示？
1.同一种群的K值不是固定不变的，会受到环境的影响。
2.N≈K／2，此时种群增长速度最快，可提供的资 源数量也最多 ，而又不影响资源的再生。
资料三：在20世纪30年代，人们将环颈雉引入 美国的一个岛屿。在1937－1942年期间，这个 种群数量的增长如下图所示。
理想条件下的种群增长模型
资料四 世界人口的指数增长曲线
二、种群增长的“J”型曲线
①产生条件： 理想状态——食物充足，空间不限， 环境适宜，没有天敌等；
②增长特点： 种群数量每年以一定的倍数增长 （增长率不变）
为了保护鱼类资源不受破坏，并能 持续地获得最大捕鱼量，应使被捕鱼 群的种群数量保持在什么水平?为什么？
第2节 种群数量的变化
怎样建构种群数量增长的模型？ 种群的数量是怎样变化的？ 什么是环境容纳量？ 影响种群数量变化的因素有哪些？
学习检查
资料一 在营养和生存空间没有限制的 情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂 繁殖一代。
思考： （1）分裂10次后，细菌数量为？ （2）若初始细菌总数为2，分裂10次后， 细菌数量为？
若将初始种群数量记着N0 ,分裂一次得 到的个体成为第1代，记着N1 ，每一代 细菌数量与前一代数量之比记着λ，在
第t代细菌数量为Nt=N0λt
数学公式建立的数量增长模型
4.以时间为横坐标，细菌数量为纵坐 标，画出细菌的数量增长曲线。
综述：种群在没有环境阻力的条件下呈现“J”型增长， 实际上是“S”型增长的最初阶段，“J”型增长是一定 时间内的增长方式，最终是以”S”型增长结束，这是生 态因素和物种本身相互影响的结果。
在大自然中
食物有限 空间有限
环境阻力
种内斗争 种间竞争 天敌捕食
种群密度越大环境阻力越大
资料五：生态学家高斯曾经做过这样一个实验：
在0.5ml培养液中放入5个大草履虫，然后每隔 24h统计一次大草履虫的数量。经过反复实验， 得出了如图所示的结果。
1.请绘制大草履虫的种群增长曲线。
环破最S模境坏大型相何型？比容的数：其较纳情量种于量况。自群J（下型达然，又曲到线一称条基，定K本值件大空稳）草定间下履：的中虫在的数所数环量能种量境值维增称条群长持为件过的增什不程种么受长如？群