大学物理电磁学静电场经典习题详解可编辑
大学物理电磁学部分练习题讲解
大学物理电磁学部分练习题讲解(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--大学物理电磁学部分练习题1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的（D ） （A ）带正电荷的导体，其电势一定是正值． （B ）等势面上各点的场强一定相等． （C ）场强为零处，电势也一定为零．（D ）场强相等处，电势梯度矢量一定相等．2.当一个带电导体达到静电平衡时：D （A ）表面上电荷密度较大处电势较高． （B ）表面曲率较大处电势较高．（C ）导体内部的电势比导体表面的电势高．（D ）导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零．3. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ．该球面内、外的场强分布为（r 表示从球心引出的矢径）： （ 0 r rR 302εσ）=)(r E)(R r <， =)(r E)(R r >． 4.电量分别为q 1，q 2，q 3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上，如图所示．设无穷远处为电势零点，圆半径为R ，则b 点处的电势U ＝)22(813210q q q R++πε5.两个点电荷，电量分别为+q 和-3q ，相距为d ，试求：（l ）在它们的连线上电场强度0=E的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U ＝ 0的点与电荷量为+q 的点电荷相距多远？q +q 3-x?Od E ?．解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，X 轴沿两点电荷的连线．（l ）设0=E的点的坐标为x ′，则0)'(43'42020=--=i d x qi x q Eπεπε可得 0'2'222=-+d dx x解出 d x )31(21'1+-=和 d x )13(21'2-=其中'1x 符合题意，'2x 不符合题意，舍去． （2）设坐标x 处 U ＝ 0，则)(43400x d qx q U --=πεπε0])(4[40=--=x d x xd q πε得 4/04d x x d ==-6.一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小.解答：将半球面分成由一系列不同半径的带电圆环组成，带电半球面在圆心O点处的电场就是所有这些带电圆环在O 点的电场的叠加。
3-1电磁-真空中的静电场 大学物理作业习题解答
dE
zdq 40(z2 r2 )3/2
R cos.ds 40R3
sin cosd 20
d R o
x
故球心o处总场强为:
E
dE
/ 2 sin cos d
0
20
40
4
1-6 均匀带电的无限长细线,弯成如图所示的形状,若点电荷的线
密度为λ,半圆处半径为R,求o点处的电场强度.
解:o电场强是由三部分电荷产生的:
解：作一半径为r的同心球面为高斯面。
当r<R1
当 R1<r<R2
E4r2 0, E 0
R1
r 2r2 sindrdd
E 4r2 R1 0 0
R2
0
1
r
2
A r sindrdd
0 R1 0 0
E
A
r2 R12 20r2
同理，当r>R2
E4r2 1 R2 2 Arsindrdd
0
20
9
1-10 两个无限长的共轴圆柱面，半径分别为R1和R2，面上都均
匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为 1和 2 ,求： (1)场强分布；(2)若 1 2,情况如何？画出E－r曲线。
解：由圆柱面的对称性，E的方向为垂直柱面， r
故作一共轴圆柱面为高斯面，由高斯定律得：
R1
高 斯
当
r<R1, 当R1<r<R2 ，
1-12 将q=1.7×10-8库仑的点电荷从电场中的A点移到B点,外力需 做功5.0×10-8焦耳,问A,B俩点间的电势差是多少?哪点电势高?若 设B点的电势为零,A点的电势为多大?
解:(1) AAB=q(VA-VB), WAB=- AAB=+5.0×10-8
第09专题 静电场(解析版)
海南2011-2020年高考物理试题分类汇编解析第09专题 静电场（解析版）1. （2020年第10题）空间存在如图所示的静电场，a 、b 、c 、d 为电场中的四个点，则（ ） A. a 点的场强比b 点的大 B. d 点的电势比c 点的低C. 质子在d 点的电势能比在c 点的小D. 将电子从a 点移动到b 点，电场力做正功 【答案】AD【解析】A ．根据电场线的疏密程度表示电场强度的大小，可知a 点的电场线比b 点的电场线更密，故a 点的场强比b 点的场强大，故A 正确；B ．根据沿着电场线方向电势不断降低，可知d 点的电势比c 点的电势高，故B 错误；C ．根据正电荷在电势越高的点，电势能越大，可知质子在d 点的电势能比在c 点的电势能大，故C 错误；D ．由图可知，a 点的电势低于b 点的电势，而负电荷在电势越低的点电势能越大，故电子在a 点的电势能高于在b 点的电势能，所以将电子从a 点移动到b 点，电势能减小，故电场力做正功，故D 正确。
故选AD 。
2.（2019年第1题）如图，静电场中的一条电场线上有M 、N 两点，箭头代表电场的方向，则（）A. M 点的电势比N 点的低B. M 点的场强大小一定比N 点的大C. 电子在M 点的电势能比在N 点的低D. 电子在M 点受到的电场力大小一定比在N 点的大 【答案】C3.（2018年海南物理卷第9题）如图，a 、b 、c 、d 为一边长为的正方形的顶点。
电荷量均为q （q >0）的两个点电荷分别固定在a 、c 两点，静电力常量为k 。
不计重力。
下列说法正确的是 A. b 点的电场强度大小为B.过b 、d 点的直线位于同一等势面上C.在两点电荷产生的电场中，ac 中点的电势最低l 2lD.在b 点从静止释放的电子，到达d 点时速度为零【解析】=，b 与d 等势 【答案】AD4．（2017年第2题）关于静电场的电场线，下列说法正确的是（ ） A ．电场强度较大的地方电场线一定较疏 B ．沿电场线方向，电场强度一定越来越小 C ．沿电场线方向，电势一定越来越低 D ．电场线一定是带电粒子在电场中运动的轨迹 【解析】沿电场线方向，电势一定越来越低，正确。
川师大学物理第十章 静电场中的导体和电介质习题解
第十章 静电场中的导体和电介质10–1 如图10-1所示，有两块平行无限大导体平板，两板间距远小于平板的线度，设板面积为S ，两板分别带正电Q a 和Q b ，每板表面电荷面密度σ1= ，σ2= ，σ3= ，σ4= 。
解：建立如图10-2所示坐标系，设两导体平板上的面电荷密度分别为σ1，σ2，σ3，σ4。
由电荷守恒定律得12a S S Q σσ+= （1）34b S S Q σσ+= （2）设P ，Q 是分别位于二导体板内的两点，如图10-2所示，由于P ，Q 位于导板内，由静电平衡条件知，其场强为零，即3124000002222P E σσσσεεεε=---= （3）3124000002222Q E σσσσεεεε=++-= （4） 由方程（1）~（4）式得142abQ Q Sσσ+== （5） 232a bQ Q Sσσ-=-= （6） 由此可见，金属平板在相向的两面上（面2，3），带等量异号电荷，背向的两面上（面1，4），带等量同号电荷。
10–2 如图10-3所示，在半径为R 的金属球外距球心为a 的D 处放置点电荷+Q ，球内一点P 到球心的距离为r ，OP 与OD 夹角为θ，感应电荷在P 点产生的场强大小为 ，方向 ；P 点的电势为 。
解：（1）由于点电荷+Q 的存在，在金属球外表面将感应出等量的正负电荷，距+Q 的近端金属球外表面带负电，远端带正电，如图10-4所示。
P 点的场强是点电荷+Q 在P 点产生的场强E 1，与感应电荷在P 点产生的场强E 2的叠加，即E P =E 1+E 2，当静电平衡时，E P =E 1+E 2=0，由此可得21r 2204π(2cos )Qa r ar εθ=-=-+-E E e其中e r 是由D 指向P 点。
因此，感应电荷在P 点产生的场强E 2的大小为图10–4xσ2 4σQQ aQ b 图10-2σ1σ2 σ4σ3 Q a Q b图10-1图10-322204π(2cos )QE a r ar εθ=+-方向是从P 点指向D 点。
高考物理电磁学知识点之静电场单元汇编及解析
高考物理电磁学知识点之静电场单元汇编及解析一、选择题1．如图，P 为固定的点电荷，虚线是以P 为圆心的两个圆．带电粒子Q 在P 的电场中运动．运动轨迹与两圆在同一平面内，a 、b 、c 为轨迹上的三个点．若Q 仅受P 的电场力作用，其在a 、b 、c 点的加速度大小分别为a a 、a b 、a c ，速度大小分别为v a 、v b 、v c ，则A ．a a >a b >a c ，v a >v c >v bB ．a a >a b >a c ，v b > v c > v aC ．a b > a c > a a ，v b > v c > v aD ．a b > a c > a a ，v a >v c >v b2．如图所示，真空中有两个带等量正电荷的Q 1、Q 2固定在水平x 轴上的A 、B 两点。
一质量为m 、电荷量为q 的带电小球恰好静止在A 、B 连线的中垂线上的C 点，由于某种原因，小球带电荷量突然减半。
D 点是C 点关于AB 对称的点，则小球从C 点运动到D 点的过程中，下列说法正确的是( )A ．小球做匀加速直线运动B ．小球受到的电场力可能先减小后增大C ．电场力先做正功后做负功D ．小球的机械能一直不变3．如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为123,,ϕϕϕ和4ϕ，相邻等势面间的电势差相等.一带负电的粒子(重力不计)在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a 、b 、c 、d 是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（ ）A ．4ϕ等势面上各点场强处处相同B ．四个等势面的电势关系是1234ϕϕϕϕ<<<C ．粒子从a 运动到d 的过程中静电力直做负功D ．粒子在a 、b 、c 、d 四点的速度大小关系是a b c d v v v v <<=4．在如图所示的电场中, A 、B 两点分别放置一个试探电荷, F A 、F B 分别为两个试探电荷所受的电场力．下列说法正确的是A ．放在A 点的试探电荷带正电B ．放在B 点的试探电荷带负电C ．A 点的电场强度大于B 点的电场强度D ．A 点的电场强度小于B 点的电场强度5．如图所示，虚线a 、b 、c 代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相同．实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P 、Q 是这条轨迹上的两点，由此可知( )A ．三个等势面中，c 等势面电势高B ．带电质点通过Q 点时动能较小C ．带电质点通过P 点时电势能较大D ．带电质点通过Q 点时加速度较大6．如图所示，在空间坐标系Oxyz 中有A 、B 、M 、N 点，且AO =BO =MO =NO ；在A 、B 两点分别固定等量同种点电荷+Q 1与+Q 2，若规定无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（ ）A ．O 点的电势为零B ．M 点与N 点的电场强度相同C．M点与N点的电势相同D．试探电荷+q从N点移到无穷远处，其电势能增加7．如图所示是示波管的原理示意图，XX′和YY′上不加电压时，在荧光屏的正中央出现一亮斑，现将XX′和YY′分别连接如图甲乙所示电压，从荧光屏正前方观察，你应该看到的是图中哪一个图形？A．B．C．D．8．a、b、c、d分别是一个菱形的四个顶点，∠abc=120°．现将三个等量的正点电荷＋Q固定在a、b、c三个顶点上，将一个电量为＋q的点电荷依次放在菱形中心点O点和另一个顶点d点处，两点相比：（）A．+q在d点所受的电场力较大B．+q在d点所具有的电势能较大C．d点的电势低于O点的电势D．d点的电场强度大于O点的电场强度9．空间存在着平行于x轴方向的静电场，P、M、O、N、Q为x轴上的点，P、Q之间各点的电势φ随位置坐标x的变化如图所示。
高考物理电磁学知识点之静电场全集汇编含解析(6)
高考物理电磁学知识点之静电场全集汇编含解析(6)一、选择题1．如图，在场强为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上，小球静止时细线与竖直方向成30°角，已知此电场方向恰使小球受到的电场力最小，则小球所带电量应为( )A．mgEB．3mgEC．2mgED．2mgE2．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知A．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大B．带电粒子在P点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小C．带电粒子在P点时的速度大小大于在Q点时的速度大小D．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大3．真空中静电场的电势φ在x正半轴随x的变化关系如图所示，x1、x2、x3为x轴上的三个点，下列判断正确的是（）A．将一负电荷从x1移到x2，电场力不做功B．该电场可能是匀强电场C．负电荷在x1处的电势能小于在x2处的电势能D．x3处的电场强度方向沿x轴正方向4．如图所示，足够长的两平行金属板正对竖直放置，它们通过导线与电源E、定值电阻R 、开关S 相连。
闭合开关后，一个带电的液滴从两板上端的中点处无初速度释放，最终液滴落在某一金属板上。
下列说法中正确的是（ ）A ．液滴在两板间运动的轨迹是一条抛物线B ．电源电动势越大，液滴在板间运动的加速度越大C ．电源电动势越大，液滴在板间运动的时间越长D ．定值电阻的阻值越大，液滴在板间运动的时间越长5．如图所示，实线表示某电场中的四个等势面，它们的电势分别为123,,ϕϕϕ和4ϕ，相邻等势面间的电势差相等.一带负电的粒子(重力不计)在该电场中运动的轨迹如虚线所示，a 、b 、c 、d 是其运动轨迹与等势面的四个交点，则可以判断（ ）A ．4ϕ等势面上各点场强处处相同B ．四个等势面的电势关系是1234ϕϕϕϕ<<<C ．粒子从a 运动到d 的过程中静电力直做负功D ．粒子在a 、b 、c 、d 四点的速度大小关系是a b c d v v v v <<=6．如图所示，A 、B 、C 、D 为半球形圆面上的四点，处于同一水平面，AB 与CD 交于球心且相互垂直，E 点为半球的最低点，A 点放置一个电量为+Q 的点电荷，B 点放置一个电量为－Q 的点电荷，则下列说法正确的是（ ）A ．C 、E 两点电场强度不相同B ．C 点电势比E 点电势高C ．沿CE 连线移动一电量为+q 的点电荷，电场力始终不做功D ．将一电量为+q 的点电荷沿圆弧面从C 点经E 点移动到D 点过程中，电场力先做负功，后做正功7．如图所示，在空间坐标系Oxyz中有A、B、M、N点，且AO=BO=MO=NO；在A、B两点分别固定等量同种点电荷+Q1与+Q2，若规定无穷远处电势为零，则下列说法正确的是（）A．O点的电势为零B．M点与N点的电场强度相同C．M点与N点的电势相同D．试探电荷+q从N点移到无穷远处，其电势能增加8．如图所示，将一带电小球A通过绝缘细线悬挂于O点，细线不能伸长。
大学物理电磁学典型习题
部分习题解答第一章 静止电荷的电场1、10 解：（一定要有必要的文字说明）在圆环上与角度θ相应的点的附近取一长度dl ，其上电量 dq =λdl =0λsinθdl ，该电荷在O 点产生的场强的大小为==204RdqdE πε2004sin R dl πεθλθπελsin 400R =θd dE 的方向与θ有关，图中与电荷 dq 对O 点的径矢方向相反。
其沿两坐标轴方向的分量分别为 θθθπελθd RdE dE x cos sin 4cos 00-=-=θθπελθd RdE dE y 200sin 4sin -=-=整个圆环上电荷在圆心处产生的场强的两个分量分别为==⎰x x dE E R004πελ-⎰=πθθθ200cos sin d==⎰Y y dE E R004πελ-⎰-=πελθθ200024sin Rd 所以圆心处场强为 E = E y j = R004ελ-j 1、11 解：先将带电系统看成一个完整的均匀带电圆环计算场强，然后扣除空隙处电荷产生的场强；空隙的宽度与圆半径相比很小，可以把空隙处的电荷看成点电荷。
空隙宽度m d 2102-⨯=，圆半径m r 5.0=，塑料杆长m d r l 12.32=-=π 杆上线电荷密度m C lq/1019-⨯==λ 一个均匀带电圆环，由于电荷分布关于圆心对称，环上对称的二电荷元在圆心处产生的场强互相抵消，因而整个圆环在圆心处的场强E 1= 0 空隙处点电荷设为q /，则q / =d λ，他在圆心处产生的场强m V rdr q E /72.0442020/2===πελπε 方向由空隙指向圆心。
空隙处的电荷实际上不存在，因此圆心处场强等于均匀带电圆环在该点产生的场强与空隙处电荷在该点产生的场强之差，故m V E E E /72.021-=-= 负号表示场强方向从圆心指向空隙。
1、12 解：设想半圆形线CAD 与半圆形线ABC 构成一个圆形如图，且圆上线电荷密度均为λ。
大学物理电磁学复习题含答案
题8-12图8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电.电荷的面密度分别为1σ和2σ.解: 如题8-12图示.两带电平面均匀带电.电荷面密度分别为1σ与2σ.两面间. n E)(21210σσε-= 1σ面外. n E)(21210σσε+-= 2σ面外. n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．8-13 半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r ＜R 的小球体.如题8-13图所示．试求：两球心O 与O '点的场强.并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合.见题8-13图(a)．(1) ρ+球在O 点产生电场010=E.ρ-球在O 点产生电场dπ4π3430320r E ερ= ∴ O 点电场d33030r E ερ= ； (2) ρ+在O '产生电场'dπ4d 3430301E ερπ=' ρ-球在O '产生电场002='E∴ O ' 点电场 003ερ='E OO题8-13图(a) 题8-13图(b)(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r'.相对O 点位矢为r (如题8-13(b)图)则 03ερrEPO=. 03ερr E O P '-=' ,∴ 0003'3)(3ερερερd OO r r E E E OP PO P=='-=+='∴腔内场强是均匀的．8-14 一电偶极子由q =1.0×10-6C .两电荷距离d=0.2cm.把这电偶极子放在1.0×105N ·C -1.解: ∵ 电偶极子p在外场E 中受力矩E p M⨯=∴ qlE pE M ==max 代入数字4536max 100.2100.1102100.1---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=M m N ⋅8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C.2q =3.0×10-8C.相距1r =42cm.要把它们之间的距离变为2r =25cm.需作多少功?解: ⎰⎰==⋅=22210212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε )11(21r r - 61055.6-⨯-=J外力需作的功 61055.6-⨯-=-='A A J题8-16图8-16 如题8-16图所示.在A .B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷.AB 间距离为2R .现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点.解: 如题8-16图示0π41ε=O U 0)(=-R q Rq0π41ε=O U )3(R q R q -R q0π6ε-=∴ Rqq U U qA o C O 00π6)(ε=-=8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R ．试求环中心O解: (1)由于电荷均匀分布与对称性.AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消.取θd d R l =则θλd d R q =产生O 点Ed 如图.由于对称性.O 点场强沿y 轴负方向题8-17图θεθλππcos π4d d 2220⎰⎰-==R R E E yR0π4ελ=［)2sin(π-2sin π-］R0π2ελ-=(2) AB 电荷在O 点产生电势.以0=∞U⎰⎰===AB200012ln π4π4d π4d RRx x xxU ελελελ 同理CD 产生 2ln π402ελ=U 半圆环产生 0034π4πελελ==R R U∴ 0032142ln π2ελελ+=++=U U U U O8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m ·s -1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg.电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ.在电子轨道处场强 rE 0π2ελ=电子受力大小 re eE F e0π2ελ==∴ rv mr e 20π2=ελ得 1320105.12π2-⨯==emv ελ1m C -⋅8-19 空气可以承受的场强的最大值为E =30kV ·cm -1.超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器.极板间距离为d =0.5cm.解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 ∴ 4105.1d ⨯==E U V8-20 根据场强E与电势U 的关系U E -∇= .求下列电场的场强：(1)点电荷q 的电场；(2)总电量为q .半径为R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子ql p =的l r >>处(见题8-20图)解: (1)点电荷 rqU 0π4ε=题 8-20 图∴ 0200π4r r q r r U E ε=∂∂-= 0r为r 方向单位矢量． (2)总电量q .半径为R 的均匀带电圆环轴上一点电势220π4x R qU +=ε∴ ()ix R qxi xU E 2/3220π4+=∂∂-=ε(3)偶极子l q p=在l r >>处的一点电势200π4cos ])cos 21(1)cos 2(1[π4r ql llr qU εθθθε=+--=∴ 30π2cos r p r U Erεθ=∂∂-= 30π4sin 1r p U r E εθθθ=∂∂-=8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说.(1)相向的两面上.电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上. 证: 如题8-21图所示.设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ.2σ.3σ.4σ题8-21图(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时.有0)(d 32=∆+=⋅⎰S S E sσσ∴ +2σ03=σ说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；(2)在A 内部任取一点P .则其场强为零.并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的.即222204321=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ3=σ∴ 1σ4σ=说明相背两面上电荷面密度总是大小相等.符号相同．8-22 三个平行金属板A .B 和C 的面积都是200cm 2.A 和B 相距4.0mm.A 与C 相距2.0 mm ．B .C 都接地.如题8-22图所示．如果使A 板带正电3.0×10-7C.略去边缘效应.问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零.则A 板的电势是多少?解: 如题8-22图示.令A 板左侧面电荷面密度为1σ.右侧面电荷面密度为2σ题8-22图(1)∵ AB AC U U =.即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴ 2d d21===ACAB AB AC E E σσ 且 1σ+2σSq A =得 ,32Sq A =σ Sq A 321=σ而 7110232-⨯-=-=-=A Cq S qσCC10172-⨯-=-=S q B σ (2)301103.2d d ⨯===AC AC AC A E U εσV8-23 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳.现给内球壳带电+q .(1)(2)先把外球壳接地.然后断开接地线重新绝缘.*(3)再使内球壳接地.解: (1)内球带电q +；球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +.且均匀分布.其电势题8-23图⎰⎰∞∞==⋅=22020π4π4d d R R R q rr q r E U εε (2)外壳接地时.外表面电荷q +入地.外表面不带电.内表面电荷仍为q -．所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生：0π4π42020=-=R q R q U εε(3)设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-.外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒).此时内球壳电势为零.且π4'π4'π4'202010=+-+-=R q q R q R q U A εεε 得 q R R q 21=' 外球壳上电势()22021202020π4π4'π4'π4'R q R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+-=8-24 半径为R 的金属球离地面很远.并用导线与地相联.在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q .试求：金属球上的感应电荷的电量．解: 如题8-24图所示.设金属球感应电荷为q '.则球接地时电势0=O U8-24图由电势叠加原理有：=O U 03π4π4'00=+Rq R q εε 得 -='q 3q8-25 有三个大小相同的金属小球.小球1.2带有等量同号电荷.相距甚远.其间的库仑力为0F ．试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1.2后移去.小球1.2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1.2很多次后移去.小球1.2 解: 由题意知 202π4r q F ε=(1)小球3接触小球1后.小球3和小球1均带电2q q =',小球3再与小球2接触后.小球2与小球3均带电q q 43=''∴ 此时小球1与小球2间相互作用力00220183π483π4"'2F rqr q q F =-=εε (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后.每个小球带电量均为32q .∴ 小球1、2间的作用力00294π432322F r qq F==ε *8-26 如题8-26图所示.一平行板电容器两极板面积都是S.相距为d .分别维持电势A U =U .B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间.片的面积也是S.片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ.2σ.3σ.4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件.电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程题8-26图⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++==+=+-==+=+===+65432154326543002101σσσσσσσσσσεσσσσεσσd U S qSq d U U C S S q B A解得 Sq 261==σσSq dU2032-=-=εσσ Sq dU2054+=-=εσσ所以CB 间电场 S qd U E00422εεσ+==)2d(212d 02Sq U E U U CB C ε+===注意：因为C 片带电.所以2U U C ≠.若C 片不带电.显然2U U C =8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳.介质相对介电常数为r ε.金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强；(2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D Sdrd r d ⋅+⋅=⎰⎰∞∞rrE E U 外内(1)介质内)(21R r R <<场强303π4,π4r rQ E r r Q D r εε ==内;介质外)(2R r <场强303π4,π4r rQ E r Qr D ε==外(2)介质外)(2R r >电势rQ E U 0rπ4r d ε=⋅=⎰∞外介质内)(21R r R <<电势2020π4)11(π4R Q R r q rεεε+-=)11(π420R r Q r r-+=εεε (3)金属球的电势r d r d 221⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内⎰⎰∞+=222020π44πdr R R Rr r Qdr rQ εεε)11(π4210R R Q r r-+=εεε 8-28 如题8-28图所示.在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．解: 如题8-28图所示.充满电介质部分场强为2E .真空部分场强为1E.自由电荷面密度分别为2σ与1σ由∑⎰=⋅0d q S D得11σ=D .22σ=D而 101E D ε=,202E D r εε=d21U E E == ∴r D D εσσ==1212题8-28图 题8-29图8-29 两个同轴的圆柱面.长度均为l .半径分别为1R 和2R (2R ＞1R ).且l >>2R -1R .两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时.求：(1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ＝.厚度为dr.长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S 则 rlDS D S π2d )(=⋅⎰当)(21R r R <<时.Q q =∑ ∴ rlQ D π2= (1)电场能量密度 22222π82l r Q D w εε==薄壳中 rlrQ rl r l r Q w Wεευπ4d d π2π8d d 22222===(2)电介质中总电场能量⎰⎰===211222ln π4π4d d R R VR R l Q rl r Q W W εε(3)电容：∵ CQ W 22=∴ )/ln(π22122R R lW Q C ε==*8-30 金属球壳A 和B 的中心相距为r .A 和B 原来都不带电．现在A 的中心放一点电荷1q .在B 的中心放一点电荷2q .如题8-30图所示．试求： (1) 1q 对2q 作用的库仑力.2q 有无加速度；(2)去掉金属壳B .求1q 作用在2q 上的库仑力.此时2q 有无加速度． 解: (1)1q 作用在2q 的库仑力仍满足库仑定律.即2210π41r q q F ε=但2q 处于金属球壳中心.它受合力．．为零.没有加速度． (2)去掉金属壳B .1q 作用在2q 上的库仑力仍是2210π41r q q F ε=.但此时2q 受合力不为零.有加速度．题8-30图 题8-31图8-31 如题8-31图所示.1C =0.25μF.2C =0.15μF.3C =0.20μF ．1C 上电压为50V ．求：AB U ． 解: 电容1C 上电量111U C Q =电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 355025231123232⨯===C U C C Q U86)35251(5021=+=+=U U U AB V8-32 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V”和“300 pF、900 V”.把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V .是否会击穿?解: (1) 1C 与2C 串联后电容1203002003002002121=+⨯=+='C C C C C pF(2)串联后电压比231221==C C U U .而100021=+U U∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿.然后2C 也击穿．8-33 将两个电容器1C 和2C 充电到相等的电压U 以后切断电源.再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：(1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．解: 如题8-33图所示.设联接后两电容器带电分别为1q ,2q题8-33图 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=+2122112121201021U U U C U C q q U C U C q q q q解得 (1) =1q U C C C C C q U C C C C C 21212221211)(,)(+-=+-(2)电场能量损失W W W -=∆0)22()2121(2221212221C q C q U C U C +-+= 221212U C C C C +=8-34 半径为1R =2.0cm 的导体球.外套有一同心的导体球壳.壳的内、外半径分别为2R =4.0cm 和3R =5.0cm.当内球带电荷Q =3.0×10-8C .求：(1)整个电场储存的能量；(2)如果将导体壳接地.计算储存的能量；(3)此电容器的电容值．解: 如图.内球带电Q .外球壳内表面带电Q -.外表面带电Q题8-34图(1)在1R r <和32R r R <<区域0=E在21R r R <<时 301π4r r Q E ε = 3R r >时 302π4r r Q E ε = ∴在21R r R <<区域⎰=21d π4)π4(21222001R R r r r Q W εε⎰-==21)11(π8π8d 2102202R R R R Q rr Q εε 在3R r >区域⎰∞==32302220021π8d π4)π4(21R R Q r r r Q W εεε ∴ 总能量 )111(π83210221R R R Q W W W +-=+=ε 41082.1-⨯=J(2)导体壳接地时.只有21R r R <<时30π4r r Q E ε =,02=W ∴ 4210211001.1)11(π8-⨯=-==R R Q W W ε J (3)电容器电容 )11/(π422102R R Q W C-==ε 121049.4-⨯=F。
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大学物理电磁学静电场经典习题详解
大学物理电磁学静电场经典习题详解
题：1964年，盖尔曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克构成，中子就是由一个带的上夸克和两个带下夸克构成，若将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为10?20 m），中子内的两个下夸克之间相距 10?15 m。
求它们之间的斥力。
题解：由于夸克可视为经典点电荷，由库仑定律
与方向相同表明它们之间为斥力。
题：质量为m，电荷为?e的电子以圆轨道绕氢核旋转，其动能为Ek。
证明电子的旋转频率满足
其中是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学规律。
题分析：根据题意将电子作为经典粒子处理。
电子、氢核的大小约为10?15 m，轨道半径约为10?10 m，故电子、氢核都可视作点电荷。
点电荷间的库仑引力是维持电子沿圆轨道运动的向心力，故有
由此出发命题可证。
证：由上述分析可得电子的动能为
电子旋转角速度为
由上述两式消去r，得
题：在氯化铯晶体中，一价氯离于Cl?与其最邻近的八个一价格离子Cs+构成如图所示的立方晶格结构。
（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作品格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。
题分析：铯离子和氯离子均可视作点电荷，可直接将晶格顶角铯离子与氯离子之间的库仑力进行矢量叠加。
为方便计算可以利用晶格的对称性求氯离子所受
的合力。
解：（l）由对称性，每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零，故
（2）除了有缺陷的那条对角线外，其它铯离子与氯离子的作用合力为零，所以氯离子所受的合力的值为
方向如图所示。
题：若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。
求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为
（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为
若棒为无限长（即），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。
题分析：这是计算连续分布电荷的电场强度。
此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理。
但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上。
如图所示，在长直线上任意取一线元，其电荷为dq Qdx/L，它在点P的电场强度为
整个带电体在点P的电场强度
接着针对具体问题来处理这个矢量积分。
若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，若点P在棒的垂直平分线上，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是
证：（1）延长线上一点P的电场强度，利用几何关系统一积分变量，则
电场强度的方向沿x轴。
根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿轴，大小为
利用几何关系统一积分变量，则
当棒长时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P点电场强度
此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同。
这说明只要满足，带电
长直细棒可视为无限长带电直线。
题：一半径为R的半圆细环上均匀分布电荷Q，求环心处的电场强度
题分析：在求环心处的电场强度时，不能将带电半圆环视作点电荷。
现将其抽象为带电半圆弧线。
在弧线上取线元dl，其电荷此电荷元可视为点电荷，它在点O的电场强度。
因圆环上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也是轴对称的，则有，点O的合电场强度，统一积分变量可求得E。
解：由上述分析，点O的电场强度
由几何关系，统一积分变量后，有
方向沿y轴负方向。
题：用电场强度叠加原理求证：无限大均匀带电板外一点的电场强度大小为（提示：把无限大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分叠加）
题分析：求点P的电场强度可采用两种方法处理，将无限大平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细长线元组成，它们的电荷分别为
求出它们在轴线上一点P的电场强度dE后，再叠加积分，即可求得点P的电场强度了。
证1：如图所示，在带电板上取同心细圆环为微元，由于带电平面上同心圆环在点P激发的电场强度dE的方向均相同，因而P处的电场强度电场强度E的方向为带电平板外法线方向。
证2：如图所示，取无限长带电细线为微元，各微元在点P激发的电场强度dE在Oxy平面内且对x轴对称，因此，电场在y轴和z轴方向上的分量之和，即Ey、Ez均为零，则点P的电场强度应为
积分得
电场强度E的方向为带电平板外法线方向。
上述讨论表明，虽然微元割取的方法不同，但结果是相同的。
题：水分子H2O中氧原子和氢原子的等效电荷中心如图所示。
假设氧原子和氢原子等效电荷中心间距为r0。
试计算在分子的对称轴线上，距分子较远处的电场强度。
题分析：水分子的电荷模型等效于两个电偶极子，它们的电偶极矩大小均为，而夹角为。
叠加后水分子的电偶极矩大小为，方向沿对称轴线。
由于点O到场点A的距离x r0，利用教材中电偶极子在延长线上的电场强度
可求得电场的分布。
也可由点电荷的电场强度叠加，求电场分布。
解1：水分子的电偶极矩
在电偶极矩延长线上
解2：在对称轴线上任取一点A，则该点的电场强度
由于
代入得
测量分子的电场时，总有x r0，因此，
式中，将上式化简并略去微小量后，得
题：无两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。
（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（2）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。
题分析：（1）在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加。
（2）由F qE，单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来乘以单位长度导线所带电的量，即：F E应该注意：式中的电场强度E是除去自身电荷外其它电荷的合电场强度，电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力。
题解：（1）设点P在导线构成的平面上，、分别表示正、负带电导线在P点的电场强度，则有
（2）设、分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有
显然有，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。
题：如图所示，电荷分别均匀分布在两个半径为R的半细圆环上。
求：（1）带电圆环偶极矩的大小和方向；（2）等效正、负电荷中心的位置。
题分析：（1）电荷分布呈轴对称，将细环分割成长度均为ds的线元，带正电荷的上半圆环线元与带负电荷的下半圆环对称位置上的线元构成一元电偶极子，细圆环总的偶极矩等于各元电偶极矩之和，有
（2）由于正、负电荷分别对称分布在y轴两侧，我们设想在y轴上能找到一对假想点，如果该带电环对外激发的电场可以被这一对假想点上等量的点电荷所激发的电场代替，这对假想点就分别称作正、负等效电荷中心。
等效正负电荷中心一定在y轴上并对中心O对称。
由电偶极矩p可求得正、负等效电荷中心的间距，并由对称性求得正、负电荷中心。
解：（1）将圆环沿y轴方向分割为一组相互平行的元电偶极子，每一元电偶极子带电
则带电圆环的电偶极矩
（2）等效正、负电荷中心间距为
根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐标分别为和。
也可以借助几何中心的定义，得
即正、负电荷中心分别在y轴上距中心 O为处
题：设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。
题分析方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S求积分，即。
方法2：作半径为R的平面与半球面S一起可构成闭合曲面，由于闭合面内
无电荷，由高斯定理
这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。
因而
解1：取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为
解2：由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有
依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS的方向，
题：边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。
现将立方体置于电场强度的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。
题解：参见图。
由题意E与Oxy面平行，所以对任何与Oxy面平行的立方体表面。
电场强度的通量为零。
即。
而
考虑到面CDEO与面ABGF的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，故有
同理
因此，整个立方体表面的电场强度通量
题：地球周围的大气犹如一部大电机，由于雷雨云和大气气流的作用，在晴天区域，大气电离层总是带有大量的正电荷，云层下地球表面必然带有负电荷。
晴天大气电场平均电场强度约为120 V m，方向指向地面。
试求地球表面单位面积所带的电荷（以每平方厘米的电子数表示）。
题分析：考虑到地球表面的电场强度指向地球球心，在大气层中取与地球同心的球面为高斯面，利用高斯定理可求得高斯面内的净电荷。
解：在大气层临近地球表面处取与地球表面同心的球面为高斯面，其半径（RE 为地球平均半径）。
由高斯定理
地球表面电荷面密度
单位面积额外电子数w
题：设在半径为R的球体内，其。