2020年河南省洛阳市高三第一次统考 理科数学 试卷及答案
2020届河南省洛阳市高三上学期统一考试数学（理）试题（解析版）
2020届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试（1月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A ．{}0,1B ．{}2,1--C ．{}1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】B【解析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A ．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B ．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C ．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D ．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D【解析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4．已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比qA ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【解析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A ．126B ．122C ．117D ．115【答案】B【解析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B 【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题.6．圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．9【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12215254333b a a b ⎛⎫≥+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B 【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7．函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项. 【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8．正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A ．33033+B ．3309+C ．123D ．991022+ 【答案】A【解析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为23，则底面积为33，侧棱长为13，则可求侧面积为330，所以可得表面积. 【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=333ABCS=,又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则22223213AS AH SH +=+则在等腰SAB 中12310302SABS=⨯=所以侧面积为330所以表面积为33033故选 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9．已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．5C ．173D ．179【答案】C【解析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率. 【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即3c e a ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A ．① B ．③C ．①③D ．①②③【答案】C【解析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确. 【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点，1CEM DD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确.综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．][(),22,⋃∞-+∞-B ．,21,(][)∞⋃+∞--C ．,12[),(]-∞⋃+∞-D ．[]22-,【答案】A 【解析】求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-.故选：A 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】 依题意()222a b a b +=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9-【解析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15．已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b +=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________．【答案】2213620x y += 【解析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. 【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q N N 三点共线，所以0002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=.故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16．已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x =-，()'ln 1x h x x-=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e ≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e ≤-.②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a .③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围. 【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-. 将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即3sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,23]b c +∈ 所以周长a b c ++范围是3 3 (],33+. 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18．如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）512⎤⎥⎣⎦【解析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD ⊥2221203BD AB AD AB AD cos =+-⋅⋅︒=，2BC =.又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设03()EM m m =≤≤，则()()3,0,0,0,1,0,000),(,B C D ，(()3,3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x =00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(130330x y m x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,3y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,3()n m =. 设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>()2,3312n BD n BDm ==-+∴当0m =53m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为51,52⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA . 【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x kx x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =- 代人①解得12k =∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQx x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212212112188022x x x x x x x x x x x x ++===--1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20．设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+.(1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析 【解析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间. （2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x fx kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232xf x e x x x =--+ ()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1xxh x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <， ()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21xx x f x ex e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <. ()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11xe kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x lnx x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>=∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+>【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈，1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈， 1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线.（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位. 【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥= 即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭.则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥=⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，01801.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分. (2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈， 即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位. 【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.22．在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23．设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形. （2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+， 即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)
2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2}2.已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C ．D．23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8105 6.8117.4 4月8.1117.78.2138.4 5月9.685.610.2125.6 6月8.631.78.442.9 7月953.68.447.7 8月9.93910.149.5 9月12.764.412.154.810月14.658.113.85111月17.336.916.937.61﹣﹣12月12759.9125.661.72019年1月9.11139.61382月 5.950.9 5.353.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6.圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97.函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8.正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9.已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10.设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题（共4小题）13.平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14.若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣．15.已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16.已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为≤﹣．三、解答题（共7小题）17.在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18.如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19.过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥P A1．20.设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y ≤1.04）≈0.85．22.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23.设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．2020年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z﹣1|．【解答】解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．【知识点】复数求模3.【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．【解答】解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．【知识点】进行简单的合情推理4.【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．【知识点】等差数列与等比数列的综合、等比数列的通项公式5.【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．【解答】解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．【知识点】古典概型及其概率计算公式6.【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．【知识点】函数图象的作法8.【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．【解答】解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．【知识点】由三视图求面积、体积9.【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．【知识点】双曲线的简单性质10.【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，【解答】解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞c＞b．故选：B．【知识点】不等关系与不等式、奇偶函数图象的对称性11.【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用12.【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．【解答】解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．【知识点】数列与不等式的综合、数列递推式二、填空题（共4小题）13.【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．【解答】解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律14.【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．【解答】解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．【知识点】简单线性规划15.【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；【解答】解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．【知识点】椭圆的简单性质16.【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．【解答】解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．【知识点】函数恒成立问题三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．【解答】解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．【知识点】余弦定理18.【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．【解答】解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．【知识点】直线与平面所成的角、平面与平面垂直的判定19.【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥P A1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥P A1．【知识点】抛物线的简单性质20.【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．【解答】解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．【知识点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值21.【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．【解答】解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义22.【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．【解答】解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a＜3．【知识点】函数图象的作法、不等式恒成立的问题。
【全国市级联考】河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试数学(理)试题
洛阳市2019-2020学年高三年级第一次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合*2{|20}A x N x x =∈--≤，{2,3}B =，则A B =U （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{1,2,3} C ．[1,2]- D ．[1,3]-2.若复数z 为纯虚数，且(1)i z a i +=-（其中a R ∈），则||a z +=（ ） A ． 2 B ．3 C ． 2 D ．53.函数sin ln ||xy x =的图像大致为（ ）4.在区间[1,1]-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥-的概率是（ ） A ．29 B ．79 C. 16 D ．565.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A ． 24种B ．36种 C. 48种 D ．60种 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．936 B ．636+ C. 336+ D ．12367.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过左焦点1F 的直线切圆222x y a +=于点P ，交双曲线C 右支于点Q ，若1F P PQ =u u u r u u u r，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．y x =± C. 2y x =± D ．32y x =± 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈3.14159π=L ，判断下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．36031d V ≈．32d V ≈ 3158d V ≈．32111d V ≈ 9.已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5y z x =-的取值范围为（ ）A ．24[,]33-B ．42[,]33- C. 23(,][,)34-∞-+∞U D ．33(,][,)42-∞-+∞U10.设,A B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO CB u u u r u u u rg 的取值范围是（ ） A ．[1,3]- B ．[1,3] C. [3,1]-- D ．[3,1]- 11.已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-满足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）A．(0)()4f π> B()()34f ππ< C. (0)2()3f f π> D()()34f ππ-<-12.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．3[,4]4ππ B ．5[,4]4ππ C. 7[,4]4ππ D ．11[,4]4ππ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan()24πα+=，则2sin 3sin cos ααα=+ ．14.数列{}n a 首项12a =，且*132()n n a a n N +=+∈，令3log (1)n n b a =+，则21211{}n n b b -+的前2019项的和2019S = ．15. 27(32)()x y x y +-的展开式中含有54x y 的项的系数为 ．16.若函数2()2x ae f x x x x+=-+在(0,)+∞上仅有一个零点，则a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，D 是直角ABC ∆斜边BC上一点，AC =.（1）若030DAC ∠=，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且23AD =，求DC 的长.18. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，//ED PA ，且22PA ED ==.（1）求证：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线PC 与平面ABCD 所成的角为045，求二面角P CE D --的余弦值.19. 已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 另一个焦点是1F ，且1294MF MF =u u u u r u u u u r g . （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点(1,0)-，且与椭圆C 交于,P Q 两点，求2F PQ ∆的内切圆面积的最大值. 20. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值. 21. 已知函数()ln(1)1x f x e ax x =+++-.（1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证：232ee <. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线1C ，2C 的公共点为,A B .（1）求直线AB 的斜率；（2）若点,C D 分别为曲线1C ，2C 上的动点，当||CD 取最大值时，求四边形ACBD 的面积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDD 6-10: ACDAA 11、12：DB 二、填空题13. 13 14. 20194039 15. -21 16. 5ln 24-三、解答题17.（1）在ABC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠，∵AC =，∴sin 2ADC DAC ∠=∠=， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，AC =，于是sin 3AC B BC ==，cos 3B =，AB =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AD AB BD AB BD B =+-g ，即2222642223x x x x =+-⨯⨯=，x =DC =18.证明：（1）连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ，连接,OF EF ， ∵,O F 分别为,AC PC 的中点， ∴//OF PA 且12OF PA =， ∵//DE PA 且12DE PA =， ∴//OF DE 且OF DE =， ∴四边形OFED 为平行四边行， ∴//OD EF ，即//BD EF ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA BD ⊥ ∵ABCD 是菱形， ∴BD AC ⊥， ∵PA AC A =I ， ∴BD ⊥平面PAC ， ∵//BD EF ，∴EF ⊥平面PAC ， ∵FE ⊂平面PCE ， ∴平面PAC ⊥平面PCE .（2）∵直线PC 与平面ABCD 所成角为045， ∴045PCA ∠=， ∴2AC PA ==， ∴AC AB =，故ABC ∆为等边三角形，设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥，以A 为原点，,,AM AD AP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2)P ，3,1,0)C ，(0,2,1)E ，(0,2,0)D ，3,1,2)PC =-u u u r ，(3,1,1)CE =u u u r ，(0,0,1)DE =u u u r，设平面PCE 的法向量为111(,,)n x y z =r，则00n PC n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u rg r u u u r g ，即11111132030x y z x y z +-=-++=⎪⎩，令11y =，则112x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴2)n =r设平面CDE 的法向量为222(,,)m x y z =u r，则00m DE m CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u rg，即222200z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 令21x =，则220y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴m =u rcos ,||||n m n m n m <>===r u rr u r g r u r g 设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，∴cos 4θ=-即二面角P CE D --的余弦值为4-. 19.（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2cM c . ∵12339(2,)(0,)224MF MF c c c =---=u u u u r u u u u r g g ∴1c =又222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为22143x y += （2）由（1）知，1(1,0)F -，过点1(1,0)F -的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，则2F PQ ∆的周长为48a =，又2142F PQ S a r ∆=g g （r 为三角形内切圆半径），∴当2F PQ ∆的面积最大时，其内切圆面积最大. 设直线l 的方程为：1x ky =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得22(43)690k y ky +--=，∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩∴212121||||2F PQS F F y y ∆=-=g gt =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t∆=+令1()3f t t t =+，21'()3f t t =-当[1,)t ∈+∞时，'()0f t >，1()3f t t t =+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t∆=≤+，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ ∆的面积最大值为3，结合21432F PQ S a r ∆==g g ，得r 的最大值为34，∴内切圆面积的最大值为916π. 20.（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227⨯+-⨯+-⨯=元（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3373107(0)24C P C ξ=== 217331021(1)40C C P C ξ=== 12733107(2)40C C P C ξ=== 333101(3)120C P C ξ=== 故ξ的分布列为∴721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3(10,)5X B :， 可知101032()()()55k k k P x k C -==（0,1,2,3,10k =L ） 10119101010111110103232()()()()55553232()()()()5555k k k k k k k k k k k kC C C C -++-----⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得：283355k ≤≤，*k N ∈ ∴当6k =时概率最大，∴6k =.21.（1）法一：若0x ≥时，则1'()1x f x e a x =+++，令()'()g x f x =21'()(1)x g x e x =-+，'()g x 在[0,)+∞上单调递增，则'()'(0)0g x g ≥=则'()f x 在[0,)+∞上单调递增，'()'(0)2f x f a ≥=+①当20a +≥，即2a ≥-时，'()0f x ≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增， 此时()(0)0f x f ≥=，满足题意②若2a <-，由'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.法二：若2x ≥-时，1'()1x f x e a x =+++，①0a ≥，令()1x g x e x =--，则'()10x g x e =-≥，()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+11'()(1)11x f x e a x a a x x =++≥+++≥++20a =+≥∴函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=成立.②若2a <-，由2221(1)1''()0(1)(1)x x x e f x e x x +-=-=≥++∴函数'()f x 在[0,)+∞上单调递增，由于'(0)20f a =+<，x →+∞，'()0f x >故0(0,)x ∃∈+∞，使得0'()0f x =，则当00x x <<时，0'()'()0f x f x <= ∴函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，∴0()(0)0f x f <=，不恒成立，舍去，综上所述，实数a 的取值范围是[2,)-+∞.（2）证明：由（1）知，当2a =-时，()ln(1)1x f x e ax x =+++-在[0,)+∞上单调递增， 则1()(0)2f f >，即1211ln(1)102e -++->∴3ln 22>∴232e >232e <.22.（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程221:20C x y y +-= （ⅰ） 将曲线2:4cos C ρθ=化为直角坐标方程得：2240x y x +-= （ⅱ） 由（ⅰ）-（ⅱ）化简得：2y x =，即为直线AB 的方程， 故直线AB 的斜率为2.（2）由221:20C x y y +-=，知直线1C 是以1(0,1)C 为圆心，半径为1的圆， 由222:40C x y x +-=，知曲线2C 是以2(2,0)C 为圆心，半径为2 的圆， ∵1122||||||||CD CC C C DC ≤++∴当||CD 取得最大值时，圆心1C ，2C 在直线CD 上，∴直线CD （即直线12C C ）的方程为：22x y +=∵O 到直线CD 的距离为5d ==，即||AB =此时12||||123CD C C =++=∴四边形ACBD 的面积1||||225S CD AB ==+g g .23.（1）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--由()2f x ≥，解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()21(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<；当1x ≥时，()21(1)2f x x x x =+--=+， 由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥. ∴()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞U .（2）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4)，∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立， 原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+， ∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10， 即m 的取值范围是[4,10]-.。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(解析版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项. 【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题.3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【答案】D【解析】【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项.【详解】对于A选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A选项结论正确.对于B选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B选项结论正确.对于C选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C选项结论正确.对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ） A.126B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b aa b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值.7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题. 8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. D.92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD==，AB=AC=BC=ABCS =又SH为侧视图中的高，所以SH=3，则AS=,则在等腰SAB中12SABS=⨯=所以侧面积为A.【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F分别是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足12212,4F F OP tan PF F=∠=，则双曲线C的离心率为（）B. 5D.179【答案】C【解析】【分析】根据122F F OP=判断出三角形12F F P是直角三角形，利用214tan PF F∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于1222F F OP c==，所以三角形12F F P是直角三角形.所以12121222221212424PFtan PF FPFPF PF aPF PF F F c⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179ca=，即cea==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系.【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24l o g 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选：B【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】的【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误. 延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t at +-≥恒成立，即2240t at +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】利用()222a b a b +=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==.所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】分析】 先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围.【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭. 【故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+322(6)2sinB cosB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<，即sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(10y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,n BDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=- 由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=.(2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +--- 114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x x h x e x h x e =-=-，()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()x g x e kx =-，0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33xe kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=-下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+ 令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ. 令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【解析】分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解.【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=， 即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=， 将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题. 23.设函数()211f x x x =-++.【(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。
2020年河南省洛阳市高三第一次统考 理科数学试卷
A. 2017 年 3 月份我国新能源汽车的产量不超过 3.4 万辆
B. 2017 年我国新能源汽车总销量超过 70 万辆
C. 2018 年 8 月份我国新能源汽车的销量高于产量
1
A.
4
1
B.
2
C. 2
D. 4
5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于 2 的偶
数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素
数)，如 40= 3 + 37 .在不超过 40 的素数，随机选取 2 个不同的数，这两个数的和等于 40 的概率是（ ）
A. {0,1}
B. {-2, −1}
C. {1}
D. {0,1, 2}
2.已知复数 z 在复平面中对应的点 ( x, y) 满足 ( x −1)2 + y2 = 1，则 z −1 =（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 2
3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从 2001 年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图 表反映了该产业发展的相关信息:
洛阳市 2019--2020 学年高中三年级第一次统一考试
数学试卷(理)
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
{ } 1.已知集合= M x | x ( x − 2) < 0 ， N ={−2, −1,0,1, 2} ，则 M N = （ ）
）
A.
B.
C.
D.
8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）
2020年高考模拟河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科) 含解析
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．23．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.6 1﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6 根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．45．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．97．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]二、填空题13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（）A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1} C．{1} D．{﹣2，﹣1，0，2} 【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．解：∵M＝{x|0＜x＜2}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴M∩N＝{1}．故选：C．2．已知复数z在复平面中对应的点（x，y）满足（x﹣1）2+y2＝1，则|z﹣1|＝（）A．0 B．1 C．D．2【分析】由于（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．即可得出|z ﹣1|．解：（x﹣1）2+y2＝1，表示以C（1，0）为圆心，1为半径的圆．则|z﹣1|＝1．故选：B．3．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展．下面的图表反映了该产业发展的相关信息：中国新能源汽车产销情况一览表新能源汽车产量新能源汽车销量产量（万辆）比上年同期增长（%）销量（万辆）比上年同期增长（%）2018年3月 6.8 105 6.8 117.4 4月8.1 117.7 8.2 138.45月9.6 85.6 10.2 125.66月8.6 31.7 8.4 42.97月9 53.6 8.4 47.78月9.9 39 10.1 49.59月12.7 64.4 12.1 54.810月14.6 58.1 13.8 5111月17.3 36.9 16.9 37.61﹣﹣12月127 59.9 125.6 61.72019年1月9.1 113 9.6 138 2月 5.9 50.9 5.3 53.6根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A．2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆B．2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆C．2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D．2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆【分析】由图表信息中2018年的信息，根据增长量即可算出2017年的信息，判断出A，B正确，2018年8月份信息直接从表中可查到，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量结合扇形图即可求出．解：由图表信息可知，2017年3月份我国新能源汽车的产量为：，所以选项A正确；由图表信息可知，2017年我国新能源汽车总销量为：，所以选项B 正确；由图表信息可知，2018年8月份我国新能源汽车的销量为10.1，产量为9.9，所以选项C正确；由图表信息可知，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量为：9.6×0.25＝2.4，所以选项D错误，故选：D．4．已知正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，且a4，a6+1，a7成等差数列，则该数列公比q为（）A．B．C．2 D．4【分析】运用等比数列的性质和通项公式，等差数列的中项性质，解方程可得所求公比．解：正项等比数列{a n}中，a3a5＝4，可得q＞0，a42＝a3a5＝4，即a4＝2，a4，a6+1，a7成等差数列，可得a4+a7＝2a6+2，即2+2q3＝4q2+2，解得q＝2，故选：C．5．我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就．哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），如40＝3+37．在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（）A．B．C．D．【分析】不超过40的素数有12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，利用列举法求出这两个数的和等于40包含的基本事件有3个，由此能求出这两个数的和等于40的概率．解：不超过40的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个，随机选取2个不同的数，基本事件总数n＝＝66，这两个数的和等于40包含的基本事件有：（3，37），（11，29），（17，23），共3个，∴这两个数的和等于40的概率是p＝＝．故选：B．6．圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（）A．1 B．3 C．5 D．9【分析】由已知可得a+2b＝3，即，则＝（）（），展开后利用基本不等式求最值．解：圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的圆心坐标为（1，﹣2），由圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0关于直线ax﹣by﹣3＝0（a＞0，b＞0）对称，∴a+2b＝3，即，则＝（）（）＝+．当且仅当，即a＝，b＝时上式取等号．∴的最小值是3．故选：B．7．函数（e为自然对数的底数）的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：先分析函数的奇偶性排除B、D，再分析可得当0＜x ＜时，f（x）＞0，排除A；即可得答案．解：根据题意，函数，其定义域为{x|x≠0}，有﹣（）＝﹣f（x），即函数f （x）为奇函数，排除B、D；又由当0＜x＜时，f（x）＞0，排除A，故选：C．8．正三棱锥的三视图如，图所示，则该正三棱锥的表面积为（）A．B．C．D．【分析】利用三视图求出三棱锥的底面边长以及侧棱长，然后求解表面积．解：应用可知三棱锥的高为：3，底面三角形的高为：3，则底面正三角形的边长为：a；所以，解得a＝2．斜高为：＝，该三棱锥的表面积为：3×+＝3+3．故选：A．9．已知点F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1＝4，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．D．【分析】点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．解：点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2＝90°，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∵tan∠PF2F1＝4，所以|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|＝a，|PF2|＝a，由|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，即（）2+（）2＝4c2，即有c2＝a2，e＝，故选：C．10．设f（x）是定义在R上的函数，满足条件f（x+1）＝f（﹣x+1），且当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3，则a＝f（log27），的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【分析】由已知可得函数的图象关于x＝1对称，又x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，解：由f（x+1）＝f（﹣x+1）可得函数的图象关于x＝1对称，又当x≤1时，f（x）＝e﹣x﹣3单调递减，故x＞1时函数图象单调递增，距离对称轴越远，函数值越大，∵log27∈（2，3），，3﹣1.5，故a＞b＞c．故选：A．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E为棱CC1的中点．下列结论：①线段BD上存在点F，使得CF∥平面AD1E；②线段BD上存在点F，使CF⊥得平面AD1E；③平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，其中所有正确的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②③【分析】由题意建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的一个法向量，利用空间向量分析①②；找出平面AD1E截正方体所得截面，求解体积判断③．解：建立如图所示空间直角坐标系，A（1，0，0），D1（0，0，1），E（0，1，），C（0，1，0），设F（t，t，0）（0≤t≤1），则，，＝（t，t﹣1，0）．设平面AD1E的一个法向量为，由，取z＝1，则．由，解得t＝∈[0，1]，故①正确；由＝（t，t﹣1，0），，知与不共线，故②错误；平面AD1E把正方体分成两部分如图，正方体体积为1，三棱台ECH﹣D1DA的体积V＝，∴平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为，故③正确．∴①③正确．故选：C．12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1＞1，且6S n＝a n2+3a n+2．若对于任意实数a∈[﹣2，2]．不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[﹣2，2]【分析】根据a n与S n的关系，求得a n的通项公式，消元，利用一元函数的根的分布问题，即可求得t取值范围．解：由6S n＝a n2+3a n+2，当n＝1时，6a1＝a12+3a1+2．解得a1＝2，当n≥2时，6S n﹣1＝a n﹣12+3a n﹣1+2，两式相减得6a n＝a n2+3a n﹣（a n﹣12+3a n﹣1），整理得（a n+a n）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，﹣1由a n＞0，所以a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝3，所以数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以a n+1＝2+3（n+1﹣1）＝3n+2，所以＝＝3﹣＜3，因此原不等式转化为2t2+at﹣1≥3对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*恒成立，化为：2t2+at﹣4≥0，设f（a）＝2t2+at﹣4，a∈[﹣2，2]，可得f（2）≥0且f（﹣2）≥0，即有，即，可得t≥2或t≤﹣2，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．平面向量与的夹角为60°，且，，则＝．【分析】由已知求得||，然后求出，开方得答案．解：∵，∴，又与的夹角为60°，，∴＝9+4×3×1×cos60°+4＝19．∴＝故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是﹣9 ．【分析】作出平面区域，结合Z最小，截距最小平移直线2x+y＝0确定最小值即可．解：作出不等式组件所表示的平面区域，作出直线2x+y＝0，对该直线进行平移，结合Z最小，直线的截距最小；可以发现经过点C（﹣3，﹣3）时Z取得最小值﹣9；故答案为：﹣9．15．已知椭圆为右顶点．过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，直线QM交x轴于N（2，0），椭圆C的离心率为，则椭圆C的标准方程为．【分析】设出P点坐标，表示出M的坐标，由Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ可计算出a，从而解决问题；解：设P（x，y），则由A（a，0）；线段AP的中点为M，则M（，）；由题意，Q，N，M三点共线，k MN＝k NQ；即＝；可得x+a﹣4＝2+x；所以a＝6，由椭圆C的离心率为，得c＝4，b2＝20；故椭圆C的标准方程为：．故答案为：．16．已知函数，且f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，则实数a的取值范围为a≤﹣或a＝e2．【分析】通过讨论f（x）的符号，结合函数的单调性判断出a的范围即可．解：若f（x）g（x）≤0在定义域内恒成立，考虑以下情形：①当f（x）≤0，g（x）≥0同时恒成立时，由f（x）＝lnx+2ax≤0，即﹣2a≥恒成立，设h（x）＝，h′（x）＝，当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）递减，当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）递增，可得x＝e处h（x）取得极大值，且为最大值，可得﹣2a≥，即a≤﹣；∵由g（x）≥0，即﹣a≥0恒成立得a≤0．∴a≤﹣；②当f（x）≥0，g（x）≤0同时恒成立时，a不存在；③当a＞0时，∵f（x）＝lnx+2ax为增函数，g（x）＝﹣a为减函数，若它们有共同零点，则f（x）•g（x）≤0恒成立，由f（x）＝lnx+2ax＝0，g（x）＝﹣a＝0，联立方程组解得：a＝e2．综上可得a≤﹣或a＝e2．故答案为：a≤﹣或a＝e2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c．（1）若△ABC的面积S满足且b＞c，求b的值；（2）若且△ABC为锐角三角形．求△ABC周长的范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan C，进而可求C，然后再由余弦定理即可求解b，（2）由已知结合正弦定理可表示b，c，然后根据和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质可求．解：（1）∵4，所以，即tan C＝，又因为0＜C＜π，所以C＝，因为c＝，a＝4，由余弦定理可得cos＝，解可得，b＝3或b＝，因为b＞c＝，所以，b＝3；（2），由正弦定理可得，＝，故b＝2sin B，c＝2sin C＝2sin（），由题意可知，，解可得，，则△ABC周长为2sin（）+2sin B＝，＝，因为，所以，故＜sin（B+）≤1，因此三角形的周长的范围（3+，3]．18．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面BDEF⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠ABC＝60°（1）求证：平面CDE⊥平面BDEF；（2）点M为线段EF上一动点，求BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围．【分析】（1）先求出BD⊥DC，再证明CD⊥平面BDEF，再根据面面垂直的判断定理求出即可；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量，BD的方向向量，利用夹角公式，结合函数的最值，求出即可．解：（1）等腰梯形ABCD，AD＝AB＝1，由∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，BD＝＝，BC＝1+＝2，所以BC2＝CD2+BD2，BD⊥DC，由平面BDEF⊥平面ABCD，BD＝平面BDEF∩平面ABCD，所以CD⊥平面BDEF，又CD⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面BDEF；（2）根据题意，以D为圆心，以DB，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设EM＝m∈[0，]则B（，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），M（m，0，），，，设平面BMC的法向量为，由，令x＝，y＝3，z＝，故，设BD与平面BCM的夹角为θ，所以sinθ＝|cos＜＞|＝，m∈[0，]，所以当m＝0时取最小值，m＝取最大值，故BD与平面BCM所成角正弦值的取值范围为[]．19．过点P（0，2）的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两点．（1）若，且点A在第一象限，求直线AB的方程；（2）若A，B在直线y＝﹣2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为Q，求证BQ∥PA1．【分析】本题第（1）题由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．然后由，根据定比分点的知识，可得＝2，＝0．将y1＝kx1+2，y2＝kx2+2代入最终可得到k的值，则即可求出直线AB的方程；第（2）题先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．再根据题意写出∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．再根据平行向量的坐标公式x1y2﹣x2y1＝0进行代入计算即可证明BQ∥PA1．【解答】（1）解：由题意，设过点P（0，2）的直线l的斜率为k，则l：y＝kx+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．∵，∴根据定比分点的知识，有＝2，＝0．∴x1+2x2＝6，y1+2y2＝0．∵y1+2y2＝kx1+2+2（kx2+2）＝＝k（x1+2x2）+6＝6k+6＝0，解得k＝﹣1．∴直线AB的方程为y＝﹣x+2．（2）证明：根据（1），联立直线l与抛物线方程，得，整理，得x2﹣4kx﹣8＝0．则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣8．∵A1（x1，﹣2），B1（x2，﹣2）．∴Q（，﹣2）．∴＝（﹣x2，﹣2﹣y2），＝（x1，﹣4）．∵（﹣x2）•（﹣4）﹣x1•（﹣2﹣y2）＝4•+x1•（y2+2）＝2x2﹣2x1+x1y2+2x1＝2x2+x1y2＝2x2+x1•＝2x2+•x1•x2＝2x2+•（﹣8）＝0．∴BQ∥PA1．20．设函数．（1）若k＝1，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求k的取值范围，并证明：x1+x3＞2x2．【分析】（1）将k＝1代入f（x）中，然后利用导数求得f（x）的单调区间．（2）先求得f（x）的导函数f′（x）＝（e x﹣kx）（x﹣1），则g（x）＝e x﹣kx有两个不同的零点，且都不是1，然后对k分成k≤0，k＞0两种情况分类讨论，利用导数研究g（x）的单调性和零点，由此求得k的取值范围．进一步证明x1+x3＞2x2．解：（1）当k＝1时，，∴f'（x）＝（e x﹣x）（x﹣1）．令h（x）＝e x﹣x，则h'（x）＝e x﹣1，∴由h'（x）＞0得x＞0，h'（x）＜0得x＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增．∴h（x）≥h（0）＝1＞0即e x﹣x＞0，∴解f'（x）＞0得x＞1，解f'（x）＜0得x＜1，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，1），单调增区间为（1，+∞）．（2）f'（x）＝e x（x﹣2）+e x﹣kx2+kx＝（e x﹣kx）（x﹣1），∵f（x）有三个极值点，∴方程e x﹣kx＝0有两个不等根，且都不是1，令g（x）＝e x﹣kx，当k≤0时，g（x）单调递增，g（x）＝0至多有一根，∴当k＞0时，解g'（x）＞0得x＞lnk，解g'（x）＜0得x＜lnk．∴g（x）在（﹣∞，lnk）上递减，在（lnk，+∞）上递增，∴g（lnk）＝e lnk﹣klnk＝k（1﹣lnk）＜0，k＞e，此时，g（0）＝1＞0，lnk＞1，g（1）＝e﹣k＜0，x→+∞时g（x）→+∞．∴k＞e时，f'（x）＝0有三个根x1，x2，x3，且0＜x1＜1＝x2＜x3，由得x1＝lnk+lnx1，由得x3＝lnk+lnx3，∴．下面证明：，可变形为令，，，∴φ（x）在（1，+∞）上递增，∴φ（t）＞φ（1）＝0，∴，∴x3+x1＞2x2．21．“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X的分布X～N（180，832），利用录取率列方程，由此求得最低录取分数线；（2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位．解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，即有P（X＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，可得N（180，832），设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，可得x0≈266.32，即最低录取分数线为266到267分之间；（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径r＝3，Q点在圆C上运动，以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C的参数方程；（2）若P点在线段OQ上，且|OP|：|PQ|＝2：3，求动点P轨迹的极坐标方程．【分析】（1）直接利用转换关系式的应用把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和关系式的转换的应用求出结果．解：（1）由已知得，圆心的直角坐标为，r＝3，所以C的直角坐标方程为，所以圆C的参数方程为（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为，即．设P（ρ，θ），Q（ρ1，θ），根据|OP|：|PQ|＝2：3，可得ρ：ρ1＝2：5，将代入C的极坐标方程得，即动点P轨迹的极坐标方程为．23．设函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）若不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用分段函数表示f（x），画出y＝f（x）的图象即可；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，化为|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，求出g（x）的最小值，从而求得a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝；画出y＝f（x）的图象，如图所示；（2）不等式f（x）＞a﹣|x+1|对x∈R成立，即|2x﹣1|+2|x+1|＞a对x∈R成立；设g（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|，则g（x）＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|（2x﹣1）﹣（2x+2）|＝3，当且仅当﹣1≤x≤时取等号；所以实数a的取值范围是a≤3．。
【数学】河南省洛阳市2020届高三第一次统一考试 数学(理)(PDF版含答案)
20
=1
ι 16. {a I a =e2 或 α《 t:.,e ｝
三、解答题
+ + + 17. (1）由条件和正弦定理得 4./3S c2 =2./3ahsinC c2 =a2 b2 , + 即 2./3ahsinC ＝α2 b2 _ c2 .
分 分
+ 将余弦定理 a2 b2 -c2 =2ahcosC
面 ABCD,
CD 上平面 BDEF,
……4 分
CD C平面 CDE,
．． · 平面 CDE i平面 BDEF.
……5分
(2）解：由(1）知，分别以直线 DB，町， DE 为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标
一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一
项是符合题目要求的．
阳明型
1.已知集合M二｛.r I .r(x-2)·< O}, N = {-2， 一 1,0,1,2｝，则 M 门 N=
A.{ o, 1}
B.{-2 , - 1-}
C. { 1}
D. { O, 1 ; 2}
的左，右焦点，0 为坐标原点，点P在双曲线C 的右支上，且
� "ifzll
满足 I F,F2 I= 2 I OP I,tanL三PF2F1 = 4 ，则双曲线C 的离心率为
A.,/5
B. 5
C.工. /ι1 7 3
'
17 9
10.设Jb： ） 是定义在R上的函数，满足条件f(x+ 1) = f(-x+ 1)，且当zζ1时，
根据上述图表信息，下列结论错误的是
2019年1 月份新能源 汽牢销量结构图
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(教师版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,2【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()20x x -<，解得{}|02M x x =<<，所以M N ={}1.故选：C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，判断出正确选项.【详解】由于复数z 在复平面中对应点(),x y 满足()2211x y -+=，即复数z 对应点在圆心为()1,0，半径为1的圆上，1z -表示复数对应的点到()1,0的距离，也即圆上的点到圆心的距离，所以11z -=. 故选：B【点睛】本小题主要考查复数对应点的坐标以及复数模的几何意义，考查圆的方程，属于基础题. 3.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆 【答案】D 【解析】 【分析】根据图表对选项逐一分析，由此确定结论错误的选项. 【详解】对于A 选项，2017年3月份我国新能源汽车的产量 6.8 6.83.32 3.41 1.05 2.05=≈<+，故A 选项结论正确.对于B 选项，2017年我国新能源汽车总销量125.6125.677.677010.617 1.617=≈>+，故B 选项结论正确.对于C 选项，2018年8月份我国新能源汽车的销量10.1万量，高于产量9.9万量，故C 选项结论正确. 对于D 选项，2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量9.60.25 2.42⨯=>，故D 选项结论错误. 故选：D【点睛】本小题主要考查图表数据分析，考查阅读与理解能力，属于基础题.4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值. 【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==. 故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122C.117D.115【答案】B 【解析】 【分析】先求得40以内的素数的个数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】40以内的素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个，任选两个的方法数有21212116621C ⨯==⨯种，和为40的有33740,112940,172340+=+=+=共3种，所以不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是316622=. 故选：B【点睛】选本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，考查素数的知识，属于基础题. 6.圆222410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5D. 9【答案】B 【解析】求得圆心，代入直线30ax by --=，利用基本不等式求得12a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y +-++=的圆心为()1,2-，由于圆关于直线30ax by --=对称，圆心坐标满足直线方程，所以23a b +=，所以12a b +()1122123253b a a b b b a a +⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11554333⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22,1b a a b a b===时等号成立. 故选：B【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查基本不等式求最小值. 7.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】由于()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，由此排除B,D 两个选项. 当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x >，由此排除A 选项. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9 C. 92【答案】A 【解析】 【分析】通过三视图还原出立体图，通过条件可求得底面正三角形边长为则可求侧面积为.【详解】如图所示，底面正三角的高AD=3，所以223AH AD ==，AB=AC=BC=ABCS =又SH 为侧视图中的高，所以SH=3，则AS =则在等腰SAB 中12SABS=⨯=所以侧面积为 A. 【点睛】本题考查已知三视图求几何体的表面积，准确的还原出立体图是解题的关键，属中档题.9.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.179【解析】 【分析】根据12 2F F OP =判断出三角形12F F P 是直角三角形，利用214tan PF F ∠=、双曲线的定义和勾股定理列方程组，化简后求得离心率.【详解】由于12 22F F OP c ==，所以三角形12F F P 是直角三角形.所以12121222221212424PF tan PF F PF PF PF a PF PF F F c ⎧∠==⎪⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎪⎩，化简得22179c a =，即c e a ==故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件将()27a f log =转换为247a f log ⎛=⎫⎪⎝⎭，根据1x ≤时()f x 的单调性，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a c b >>.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ① B. ③C. ①③D. ①②③【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，作出F 点的位置，判断①正确.利用面面垂直的判定定理，判断②错误.计算较小部分的体积，判断③正确.【详解】设1A D 交1AD 于P ，过P 作PQ AD ⊥，交AD 于Q ，连接CQ 交BD 于F ，由于//,PQ CE PQ CE =，所以四边形PQCE 为平行四边形，所以//CQ EP ，所以//CQ 平面1AED .故线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ，即①正确.若CF ⊥平面1AD E ，CF ⊂平面ABCD ，则平面1AD E ⊥平面ABCD ，这不成立，所以②错误.延展平面1AD E 为1AMED 如图所示，其中M 是BC 的中点.根据正方体的几何性质可知，1,,D E AM DC 相交于一点， 1CEMDD A ∆∆,所以多面体1CEM DD A -是棱台.且体积为(113CEM DD A S S CD ∆∆⋅+⋅1117138224⎛=⋅++⋅= ⎝.故③正确. 综上所述，正确的序号为①③. 故选：C【点睛】本小题主要考查空间线面平行、线面垂直有关定理，考查台体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,【答案】A 【解析】 【分析】 求得11n a n ++的范围，转化主参变量列不等式组，解不等式组求得t 的取值范围. 【详解】由2632n n n S a a =++①.当1n =时，2111632a a a =++，解得12a =.当2n ≥时，2111632n n n S a a ---=++②，①-②得2211633n n n n n a a a a a --=-+-，()()1130n n n n a a a a --+--=，所以13n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为12a =，公差为3d =的等差数列，所以31n a n =-，所以()1311133111n n a n n n ++-==-<+++，所以2213t a t +-≥恒成立，即2240t a t +-≥，转换为2240ta t +-≥，在[]2,2a ∈-恒成立，所以2222402240t t t t ⎧-+-≥⎨+-≥⎩，解得][,2()2,t ∈⋃∞-+∞-. 故选：A【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．【解析】 【分析】 利用()222a b a b+=+来求得2a b +.【详解】依题意()222a b a b+=+224494a ab b =+⋅+=+=【点睛】本小题主要考查平面向量模的运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最小值是__________．【答案】9- 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得z 的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()3,3A --位置，此时z 取得最小值为()2339⨯--=-. 故答案为：9-【点睛】本小题主要考查线性规划求最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 【答案】2213620x y += 【解析】 【分析】设出,P Q 两点的坐标，求得M 点坐标，由,,Q M N 三点共线列方程，结合椭圆的离心率求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程.【详解】设()()0000,,,P x y Q x y --，(),0A a ，所以00,22a x y M +⎛⎫⎪⎝⎭，由于,,Q M N 三点共线，所以00002222y y a x x =++-，解得6a =.由于椭圆离心率23c a =，所以4c =，所以22220,b a c b =-==所以椭圆方程为2213620x y +=. 故答案为：2213620x y += 【点睛】本小题主要考查根据椭圆的离心率求椭圆标准方程，考查运算求解能力，属于基础题.16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x =+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【解析】【分析】先求得()()f x g x 的定义域，然后对()f x 和()g x 的符合进行分类讨论，由此求得实数a 的取值范围. 【详解】依题意()()()1ln 2f x g x x ax a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，定义域为()0,∞+. 由于()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则 ①，1ln 20,0x ax a x +≤-≥恒成立，即ln 12,x a a x x ≤-≤在()0,∞+恒成立.令()ln x h x x=-，()'ln 1x h x x -=，故()h x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增，故()()1h x h e e≥=-.所以，由ln 12,x a a x x ≤-≤可得12,0a a e ≤-≤，即12a e≤-. ②，1ln 20,0x ax a x +≥-≤恒成立，即ln 12,x a a x x≥-≥在()0,∞+恒成立，不存在这样的a . ③，当0a >时，由于()f x 在()0,∞+上递增，()g x 在()0,∞+上递减，要使()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则需()f x 和()g x 有相同的零点.由ln 2010x ax a x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得22,a e x e -==. 综上所述，实数a 的取值范围是{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭.故答案为：{2|a a e =或12a e ⎫≤-⎬⎭【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解策略，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c .(1)若ABC 的面积S 满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.【答案】（1）b =（2）3(+【解析】【分析】（1）结合三角形面积公式和余弦定理，求得tan C 的值，由此求得C 的大小，利用余弦定理列方程求得b 的值.（2）利用正弦定理表示出,b c ，用三角形内角和定理和三角恒等变换求得b c +的取值范围，由此求得a b c ++即三角形ABC 周长的取值范围.【详解】(1)由条件和三角形的面积公式得2222c c a b +=+=+，即222a b c =+-.将余弦定理2222a b c abcosC +-=.cosC =，即3tanC =，因为(0,)C π∈，所以6C π=将4,6c a C π===，代入2222c a b abcosC =+-，得290b -+=结合条件b c >得b =(2)由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C=== 所以()2b c sinB sinC +=+()22233sinB sin B sinB sin B πππ⎡⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎤=⎢⎥⎣⎦⎦+32(6)2sinB B π⎛⎫ ⎪ ⎪⎭==+⎝+ 因为A B C π++=，且3A π=及锐角三角形得0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且20,32B ππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以(3,b c +∈所以周长a b c ++范围是3(+.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题.18.如图，已知四边形ABCD 为等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）1,52⎤⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）利用等腰梯形的性质证得BD CD ⊥，由面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BDEF ，由此证得平面CDE ⊥平面BDEF .（2）建立空间直角坐标系，设出EM 的长，利用直线BD 的方向向量和平面BCM 的法向量，求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的表达式，进而求得BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围.【详解】在等腰梯形ABCD 中，// ,1AD BC AD AB ==， 60ABC ∠=︒，120,30BAD CDA ADB ∴∠=∠=︒∠=︒，90CDB ∠=︒. 即.BD CD⊥BD =，2BC =. 又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面,ABCD BD CD =⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面BDEFCD ⊂平面CDE ，∴平面CDE ⊥平面BDEF（2）解:由(1)知，分别以直线,,DB DC DE 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设0(EM m m =≤≤，则()(),0,1,0,000),,B C D，((),3,1,0M m BC =-，()3,0,3,3,0,()0BM m DB =-=设平面BMC 的法向量为(),,n x y x = 00n BC n BM ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，即(100y m x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 令3x =，则3,y z m ==，平面BMC 的一个法向量为3,3,()n m =.设BD 与平面BCM 所成角为θ，,sin cos n BD θ∴=<>(,nBDn BD m ==∴当0m =m 时取最大值12故BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围为12⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理，考查向量法计算线面角正弦值的取值范围，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点. (1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA .【答案】（1）240x y -+=.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后写出韦达定理，利用2AP PB =，结合平面向量相等的坐标运算、韦达定理，求得直线AB 的斜率，进而求得直线AB 的方程.（2）由（1）求得11,,A B Q 的坐标，通过计算10BQ PA k k -=，证得1//BQ PA .【详解】(1)设AB 方程为()20y kx k =+>，()()11221,,,,0A x y B x y x > ，联立方程24 2.x y y kx ⎧=⎨=+⎩，，消去y 得:2480x kx --=，216320k =+>，121248x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩① 又()1122(),2,,2AP x y PB x y =--=-由2AP PB =得:122x x =-代人①解得12k = ∴直线AB 的方程为:122y x =+，即240x y -+=. (2)由(1)得，()111122,2,,2(()2),,2x A x B x Q x +---114PA k x =-， ()22221221228422BQ x x k x x x x x ++==+-- ()()()122121212211121888422BQ PA x x x x x x k k x x x x x x ++-+-=+=-- ()()()221212************x x x x x x x x x x x x ++===-- 1BQ PA k k ∴=1//PA BQ ∴【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查向量的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.20.设函数()()3211232x f x e x kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.【答案】（1）单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.（2）k e >，证明见解析【解析】【分析】（1）当1k =时，利用导数求得()f x 的单调区间.（2）先求得()f x 的导函数()()()'1x e x f x kx --=，则()x g x e kx =-有两个不同的零点，且都不是1.对k 分成0,0k k ≤>两种情况分类讨论，利用导数研究()g x 的单调性和零点，由此求得k 的取值范围. 由上述分析可得12301x x x <<=<，利用导数证得312313131ln ln 221x x x x x x x x x -=>=-++，从而证得1 3 22x x x >+.【详解】(1)()32()11 232x f x e x x x =--+()()() 1x f x e x x '∴=--.令()(),'1x xh x e x h x e =-=-， ()'0h x >得0x >，()'0h x <得0x <，()h x 在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增.()()010h x h ∴≥=>即0x e x ->，∴解()'0f x >得1x >，解()'0f x <得1x <，()f x ∴的单调减区间为(,1)-∞，单调增区间为(1,)+∞.(2)()()()()2'21x x x f x e x e kx kx e kx x =-+-+=--，()f x 有三个极值点，∴方程0-=x e kx 有两个不等根，且都不是1，令()xg x e kx =-， 0k ≤时，()g x 单调递增，()0g x =至多有一根，0k ∴>解()'0g x >得x lnk >，解()'0g x <得x lnk <.()g x ∴在(n ),l k -∞上递减，在(ln ,)k +∞上递增，()()ln 10,k g lnk e klnk k lnk k e =-=-<>∴此时，()010g =>，()1,10lnk g e k >=-<，x →+∞时()g x →+∞.k e ∴>时，()'0f x =有三个根123,,x x x ，且12301x x x <<=<，由11x e kx =得11x lnk lnx =+，由33x e kx =得33x lnk lnx =+，3131ln ln 1x x x x -∴=- 下面证明:313131ln ln 2x x x x x x ->-+，可变形为331311121x x x ln x x x ->+令311x t x =>，()()21ln 1t x t t ϕ-=-+ ()()()()222114011t x t t t t ϕ-'=-=>++，()x ϕ∴在(1)+∞，上递增， ()()10t ϕϕ∴>= ∴313131ln ln 21x x x x x x -=>-+，3122.x x x ∴+> 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解函数极值有关问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名.(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.【答案】（1）266分或267分.（2）能获得高薪职位.见解析【解析】【分析】（1）利用考试的平均成绩、高分考生的人数，以及题目所给正态分布的参考资料，求得考生成绩X 的分布()~180,832X N ，利用录取率3002000列方程，由此求得最低录取分数线. （2）计算出不低于考生甲的成绩的人数约为200，由此判断出甲能获得高薪职位.【详解】(1)设考生成绩为X ，则依题意X 应服从正态分布，即()2~180,X N σ.令180X Y σ-=，则()~0,1Y N .由360分及其以上的高分考生30名可得()303602000P X ≥=即()3036010.9852000P X <=-≈，亦即3601800.985P Y σ-⎛⎫<≈ ⎪⎝⎭. 则3601802.17σ-=，解得()83180,832N σ≈∴，， 设最低录取分数线为o x ，则0180300832(0)00o x P X x P Y -⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭ 则018030010.85832000x P Y -⎛⎫<=-≈ ⎪⎝⎭，0180 1.0483x -∴= 266.32o x ∴≈.即最低录取分数线为266分或267分.(2)考生甲的成绩286267>，所以能被录取.()()286180()286 1.280.9083P X P Y P Y -<=<=<≈， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的10.900.10,20000.1200-=⨯≈，即考生甲大约排在第200名，排在275名之前，所以他能获得高薪职位.【点睛】本小题主要考查正态分布在实际生活中的应用，考查化归与转化的数学思想方法，考查阅读理解能力，属于中档题.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系.（1）求圆C 参数方程； （2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =，则可求得圆的标准方程；（2）结合（1）得，圆C 的极坐标方程为212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再设(),P ρθ，()1,Q ρθ，则1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程即可得解. 【详解】（1）由已知得，圆心6,3C π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(C ，3r =， 所以C 的直角坐标方程为()(2239x y -+-=，所以圆C 的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （2）由（1）得，圆C 的极坐标方程为()26cos 270ρρθθ-+=，即212sin 276πρρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin 10806πρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了直角坐标方程、极坐标方程及参数方程的互化，重点考查了运算能力，属基础题.23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）(,3)-∞【解析】【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出()f x 的图形.（2）将不等式() 1f x a x >-+转化为21 22a x x -++>.利用绝对值不等式求得21 22x x -++的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】(1)根据绝对值的定义，可得()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩所以() y f x =的图象如图所示:(2)() 1f x a x >-+，即21 22a x x -++>|21 2 2 2122|3x x x x -++≥---=，3a ∴<，即实数a 的取值范围是(,3)-∞.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查含有绝对值的不等式恒成立问题的求解，属于基础题.。