最新沪教版-初二数学几何证明举例
沪教版八年级-几何证明综合(二),带答案
主题几何证明综合（二）教学内容1．掌握直角三角形判定定理，熟练运用直角三角形的判定定理进行几何证明；2．认识等腰直角三角形，熟练运用等腰直角三角形性质解决综合问题。
（以提问的形式回顾）等腰直角三角形具有哪些性质？请尽可能多的列举。
两个底角相等均为45°；两腰相等；斜边上的中线等于斜边的一半；“三线合一”：顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；练习：1.如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是．（填一个条件）2.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是．3.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是．答案：∠D=∠A或∠E=∠ACB或DE=AC或BD=AB；1；45°第2题图ABCDE第1题图第3题图（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：我们知道在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，其证明全等的条件是“边边角”，那么符合“边边角”条件的两个三角形，是否可以全等呢？ 为了解决案例1，我们先看看问题1；问题1：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为锐角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。
问题2：△ABC 与△DEF 中，AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ,且∠B 与∠E 均为钝角，是否有△ABC ≌△DEF 成立呢？若成立，说明理由；若不成立，请画出反例图形。
通过以上两个问题，概括出例1的结论。
答案：问题1：不成立；如下图所示问题2：成立；证明如下；分别过点A 、D 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，DH ⊥FE 交FE 的延长线于点H . ∵∠ABC=∠DEF ∴∠ABG=∠DEH 而∠G=∠H=90°，AB=DE∴△ABG ≌△DEH （AAS ） ∴AG=DH ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ）∴∠C=∠F∴△ABC ≌△DEF （SAS ）例1：当“边边角”中所给的相等角为直角或钝角时，可以证明两三角形全等； 当“边边角”中所给的相等角为锐角时，不可以证明两三角形全等例2：如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 中点，联结OA ； 问题1：如图1，OA=OB=OC 成立吗？请说明理由；问题2：如图2，如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM ；请判断△OMN 的形状，并说明理DE FH AB C DE FAB CG由；问题3：如图3，若点M，N分别在线段BA、AC的延长线上移动，仍保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由。
沪教版(五四学制)八年级上册第十九章几何证明：1证明举例(第1课时)课件
求证：EF∥AC
分析：
A
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠DFE=∠FDC
又已知∠DFE=∠A ，因此只要
﹖ 证明 ∠A=∠FDC ，而这由
E D
﹖ 已知条件DF∥AB得到的。
B
C
F
例２ 已知：如图，点D,E,F分别是AC、AB、BC 上的点，DF∥AB， ∠DFE=∠A
求证：EF∥AC
分析：
要证明EF ∥AC,只要证明 ∠A+∠AEF=1800
平行？
平行线的判定定理： （1）同位角相等，两直线平行； （2）内错角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行；
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条
直线也平行；
例１ 已知：如图，AB∥CD， ∠B+ ∠D=180O 求证：CB∥DE
分析： 要证明CB∥DE，只要证
A
． C ﹖B
明 ∠C+ ∠D=180O ，已知 ∠B+ ∠D=1800 ，因此只要证
（3） 若GP、HN分别平分∠BGF、∠EHD, 探索：GP、HN具有怎样的位置关系?
必做题：练习册 习题19.2（1） 选做题：提高题
又已知∠DFE=∠A ，因此只要 证明 ∠DFE+∠AEF=1800 ， 而这由已知条件DF∥AB得到的。 B
A
﹖E ﹖D C F
例２变式练习： 已知：如图，DF∥AB， EF∥AC
求证： ∠DFE=∠A
﹖A
E
D
﹖ B
C
F
练习1 已知：如图，∠1=∠B, ∠2=∠D 求证：AB∥CD
A
B
E1
F
2
C
D
练习2 已知：如图，∠C=∠1, ∠B=∠D
沪教版数学八年级上第十九章几何证明19.2证明举例练习一和参考答案
沪教版数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例练习⼀和参考答案数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例（1）⼀、选择题1．如图，AC=AD，CE=ED，则图中全等三⾓形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对第1题第3题2．⼀个⾓的两边与另⼀个⾓的两边分别平⾏，则这两个⾓的位置关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补; D．互余3．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列⼀个条件后，仍然⽆法判断△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC4．等腰三⾓形的⼀个⾓是80°，那么另外两个⾓分别是（）A．80°、20° B．50°、50° C．80°、80° D．80°、20°或50°、50°5．下列图形中，两个三⾓形全等的是（）A. 边长为15cm的两个等边三⾓形B.含60°⾓的两个锐⾓三⾓形C. 腰长对应相等的两个等腰三⾓形D. 有⼀个钝⾓对应相等的两个等腰三⾓形6. 在下列命题中，为假命题的是（）A. 两边及其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等B. 两⾓及其夹边对应相等的两个三⾓形全等C. 两边及⼀边的对⾓对应相等的两个三⾓形全等D. 三边对应相等的两个三⾓形全等⼆、填空题7. 过⼀点有且直线与已知直线垂直。
8. 等腰三⾓形顶⾓的、底边上的、互相重合。
9. 在⼏何证明过程中，为了化繁为简，常常要利⽤来实现。
10. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=38°，则∠ACD= 。
11. 若等腰三⾓形⼀个内⾓为70°，则它⼀腰上的⾼与底边所夹的⾓等于。
12. 如图，BC=AD，只需添加⼀个条件，则△ABC≌△CDA。
第12题第13题第14题第15题13. 如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC，要证CB=CD，需添置辅助线是。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 证 明 举 例(5) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。
2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。
3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。
4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。
5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。
难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。
求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。
2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。
（二）1、例8已知 ：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。
则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。
沪教版八年级上册 几何证明的总结与练习
第十九章 几何证明知识整理一、知识梳理: 1、有关概念:命题、公理、定理(1)命题:判断一件事情得句子叫做命题。
命题得形式:如果…(题设),那么…(结论)。
命题中,结论正确得就是真命题,结论错误得就是假命题。
(2)公理:人们从长期得实践中总结出来得真命题叫做公理。
(3)定理:用推理得方法证明为真命题,且可作为判断其她命题真假得依据得真命题叫做定理。
(4)逆命题与逆定理在两个命题中,如果第一个命题得题设就是第二个命题得结论,而第一个命题得结论又就是第二个命题得题设,那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个就叫做它得逆命题。
如果两个定理就是互逆命题,那称它们为互逆定理,其中一个叫做另一个得逆定理。
2、重要定理:★线段得垂直平分线定理:线段垂直平分线上得任意一点到这条线段两个端点得距离相等。
如图: ∵MN 垂直平分线段AB∴PA=PB逆定理:与一条线段两个端点距离相等得点,在这条线段得垂直平分线上。
如图: ∵PA=PB∴点P 在线段AB 得垂直平分线上 ★角平分线定理:在角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
如图: ∵OP 平分∠AOB PD ⊥OA,PE ⊥OB∴PD=PE逆定理:在一个角得内部(包括顶点)且到角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
如图: ∵PD=PE PD ⊥OA,PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB★直角三角形得全等判定直角三角形得全等:如果两个直角三角形得斜边与一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等。
(H 、L)(注意:必须先证明两个三角形都就是RT ⊿,才能应用本判定定理;以前所学得ASA 、AAS 、SAS 、SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等得判定仍然适用。
) ★直角三角形得性质及判定定理1:直角三角形得两个锐角互余。
如图: ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=90°定理2:直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半。
(直角、中点→想一半)如图: ∵∠ACB=90°, 且点D 就是AB 得中点∴AB CD 21=推论1:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对得直角边等于斜边得一半。
沪教版八年级数学上册,几何证明题
几何证明题运用全等三角形的知识来证明边的关系和角的关系重难点：几何题中辅助线的添加1.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。
证明：过点C作CG⊥CA交AF延长线于G∴∠G+∠GAC=90°…………①又∵AE⊥BD∴∠BDA+∠GAC=90°…………②综合①②，∠G=∠BDA在△BDA与△AGC中，∵∠G=∠BDA∠BAD=∠ACG=90°BA=CA∴△BDA≌△AGC∴DA=GC∵D是AC中点，∴DA=CD∴GC=CD由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1在△GCF与△DCF中，∵GC=CD∠2=45°=∠1CF=CF∴△GCF≌△DCF∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA∴∠ADB=∠FDC2.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线交DC于点E．求证：AD=DE．证明：（1）∵CF平分∠BCD，∴∠BCF=∠DCF．在△BFC和△DFC中，∴△BFC≌△DFC．∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．连接BD．∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．∴∠ABD=∠FBD．∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE．1.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG；证明:∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE∴AB=AF．连接AG，∵AG=AG，AB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG．∴BG=FG2.已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．解：如图，在AB上截取AF=AD，∴AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠FAE，∵AF=AD，AE=AE，∴△DAE≌△FAE，∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE⊥BE，∴∠BAE+∠ABE=90°，∴∠DAE+∠CBE=90°，∴∠ABE=∠CBE，同理，∠FEB=∠CEB，∵BE=BE，∴△BEF≌△BEC，∴BF=BC，∴AB=AF+FB=AD+BC．1、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
沪教版(上海)八年级第一学期 第十九章 第1讲 几何证明
例
逆命题：如果一个角是钝角，那么这个角是两个钝角的和.
4
逆命题：直角三角形其中一边上中线等于这边的一半.
逆命题：如果两个三角形关于某点成中心对称，那么这两个三角形全等. 逆命题：如果两个三角形全等，那么其中两边及第三边上的高对应相等.
逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
例 5
例
逆命题：如果三角形两腰上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形.
第一讲
几何证明
命题 可以判断正误的陈述句
滚出去！ 站起来.
命题的组成
如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
对顶角相等.
逆命题
原命题： 如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
逆命题： 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等， 那么这两条直线互相平行.
l
例 6
例 6
例 6
例 7
例 7
例 8
练 习 1
练 习 2
练 习 3练 习 4练 习 5练 习 6
对顶角相等.
相等的角是对顶角.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
如果一个人是唐僧，那么他骑着白马。
例 1
例 1
例 2
例 2
如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
如果两个数都是无理数，那么他们的积是无理数.
例 3
例 3
例 4
5
逆命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：等角对等边.
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行. 逆命题：如果 a+b 为奇数，那么a，b两数一奇一偶.
沪教版八年级数学上册几何证明第三节证明举例(2)教案
（3）证明举例（二）【知识要点】知识点1 添辅助线由于证明的需要,可以在原来的图形上添画一些线,即添加辅助线来完成一些几何证明.辅助线通常画成虚线.【学习目标】1.掌握证明的步骤以及理论依据;2.会将复杂的问题转化为较为熟悉的或已掌握的基本图形问题,借助添加辅助线来实现转化.【典型例题】【例1】 如图1,已知ABC ∆为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,使AE BD =,连接CE 、DE .求证：CE DE =. 【分析】在应用全等三角形的性质和判定来证明线段或角相等时,如果图形不全,就需要运用辅助线构造出所需的全等三角形,达到证明的目的. 【解答】 延长CD 到F ,使CF AE =,连接EF .ABC ∆是等边三角形∴,60AB BC B =∠=︒∴AB AE BC CF +=+（等式性质） E 即BE BF = 又60B ∠=︒∴BEF ∆为等边三角形.∴,60BE EF B F =∠=∠=︒,AE BD CF AE == B C D F ∴BD CF = 图1 ∴BD CD CF CD -=- 即BC DF =在EBC ∆和EFD ∆中 EB EF = B F ∠=∠ BC FD =∴EBC ∆≅EFD ∆S.A.S)( ∴CE DE =A【例2】 如图2,已知在ABC ∆中,AD 是中线,BE 交AD 于点F ,AE EF =.求证：AC BF =.【分析】本例通过添加辅助线,把要证明的两条线段“移”到同一个三角形内,构造等腰三角形证得.【解答】 延长AD 到点G ,使DG AD =,连接BG .在ACD ∆和GBD ∆中AD GD =（已知）ADC GDB ∠=∠（对顶角相等） A CD BD =（已知）∴ACD GBD ∆≅∆(S.A.S) F∴,AC GB DAC G =∠=∠ B（全等三角形的对应边、对应角）相等）.AE EF =（已知）∴DAC AFE ∠=∠（等边对等角） 又AFE BFG ∠=∠（对顶角相等）∴BFG G ∠=∠（等量代换） G ∴BG BF =（等角对等边） 图2 ∴AC BF =（等量代换）【例3】 如图3,已知ABC ∆中,AD 是BAC ∠的角平分线,2B C ∠=∠.求证：AB BD AC +=. 【分析】证明一条线段等于另两条线段之和,常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段,再证明延长部分与另一段相等即可,或者在长线段上截取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段.【解答】 延长AB 至E ,使AE AC =,连接DE .AC AE = A EAD CAD ∠=∠AD AD =∴ACD AED ∆≅∆(S.A.S)∴C E ∠=∠（全等三角形对应角相等） B D C,2ABD E BDE ABD C ∠=∠+∠∠=∠∴2ABD E ∠=∠ 图3 ∴E BDE ∠=∠∴BD BE =（等角对等边） ∴AC AB BD =+（等量代换）EED C【例4】如图4,在四边形ABCD 中,60,30,,DAB DCB AD AB ∠=∠==试证明线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.【分析】 本题的关键是要将CD BC AC 、、三条线段放到一个三角形中,然后才能判断其形状,其中的60°角又是构造等边三角形的必不可少的条件,因此,通过旋转60°,既保证了图形的不变性,又构造了等边三角形.【解答】如图5,由于60,,DAB AD AB ∠==因此可将ABC ∆绕A 点逆时针方向旋转 60°到ADE ∆处,且B 落在D 处, 则ABC ∆≌ADE ∆. 所以 ,EAD CAB ∠=∠,EDA B ∠=∠.DE BC =因为60,DAB ∠= 所以60.EAC ∠=所以EAC ∆为等边三角形. 所以.EC AC AE ==所以EDC ∆为线段CD BC AC 、、构成的三角形. 因为360,DAB B BCD CDA ∠+∠+∠+∠=360,,60,30,90.EDA CDA CDE EDA B DAB DCB CDE ∠+∠+∠=∠=∠∠=∠=∠=所以所以线段CD BC AC 、、能构成直角三角形.图4DCBA【基础训练】1． 如图,等边ABC ∆中,,BD CE = AD 与BE 相交于点P ,那么APE ∠=度.2． 如图,在ABC ∆中,34,B ∠= 104,ACB ∠=AD 平分,BAC AE ∠为BC 边上的高,则.DAE ∠=3． 如图,ABC ∆中,,AB AC =,D E F BC AC AB 、、分别是、、上的点,BF CD BD CE ==且EDF A ∠∠那么等于（用的代数式表示）.4. 如图,已知,,AB AD B D =∠=∠在求证BC DC =的过程中,正确添加辅助线的方法是： 联结 .5.在ABC ∆中,高AD 与高BE 相交于点H ,且,BH AC =那么ABC ∠的度数等于 度数等于 .E图5CBA第1题图CD BA第2题图AE B【能力提高】1. 如图,,,BD CD B C =∠=∠求证：.AC AB =第3题图DCBA第4题图DCBA第1题图CBA2. 证明：两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.(请画出图形,将命题写成“已知”、“求证”的形式后再证明)3. 如图,在ABC ∆中,AB AC =,108A ∠=,BD 平分,ABC ∠求证：.BC AB CD =+4. 在ABC ∆中,90A ∠=,AB AC =,D 为斜边BC 的中点,点E F 、分别在AB AC 、上,且BE AF =.（1） 以D 为对称中心,画出BDE ∆的中心对称图形CDG ∆; （2） 联结FG ,CFG ∆是什么三角形？试说明理由; （3） EF 与FG 相等吗？试说明理由.、第3题图CBA第4题图D CBA5. 如图点O 是等边ABC ∆内一点,110,135,AOB BOC ∠=∠=问（1） 以OA OB OC 、、为边能否构成一个三角形？若能,试求出该三角形各内角的度数;若不能,说明其理由;（2） 如果AOB ∠的大小保持不变,那么当BOC ∠等于多少度时,以OA OB OC 、、为边的三角形是直角三角形？第5题图CBA。
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1.已知：如图1，AD是BC上的中线，且BE∥CF.
求证：DF=DE.
2.已知：如图2，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F
在AD上，∠ABE=∠DCF.
求证：BE∥CF.
3.已知：如图3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中点。
求证：AE=AF.
4.已知：如图1，AB∥CD，BE、DE分别是∠ABD、∠BDC的平分线.
求证：BE⊥DE.
5.已知：如图2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：AO⊥BC.
6.如图3，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.
1)若BC在DE的同侧(如图①)且AD=CE，求证：BA⊥AC.
2)若BC在DE的两侧(如图②)其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是，请予证明，
若不是请说明理由.
7.已知：如图1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三点
共线，D、C、F三点共线.
求证：∠E=∠F.
8.已知：如图2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.
求证：FD⊥ED.
9.已知：如图3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.
求证：AD=BC.
10.已知：如图1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.
求证：AC=BD-DC
11.
12.已知：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.
求证：AC=BF.
13.已知：如图3，正方形ABCD中，点F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.
求证：EF=BE+DF.。