四川省南充市高2021届第一次高考适应性考试理科数学试题附答案
四川省南充市高第一次高考适应性考试试卷
20XX年中学测试中学试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：2021届四川省南充市高第一次高考适应性考试试卷第Ⅰ卷(选择题共30分)一、(12分，每小题3分)1．下列词语中，加点字的读音全部正确的一组是A.庇．护(pì) 欢谑．(xuè) 称．心如意(chēng) 鳞次栉．(zhì)比B.剽．窃(piáo) 坍圮．(pǐ) 锲．而不舍(qì) 悄．(qiǎo)然无声C．信笺．(qiān) 盘桓．(huán) 量．体裁衣(liáng) 饮鸩．(zhèn)止渴D.框．(kuàng)架勾．当(gòu) 杀一儆．(jǐng)百长歌当．(dàng)哭2．下列词语中没有错别字的一组是A.贸然吊胃口愤世疾俗凭心而论B．亲睐敲竹杠唇枪舌箭震古烁今C.讫今过干瘾误八歧途风烛残年D．洽谈打圆场卑躬屈膝激浊扬清3．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一句是A.近年来，中东的局部战争接连不断，造成大量难民毁家纾难．．．．，流离失所，这一现象已引起国际社会的极大关注。
B．读者读了欧·亨利的(麦琪的礼物)后，总会觉得一股人生的苦味猛地涌上心头，使人对那对相濡以沫．．．．的夫妻充满了同情。
C.随着城市犬患的日益突出，市民反对养犬的呼声与日俱增．．．．，治理犬患已刻不容缓。
D．在传统教育中，不唯书，不唯上，大胆怀疑等思想和行为往往被视为出格，但在创造性教育中必须开禁，否则创造性教育就是叶公好龙．．．．。
4.下列各句中，没有语病的一句是A.本报《没有苗圃的园丁》一文，报道了宁夏海原县一位代课教师每月只拿50元工资、在没有校舍的情况下挤出自家一间房坚持办学的感人事迹。
B．占人类学家贾兰坡早期及国家文物局近期分别主持的两项重大考古发现表明，，永定河这条天然走廊是“占人类移动的路线”。
C．侵入我国的寒潮的路径，不是每次都一样的，这要看北极地带和西伯利亚的冷空气哪一部分气压最高，我国哪一邢分气压最低所决定的。
南充市高2023届高考适应性考试(一诊)理科数学试题【含答案】
南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}1,3,5,7,9,29M N x x ==>，则M N ⋂=（）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,92．若复数z 满足i 1z ⋅=+，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．253．如图，在ABC ∆中，4BD DC =，则AD =（）A ．1455AB AC + B ．4155AB AC+uuur uuu r C ．1566AB AC + D ．5166AB AC+4．函数()21(21x x f x x -=+在33[,]22ππ-上的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．5．某建筑物如图所示，底部为A ，顶部为B ，点C ，D 与点A 在同一水平线上，且CD l =，用高为h 的测角工具在C ，D 位置测得建筑物顶部B 在1C 和1D 处的仰角分别为α，β.其中1C ，1D 和1A 在同一条水平线上，1A 在AB 上，则该建筑物的高AB =（）A ．()sin cos sin l h αββα+-B ．()cos cos sin l h αββα+-C ．()cos sin sin l hαββα+-D ．()sin sin sin l hαββα+-6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为258，则判断框内可填入的条件为（）A ．4?n ³B ．5?n ³C ．6?n ³D ．7?n ³7．在某次红蓝双方举行的联合军演的演练中，红方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；蓝方有2艘军舰，4架飞机．现从红、蓝两方中各选出2件装备（1架飞机或一艘军舰都作为一件装备，所有的军舰两两不同，所有的飞机两两不同）先进行预演，则选出的四件装备中恰有一架飞机的不同选法共有（）A ．60种B ．120种C ．132种D ．168种8．已知直线20kx y -+=与椭圆2219x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围（）A.(]4,9 B.[)4,+∞ C.[)()4,99,+∞ D.()9,+∞9．已知数列满足212323n a a a na n ++++= ，设n n b na =，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为（）A ．20224045B ．40464047C ．40444045D ．2023404710．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，给出下列五个命题：（1）该函数的值域是[1,1]-；（2）当且仅当222x k x k πππ=+=或(Z k ∈)时，该函数取得最大值1；（3）该函数的最小正周期为2π；（4）当且仅当222k x k ππππ-<<+(Z k ∈)时，()0f x >；（5）当且仅当[,]42x k k ππππ∈++(Z k ∈)时，函数()f x 单调递增；其中所有正确命题个数有（）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数3211()32f x x bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程[]2()()0f x bf x c ++=的不同实根个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．512．已知13sin 3a =，1cos 3b =，1718c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．b a c>>D ．a c b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2610a a +=，则7S =_________.14．若4()(1)x t x -+的展开式中3x 的系数为10，则t =.15．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为2，2,30AB BC ABC ==∠=︒，则此球的表面积等于_________.16．已知向量a 与b夹角为锐角，且2a b == ，任意R λ∈，a b λ-⋅ 的最小值为c满足()()0c a c b -⋅-= ，则c r 的取值范围为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．（本题满分12分）在ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量)sin m A A =，，()11n =- ，，且//m n ．(1)求角A 的大小；(2)若a =，sin sin 0a B c A -=，求ABC ∆的面积．18．（本题满分12分）2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支球队获得比赛资格.赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，世界杯周边商品七成“义乌造”.某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷.该企业为了解广大球迷对世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图所示：（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m 的值，并计算这200人得分的平均值x （同一组数据用该区间中点值作为代表）；（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每次抽中价值为100元纪念品的概率均为23，未抽中奖的概率为13，现有幸运球迷张先生参与了抽奖活动，记Y 为他获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望.19．（本题满分12分）在平面五边形ABCDE 中（如图1），ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC ==AB =，90ABC ∠=︒，ADE △是等边三角形．现将ADE △沿AD 折起，连接EB ，当3EC =时得（如图2）的几何体．（1）求证：EAD ABCD ⊥平面平面；（2）在棱EB 上有点F ，满足13EF EB =，求二面角E AD F --的余弦值．20．（本题满分12分）已知函数()()2ln 12ax f x x x x a =--+∈R ．（1）当1a =时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．求证：1221x x a <．21．（本题满分12分）已知点()1,2Q 是焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上一点.（1）求抛物线C 方程；（2）设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且PMN ∆的内切圆方程为221x y +=，求PMN ∆面积的最小值.（二）在选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 满足参数方程为=2cos =2sin x y αα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 0m ρθρθ+-=．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且2OA OB ⋅=，求实数m 的值．23．（本题满分10分）已知函数()12f x x x =--+.（1）求不等式()2f x x <的解集；（2）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足143a b c M ++=，求证：11116a b c++≥.南充市高2023届高考适应性考试（一诊）理科数学参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．123456789101112BCAADCACDCBA二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.3514.1-15.52π16.⎤⎦三.解答题17..解：（1）因为)sin m A A =，，()11n =- ，，//m n.所以sin A A =，..........................................................................................................2分可得tan A =(0,)A π∈．..........................................................................................4分所以23A π=..............................................................................................................................6分（2）sin sin 0a B c A -=由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得ab ca =...................................................................................................................................8分则b c =，又a =23A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得b c ==分所以211sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯=.........................................................12分18.解：（1）由频率分布直方图表，10(0.00250.00500.01000.01500.0200.0250)1m ++++++=得0.0225m =.......................................................................................................................2分53040504520103545556575859565200200200200200200200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以这200人得分的平均值65x =....................................................................................5分(2)Y 的所有取值为0，100，200，300，............................................................................6分003311232233303211(0)()()3327216(100)()()33272112(200)()()3327218(300)()()3327P Y C P Y C P Y C P Y C ==⨯===⨯===⨯===⨯=....................................................................10分Y 0100200300P1272949827...............................................................................................................................................11分1241()0100200300200279932E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=............................................12分19.（1）取AD 中点O ,连接,OC OE ,易得OE AD ⊥,OC AD⊥.在COE ∆中，由已知3,2CE OC AB OE ====.222.OC OE CE OE OC +=∴⊥ 又OE AD ⊥，OC AD O ⋂=.................................................................................................................3分则OE ABCD ⊥平面........................................................................................................4分又OE ADE⊂平面故EAD ABCD ⊥平面平面得证 (6)分（2）以O为原点，分别以射线,,OC OAOE 为,,x y z 轴正半轴.建立如图所示空间直角坐标系.则(0,(0,0,A B DE则(0,(0,2EB AE AD ===-在棱EB 上的点F满足13EF EB=则13EF = ，(,)333AF AE EF =+=- .设平面ADF 的一个法向量为(,,)m x y z =则0,0,m AF m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 令1z =，得平面ADF的一个法向量(m =-..............................................10分又平面EAD 的一个法向量(1,0,0)n =整理得cos ,=3m n 故二面角E AD F --的余弦值为3.....................................................................12分20.(1)解：()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 当1a =时，()()2ln 102x f x x x x x =--+>因为()()ln 0f x x x x '=->，()112f =-，()11f '=-..................................................2分所以()f x 在()(1,1)f 处的切线方程为：1(1)2y x +=--.即2210x y +-=......................................................................................................4分（2）由()()2ln 10,2ax f x x x x x a =--+>∈R 得()()ln 0f x x ax x '=->........................................................................................5分因为函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ．所以()ln 0f x x ax '=-=在(0,)+∞有两个不同的变号零点1x ，2x .不妨设120x x <<.由于1122ln 0ln 0x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，得2211ln ()x a x x x =-，则2121()10ln x x x a x -=>...............................7分要证：1221x x a <只需证：2211221()ln x x x x x x -<2121ln x x x x -<只需证：21lnx x <=...............................................................................9分t =，则1t >，只需证：12ln t t t<-..................................................................10分构造函数1()2ln h t t t t=-+，(1)t >.因为22221(1)()10t h t t t t-'=--=-<，...........................................................................11分所以()h t 在(1,)+∞单调递减因为1t >，所以()(1)0h t h <=.故原不等式成立........................................................................................................12分21.解：（1）因为点()1,2Q 在焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>上所以2221p =⨯.............................................................................................................................2分得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.....................................................................................................4分（2）设()00,P x y ，()1,M m -，()1,N n -，则直线PM 的方程为00(1)1y m y m x x --=++，即0000()(1)0y m x x y mx y --+++=........................................................................................5分因为直线PM 与圆221x y +=相切1=所以2220000(1)2(1)(1)0x m y x m x --+++=.............................................................................6分同理直线PN 与圆221x y +=相切得：2220000(1)2(1)(1)0x n y x n x --+++=.构造方程:2220000(1)2(1)(1)0x t y x t x --+++=，则1t m =，2t n =.02000020020020(1)002(1)211(1)1011x y x y m n x x x x m n x x ⎧-≠⎪∆>⎪⎪+⎪+==⎨--⎪⎪++⋅==<⎪--⎪⎩.......................................................................................8分显然01x>0000 11122PMNS m n x x x x∆=-+=+=+=+ ....................................................................................................................................................10分令1xμ=-，则1xμ=+，0μ>PMNS∆==≥=.........................11分当且仅当42μμ==时，即03x=，取最小值.所以PMNS∆的最小值为分22.解：（1）因为曲线C满足参数方程为=2cos=2sinxyαα⎧⎨⎩（α为参数，[],0απ∈-）所以曲线C的直角坐标方程为：224x y+=(0)y≤...........................................................3分因为直线l的极坐标方程为cos sin0mρθρθ+-=．由cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩得直线l直角坐标方程为0x y m+-=......................................................................................5分(2)方法一：因为直线l与曲线C交于A，B两点，且2OA OB⋅=所以1cos2OA OBAOBOA OB⋅∠==⋅................................................................................................7分记O到l的距离为d.则2sin3dπ==.......................................................................................................................8分又0m<.所以m=分方法二：已知(0,0)O，设11(,)A x y，22(,)B x y.则2121212121212()()2()2OA OB x x y y x x m x m x x x m x x m⋅=+=+-⋅-=-++=....................6分2240x y x y m ⎧+=⎨+-=⎩得222240mx m x -+-=........................................................................................................7分122120042x x m m x x ⎧⎪∆>⎪⎪+=<⎨⎪-⎪⋅=⎪⎩所以222(4)2OA OB m m m ⋅=--+= ......................................................................................8分所以m =m =..........................................................................................9分综上：m =分23.解：（1）()122f x x x x=--+<12123212232x x x x x x x ≥-<<≤-⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-<--<<⎩⎩⎩或或................................................................................3分1(,)4x ⇔∈-+∞......................................................................................................................5分（2）()3112122132x f x x x x x x ⎧-≥⎪=--+=---<<⎨⎪≤-⎩............................................................6分所以函数()f x 的最大值为3M =.已知正实数a ，b ，c 满足1413a b c M ++==....................................................................8分由柯西不等式得2222222111(16a b c ⎡⎤⎡⎤++=++⋅++≥=⎢⎥⎣⎦⎣⎦...................................................................................................................................................9分==时，即2a b c ==时，又41a b c ++=.所以当且仅当14a =，14b =，18c =时，等号成立..............................................................10分。
四川省南充市高2021届第一次高考适应性考试(含答案)
南充市高2021届第一次高考适应性考试英语试题第1卷第一部分听力(共两节,满分30分)第一节(共5小题:每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个远项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下小题。
每段话一读遍。
例: How much is the shirt?A.£ 19.15B.£ 9.18C.£ 9.15答案是CI. Where does the conversation probably take place?A. In a drugstore.B. At a zoo.C. In a library.2. What will the man do nextA .Sit and eat his meal.B .Change some money. C.Take the food home.3. what does the woman suggest!A. Starting a business.B.Buying a computer.C.Hiring an assistant.4. What are the speakers talking about?A. The traffic.B.The weather.C.The scenery.5. When did the man see the film'A. On SaturdayB. On Wednesday.C.On Thursday.第二节(共15小题:每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白, 每段对话或独自后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选, 并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟: 听完后, 各小题将给出5秒钟的作答时间。
2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）
2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上2．（5分）已知复数z 知足，则复数z的虚部是（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知向量是彼此垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣64．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：651 0126532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A ．=0.7x﹣2.3B ．=﹣0.7x+10.3C ．=﹣10.3x+0.7D ．=10.3x﹣0.7 5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=﹣1，那么f（2021）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D ．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一路，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点别离为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为．14．（5分）函数y=的单调递增区间是．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线彼此垂直，则线段AB的长度是．16．（5分）概念域为R的偶函数f（x）知足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此取得样本的重量频率散布直方图（如图）．（1）求a的值，并按照样本数据，试估量盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的散布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面彼此垂直，M，N别离是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．20．（12分）已知椭圆的左核心为F，左极点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2021年四川省南充市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B中元素的个数为（）A．必有1个B．1个或2个C．至多1个D．可能2个以上【解答】解：集合A={（x，y）|y=f（x）}，B={（x，y）|x=1}，则A∩B={（x，y）|y=f（x），且x=1}，当x=1时，f（1）的值存在，A∩B={（1，f（1））}，有一个元素；当x=1时，f（1）的值不存在，A∩B=∅，没有元素；∴A∩B中元素的个数最多一个．故选：C．2．（5分）已知复数z知足，则复数z的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得==，∴z=，∴复数z的虚部是﹣．故选：C．3．（5分）已知向量是彼此垂直的单位向量，且，则=（）A．﹣1 B．1 C．6 D．﹣6【解答】解：向量是彼此垂直的单位向量，且，则=0﹣+5=﹣1+5×（﹣1）=﹣6．故选：D．4．（5分）已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x651012y6532则变量x与y之间的线性回归直线方程可能为（）A．=0.7x﹣2.3 B．=﹣0.7x+10.3 C．=﹣10.3x+0.7 D．=10.3x﹣0.7【解答】解：按照表中数据，得；=（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y随变量x的增大而减小，是负相关，所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x+10.3过样本中心点（，）．故选：B．5．（5分）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=﹣1，那么f（2021）=（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2021）=asin（2021π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，那么f（2021）=asin（2021π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，故选：A．6．（5分）若0＜m＜1，则（）A．log m（1+m）＞log m（1﹣m）B．log m（1+m）＞0C．1﹣m＞（1+m）2D．【解答】解：①∵0＜m＜1，∴函数y=log m x是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m ＞1﹣m＞0，∴log m（1+m）＜log m（1﹣m）；∴A不正确；②∵0＜m＜1，∴1+m＞1，∴log m（1+m）＜0；∴B不正确；③∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，1+m＞1，∴1﹣m＞（1+m）2；∴C不正确；④∵0＜m＜1，∴0＜1﹣m＜1，∴函数y=（1﹣m）x是概念域R上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D正确；故选：D．7．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（）A．B．4 C．3 D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE，∵正方体的棱长为2，∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A．8．（5分）函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（）A．（1，5） B．[1，5） C．（1，5]D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【解答】解：由题意，f′（x）=3x2+2x﹣a，则f′（﹣1）f′（1）＜0，即（1﹣a）（5﹣a）＜0，解得1＜a＜5，另外，当a=1时，函数f（x）=x3+x2﹣x﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，当a=5时，函数f（x）=x3+x2﹣5x﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点，故选：B．9．（5分）如图，将45°直角三角板和30°直角三角板拼在一路，其中45°直角三角板的斜边与30°直角三角板的30°角所对的直角边重合．若，则x+y=（）A．B．C．D．【解答】.解：由题意得，若设AD=DC=1，则AC=，AB=2 ，BC=，由题意知，，△BCD中，由余弦定理得DB2=DC2+CB2﹣2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1×=7+2∵∠ADC=90°，∴DB2=x2+y2，∴x2+y2=7+2①．如图，作，，则CC′=x﹣1，C′B=y，Rt△CC′B中，由勾股定理得BC2=CC'2+C′B2，即6=（x﹣1）2+y2，②由①②可得x=1+，y=．那么：x+y=1+2故选：B．10．（5分）已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的体积为（）A． B．48πC．24πD．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A．11．（5分）已知抛物线C：x2=4y，直线l：y=﹣1，PA，PB为抛物线C的两条切线，切点别离为A，B，则“点P在l上”是“PA⊥PB”的（）A．充分没必要要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2=4y，对其求导得．设A，B，则直线PA，PB的斜率别离为k PA=，k PB=．由点斜式得PA，PB的方程别离为：y﹣=．=（x﹣x2），联立解得P，因为P在l上，所以=﹣1，所以k PA•k PB==﹣1，所以PA⊥PB．反之也成立．所以“点P在l上”是“PA⊥PB”的充要条件．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=1﹣（x＞e，e=2.71828…是自然对数的底数）若f（m）=2ln﹣f（n），则f（mn）的取值范围为（）A．[，1）B．[，1）C．[，1）D．[，1]【解答】解：由f（m）=2ln﹣f（n）得f（m）+f（n）=1⇒，f（mn）=1﹣=1﹣，又∵lnn+lnm+2=[（lnn+1）+（lnm+1）]（）=4+≥4+4=8，∴lnn+lnm≥6，f（mn）=1﹣≥，且m、n＞e，∴lnn+lnm＞0，f（mn）=1﹣＜1，∴≤f（mn）＜1，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中有理项系数之和为32．【解答】解：由，得通项，为有理项，∴当r=0、二、4、6时，T r+1此时有理项系数之和为=．故答案为：32．14．（5分）函数y=的单调递增区间是[0，] ．【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，由x∈[0，]可得x∈[0，]，故答案为：[0，]．15．（5分）若圆O1：x2+y2=5与圆O2：（x+m）2+y2=20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线彼此垂直，则线段AB的长度是4．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（﹣m，0），按照圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得＜|m|＜．再按照题意可得O1A⊥AO2，∴m2=5+20=25，∴m=±5，∴利用，解得：AB=4．故答案为：4．16．（5分）概念域为R的偶函数f（x）知足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f （1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是概念域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数的图象为开口向下、极点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），可得log a（2+1）＞f（2）=﹣2，即log a3＞﹣2，∴3＜，解得＜a＜，又0＜a＜1，∴0＜a＜，故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，S n=2a n﹣1﹣2，﹣1所以a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即=2，所以数列{a n}是以首项为2，公比为2的等比数列，故a n=2n（n∈N*）．（2）=（n+1）•（）n，则T n=2•（）+3•（）2+4•（）3+…+（n+1）•（）n，T n=2•（）2+3•（）3+4•（）4+…+（n+1）•（）n+1，上面两式相减，可得T n=1+（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣（n+1）•（）n+1，=1+﹣（n+1）•（）n+1，化简可得T n=3﹣（n+3）•（）n．18．（12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此取得样本的重量频率散布直方图（如图）．（1）求a的值，并按照样本数据，试估量盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X 的散布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）【解答】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1解得a=0.03；又由最高矩形中点的横坐标为20，可估量盒子中小球重量的众数约为20，而50个样本小球重量的平均值为：=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）故估量盒子中小球重量的平均值约为24.6克．（2）利用样本估量整体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2；则X～B（3，），X=0，1，2，3；P（X=0）=×（）3=；P（X=1）=×（）2×=；P（X=2）=×（）×（）2=；P（X=3）=×（）3=，∴X的散布列为：X0123P即E（X）=0×=．19．（12分）如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面彼此垂直，M，N别离是DE，AB的中点．（1）证明：MN∥平面BCE；（2）求锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值．【解答】（1）证明：取AE中点P，连结MP，NP．由题意可得MP∥AD∥BC，因为MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，所以MP∥平面BCE，同理可证NP∥平面BCE．因为MP∩NP=P，所以平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，所以MN∥平面BCE．（2）解：取CD的中点F，连接NF，NE．由题意可得NE，NB，NF两两垂直，以N为坐标原点，NE，NB，NF所在直线为x轴，y轴，z轴，成立空间直角坐标系．令AB=2，则．所以．设平面MAB的法向量则令x=2，则因为是平面ABE的一个法向量所以所以锐二面角M﹣AB﹣E的余弦值为．20．（12分）已知椭圆的左核心为F，左极点为A．（1）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围；（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），AH⊥MN，垂足为H且，求证：直线l恒过定点．【解答】解：（1）设P（x0，y0），又A（﹣2，0），F（﹣1，0）所以=，因为P点在椭圆上，所以，即，且﹣2≤x0≤2，所以=，函数在[﹣2，2]单调递增，当x0=﹣2时，f（x0）取最小值为0；当x0=2时，f（x0）取最大值为12．所以的取值范围是[0，12]．（2）由题意：联立得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0由△=（8km）2﹣4×（3+4k2）（4m2﹣12）＞0得4k2+3＞m2①设M（x1，y1），N（x2，y2），则．==0，所以（x1+2）（x2+2）+y1y2=0即，4k2﹣16km+7m2=0，所以或均适合①．当时，直线l过点A，舍去，当时，直线过定点．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=ln（x+1）﹣x2+ax+2．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）令a=﹣1，b∈R，已知函数g（x）=b+2bx﹣x2．若对任意x1∈（﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）在[1，+∞）上为减函数⇒f′（x）=﹣2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立⇒a≤2x﹣在[1，+∞）上恒成立，令h（x）=2x﹣，由h′（x）＞0（或利用增函数减减函数）⇒h（x）在[1，+∞）上为增函数⇒h（x）min=h（1）=，所以a≤；（2）若对任意x1∈[﹣1，+∞），总存在x2∈[﹣1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则函数f（x）在（﹣1，+∞）上的值域是函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域的子集．对于函数f（x），因为a=﹣1，所以f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x+2，概念域（﹣1，+∞）f′（x）=﹣2x﹣1=令f′（x）=0得x1=0x2=（舍去）．当x转变时，f（x）与f′（x）的转变情况如下表：所以f（x）max=f（0）=2⇒所以f（x）的值域为（﹣∞，2）对于函数g（x）=﹣x2+2bx+b=﹣（x﹣b）2+b+b2①当b≤﹣1时，g（x）的最大值为g（﹣1）=﹣1﹣b⇒g（x）值域为（﹣∞，﹣1﹣b]由﹣1﹣b≥2⇒b≤3；②当b＞﹣1时，g（x）的最大值为g（b）=b2+b⇒g（x）值域为（﹣∞，b2+b]由b2+b≥2⇒b≥1或b≤﹣2（舍去），综上所述，b的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[1．+∞）．请考生在22、23两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的倾斜角；（2）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【解答】解：（1）由消去参数α，得即C的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x+2所以直线l的斜率角为．（2）由（1）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数），代入并化简得设A，B两点对应的参数别离为t1，t2．则，所以t1＜0，t2＜0所以．23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【解答】（1）解：①当x≤﹣1时，原不等式化为﹣x﹣1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1；②当时，原不等式化为x+1＜﹣2x﹣2解得：x＜﹣1，此时不等式无解；③当时，原不等式化为x+1＜2x，解得：x＞1．综上，M={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。
2021-2022学年四川省南充市高三(上)适应性数学试卷(理科)(一诊)(附答案详解)
2021-2022学年四川省南充市高三（上）适应性数学试卷（理科）（一诊）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，则S∪T=()A. ⌀B. SC. TD. Z2.若复数z满足(1−i)z=2(3+i)，则z的虚部等于()A. 4iB. 2iC. 2D. 43.设m∈R，则“m≤2”是“函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.人口普查是当今世界各国广泛采用的搜集人口资料的一种最基本的科学方法，根据人口普查的基本情况制定社会、经济、科教等各项发展政策．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是()A. 乡村人口数逐次增加B. 历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C. 城镇人口数逐次增加D. 城镇人口比重逐次增加5. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N 0只，则大约经过( )天能达到最初的1800倍．(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1800≈7.4955，ln8000≈8.9872.)A. 129B. 150C. 197D. 1996. 函数f(x)=(e x +e −x )ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.7. 设数列{b n }前n 项的乘积T n =b 1⋅b 2⋅…⋅b n ，若数列{b n }的通项公式为b n =4010−n ，则下面的等式中正确的是( )A. T 1=T 19B. T 8=T 11C. T 5=T 12D. T 3=T 178. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√5，抛物线y 2=2px(p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 点，若△OAB(O 为坐标原点)的面积为2，则抛物线的方程为( )A. y 2=4xB. y 2=6xC. y 2=8xD. y 2=16x9. 已知函数f(x)=acos(x −π3)+√3sin(x −π3)(a ∈R)是偶函数．g(x)=f(2x +π6)+1，若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是( )A. [0,3]B. [0,3)C. [2,3)D. [√2+1,3)10. 若A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，A ，B 到直线l ：√3x +y −4=0的距离分别为d 1，d 2，则d 1+d 2的最大值是( )A. 3B. 4C. 5D. 611. 如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小，若AB =15cm ，AC =25cm ，∠BCM =45°，则tanθ的最大值是( ).(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成的角)A. 259B. 53C. 45D. 3512. 设函数f(x)的定义域为R ，f(x −1)为奇函数，f(x +1)为偶函数，当x ∈[1,3]时，f(x)=kx +m ，若f(0)−f(3)=−2，则f(2022)=( )A. −2B. 0C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线y =2x +t 与曲线y =2lnx 相切，则实数t 的值为______．14. 已知平面向量a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，若向量c ⃗ =a ⃗ +(a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则c⃗ =______.(其中c⃗ 用坐标形式表示) 15. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c.若A =π3，c =4，若△ABC 的面积为2√3，则△ABC 的外接圆的半径为______．16. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题：①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为y 2=4x ； ②若AM ⊥l 于M ，则抛物线在A 点处的切线平分∠MAF ； ③若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则抛物线C 方程为y 2=6x ； ④若|OM|+|MA|的最小值为2√13，则抛物线C 方程为y 2=8x ． 其中所有正确的命题序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +1，______．请在①a 4+a 7=13；②a 1，a 3，a 7成等比数列；③S 10=65，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{an2n }的前n 项和T n ，求证：1≤T n <3．18.在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应．某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，得到如下频率分布直方图．(Ⅰ)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅱ)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲，乙两人分别在A、B两店参加一次抢购活动．假定甲、乙两人在A、B两店抢购成功的概率分别为P1，P2，记甲、乙两人抢购成功的总次数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1−ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．(Ⅰ)设F为CD1的中点，在AB上是否存在一点M，使得MF//平面D1AE.若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(Ⅱ)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，椭圆C的下顶点和上顶点分别为B1，B2且|B1B2|=2，过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)当k=2时，求△OMN的面积；(3)求证：直线B1M与直线B2N的交点T恒在一条定直线上．21.已知函数f(x)=12x2−ax+x−a+1e x，其中a∈R．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(0,1)，设g(x)=f(x)−f(0)，(ⅰ)证明：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；(ⅱ)记(ⅰ)中的零点为x 0，求证：e x 0<x1−a+1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1：θ=α(ρ≥0,0≤α≤π2)与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点，当α=0时，|OA|=1；当α=π2时，|OB|=2． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)求2|OA|2+√3|OA|⋅|OB|的最大值．23. 记函数f(x)=|x +1|+|2x −1|的最小值为m ．(Ⅰ)求m 的值：(Ⅱ)若正数a ，b ，c 满足abc =2m 3，证明：(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合S={s|s=3n+2,n∈Z}，T={t|t=6n+2,n∈Z}，∴T⫋S，∴S∪T=S．故选：B．推导出T⫋S，从而S∪T=S．本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D=(3+i)(1+i)=2+4i，【解析】解：由题意，可知z=2(3+i)1− i所以复数z的虚部为4，故选：D．利用复数的运算性质，直接求解即可．本题考查了复数的运算性质，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增，≤1，∴m≤2，则m2∴m≤2是函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的充要条件，故选：C．先求出函数f(x)=x2−mx在[1,+∞)上单调递增的等价条件，再利用充要条件的定义判断即可．本题考查二次函数的单调性，充要条件的判断，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：乡村人口第6次，比第5次少，人口不是逐渐递增的，故A 错误， 历次人口普查中第七次普查城镇人口为63.89(万人)，为最多，故B 正确， 城镇人口数从第1次到第7次，人口数逐次增加，故C 正确， 城镇人口比重函数图象为递增图象，故D 正确， 故选：A ．根据函数图象直接进行判断即可．本题主要考查简单的合情推理，根据函数图象直接进行判断是解决本题的关键，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设经过n 天后蝗虫数量达到原来的1800倍， 则N 0(1+6%)nN 0=1800，即1.06n =1800，所以n =log 1.061800=ln1800ln1.06≈129．故选：A ．根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，排除A ，D ，f(−x)=(e −x +e x )ln|−x|=(e x +e −x )ln|x|=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，当0<x <1时，f(x)<0，排除B ， 故选：C ．判断函数的奇偶性和对称性，利用当0<x <1时，f(x)<0进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：∵数列{b n}的通项公式为b n=4010−n，∴T n=b1⋅b2⋅…⋅b n，=409⋅408⋅407⋅......⋅4010−n=409+8+....+(10−n)，∵9+8+.....+(10−n)=n(9+10−n)2=−12n2+192n，开口向下，对称轴为n=192，∴四个选项中只有B成立，故选：B．根据条件求出T n的表达式，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及二次函数的性质，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，可得e=ca =√1+b2a2=√5，可得2a=b，渐近线方程为y=±12x，抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=−p2，求得A(−p2,−p4)，B(−p2,p4)，△OAB(O为坐标原点)的面积为2，可得12×p2×p2=2，解得p=4，即有抛物线的方程为y2=8x．故选：C．由双曲线的离心率，可得2a=b，求得渐近线方程和抛物线的准线方程，联立解得A，B，再由三角形的面积公式，解方程可得p，进而得到所求抛物线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查抛物线的方程和性质，以及运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=acos(x−π3)+√3sin(x−π3)=(a2cosx+√32asinx)+√3(12sinx−√32cosx)=(a 2−32)cosx +(√32a +√32)sinx 是偶函数(a ∈R)，∵f(x)=f(−x)，∴√32a +√32=0，∴a =−1，故f(x)=−2cosx ，∴g(x)=−2cos(2x +π6)+1， 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根， 则cos(2x +π6)=1−m 2在[0,7π12]有两个不相等实根，∵x ∈[0,7π12]，∴2x +π6∈[π6,4π3]，∵cos4π3=−12，∴−1<1−m 2≤−12，∴2≤m <3，∴实数m 的取值范围是[−2,3)． 故选：C ．由利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据函数的奇偶性求得a ，可得f(x)的解析式，再得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，求得实数m 的取值范围． 本题主要考查三角恒等变换，函数的奇偶性，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：因为A ，B 是⊙O ：x 2+y 2=4上两个动点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 所以2×2×cos∠AOB =−2， 故cos∠AOB =−12， 所以∠AOB =120°， 设AB 中点为P ，在等腰三角形AOB 中，OP =1， 所以P 在以O 为圆心，以1为半径的圆上， 设P 到直线l 的距离为d ，由梯形的中位线定理可知2d =d 1+d 2， 因为O 到直线l ：√3x +y −4=0的距离为42=2， 所以P 到直线l 的距离的最大值为2+1=3， 所以d 1+d 2的最大值为6， 故选：D ．根据条件可得∠AOB=120°，设AB中点为P，由等腰三角形的性质可知P在以O为圆心，以1为半径的圆上，而由梯形的中位线定理可知P到直线l的距离为d1+d2的一半，故求出P点到直线l的距离的最大值即可．本题考查了平面向量数量积的性质，动点轨迹的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，则tanθ=PP′AP′，设BP′=x，则CP′=20−x，由∠BCM=45°，PP′=CP′tan45°=20−x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=√225+x2，则y′=−√225+x 2−(20−x)⋅2√225+x2225+x2=√225+x2，当0≤x≤20时，y′<0，所以函数在[0,20]单调递减，∴x=0时，取得最大值为2015=43，当P′在CB的延长线上，PP′=CP′tan45°=20+x，在RtΔABP中，AP′=√225+x2，∴tanθ=√225+x2，令y=(20+x)2225+x2，则y′=0可得x=454，此时函数的最大值为53，综上可知，函数的最大值为53，故选：B．过点P作PP′⊥BC交BC于点P′，连接AP′，设BP′=x，可得tanθ=PP′AP′=√225+x2，分P′在BC之间和P′在CB的延长线上两种情况求最值，比较可得结果．本题考查了三角形中的几何计算及三角函数的最值问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵f(x−1)为奇函数，∴f(−x−1)=−f(x−1)，当x=0时，f(−1)=−f(−1)，即f(−1)=0，∵f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)=f(x+1)，则f(−x−2)=−f(x)，f(−x+2)=f(x)，即f(−x−2)=−f(−x+2)，则f(x−2)=−f(x+2)，即f(x)=−f(x+4)，则f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的周期是8，f(0)=f(2)，∵当x∈[1,3]时，f(x)=kx+m，若f(0)−f(3)=−2，∴f(2)−f(3)=−2，即2k+m−3k−m=−k=−2，得k=2，此时f(x)=2x+m，又f(3)=f(2+1)=f(−2+1)=f(−1)=0，即6+m=0，得m=−6，即f(x)=2x−6，则f(2022)=f(252×8+6)=f(6)=f(2+4)=−f(4−2)=−f(2)=−(4−6)=2，故选：C．根据函数奇偶性建立方程求出函数f(x)是周期为8的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的关系求出函数的周期是解决本题的关键，是中档题．13.【答案】−2【解析】解：∵y=2lnx，∴y′=2x ，设切点为(m,2lnm)，得切线的斜率为2m，∴曲线在点(m,2lnm)处的切线方程为：y−2lnm=2m×(x−m)．即y=2mx−2+2lnm，由2m=2，得m=1，∴t=−2+2ln1=−2．故答案为：−2．欲求t的值，只须求出切线的方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进一步求解t值．本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14.【答案】(4,−4)【解析】解：因为a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，所以c⃗=a⃗+(a⃗⋅b⃗ )b⃗ =(2,0)+(2,−4)=(4,−4)．故答案为：(4,−4)．根据向量的运算性质计算即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：根据题意得12bcsinA=2√3，把A=π3，c=4代入得b=2，由余弦定理得a=√b2+c2−2bccosA=√22+42−2×2×4×12=2√3，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得asinA =2R，∴R=√32×√32=2．故答案为：2．由△ABC的面积为2√3可求得b值，然后由余弦定理求得a值，再由正弦定理求得△ABC的外接圆的半径．本题考查正、余弦定理及三角形面积公式，考查数学运算能力，属于基础题．16.【答案】①②③④【解析】解：对于①，当△MAF 为正三角形时，|AF|=|AM|，故A M 与x 轴平行，∵|AF|=|AM|=4，∴F 到准线的距离等于12|AM|=2，即p =2，故①正确； 对于②，设A(x 0,y 0)，不妨设点A 在第一象限，则y 0=√2px 0， 由y =√2px.得y′=√2p 2√x，所以抛物线在A 的切线的斜率k =√2p 2√x 0，所以抛物线在A 处的切线方程为y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)，∵F(p2,0)，M(−p 2,√2px 0)，所以MF 的中点为H(0,√2px 02) 显然点H 在直线y −√2px 0=√2p 2√x 0(x −x 0)上，即AH 为△AFM 的一条中线，又由抛物线的定义，知|AF|=|AM|，所以△AFM 为等腰三角形， 所以AH 平分∠MAF ；故②正确；对于③，若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，M ，F 三点共线，且|MF|=12，由三角形的相似比可得1216=p4，得p=3，故③正确；对于④，设B(−p,0)，则O，B关于准线对称，故|MO|=|MB|，∵|AF|=4，∴A点横坐标为4−p2，不妨设A在第一象限，则A点纵坐标为√8p−p2，故|OM|+|MA|的最小值为|AB|=√(4+p2)2+8p−p2=2√13，解得p=4或p=12，由4−p2≥0，p≤8，故p=4，故④正确．故答案为：①②③④．根据等边三角形性质判断①，根据三线合一判断②，利用相似三角形判断③，根据最短距离列方程计算p，判断④．本题考查抛物线的几何性质，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+1，整理得a n+1−a n=1(常数)，故数列{a n}是以1为公差的等差数列；选条件①时，(Ⅰ)由于①a4+a7=13；2a1+9=13，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件②a1，a3，a7成等比数列所以a32=a1⋅a7，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n=12+122+....+12n−n+12n+1+12，整理得T n=3−n+32n．所以T n<3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n−1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T1=1，所以1≤T n<3．选条件③S10=65时，10a1+10×92=65，解得a1=2，故a n=2+(n−1)=n+1；证明：(Ⅱ)设b n=n+12n，所以T n=221+322+423+...+n+12n①，1 2T n=222+323+424+...+n+12n+1②，①−②得：12T n =12+122+....+12n −n+12n+1+12， 整理得T n =3−n+32n．所以T n <3，由于设f(n)=f(n)=3−n+32n，满足f(n)−f(n −1)>0，故函数f(x)为单调递增函数，由于T 1=1， 所以1≤T n <3．【解析】首先确定数列{a n }为等差数列，进一步选条件①②③时， (Ⅰ)直接求出数列的通项公式；(Ⅱ)利用乘公比错位相减法和放缩法及函数的单调性的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，数列的单调性，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，放缩法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】(I)解：按分层抽样的方法抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，所以随机变量X 的可能取值为0，1，2， 则P(X =0)=C 63C 83=514,P(X =1)=C 62C 21C 83=1528,P(X =2)=C 61C 22C 83=328，所以随机变量X 的分布列为：所以期望为E(X)=0×514+1×1528+2×328=34． (II)解：由题意，随机变量Y 的可能取值为0，1，2， 则P(Y =0)=(1−p 1)(1−p 2)=1−(p 1+p 2)+p 1p 2， P(Y =1)=p 1(1−p 2)+(1−p 1)p 2=p 1+p 2−2p 1p 2， P(Y =2)=p 1p 2，所以随机变量Y 的分布列为：E(Y)=p1+p2−2p1p2+2×p1p2=1+p2p1+p2．【解析】(I)按分层抽样得到二级、一级口罩的个数分别为6个和2个，得出X的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；(II)根据题意得到随机变量Y的可能取值为0，1，2，结合相互对立事件的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)存在，且AM=14AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，∵FL//EC，EC//AB，∴FL//AB且FL=14AB，∴FL//AM，FL=AM∴AMFL为平行四边形，∴MF//AL，因为MF⊄平面AD1E，AL⊂平面AD1E，所以MF//平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且AMAB =14．(Ⅱ)取AB的中点K，AE的中点O，连接OK，D1O⊥AE，OK⊥AK，因为平面D1AE⊥平面ABCE，则D1O⊥平面ABCE，故以O为坐标原点，OA，OK，OD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得B(−√2,2√2,0)，C(−2√2,√2,0)，E(−√2,0,0)，D 1(0,0,√2)， EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,√2,0),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√2),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−2√2,√2) 设平面CD 1E 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√2x +√2y =0√2x +√2z =0， 令x =1，解得y =1，z =−1，所以m ⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线BD 1与平面CD 1E 所成角为θ，sinθ=|cos〈m ⃗⃗⃗ ,BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√3×√12=√23， 所以直线BD 1与平面CD 1E 所成角的正弦值为√23．【解析】(Ⅰ)先分析确定点M 位置，再取D 1E 的中点L ，根据平面几何知识得AMFL 为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果．(Ⅱ)取AB 的中点K ，AE 的中点O ，连接OK ，以O 为坐标原点，OA ，OK ，OD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积即可求解．本题主要考查线面平行的证明，空间向量及其应用，线面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可得{e =ca =√222b =2c 2=a 2−b 2，解得：a 2=2，b 2=1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2=1；(2)由题意可得直线MN 的方程为：y =2x +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{x 22+y 2=1y =2x +2，整理可得：9x 2+16x +6=0，x 1+x 2=−169，x 1x 2=69=23，所以弦长|MN|=√1+22⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√16281−4×23=√5⋅2√109，O 到直线MN 的距离d =√5， 所以S △MON =12×|MN|⋅d =12×√5⋅2√109√5=2√109； (3)证明：设直线MN 的方程为：y =kx +2，设M(x 1,y 2)，N(x 2,y 2)， 联立{y =kx +2x 22+y 2=1，整理可得：(1+2k 2)x 2+8kx +6=0，所以△=64k 2−4×6×(1+2k 2)>0，可得：k 2>32， 且x 1+x 2=−8k1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2， 由(1)可得B 1(0,−1)，B 2(0,1)，设T(m,n)， 由T ，M ，B 1三点共线，所以n+1m=y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①由T ，M ，B 2三点共线：n−1m=y 2−1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3可得：n+1m +3n−3m=4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅−8k 1+2k 261+2k 2=0，所以可得4n −2=0，解得：n =12， 所以点T 恒在直线y =12上．【解析】(1)由离心率和短轴的值即a ，b ，c 的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)由题意设直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|MN|的值，再求O 到直线MN 的距离，代入面积公式求出三角形的面积；(3)由(1)可得B 1，B 2的坐标，设T 的坐标，由直线B 1M 与直线B 2N 的交点T 可得T 与B 1，B 2的坐标的关系，将直线MN 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而可得T 的纵坐标为定值，即可证得结论．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，三角形面积的求法，及直线恒过定点的证明，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)求导f′(x)=(x −a)−x−a e x=(x −a)e x −1e x，令f′(x)=0，解得x =a 或x =0，当a >0时，由f′(x)>0，解得x >a 或x <0，由f′(x)<0，解得0<x <a ， 所以f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，由f′(x)=x(e x−1)e x>0，得x>0，f′(x)<0，x>0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；当a<0时，由f′(x)>0，解得x<a或x>0，f′(x)<0，解得a<x<0，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，综上所述，当a>0时，f(x)在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减，当a=0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减；(Ⅱ)(ⅰ)证明：由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，解法一：g(a+√a2+2(1−a))>12[a+√a2+2(1−a)]2−a[a+√a2+2(1−a)]−(1−a)=0，存在唯一的x0∈(a,a+√a2−2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法二：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax−(1−a)>1 2x2−ax−1=12x(x−2a)−1，g(2a+2)>12(2a+2)×2−1=2a+1>0，存在唯一的x0∈(a,2a+2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．解法三：g(x)=f(x)−f(0)=12x2−ax+x−a+1e x−(1−a)>12x2−ax+a−1，g(2)>12×22−2a+a−1=1−a>0，存在唯一的x0∈(a,2)，使得g(x0)=0，故函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点．说明：若给出解法当a∈(0,1)时，g(x)=f(x)−f(0)=f(x)+a−1，g(x)与f(x)的单调性相同，由(Ⅰ)可知，当a∈(0,1)时，g(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，所以g(a)<g(0)=f(0)−f(0)=0，当x>a时，x→+∞，g(x)→∞.(扣2分)(ⅱ)证明：e x0<x01−a+1，只需证：x0+1−ae x0>1−a，由于g(x0)=0，得f(x0)=f(0)，故12x02−ax0+x0+1−ae x0=1−a，只需证12x02−ax0+x0+1−ae x0<x0+1−ae x0，只需证x0<2a，因为f(x)在(a,+∞)上单调递增，所以f(x0)<f(2a)，因为f(x0)=f(0)，所以只需证明f(2a)>f(0)，解法一：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=a+1e2a+a−1，设ℎ(a)=a+1e2a+a−1,a∈(0,1)，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a，设2a=t，则t∈(0,2)，设k(t)=e t−t−1，则k′(t)=e t−1>0，所以k(t)=e t−t−1在(0,2)单调递增，所以k(t)>k(0)=0，则ℎ′(a)=e2a−2a−1e2a>0，所以ℎ(a)=a+1e2a+a−1在(0,1)上单调递增，所以ℎ(a)>ℎ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．解法二：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=(1−a)[a+1(1−a)e2a−1]，φ(a)=a+1(1−a)e2a−1,a∈(0,1)，φ′(a)=(1−a)e2a−(a+1)[−e2a+2(1−a)e2a](1−a)2e2a =2a2(1−a)2e2a>0，所以φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，所以f(2a)>f(0)，原不等式得证．解法三：由f(2a)−f(0)=a+1e2a −(1−a)=1−ae2a⋅(1+a1−a−e2a)=1−ae2a(e ln1+a1−a−e2a)，设p(a)=ln1+a1−a−2a=ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a∈(0,1)，则p′(a)=11+a +11−a−2=2−2(1−a2)(1+a)(1−a)2a2(1+a)(1−a)>0，因此p(a)=ln1+a1−a−2a在(0,1)单调递增，因为1>a>0，所以p(a)>p(0)=0，所以f(2a)>f(0)，故原不等式得证．【解析】(Ⅰ)求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；(Ⅱ)当a∈(0,1)，求得g(x)的单调性，解法一：由g(a)<0，及g(a+√a2+2(1−a))>0，利用函数的零点存在定理可得：函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点； 解法二：利用放缩法，可得g(2a +2)>12(2a +2)×2−1=2a +1>0，结合g(a)<0，因此存在唯一的x 0∈(a,2a +2)，使得g(x 0)=0，函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点；解法三：利用放缩可得g(x)=f(x)−f(0)=12x 2−ax +x−a+1e x−(1−a)>12x 2−ax +a −1，因此g(2)>0，同理可得函数g(x)在区间(0,+∞)内有唯一的一个零点． (ⅱ)原不等式可转化为x 0<2a ，由f(x)在(a,+∞)上单调递增，因此f(x 0)<f(2a)，进而f(2a)>f(0)． 解法一：构造函数ℎ(a)=a+1e 2a+a −1,a ∈(0,1)，求导根据导数与函数单调性的关系，求得最小值，即可证明f(2a)>f(0)；解法二：设φ(a)=a+1(1−a)e 2a −1,a ∈(0,1)，求导可得，φ(a)在(0,1)上单调递增，所以φ(a)>φ(0)=0，因此可得f(2a)>f(0)；解法三：设p(a)=ln 1+a 1−a −2a =ln(1+a)−ln(1−a)−2a,a ∈(0,1)，求得，可得p(a)=ln 1+a1−a −2a 在(0,1)单调递增，因为p(a)>p(0)=0，即可得到f(2a)>f(0)． 本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性的关系，函数的零点问题，函数的隐零点，放缩法的应用，考查转化思想，分类讨论思想，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =a +acosϕy =asinϕ(φ为参数，实数a >0)，转换为直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2acosθ；当α=0时，|OA|=1；故a =12．曲线C 2：{x =bcosϕy =b +bsinϕ(φ为参数，实数b >0)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −b)2=b 2，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2bsinθ；当α=π2时，|OB|=2.故b =1． 故a =12，b =1．(Ⅱ)由于曲线C 1和曲线C 2的方程为ρ=cosθ和ρ=2sinθ；所以2|OA|2+√3|OA|⋅|OB =1+cos2θ+√3sin2θ=2sin(2θ+π6)+1；由于0≤θ≤π2， 所以2θ+π6∈[π6,7π6]，故2|OA|2+√3|OA|⋅|OB 的最大值为3，当2θ+π6=π2，即θ=π6时取得最大值．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换进一步求出a 和b 的值；(Ⅱ)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出最大值．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：由题意得，f(x)={−3x,x ≤−1−x +2,−1<x <123x,x ≥12，作出函数f(x)图像如图所示，由图可知，当x =12时，函数f(x)取最小值，f(x)min =−12+2=32，故m =32． (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得abc =1，故ab +bc +ca =1c +1a +1b ，因为a ，b ，c 均为正数，所以要证明不等式(ab +bc +ca)(a +b +c)≥9， 只需证明(1a +1b +1c )(a +b +c)≥9，由柯西不等式得：(1a +1b +1c )(a +b +c)≥(√a √a √b √b √c √c )2=9，当且仅当a=b=c=1时，取等号，所以原不等式成立．【解析】(Ⅰ)将函数f(x)化简为分段函数形式，并作出函数图像，由图像判断并计算最小值；(Ⅱ)由(Ⅰ)得abc=1，可得ab+bc+ca=1c +1a+1b，将证明不等式(ab+bc+ca)(a+b+c)≥9转化为证明(1a +1b+1c)(a+b+c)≥9成立，利用柯西不等式证明即可．本题主要考查绝对值函数的最值，柯西不等式的应用等知识，属于基础题．。
四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试(一诊)理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 将三角函数向左平移个单位后，得到的函数解析式为A．B．C．D．2. 已知全集，集合，，则如图中阴影部分所表示的集合为A．B．C．D．3. 已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（ ）A．B．C ．0D ．24.复数的虚部为（ ）A ．3B．C ．2D．5. 已知集合，，则为（ ）A．B．C．D．6. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（）．A．B．C．D．7. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（ ）A．B．C．D．8.已知，将函数的图象向右平移个单位得到，则使得函数是偶函数的的最小值是（ ）A．B．C．D．9. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C 是从左到右的三个相邻交点，设，四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题四川省南充市2023届高三上学期高考适应性考试（一诊）理科数学试题三、填空题四、解答题，则下列结论正确的是（ ）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．对于任意的，存在偶函数，使得为奇函数B．若只有一个零点，则C ．当时，关于的方程有3个不同的实数根的充要条件为D ．对于任意的，一定存在极值11. 已知向量满足，则可能成立的结果为（ ）A．B．C．D．12. 已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足，则下列关系一定正确的是（ ）A．B．C．D．13. 定义在R 上的奇函数f （x ）以2为周期，则f （1）=________．14. 已知函数则________；方程的解为________．15. 已知，若，则_____．16. 已知函数，其中a 为实数．(1)讨论函数的单调性；(2)令，若恒成立，求实数a 的取值范围．17. 安庆某农场主拥有两个面积都是220亩的农场——加盟“生态农场”与“智慧农场”，种植的都是西瓜，西瓜根据品相和质量大小分为优级西瓜､一级西瓜､残次西瓜三个等级.农场主随机抽取了两个农场的西瓜各100千克，得到如下数据：“生态农场”优级西瓜和一级西瓜共95千克，两个农场的残次西瓜一共20千克，优级西瓜数目如下：“生态农场”20千克，“智慧农场”25千克.(1)根据所提供的数据，完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为残次西瓜率与农场有关？农场非残次西瓜残次西瓜总计生态农场智慧农场总计(2)种植西瓜的成本为0.5元/千克，且西瓜价格如下表：等级优级西瓜一级西瓜残次西瓜价格（元/千克） 2.5 1.5（无害化处理费用）①以样本的频率作为概率，请分别计算两个农场每千克西瓜的平均利润；②由于农场主精力有限，决定售卖其中的一个农场，请你根据以上数据帮他做出决策.（假设两个农场的产量相同）参考公式：，其中.附表：0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.82818. 如图，直三棱柱的所有棱长都是2，D、E分别是AC、的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．19.已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.20. 某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两部分，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，如果一次考试不合格有1次补考机会.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人数510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算该门学科这次考试的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；②在[40，50)， [50，60)， [60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自[60，70)的概率；(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低于2.5次，求的取值范围.21. 已知，是椭圆的左，右顶点，，过椭圆的右焦点的直线交椭圆于点，，交直线于点，且直线，，的斜率成等差数列，和是椭圆上的两动点，和的横坐标之和为2，的中垂线交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积的最大值．。
四川省南充市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析
四川省南充市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数；③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …．那么正确论断的编号是（ ）A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤ 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数()g x 的奇偶性并证明.【详解】当()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=，所以()g x 是偶函数；当()f x 是奇函数时，则()()f x f x -=-，所以()()(||)|()|(||)|()|g x f x f x f x f x g x -=---=-=，所以()g x 是偶函数；当()f x 为非奇非偶函数时，例如：()5f x x =+， 则()27f -=，()23f -=，此时(2)0g ->，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.2．已知函数2()ln(1)f x x x -=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.3．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种A ．240B ．320C ．180D ．120【答案】C【解析】【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.4．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项．【详解】分析知，函数()sin x y x -=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ， 当x π=时，sin 0x x =，排除D ， 故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．5．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A 51B ．512C 51D ．512【答案】C由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=，故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.6．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．43i +B ．43i -C ．43i -+D ．43i -- 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +.故选：A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 7．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-【答案】B【解析】解：当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大，故选B8．已知斜率为2-的直线与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，若()00,M x y 为线段AB 中点且4OM k =-（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）A 5B ．3C 3D ．324【答案】B【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减可得到直线AB 的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到,a b 的等式，求出离心率．【详解】 004OM y k x ==-， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=， ∴2121221212()()AB y y b x x k x x a y y -+==-+220220124b x b a y a ⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭，22228,13b b e a a∴=∴=+=． 故选：B ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠ 【答案】B【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.10．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112πB ．512πC ．712πD ．11π12【答案】B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ， 则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r （ ）. A ．7388BA BC -u u u r u u u r B ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u r D ．7388BA BC +u u u r u u u r 【答案】B【解析】【分析】 由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u u r u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可.【详解】 因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u u r u u u r 133()244BC BA BC -+-=u u u r u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.12．已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]4,13 C ．[]4,12D ．7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】 首先将ME MF ⋅u u u r u u u r 转化为21MT -u u u r ，只需求出MT 的取值范围即可，而MT 表示可行域内的点与圆心(1,1)T -距离，数形结合即可得到答案.【详解】作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=u u u r u u u u r u u u r u u r u u u r u u u r22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u r 21MT =-u u u r ,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然MB MT MA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以22[1(2)](11)13MA =--+--=22321(1)TB ==+- 故ME MF ⋅u u u r u u u r 271[,12]2MT =-∈u u u r . 故选：D.【点睛】本题考查与线性规划相关的取值范围问题，涉及到向量的线性运算、数量积、点到直线的距离等知识，考查学生转化与划归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省南充市高中2021届高三数学第一次适应性考试试题 理(含解析)
四川省南充市高中2021届高三数学第一次适应性考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则AB =（ ）A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D.{}|1x x ≤-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，按照并集定义，即可得出答案. 【详解】{}{}2|1|11B x x x x =≤=-≤≤，A B ={}1|x x ≥-.故选:B【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.12i=-（ ） A. 2155i -+ B. 2155i -- C.2551i + D.2155i - 【答案】C 【解析】 【分析】分母实数化，即可求得结果. 【详解】12212(2)(2)55i i i i i +==+--+. 故选:C【点睛】本题考查复数的除法，属于基础题. 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断方法，即可得出结论. 【详解】若060A =，则1cos 2A =成立； 若1cos 2A =，则00006036060360()A k k k Z =+⋅-+⋅∈或， 故60A =︒不成立， 所以“60A =︒”是“1cos 2A =”的充分不必要条件. 故选:A【点睛】本题考查充分必要条件的判断，要注意三角函数值与角之间的关系，属于基础题. 4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为（ ）A. B. 8πC.D. 4π【答案】B 【解析】试题分析：设球的半径为R ，截面小圆半径为r 21r r ππ∴=∴=R ∴=248S R ππ==考点：圆的截面小圆性质及球的表面积点评：球的半径为R ，截面小圆半径为r ，球心到截面的距离为d,则有222R r d =+，球的表面积24S R π= 5.函数1()sin cos 2f x x x =的最小值是（ ） A.14B. 12C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角化简1()sin cos 2f x x x =，即可得答案. 【详解】111()sin cos sin 2244f x x x x ==≥-.故选:D【点睛】本题考查二倍角公式的应用以及三角函数的有界性，属于基础题.6.10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为（ ）A. 5B. 10C. 15D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式定理写出通项，即可求出结果.【详解】10112x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为1010101101011()(),0,1,2,,1022k k k k kk T C x C x k ---+===，3x 的系数是733101011()1528C C =⨯= 故选:C【点睛】本题考查展开式的系数，掌握通项公式是解题的关键，属于基础题.7.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A. ⎡⎣B. (C. 33⎡-⎢⎣⎦D.⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k kdk-=≤+，得222141,3k k k≤+≤，选择C另外，数形结合画出图形也可以判断C正确．8.函数()21,1,1x xf xx x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有且只有一个实数根，则实数a满足（）A. 1a= B. 1a> C. 01a≤< D. 0a<【答案】A【解析】【分析】作出函数()f x图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数()f x图像，如下图所示：()1f x=有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若2BC=，AB AC AB AC+=-，则AM =（ ）A.12B. 1C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】||||AB AC AB AC +=-两边平方，可得0AB AC ⋅=，即AB AC ⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM . 【详解】||||AB AC AB AC +=-，两边平方得，222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+，0,AB AC AB AC ∴⋅=∴⊥，M 是线段BC的中点，1||||12AM BC ∴==. 故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题. 10.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，化切为弦，整理求出A B +值，即可求出结果.【详解】tan tan a b a b A B+=+，sin sin sin sin cos cos sin sin cos cos A BA B A BA B A B+=+=+， sin cos sin cos A A B B -=-+，平方得2sin cos 2sin cos ,sin 22sin 2A A B B A B -=-∴=， 22(0,2),22A B A B π∈∴=、或22A B π+=，,A B ∴=或2A B π+=，若,A B =则sin cos ,tan 1,(0,)A A A A π∴=∴=∈,42A B C ππ∴==∴=，若2A B π+=，则2C π=.故选:D【点睛】本题考查正弦定理边角互化，考查同角间的平方关系和三角函数值与角的关系，属于中档题. 11.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭（e 为自然对数的底数），则不等式2(ln )f x x <的解集为（ ） A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数F （x ）=()2xf x e，求出导数，判断F （x ）在R 上递增．原不等式等价为F （lnx ）＜F（12），运用单调性，可得lnx ＜12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【详解】可构造函数F （x ）=()2xf x e，F′（x ）=()()22222()x xx f x e f x e e -=()()2'2xf x f x e -，由f′（x ）＞2f （x ），可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式f （lnx ）＜x 2即为()2f lnx x＜1，（x ＞0），即()2lnxf lnx e＜1，x ＞0．即有F （12）=12f e⎛⎫⎪⎝⎭=1，即为F （lnx ）＜F （12），由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜12，解得0＜x． 故不等式的解集为（0）， 故选B ．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =， ()()xf x f x '<构造()()f xg x x=， ()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等12.已知14m <<，1F ，2F 为曲线22:144x y C m +=-的左、右焦点，点P 为曲线C 与曲线22:11E y x m -=-在第一象限的交点，直线l 为曲线C 在点P 处的切线，若三角形12F PF 的内心为点M ，直线1F M 与直线l 交于N 点，则点M ，N 横坐标之差为（ ） A. 1- B. 2-C. 3-D. 随m 的变化而变化 【答案】A 【解析】 【分析】先求出P 点坐标，得出切线方程，求出三角形12F PF 的内切圆的半径、直线1F M 的方程，联立求出N 的横坐标，即可得出结论.【详解】联立222214411x y m y x m ⎧+=⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩消去y，得24,0,x x x m =>∴= 设00(,)P x y ，直线l 方程为00144x xy y m①设三角形12F PF 内切圆半径为r ，则由等面积可得002(42),2M my my m r r y m=+∴==+ ②直线1F M 的方程为()1My x m m=++ ③联立①②③，化简可得36,2N mx m x =∴=，在12F PF ∆中，内切圆圆心M ，各边的切点分别为,,A D E ， 由圆的切线性质可得1122||||,||||,||||F A F D EF AF PD PE ===，121212||||||||||||2F P F P F D F E F A F A ∴-=-=-=，. 121||||2,||1M F A F A m F A m x m +=∴=+=+， 1,1M M N x x x =∴-=-.故选:A【点睛】本题考查双曲线方程的性质以及焦点三角形的内切圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于综合题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】化简函数()f x ，根据自变量的范围，即可求出结论.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，50,2336x x ππππ≤≤∴≤+≤， ()f x ∴的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题考查三角函数的化简，以及三角函数最值，属于基础题.15.已知函数()2sin 1x xxe x f x x e ++=++，则()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++的值是________. 【答案】11 【解析】 【分析】根据所求值的自变量的关系，先求()()f x f x +-的值，即可求出结果.【详解】()()f x f x +-=22sin sin()11x x x xxe x xe x x x e e --++-++++-+-+22211x x x x x xe x x xe e e e ++-+-+=+=+，(5)(5)(4)(4)(1)(1)2f f f f f f ∴-+=-+==-+=，(0)1f =，()()()()()()()()()()()54321012345f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=11故答案为:11【点睛】本题考查函数的对称性的应用，关键要转化为研究()()f x f x +-的值，属于中档题. 16.过抛物线()220x py p =>的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ,B 两点，又过A ,B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为D ,C .若梯形ABCD的面积为p =__________.【解析】 【分析】设1122(,),(,),A x y B x y ,联立直线与抛物线方程求出121,2,,x x y y ，代入12121||()2ABCD S x x y y =-+梯形，即可求出p 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，抛物线的焦点(0,)2p F ， 直线AB 方程为2p y x =+， 联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y ，得2220x px p --=，解得121233,,,,22x p x p y p y p -+==+==，212121||()2ABCD S x x y y =-+==梯形p ∴=.故答案为【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及梯形的面积公式，考查计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分。
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.
已知向量a,b
π 的夹角为3
,且|b
|
=
1,
|a
−2b
|=
7 ,则|a|=
.
14. 记 Sn 是等差数列{an} 的前 n 项和. 若 a3 = S3 = 3,则 a5 =
.
15. 设 F为椭圆 C: x2 + y2 = 1 的右焦点,不垂直于 x 轴且不过点 F的直线 l 与 C 交于 M,N 43
],
都有
|g(x1)−g(x2)|≤1,求 t 的取值范围.
21. ( 本题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy , 已知点 M ( 2, 1 ), 动点 P 到直线 y =−1 的距离为 d, 满足 |PM|2 +d2 =|PO |2 +6. (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 过轨迹 C 上的纵坐标为 2 的点 Q 作两条直线 QA,QB,分别与轨迹 C 交于点 A,B,且 点D(3,0) 到直线 QA,QB 的距离均为 m(0<m≤ 2 ),求线段 AB 中点的横坐标的取值 范围.
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将答题卡交回。
第 I 卷(共60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。 1. 已知集合 A = {x | x2 +5x>0} ,B ={x |−3<x<4} ,则 A∩B =
D. 92
6. 已知直线 x−my+4m−2 = 0 与圆 x2 +y2 = 4 相切,则 m =
A. 0
B. −43
C. 0 或−43
4 D. 0 或 3
高三数学一诊(理科)第 1页(共 4 页)
Байду номын сангаас.
函数
y
=
x3 3x −1
的图象大致为
8. 执行如图所示的程序框图,如果输入 k 的值为 3,则输出 S 的值为
秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2020 年 12 月 15 日下午 15 ：00 ~ 17： 00】
南充市高 2021 届第一次高考适应性考试
理科数学
注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如
(一) 必考题:共 60 分
17. ( 本题满分 12 分)
手机运动计步已成为一种时尚,某学校统计 了该校教职工一天行走步数( 单位:百步) . 根据数据得到如右直方图: (1) 求频率分布直方图中 a 的值,并由频率
分布直方图估计该校教职工一天行走步数 的中位数 m; (2) 若该校有教职工 175 人,试估计一天行 走步数不大于 130 的人数.
A. (−5,0)
B. (−3,0)
C. (0,4)
D. (−5,4)
2. 若( z−1) i = i+1,则 z =
A. −2+i
B. −2−i
C. 2+i
D. 2−i
3. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送
来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 216 粒内夹谷 27 粒,则这批米内夹谷约
A. 164 石
B. 178 石
C. 189 石
D. 196 石
4.
(1−x+
1 x2021
)10
的展开式中
x2
的系数为
A. 45
B. −45
C. 120
D. −120
5. 已知各项均为正数的等比数列{an} 的前 3 项和为 21,且 a1 = 3,则 a3 +a5 =
A. 36
B. 60
C. 84
③存在实数 k,使得方程恰有 3 个不相等的实根 ;
④存在实数 k,使得方程恰有 4 个不相等的实根.
其中所有正确结论的编号是
.
三、解答题:共 70 分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17 ~ 21 题为必考
题,每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
为坐
标 原点,若四边形 ABOF 为菱形,则 C 的离心率为
A. 5
B. 2 3
C. 3 +1
D. 3 +2
4
2
11. 已知定义在 R 上的函数 f( x) 满足 f(−x)= f( x),且当 x<0 时,f( x)= 3x +1,若 a = 23 ,b = 45 ,
1
c = 253 ,则
A. f( a) <f( b) <f( c)
.
高三数学一诊(理科)第 3页(共 4 页)
20. ( 本题满分 12 分) 已知函数 f( x)= x3−mx+n 的图象在点(1,f(1)) 处的切线方程为 9x+y−48 = 0.
(1) 求 m,n;
(2)
设
0
<
t≤
2,
已知函数
g
(x)=
f( x) 16t
,若对于任意
x1
,
x2
∈
[
t−
2,
t
B. f( b) <f( c) <f( a)
C. f( b) <f( a) <f( c)
D. f( c) <f( a) <f( b)
12.
已知函数
f (x) =
ln x − x3 − e−1ax x2
+ 2e 只有一个零点,则 a =
A. e3 +1
B. e3−1
C. e
1 D. e
第 II 卷(共90 分)
18. ( 本题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2bcosC−c = 2a. (1) 求 B; 19 (2) 若 a = 3,且 AC 边上的中线长为 2 ,求 c.
19. ( 本题满分 12 分) 在五边形AEBCD中,BC⊥CD,CD//AB,AB = 2CD = 2BC,AE⊥BE,AE = BE(如图1),将 △ABE 沿AB 折起使得平面 ABE ⊥平面 ABCD,线段 AB 的中点为 O(如图 2) . (1) 求证:平面 ABE⊥平面 DOE; (2) 求平面 EAB 与平面 ECD 所成的锐二面角的大小.
A. 10
B. 15
C. 18
D. 21
9. 已知二面角 α-AB-β 的平面角是锐角θ,M∈α,N∈β,MN⊥β,
C∈AB,∠MCB为锐角,则
A. ∠MCN<θ
B. ∠MCN = θ
C. ∠MCN>θ
D. 以上三种情况均有可能
10.
双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
=1(
a>0,b>0) 的左焦点为 F,A,B 分别为C的左,右支上的点,O
两点,在△MFN 中,若∠MFN 的外角平分线与直线 MN 交于点 P,则 P 的横坐标为 .
高三数学一诊(理科)第 2页(共 4 页)
16.
已知函数
f
(x)
=
x2
−1, x ≥ 0,
,则关于
x
的方程
f(
f(
x))
+k
=
0,给出下述四个结论:
−2x, x < 0,
①存在实数 k,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k,使得方程恰有 2 个不相等的实根;