大学物理一复习第四章刚体的转动共52页文档
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大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
大学物理—刚体的动轴转动
（3）J 和质量分布有关； （4）J 和转轴有关，同一个物体对不同转轴的转 动惯量不同。 例 1: 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳 的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1< m2 如图所示。设滑轮的质量为 m ，半径为 r ，所受的 摩擦阻力矩为 m 。绳与滑轮之间无相对滑动。试求 物体的加速度和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯量。在转动中受到 阻力矩的作用，两边的张力不再相等，设物体1这 边绳的张力为T1、 T1’(T1’= T1) ，
F r sin f r sin (m r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
f r sin
i 1 i i
i
0
得到：
F r sin (m r
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
F r sin f r sin (m r
i 1 i i i i 1 i i i i 1
N
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
f r sin
i 1 i i
i
0
得到：
F r sin (m r
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
大学物理学 第4章刚体力学
第四章 4.1 刚体运动学
4.1.1 刚体：
刚体力学
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 .
4.1.2 刚体的基本运动形式： （1）平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同，或者 说刚体内任意两点间的连线在各 时刻总是平行. 刚体平动 质点运动
（2）转动： 定轴转动、定点转动 定轴转动: 转轴在所选参考系中固定不动的转动
(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)
M 4 g J 3R
2 M Rmg 3
由 0 t 可求得
2 2 0
3R t 4 g
(3) 由 2 可得在 0 到 t 2 3 R 的时间内，转过的角度为
8g
1 2 2 驱动力矩做的功为 W M mR 4
m 2 Tr T1r r 2 m 2 T2 r Tr r 2 a r
mg
2m g
解出
11 T mg 8
例：已知杆质量 m，长l，绕一端点转动， 1 2 J ml ，初水平静止，求位于任意 3
N
n
)
受力：轴支持力 N、重力mg
角时，、为多少？
J r 2 dm
r
dm
o
例1 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 z 1 2 解： J r 2dm J o ml 3 dm m o O dm dx dx x l x dx
r 2 x2 l ml 0 0 l 3 l 3
角时机械能
t
mg
由机械能守恒可求得
J 2 l mg sin 0 2 2
3g sin l
d 3g d cos dt l dt
4.1.1 刚体：
刚体力学
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 .
4.1.2 刚体的基本运动形式： （1）平动：若刚体中所有点的 运动轨迹都保持完全相同，或者 说刚体内任意两点间的连线在各 时刻总是平行. 刚体平动 质点运动
（2）转动： 定轴转动、定点转动 定轴转动: 转轴在所选参考系中固定不动的转动
(2) 由转动定律求 ，(唱片J=mR2/2)
M 4 g J 3R
2 M Rmg 3
由 0 t 可求得
2 2 0
3R t 4 g
(3) 由 2 可得在 0 到 t 2 3 R 的时间内，转过的角度为
8g
1 2 2 驱动力矩做的功为 W M mR 4
m 2 Tr T1r r 2 m 2 T2 r Tr r 2 a r
mg
2m g
解出
11 T mg 8
例：已知杆质量 m，长l，绕一端点转动， 1 2 J ml ，初水平静止，求位于任意 3
N
n
)
受力：轴支持力 N、重力mg
角时，、为多少？
J r 2 dm
r
dm
o
例1 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 z 1 2 解： J r 2dm J o ml 3 dm m o O dm dx dx x l x dx
r 2 x2 l ml 0 0 l 3 l 3
角时机械能
t
mg
由机械能守恒可求得
J 2 l mg sin 0 2 2
3g sin l
d 3g d cos dt l dt
【精选】大学物理一复习 第四章 刚体的转动
m
轮子的转动惯量 J。
h
P144作业 ４-11
受力分析：
m：mg T ma
(1)
M：TR J
(2)
物体从静止下落时满足
h at 2/2
(3)
a R
(4)
J mR 2 ( gt 2 2h ) 2h
M ,R
T
T
h
mg
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
如令 mC 0，可得：
T1
T2
mAmB g mA mB
2）物体B 由静止出发作匀加速直线运动
v2 v02 2as
第二类问题：已知运动情况和力矩M ，求 J。
例：测轮子的转动惯量用一 M , R
根轻绳缠绕在半径为 R、质
量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t ,求
第一类问题：已知J和力矩M ：求 和以及F。
书例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一
半径R、质量mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质 量为mB 物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间 无滑动， 滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两
段绳索的张力各为多少？
A
(2) 物体 B 从静止落下
mA
C
mC
距离 y 时，其速率是多少？
mB B
解：隔离法，受力分析
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
F1
转动 平面
F
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。 注 （1）在定轴动问题 中，如不加说明，所指的 力矩是指力在转动平面内 的分力对转轴的力矩。
r
（2） M Z rF2 sin F2d
d r sin 是转轴到力作
用线的距离，称为力臂。
F123麦克来自韦分布例 2: 一半径为 R ，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘 面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
d r dr
R
e
解 : 因摩擦力不是集中作用于一点，而是分布 在整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积 分法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质 元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
a m2 G2
a
21
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮 边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即
麦克斯韦分布
a r
从以上各式即可解得
m 2 m1 g M r / r m 2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
1. 刚体的角动量
图为以角速度绕定轴oz 转动的一根均匀细棒。
L
z
ri
O
Li
把细棒分成许多质点，其中第 i 个质点的质量为 mi 当细棒以转动时，该 质点绕轴的半径为 ri
大学物理一复习第四章刚体的转动-文档资料
mg FT2 ma2
FT1 FT2
R
mg FT1 r
m
a1
J
a1 r
a2 R
FT1 r R
FT1'
A
mg
β
FT2
FT2'
B
mg
mg(R r)
J mR2 mr2
a1
r
J
mgr(R r) mR2 mr2
40 半径减小角速度增加。
（2）拉力作功。请考虑合外力矩为0， 为什么拉力还作功呢？
W
0
Md
在定义力矩作功 时，我们认为只 有切向力作功， 而法向力与位移 垂直不作功。
但在例题中，小 球受的拉力与位 移并不垂直，小 球的运动轨迹为 螺旋线，法向力 要作功。
o
F
r d Fn F
解得
a2
R
mgR(R r) J mR2 mr2
FT1 mg ma1
FT2 mg ma2
例2：光滑斜面倾角为 ，顶端固定一半 径为 R ，质量为 M 的定滑轮，质量为 m 的物体用一轻绳缠在定滑轮上沿斜面 下滑，求:下滑的加速度 a 。
解：物体系中先以
物体 m 研究对象，
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
T1
mAmB g
mA mB mC
2
T2
(mA mC 2)mBg mA mB mC 2
如令 mC 0，可得：
大学物理-刚体的转动
刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自 身平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都 相同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的 运动。 ( 刚体平动的运动规律与质点的运动规律相 同）
3、刚体绕定轴转动：
rotation of a rigid body around a
z
fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
z or
1、力矩的功： work done by torque
Fi 表示作用在刚体上P点的 外力，当物体绕轴有一角位移 d 时，力 Fi 做的元功为
d
ds
i Fi
i
P
dAi F i d r Fi cos d r Fi cos ds Fi ri cos d
因为 cos sin i
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi ， 则该质点的动能是 1 1 2 Eik mi vi mi (ri ) 2 2 2 整个刚体的动能 1 1 2 Ek mi vi ( mi ri 2 ) 2 2 2
2 m r 式中 i i 正是刚体对转轴的转动惯量J
2
a
( m 2 m1 ) g
Mr
m1 m 2 J
r
( m 2 m1 ) g
Mr
当不计滑轮质量 及摩擦阻力即令
r
m0
T1 T2
Mr 0
2m1m2 g m1 m2
1 M m 2 ( 2 m1 m ) g r r 2 T2 m 2 ( g a ) 1 m1 m 2 m 2
刚体的转动动能
1 Ek J 2 2
3、刚体的转动惯量 rotational inertia (moment of inertia)
3、刚体绕定轴转动：
rotation of a rigid body around a
z
fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。
z or
1、力矩的功： work done by torque
Fi 表示作用在刚体上P点的 外力，当物体绕轴有一角位移 d 时，力 Fi 做的元功为
d
ds
i Fi
i
P
dAi F i d r Fi cos d r Fi cos ds Fi ri cos d
因为 cos sin i
设刚体中第i个质点的质量为 mi ，速度为 vi ， 则该质点的动能是 1 1 2 Eik mi vi mi (ri ) 2 2 2 整个刚体的动能 1 1 2 Ek mi vi ( mi ri 2 ) 2 2 2
2 m r 式中 i i 正是刚体对转轴的转动惯量J
2
a
( m 2 m1 ) g
Mr
m1 m 2 J
r
( m 2 m1 ) g
Mr
当不计滑轮质量 及摩擦阻力即令
r
m0
T1 T2
Mr 0
2m1m2 g m1 m2
1 M m 2 ( 2 m1 m ) g r r 2 T2 m 2 ( g a ) 1 m1 m 2 m 2
刚体的转动动能
1 Ek J 2 2
3、刚体的转动惯量 rotational inertia (moment of inertia)
大学物理-ch4_刚体的转动汇总
J
dJ
2m R2
R 0
r 3dr
1 2
mR2
m
R 2
J
常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
三、 力矩
使物体转动，必须给定一 个作用力，另外考虑转动与力 的作用点以及作用力的方向有 关，因此在研究物体转动中引
（入1力）矩若这刚一体物所理受量力。F在转动平面内
z
Od
r
F
F
P
力臂：rsin = d 表示转轴到力作用线的垂直距离。
（2）转动惯量J的大小决定于
刚体的质量：同形状的刚体，ρ(λ,σ)越大，J 就越大 质量的分布：质量相同，dm 分布在 r 越大的地方，则 J越大 刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的J
（3）转轴相同的刚体系统的总转动惯量等于各刚体转动
惯量的代数和
J J1 J2 Jn
转动惯量的计算：
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
由 d π t 2
dt 150
得
d
π
t t 2dt
0
150 0
π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半
向转动，则力矩Mz为正，反之为Mz为负。
力矩
M
r
F
M
ห้องสมุดไป่ตู้
F
方向：满足右手螺旋法则 对于定轴转动，力矩的方向沿 转轴方向，但只有两种可能， 则可用正负表示
即：力矩与坐标轴同向时为正 ，反向时为负
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4、角动量守恒定律 条件：M=0
熟练掌握
1 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量 都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮 的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及 滑轮的角加速度．
熟练掌握
ω d
dt
dω dt
d2
d2t
v rωe t
at r
an rω 2
an r a
et at v
a re trω 2e n
§4-2 力矩 转动定律 转动惯量
一、力矩
M r F
z
F
M Fsrin Fd O M drP*
M 的方向由右手法则确定
掌握
➢力矩的方向 对于定轴转动可用正、负号表示。
z
讨论
O
y
掌握
B
1） 是矢量、状态量 方向：右手定则确定
xA
大小：
2）角动量与参考点的选取有关
o
m
m
o
o
m
掌握
2、质点的角动量守恒定理
守恒条件：
(1) (2)
熟练掌握
例：彗星绕太阳作椭圆
r
轨道运动，太阳位于椭
圆轨道的一个焦点上，
问系统的角动量是否守
恒？近日点与远日点的
速度谁大？
二、刚体定轴转动的角动量定理及守恒定律
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转
动．试计算细杆转动到与竖直线成角时
的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
M1mgslinJ
2
m,l
FN
θ
mg O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
（A）2 v 3L
（C）6 v 7L
4v （B）5 L
（D）8 v 9L
mv v om o
例2：如图所示，一静止的均匀细棒，长为L、
质量为M，可绕通过棒的端点且垂直于棒长
的光滑固定轴O在水平面内转动，转动惯量
为．一质量为m、速率为v的子弹在水平面内
沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，
设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速
本章学习要点
1.角坐标、角位移、角速度、角加速度。 2.转动惯量、力矩，转动定律。 3.刚体转动的动能定理。 4.角动量定理、角动量守恒定律。
§4－1 刚体的平动与转动
1、角坐标、角速度、角加速度
P
角坐标 (t)
转动 o
平面
x
角速度 limd
t t0 dt
参考方向
角加速度 d
dt
2、角量与线量的关系
T1
T2
mAmBg mA mB
2）物体B 由静止出发作匀加速直线运动
v2 v02 2as
第二类问题：已知运动情况和力矩M ，求 J。
例：测轮子的转动惯量用一 M,R
根轻绳缠绕在半径为 R、质
量为 M 的轮子上若干圈后，
一端挂一质量为 m 的物体，
从静止下落 h 用了时间 t ,求
m
轮子的转动惯量 J。
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
θ
mg
3g
O
ωdω sinθdθ
2l
代入初始条件积分得 ω 3g(1cosθ)
l
或由能量守恒： mgL(1-co)s=1J2
2
2
得： ω 3g(1cosθ)
l
§4-3 角动量 角动量守恒定律
r
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律
1、质点的角动量
第一类问题：已知J和力矩M ：求 和以及F。
书例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面 上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一
半径R、质量mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质 量为mB 物体B上，B 竖直悬挂．滑轮与绳索间 无滑动， 滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．
(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两
掌握
1 刚体的角动量
LJ
2 刚体的角动量守恒定律
② 在冲击等问题中 M内M外L常量
பைடு நூலகம்子o
弹 击 入 杆
v
以子弹和沙袋为系统 动量守恒； 角动量守恒； 机械能不守恒 .
例1：光滑水平桌面上 有一长为 2L、质量为 m 匀质细杆，可绕其中点且垂直于杆的竖直光滑 固定轴自由转动，转动惯量 mL2/3， 起初杆静 止，桌面上有两个质量均为 m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同 速率 v 相向运动，当两个小球同时与杆的两个 端点发生完全非弹性碰撞后，与杆粘在一起转 动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为:
W重090 Md
090mg2lcosd
1 mgl 2
m,l
mg
始末两态动能：
Ek
1J2
2
,
由动能定理： WEkEk0
Ek00
1mgl1J20
22
m,l
o
J 1 ml 2
3
3g
mg
l
小结
一、基本物理量
熟练掌握
L rm V
二、基本定理、定律
1、转动定律 2、动能定理
熟练掌握
3、角动量定理
h
P144作业 ４-11
受力分析：
m：m g Tma (1) M,R
M： T R J
(2)
T
物体从静止下落时满足
ha2t/2
aR
(3)
(4) T
h
mg J mR 2(g2t2h)
2h
书例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置， 其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
度应为
B
mv
(A) ML
3m v
(B) 2 ML
1 v
5m v
(C) 3 ML
(D) 7 m v
4 ML
2
O 俯视图
v
{B}
期中考题
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
刚体的定轴转动
练习1：一细杆质量为m，
长度为l，一端固定在轴上， 静止从水平位置摆下，求
o
细杆摆到铅直位置时的角
速度。
解： 重力矩作功：
➢几个力同时作用，合力矩为
即：
合力矩的大小等于 各力矩的代数和。
F3 F2
F1
r2
r3
r1
二、转动定律
熟练掌握
MJ
J描述刚体转动惯性大小的物理量。 ❖ 质量离散分布
J m jr j 2 m 1 r 1 2 m 2 r 2 2 m jr j 2
❖ 质量连续分布
J mjrj2r2dmVr2dV j
三、转动定律应用举例 M J
1. 矢量式（定轴转动中力矩只有两个方向）；
2. 具有瞬时性且M、J、 是对同一轴而言的。
解题方法及应用举例
熟练掌握
1.确定研究对象。 2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。
3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程， 转动刚体列转动定律方程，并利用角量与线 量关系)。
段绳索的张力各为多少？
A
(2) 物体 B 从静止落下
mA
C
mC
距离 y 时，其速率是多少？
mB B
解：隔离法，受力分析
A
分别根据牛二定律和转动定律列方程：
角量、线量关系式
解得：
a
mBg
mAmBmC 2
T1
mAmBg mAmBmC
2
T2
(mAmC 2)mBg mAmBmC 2
如令 mC 0，可得：