巧作辅助线构造全等三角形求解角度

巧作辅助线构造全等三角形求解角度
【例1】如图1-1，四边形ABCD中，△ABD为等边三角形，∠CAD=45°，∠BDC ＝30°，求∠ACB的度数。

此题看上去挺简单，但想不到思路就不容易做出来。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF（如图1-1-1）。

则∠CDA=90°，∵∠CAD=45°，
∴∠ACD=45º，∴AD=DC；
∵△ACF为等边三角形，
∴∠BAF=60º-（60º-45º）=45º，
又∵AF=AC，AB=AD，
∴△AFB≌△ACD，
∴BF=CD，∵AD=CD，
∴BF=BA；
在△ABC和△FBC中：
BA=BF，AC=FC，BC=BC，
∴△ABC≌△FBC，
∴∠ACB=∠FCB=30º。

【例2】如图2-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝58°，∠CAD=48°，∠BDC＝30°，求∠ACB的度数。

【思路】依据【例1】的思路，构造等边三角形和全等三角形。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图2-1-1）。

则∠CDA=∠AED=88°，
∴AD=AE=AB；
∠DAE=4º，
∴∠CAE=48º-4 º=44 º，
∴∠ACE=44 º，
∴AE=CE；
∵△ACF为等边三角形，
∴∠BAF=60º-（64º-48º）=44º，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵AF=AC，AB=AE，
∴△AFB≌△ACE，∴BF=CE，
∵AE=CE，∴BF=BA；
在△ABC和△FBC中：
BA=BF，AC=FC，BC=BC，
∴△ABC≌△FBC，
∴∠ACB=∠FCB=30º。

【猜想】通过以上两个例子我们发现，在等腰三角形ABD中，顶角∠BAD的四等分线AC与底边绕点D逆时针旋转30 º后的直线交于点C，所构成的∠ACB角度为30 º，那么对于顶角∠BAD小于60 º时，【猜想】是否成立呢？
【例3】如图3-1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB＝64°，∠CAD=39°，∠BCD＝30°，求∠ACB的度数。

【解析】以AC为边向AC左侧作等边三角形ACF，在CD延长线上取一点E，使得∠ADE=∠AED（如图3-1-1）。

则∠CDA=94°，
∠ADE=∠AED =180º-94º=86°，
∴AD=AE=AB；
∠DAE=8º，∠CAE=39º+8º=47º，
∴∠ACE=180º-47º-86º=47º，
∴AE=CE；
∵△ACF为等边三角形，
∴∠BAF=60º-（52º-39º）=47º，
∴∠BAF=∠CAE，
又∵AF=AC，AB=AE，
∴△AFB≌△ACE，
∴BF=CE，∵AE=CE，
∴BF=BA；
在△ABC和△FBC中：
BA=BF，AC=FC，BC=BC，
∴△ABC≌△FBC，
∴∠ACB=∠FCB=30º。

所以当顶角∠BAD小于60º时，【猜想】看来仍然成立。

一般说来：
如图4-1，四边形ABCD中，∠BAC＝α，∠CAD=3α，∠BCD＝30°，则∠ACB=30。

当∠BAD=60º时，α=15º，正如【例1】的情况；
当∠BAD＞60º时，α＞15º，正如【例2】的情况。

此时∠CDA=30°+90º-2α=120º-2α，
∠AED=120º-2α，
∠DAE=180º-2（120º-2α）=4α-60º，
AD=AE=AB；
∠CAE=3α-（4α-60º）=60º-α，
∴∠ACE=（120º-2α）-（60º-α）=60º-α，
∴AE=CE；∠BAF=60º-α，
∴∠BAF=∠CAE，又∵AF=AC，AB=AE，
∴△AFB≌△ACE，∴BF=CE，
∵AE=CE，∴BF=BA；
∴△ABC≌△FBC，
∴∠ACB=∠FCB=30º；
当∠BAD＜60º时，α＜15º，正如【例3】的情况。

此时∠CDA=30°+90º-2α=120º-2α，
∴∠ADE=180º-（120º-2α）=60º+2α，
∠AED=60º+2α，
∠DAE=180º-2（60º+2α）=60º -4α，
AD=AE=AB；
∠CAE=3α+（60º -4α）=60º-α，
∴∠ACE=180º-（60º-α）-（60º+2α）
=60º-α，
∴AE=CE；∠BAF=60º-α，
∴∠BAF=∠CAE，又∵AF=AC，AB=AE，
∴△AFB≌△ACE，
∴△ABC≌△FBC，
∴∠ACB=∠FCB=30º。

综上所述，【猜想】总是正确的。